证明方法 I：直接证明、分类讨论与反例

前面几章已经给出了逻辑、量词、集合、关系和函数的语言。从这一章开始，我们把这些语言真正写成证明。证明不是把几个例子算对，也不是把想法写得像结论，而是从定义和假设出发，一步一步推出题目要求的语句。

本章先练三种最常用的动作：直接证明、分类讨论和构造反例。它们看起来朴素，却会决定后面学习逆否证明、反证法、归纳法和图论证明时能不能写清楚。

读一个命题时，先不要急着计算。先找清楚论域、量词、假设和结论，再把关键词换成定义。证明的开头通常就藏在这些信息里。

从定义开始

证明写作的第一步常常很小：把题目中的词换成可操作的式子。词语还停留在“偶数”“整除”“函数”“子集”时，我们很难继续推理；定义展开以后，推理才有抓手。

例如，在整数范围内：

n \text{ 是偶数} \Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb Z,\ n=2k

任取两个整数 $m,n$ ，并假设它们都是奇数。这个开头对应命题中的“若 $m$ 和 $n$ 都是奇数”。

由奇数定义，存在整数 $r,s$ ，使得 $m=2r+1$ 且 $n=2s+1$ 。

把两个表达式相加，得到

m+n=(2r+1)+(2s+1)=2(r+s+1)

因为 $r+s+1$ 是整数，所以 $m+n$ 写成了 $2$ 乘以一个整数。按偶数定义， $m+n$ 是偶数。

任取整数 $n$ ，并假设 $n$ 是偶数。这里的“任取”表示接下来的论证不能依赖某个特殊数值。

由偶数定义，存在整数 $k$ ，使得 $n=2k$ 。

平方并整理：

n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)

因为 $2k^2$ 是整数，所以 $n^2$ 写成了 $2$ 乘以一个整数。由偶数定义， $n^2$ 是偶数。

任取整数 $a,b,c$ ，并假设 $a\mid b$ 且 $a\mid c$ 。

由整除定义，存在整数 $r,s$ ，使得 $b=ar$ 且 $c=as$ 。

把两个等式相加：

b+c=ar+as=a(r+s)

因为 $r+s$ 是整数，所以 $b+c$ 是 $a$ 乘以一个整数。由整除定义， $a\mid(b+c)$ 。

任取整数 $n$ 。按奇偶性分类， $n$ 只能是偶数或奇数。

若 $n$ 是偶数，则存在整数 $k$ ，使得 $n=2k$ 。于是

n^2+n=(2k)^2+2k=4k^2+2k=2(2k^2+k)

因为 $2k^2+k$ 是整数，所以这一情形下 $n^2+n$ 是偶数。

若 $n$ 是奇数，则存在整数 $k$ ，使得 $n=2k+1$ 。于是

n^{2} + n = (2 k + 1)^{2} + (2 k + 1) = (

两种情形覆盖了所有整数，并且都推出 $n^2+n$ 是偶数。因此对任意整数 $n$ ， $n^2+n$ 是偶数。

任取整数 $a,b,c$ ，并假设 $a\mid b$ 且 $b\mid c$ 。

由 $a\mid b$ ，存在整数 $r$ ，使得 $b=ar$ 。由 $b\mid c$ ，存在整数 $s$ ，使得。

把 $b=ar$ 代入 $c=bs$ ，得到

c=(ar)s=a(rs)

因为 $r$ 和 $s$ 都是整数，所以 $rs$ 是整数。因此 $c$ 写成了 $a$ 乘以一个整数，按整除定义， $a\mid c$ 。

先确认论域。题目说的是整数、自然数、实数还是集合？论域不同，反例可能完全不同。

再让结论尽量失败。若结论是“大于”，就试着让它相等或小于；若结论是“为偶数”，就试着让它变成奇数。

接着检查假设是否真的成立。条件命题的反例必须让前件为真。

最后用一句话说明：这个对象在论域内，满足假设，但不满足结论，所以原命题为假。