证明方法 I：直接证明、分类讨论与反例

前面几章里，我们已经认识了集合、关系和函数，也学会了用量词把一句数学话说准确。现在要跨过一道很明显的门槛：以前的问题常常是“算出什么”，这一章的问题却变成了“你凭什么确定它总是这样”。

第一次写证明，最让人发愁的通常不是某一步算不动，而是不知道第一行该写什么。题目只给出一句“若 $P$，则 $Q$”，答案却像是突然想到了一串漂亮变形。真正的思考过程被藏起来以后，证明看上去就很像猜谜。

这一章会把那段被藏起来的过程摊开。我们先读清论域、量词、假设和结论，再根据结论寻找定义形式；如果一条路走不通，就看看是否应该分类；如果怀疑命题是假的，就有目的地构造反例。这样做几次以后，你会发现证明并不是从空白处灵光一现，而是不断回答“下一步需要什么”。

先读命题，再动笔

证明针对的是一个真假确定的陈述。像“$7$ 是奇数”是命题；“$n$ 是奇数”还缺少 $n$ 的取值，严格说只是一个含变量的条件。给它加上论域和量词，例如“存在整数 $n$，使 $n$ 是奇数”，它才成为完整命题。

这一区分看似细小，却直接决定证明方法。下面两句话只差一个量词，任务完全不同：

第一句只需要给出一个见证，例如 $n=3$。第二句声称每个整数的平方都是 $9$，取 $n=0$ 就能推翻它。动笔之前不看量词，很容易证明了另一件事。

四个问题把题目拆开

遇到一个待证命题，可以先在草稿上回答四个问题。

1. 对象来自哪里？ 是整数、实数、集合，还是某两个集合之间的函数？这就是论域。
2. 命题覆盖多少对象？ 是“任意一个”，还是“至少存在一个”？这由量词决定。
3. 哪些信息可以直接使用？ “若”后、“则”前的部分通常是假设。
4. 最后必须得到什么形式？ “则”后的部分是结论，结论里的关键词会提示目标定义。

例如要证明

我们读到的信息是：对象是任意整数 $n$；可以使用的假设是“$n$ 是偶数”；目标是让 $n^2$ 符合偶数定义。于是草稿上的路线已经出现了：把已知的偶数写成 $n=2k$，平方，再想办法把结果写成 $2$ 乘一个整数。

对于一般形式

直接证明的开头不是挑一个顺眼的 $x$，而是“任取 $x\in D$，假设 $P(x)$ 成立”。这个 $x$ 没有任何特殊之处，所以只要接下来的推理不偷偷使用特殊数值，结论就覆盖了论域中的所有对象。

前面学过的集合语言已经在暗示证明

考虑集合的子集传递性：若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$。这里没有数字可算，但定义已经告诉我们怎么开始。

要证明 $A\subseteq C$，实际要证明的是

于是我们任取 $x\in A$。由 $A\subseteq B$ 得到 $x\in B$，再由 $B\subseteq C$ 得到 $x\in C$。因为这个 是 中任取的元素，所以 。

这段证明很短，却包含了本章的核心动作：结论的定义决定我们任取什么，假设的定义决定下一步能推出什么。 集合、关系和函数并没有在上一章结束，它们正在变成证明的练习场。

定义展开：把名词变成可操作的式子

“偶数”“整除”“子集”“单射”都是压缩过的说法。它们适合陈述结论，却不一定适合直接推理。证明时，我们常常要把压缩包打开。

在整数范围内，常用定义包括：

集合与函数的定义也能用同样的方式展开：

定义有“拆开”和“装回”两种用法

如果题目已知 $n$ 是偶数，我们可以拆开定义，写成“存在整数 $k$，使 $n=2k$”。这里的 $k$ 是由假设保证存在的，不是随便挑的。

如果题目要求证明某个表达式 $E$ 是偶数，我们要做相反的事：找到一个整数 $t$，使 $E=2t$。等式只是中间结果，说明 $t$ 是整数并回到偶数定义，证明才结束。

这两个方向经常被初学者混在一起。要证明 $n^2$ 是偶数时，一上来写“设 $n^2=2k$”等于把结论直接当成已知；正确做法是先展开题目真正给出的“$n$ 是偶数”。

两个奇数相加为什么是偶数

命题：若整数 $m,n$ 都是奇数，则 $m+n$ 是偶数。

先别急着写成稿。我们在草稿上问：结论“$m+n$ 是偶数”要求什么？要求把 $m+n$ 写成 $2$ 乘一个整数。假设能提供什么？两个奇数分别能写成 $2$ 乘整数再加 $1$。把这两种形式相加，两个多出来的 $1$ 正好凑成 $2$。这就是下一步的来源。

一个很常见的错误是写“$m=2k+1,n=2k+1$”。这会额外假设 $m=n$，而题目没有给出这个条件。见证变量的名字不是装饰，它记录了每个存在性陈述可能对应不同的整数。

练习：证明若 $n$ 是偶数，则 $n+6$ 是偶数。

直接证明：从假设走到结论

直接证明最适合形如“若 $P$，则 $Q$”的命题。它不绕路：暂时站在 $P$ 已经成立的情形里，使用定义、假设和已经知道的事实，一直推到 $Q$。

一份通用骨架可以写成：

骨架解决的是“证明怎样组织”，不会自动给出中间那步变形。寻找中间步骤时，可以从两头看：假设现在能给我什么？结论最后需要什么？当这两边只差一个代入、因式分解或定义改写时，路线就接上了。

先允许草稿不漂亮

命题：若实数 $x$ 满足 $0\le x\le 2$，则

草稿阶段，我们可能先试 $x=0,1,2$，发现结果都为正。但这只能帮助猜想，不能证明整个区间。接着从目标往回想：常数 $1$ 已经是正的，只要能证明 $-x^3+4x\ge 0$ 就够了。这个表达式含有 $x$，先提取公因子：

现在假设 $0\le x\le 2$ 恰好能控制三个因子的符号：$x\ge0$、$2-x\ge0$、$2+x>0$。这时才找到了成稿需要的主线。

证明：设 $0\le x\le2$。于是 $x\ge0$、$2-x\ge0$ 且 $2+x>0$，所以

因此

这个例子很能说明“如何想到下一步”：我们没有凭空想到因式分解，而是先把目标削弱成“证明前半部分非负”，再寻找一个能让区间假设发挥作用的乘积形式。

典型例子：偶数的平方仍是偶数

命题：若整数 $n$ 是偶数，则 $n^2$ 是偶数。

思路：目标需要 $n^2=2\times\text{某个整数}$。假设给出 $n=2k$。平方后会出现 $4k^2$，把其中一个 $$ 提出来即可。

若证明停在 $n^2=4k^2$，读者当然可能猜到结论，但作者还没有完成最后一次“装回定义”。好证明不会把关键收尾留给读者。

函数的直接证明也遵循同一条路线

命题：设 $f:A\to B$ 与 $g:B\to C$ 都是单射，则复合函数 $g\circ f:A\to C$ 也是单射。

这一题没有偶数或整除，但“先看目标定义”仍然有效。要证明 $g\circ f$ 是单射，我们需要任取 $x_1,x_2\in A$，从

推出 $x_1=x_2$。假设中的两个单射应该按什么顺序使用？复合函数的最外层是 $g$，所以先用 $g$ 的单射性消掉外层，再用 $f$ 的单射性。

证明：任取 $x_1,x_2\in A$，并假设

由复合函数定义，

因为 $g$ 是单射，所以 $f(x_1)=f(x_2)$。又因为 $f$ 是单射，所以 $$。这正符合单射定义，因此 是单射。

这段推理也展示了一个实用习惯：面对嵌套结构，先处理最外层。你不需要猜该先用哪个假设，表达式本身已经给出了顺序。

下面的拼装器提供偶数平方和整除传递性两个题目。先自己排列步骤，再观察“任取对象—使用假设—展开定义—代入计算—回到结论”为什么不能随意颠倒。

整除证明：用见证和代入接起链条

整除符号 $a\mid b$ 很短，真正能运算的是它背后的存在性陈述：

读作“$a$ 整除 $b$”时，别把注意力放在竖线长什么样，而要立刻想到：$b$ 里面藏着一个整数倍 $k$。整除证明常用的动作就是给这个整数倍命名，然后代入。

整除的传递性

命题：若 $a\mid b$ 且 $b\mid c$，则 $a\mid c$。

思路从目标开始：要证明 $a\mid c$，需要把 $c$ 写成 $a$ 乘一个整数。已知 $b\mid c$ 给出 $c=bs$，但这里还没有 $a$；另一个假设 给出 。把第二个式子代入第一个， 就会出现在 的表达式里。

这里最好不要写成“由 $a\mid b$ 和 $b\mid c$，约去 $b$，所以 $a\mid c$”。整除不是普通分数的大小比较，而且 $a,b,c$ 还可能含有 。见证式 不需要做除法，对所有满足假设的整数都安全。

公因子会整除任意整数线性组合

命题：若 $a\mid b$ 且 $a\mid c$，则对任意整数 $s,t$，都有

我们为什么会想到分别设 $b=ar,c=au$？因为目标 $sb+tc$ 里同时出现 $b,c$，而两个假设恰好能让它们各自带出一个公因子 $a$。

证明：任取整数 $s,t$。由 $a\mid b$ 与 $a\mid c$，存在整数 $r,u$，使 $b=ar,c=au$。于是

因为 $s,r,t,u$ 都是整数，所以 $sr+tu$ 是整数。因此 $a\mid(sb+tc)$。

这个结论把“整除和”和“整除差”等事实放进了同一个框架。取 $s=t=1$，得到 $a\mid(b+c)$；取 $s=1,t=-1$，得到 。先证明一个稍一般的结论，后面就不用重复相同的代入。

练习：证明若 $a\mid b$，则对任意整数 $c$，都有 $a\mid bc$。

分类讨论：把总任务拆成覆盖完全的分支

有些命题对所有对象都成立，但对象在不同情形下长得不一样。硬把所有情形塞进一串公式，反而会遮住结构。这时可以先把论域分开，在每个分支里证明同一个目标。

分类讨论最重要的要求是穷尽：每个允许的对象至少落入一个分支。各类互不重叠会让证明更整洁，但并非逻辑上必需；即使两个分支有重叠，只要它们合起来覆盖论域，而且每个分支都推出目标，证明仍然成立。

怎么想到该按什么分类

分类不是随便把对象切成几块。最有用的分类通常由题目中的结构提示：

• 出现偶数、奇数或因子 $2$，先考虑按奇偶分类。
• 出现绝对值、正负号或分段函数，按符号或分段条件分类。
• 出现集合的并、交、差，按元素属于哪个集合分类。
• 出现“是否具有某性质”，可以分成 $P$ 与非 $P$ 两类。
• 出现除以 $m$ 的余数，常按余数 $0,1,\ldots,m-1$ 分类。

选择分类后还要写出覆盖理由。例如“每个整数不是偶数就是奇数”“每个实数满足 $x\ge0$ 或 $x<0$”。若只写“正数”和“负数”，就会漏掉 $0$。

例子：$n^2+n$ 总是偶数

命题：对任意整数 $n$，$n^2+n$ 是偶数。

先看目标：我们想找因子 $2$。表达式可以写成 $n(n+1)$，这是两个相邻整数；直觉上其中一个是偶数。要把这个直觉写成定义证明，最自然的办法就是按 $n$ 的奇偶性分两类。

两个分支里都用了字母 $k$，这不会像前面同时表示两个奇数那样造成问题，因为两个分支不会同时成立。若担心读者混淆，当然也可以在第二个分支改用 $r$。

分支中还可以继续分类

较长的证明可能出现子分类。做法和程序里的条件分支很像：先说明顶层分类为什么覆盖全部对象，再在某个分支里说明子分类为什么覆盖该分支。每个叶子都推出目标后，才沿着树向上收束。

不要只写“其余情况同理”。只有当其余分支的推理真的只需替换符号，而且替换关系一目了然时，这句话才够用。如果奇数分支需要另一种定义展开，就应当把它写出来。

下面的实验台可以切换奇偶分支，还能检查反例是否同时满足“前件真、结论假”。先观察分支怎样覆盖论域，再到反例区输入边界值和负数。

练习：证明对任意整数 $n$，$n^2$ 与 $n$ 有相同的奇偶性。

构造反例：精准击中全称命题

证明一个全称命题，需要覆盖论域中的每个对象；推翻它却只需要找到一个失败对象。这个对象就是反例。

对于

反例必须是某个 $x_0\in D$，并且 $P(x_0)$ 为假。

对于条件形式

要求更精确：反例必须同时满足

只让结论失败还不够。如果前件也是假，这个对象根本没有进入命题承诺的情形。

反例不是盲猜

构造反例时，可以按下面的顺序搜索。

平方不保持整个整数轴上的大小次序

错误命题：对所有整数 $a,b$，若 $a<b$，则 $a^2<b^2$。

为什么应该试负数？因为平方会丢掉符号，离 $0$ 更远的负数平方后可能反而更大。我们希望前件 $a<b$ 保持为真，同时让平方后的大小反转，所以取一个绝对值较大的负数作 $a$，再取一个较小的正数作 $b$。

取 $a=-2,b=1$。二者都是整数，而且 $-2<1$，所以假设成立。但是

结论 $a^2<b^2$ 不成立。因此 $(a,b)=(-2,1)$ 是反例，原命题为假。

取 $a=2,b=1$ 就不是反例。虽然 $2^2<1^2$ 不成立，但前件 $2<1$ 也不成立。这组数没有推翻“若 ，则……”的承诺。

集合和函数里也要会找反例

错误命题：对任意集合 $A,B,C$，若 $A\cap B=A\cap C$，则 $B=C$。

这里等式两边都只看到了与 $A$ 相交的部分。要让结论失败，可以把 $B,C$ 的差异藏在 $A$ 外面。取

此时 $A\cap B=A\cap C=\{1\}$，但 $B\ne C$，所以这是反例。

错误命题：每个函数 $f:A\to A$ 都是单射。

要破坏单射性，需要两个不同输入得到同一个输出。取 $A=\{0,1\}$，并定义

这是一个从 $A$ 到 $A$ 的函数，但 $0\ne1$ 且 $f(0)=f(1)$，所以它不是单射。

这两个例子都不是“碰巧试到了”。我们先展开待破坏的结论，再按结论的失败条件设计对象。

一个例子能做什么，不能做什么

一个成功例子可以证明存在命题。例如要证明“存在整数 $n$ 使 $n^2=9$”，给出 $n=3$ 并验证就够了。

一个失败例子不能推翻存在命题。试了 $n=0$ 没有得到 $n^2=9$，只能说明 $0$ 不是见证，不能说明别的整数也不行。要否定存在命题，必须证明论域中没有任何见证。

同样，算对一百个例子也不能证明全称命题。有限次试验可以发现模式、寻找反例、检查猜想，却不能自动覆盖无限论域。证明与实验的角色不同：实验帮助我们想，证明负责让“总是如此”成立。

练习：判断命题“对所有整数 $n$，若 $n$ 是偶数，则 $\frac n2$ 是偶数”是否为真。

从草稿到成稿：让读者看见推理

证明既要正确，也要让人能顺着读。成稿不是一串孤立公式，而是一小篇有起点、有推进、有收尾的说明文。公式负责精确，句子负责告诉读者为什么这一步可以从上一步得到。

先写路线，再写细节

较长证明开头可以先说一句打算怎么做，例如“我们按 $n$ 的奇偶性分类”或“展开整除定义后代入”。这句话不承担具体推理，却让读者提前知道证明的地图。

发现证明时的草稿可以很乱。你可以试数值、画图、从目标倒推，甚至走几条死路。成稿则要把有效主线按自然顺序重新排列。不要把所有尝试都塞进去，但应该保留那句真正解释关键转折的话，例如“目标需要因子 $2$，所以把已知偶数写成 $2k$”。

证明是文章，不是等式瀑布

下面这种写法计算上没有错，却让读者猜每一行的角色：

改成完整证明，只需要补上几句关键说明：

任取偶数 $n$。由偶数定义，存在 $k\in\mathbb Z$ 使 $n=2k$。于是 $n^2=2(2k^2)$。因为 ，由偶数定义， 是偶数。

文字没有重复公式，而是在标记“任取”“使用定义”“整数封闭”“回到结论”这几个逻辑关节。

每引入一个符号，就交代它是谁

突然出现的 $k$、$r$ 或集合 $S$ 会迫使读者回头猜。第一次使用时就说明范围和来源：“存在整数 $k$”“任取 $x\in A$”“令 $S$ 表示满足条件的元素集合”。符号确实能缩短证明，但每个新符号都会增加读者的记忆负担，能不用时不要硬加。

不用“显然”掩盖缺口

若一步真的简单，可以写出它依赖的事实：“因为整数对加法封闭，所以 $r+s\in\mathbb Z$。”这通常只多十几个字，却比“显然可得”更能帮助初学者判断推理是否完整。

常见错误：错在逻辑位置，不一定错在计算

用若干例子代替全称证明

验证 $2^2,4^2,6^2$ 都是偶数，只说明这些例子成立。无论列出多少有限个例子，都没有处理“任意偶数”。例子适合找规律，不负责证明无限对象的全称结论。

把结论当成假设

要证明 $n^2$ 是偶数，一开始写“设 $n^2=2k$”就是循环论证。判断方法很直接：这句话如果已经等价于题目要证的结论，就不能在没有推导的情况下使用。

同一个符号承担两个不同见证

由 $m,n$ 都是奇数，应该写 $m=2r+1,n=2s+1$。若都写成 $2k+1$，就无意中加入了 。存在性定义只保证各自有见证，不保证见证相同。

做了没有条件保证的除法

从 $ac=bc$ 推出 $a=b$ 需要 $c\ne0$。从整除关系直接写商，也可能遇到除数为 $0$。使用整数倍见证往往能避开这种隐藏条件。

等号连接了并不相等的对象

等号两边必须是同一类数学对象且数值相等。不要写

“偶数”是性质，不是与 $4k^2$ 相等的数。应该写“$n^2=4k^2=2(2k^2)$，所以 是偶数”。

分类没有覆盖论域

把所有整数分成正数和负数会漏掉 $0$；把集合分成“含 $x$”和“含 $y$”还可能漏掉两者都不含的集合。分类前先写出为什么每个对象必落入至少一个分支。

反例没有满足假设

要推翻 $P\Rightarrow Q$，必须找 $P$ 真而 $Q$ 假的对象。只找到 $Q$ 假、却没有检查 $P$，是最常见的无效反例。

证明在最后一步前停住

得到 $c=a(rs)$ 后，还应说明 $rs$ 是整数，再由整除定义得 $a\mid c$。不要把“读者应该能看出来”当作结束标记；收尾往往正是证明是否真正对准结论的地方。

综合练习：先判断方法，再写证明

做下面每题前，先写一句方法判断：它适合定义展开、直接证明、分类讨论，还是需要反例？先选路线，会比直接堆公式更快。

奇数的平方

证明：若整数 $n$ 是奇数，则 $n^2$ 是奇数。

整除与平方

证明：对所有整数 $a,b$，若 $a\mid b$，则 $a^2\mid b^2$。

从平方的奇偶性返回原数

证明：若整数 $n$ 满足 $n^2$ 是偶数，则 $n$ 是偶数。

一个需要反例的奇偶命题

判断：对所有整数 $n$，若 $n$ 是奇数，则 $n+1$ 是奇数。

子集等式能否消去同一集合

判断：若 $A\cup C=B\cup C$，则 $A=B$。

单射复合的反方向

判断：若 $g\circ f$ 是单射，则 $f$ 是单射。

线性组合的整除性

证明：若 $d\mid a$ 且 $d\mid b$，则 $d\mid(5a-3b)$。

写完后的检查与下一步

交出证明前，可以按下面的顺序快速对账：

1. 我有没有写清变量的论域和量词？
2. 我是从题目的假设出发，还是偷偷用了待证结论？
3. 定义中的见证变量有没有说明范围，也有没有被错误地共用？
4. 分类是否覆盖全部对象，每个分支是否都回到同一个目标？
5. 反例是否在论域内，并且确实让前件真、结论假？
6. 每次变形有没有可说清的依据，最后一句是否回答了原命题？

直接证明的优势是路线短，读者能看到结论怎样从假设长出来，所以有直达路线时通常先选它。但有些命题从假设正面展开后没有抓手，例如“若 $n^2$ 是偶数，则 $n$ 是偶数”；还有些结论本身是否定形式，正面构造并不自然。

这不是证明卡死了，而是在提醒我们换一个逻辑方向。下一章会学习逆否证明和反证法：前者把“若 $P$ 则 $Q$”改写成等价的“若非 $Q$ 则非 $P$”，后者则暂时假设结论失败，再追踪它会造成什么矛盾。它们仍然会使用本章练过的定义展开、分类和整除代入，只是路线不再一直向前。

因为 $k+3\in\mathbb Z$，所以 $n+6$ 是偶数。这里真正完成证明的是“$k+3$ 是整数”与最后一句定义判断，而不只是代数等式。

因为 $k,c\in\mathbb Z$，所以 $kc\in\mathbb Z$。因此 $a\mid bc$。

括号内是整数，所以此时 $n^2+n$ 是偶数。

所以 $n^2$ 也是偶数。

若 $n$ 是奇数，则 $n=2k+1$，其中 $k\in\mathbb Z$，于是

所以 $n^2$ 也是奇数。两类覆盖所有整数，因此 $n^2$ 与 $n$ 的奇偶性相同。

是奇数。因此 $n=2$ 是反例，原命题为假。

因为 $2k^2+2k\in\mathbb Z$，所以 $n^2$ 是奇数。

由 $a\mid b$，存在 $k\in\mathbb Z$，使 $b=ak$。平方得

因为 $k^2\in\mathbb Z$，所以 $a^2\mid b^2$。

这个证明已经带有间接推理的味道。下一章会把它改写成更紧凑的逆否证明。

也就是

因为 $g\circ f$ 是单射，所以 $x_1=x_2$。由单射定义，$f$ 是单射。

注意这里不需要假设 $g$ 是单射；我们只是在相等的两个值上应用同一个函数。

因为 $5r-3s\in\mathbb Z$，所以 $d\mid(5a-3b)$。