动量守恒的判定与基本应用

两辆装有磁铁的小车停在水平导轨上，松开束缚后，它们突然向相反方向滑开。左车有了向左的动量，右车有了向右的动量；两辆车明明都发生了变化，为什么把它们放在一起看，变化却可能正好抵消？

关键不在于“每个物体是否保持原样”，而在于你把哪些物体圈进同一个研究范围。只研究左车，磁铁对它的作用是外力；把两车和磁铁一起圈起来，这对相互作用就成了系统内部的力。动量守恒首先是一种选择研究对象的眼光，然后才是一条计算公式。

先画系统边界，再谈守不守恒

研究问题时选定的一个或多个物体组成系统。系统内物体之间的相互作用力叫内力，系统外物体对系统内物体的作用力叫外力。内、外力不是某种力的固定身份，而由系统边界决定：地面对小车的摩擦力，对“小车”系统是外力；若把小车和地球都纳入系统，这个摩擦作用便成为内力，同时又要检查更大系统是否还受到别的外力。

为什么内力通常不改变系统总动量？对由两个物体组成的系统，在同一段时间内分别写动量变化：

$$\Delta \boldsymbol p_1=\boldsymbol I_{21}+\boldsymbol I_{1\text{外}},\qquad \Delta \boldsymbol p_2=\boldsymbol I_{12}+\boldsymbol I_{2\text{外}}.$$

物体间的作用力与反作用力等大反向、同时存在，所以内力冲量满足 $\boldsymbol I_{12}+\boldsymbol I_{21}=0$。两式相加，内力在系统总账里抵消，留下

$$\Delta \boldsymbol p_{\text{系统}}=\boldsymbol I_{\text{外}}.$$

这行式子揭示了守恒的缘由：在所研究的过程中，若系统所受合外力的冲量为零，系统总动量就不变，即

$$\boldsymbol p_{\text{初}}=\boldsymbol p_{\text{末}}.$$

内力可以很大，也可以让每个物体的动量剧烈变化，但它不能凭空改变系统总动量。相反，一股很不起眼的外力只要持续得足够久，照样能积累出不可忽略的外力冲量。

例如，人在船上推箱子。如果系统只选箱子，人的推力是外力，箱子动量当然会变；若系统选“人和箱子”，人与箱子之间的推力成为内力，但脚下接触面的摩擦是否属于外力，还取决于船有没有被圈进来。看到“作用力与反作用力”就直接宣布动量守恒，漏掉的恰恰是最重要的系统边界。

三种守恒判断：严格、分方向与近似

最干净的情况是系统不受外力，或合外力在整个过程中始终为零。这时合外力冲量必为零，系统总动量严格守恒。水平气垫导轨上的两滑块相互作用，可以把剩余阻力压得很小；在理想模型中若忽略阻力，水平方向就满足这一条件。

“不受外力”和“所受合外力为零”不能混成一句话。静放在水平导轨上的小车仍受重力和支持力，只是两者的矢量和为零；只要水平方向也没有外力，系统总动量仍可保持不变。反过来，系统受到两股大小相等的外力也未必守恒，还要看它们是否在同一时刻反向、能否使合外力或整个过程的合外力冲量为零。高中常用“合外力为零”作为易检查的充分条件，更一般的判断则是研究时间内合外力冲量为零。

系统成员还应在所研究过程里保持明确。若一辆小车中途接入一个原本不在系统内的物体，却仍沿用接入前的系统质量，等号两边比较的已经不是同一套对象。可以把那个物体从一开始就纳入更大的系统，也可以在接入时刻把过程分段；无论选哪种办法，初态与末态都必须对应同一系统边界。

还有一些过程并不是各方向都守恒。小球沿放在光滑水平地面上的曲面滑下时，把小球和曲面当成系统，重力与地面支持力都是竖直方向的外力，系统的总动量矢量并不守恒；但水平方向合外力为零，所以水平分动量守恒。这时只能写水平方向的动量方程，不能把“水平方向守恒”悄悄换成“系统动量守恒”。

第三种情况更贴近真实实验：外力存在，却在短暂的相互作用过程中来不及产生明显影响。判断近似守恒，应该比较的是外力冲量与该过程内系统中各物体典型动量变化的量级。若

$$|\boldsymbol I_{\text{外}}|\ll |\Delta \boldsymbol p_{\text{典型}}|,$$

就可以在所需精度内近似认为系统动量守恒。常见的“内力远大于外力”只是相互作用时间相近时的便捷判断，并不是根本条件。外力不大但作用很久，不能忽略；外力较大却与另一外力抵消，合外力冲量仍可能为零。

假设两滑块在粗糙导轨上靠近并相互作用。过程只持续 $0.02\ \text{s}$，系统受到的水平阻力合力约为 $0.10\ \text{N}$，外力冲量量级只有 $2.0\times10^{-3}\ \text{N·s}$；若每辆车的动量变化约为 $0.40\ \text{kg·m/s}$，前者不足后者的百分之一，近似守恒很合理。若把研究过程拉长到十几秒，阻力冲量便可能与动量本身同量级，此时同一套近似就失效了。

你可以先判断一个容易犹豫的情形：两人站在普通地面上传接一个球，把“两人和球”作为系统，能否仅凭两人对球的作用力互相抵消，就断定水平方向动量守恒？不能。人为了保持姿态会受到地面的水平摩擦，地面对系统的外力冲量通常不能忽略。若换成阻力可忽略的冰面，结论才可能改变。场景相似，决定答案的是边界外还伸进来多少冲量。

动量是带方向的账

一维问题看起来不用画矢量图，反而最容易把方向漏掉。选定正方向后，速度用正负号表示，动量 $p=mv$ 自然带上同样的符号。对两个物体，守恒式写成

$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'.$$

这里四个速度都必须相对同一个参考系，初态的各项对应相互作用前同一时刻，末态的各项对应相互作用后同一时刻。不能拿物体1的“作用前瞬间”与物体2很久以前的速度拼成初态，也不能一项用相对地面的速度、另一项用相对小车的速度。

设向右为正。质量 $2.0\ \text{kg}$ 的甲车以 $3.0\ \text{m/s}$ 向右运动，质量 $1.0\ \text{kg}$ 的乙车以 $1.0\ \text{m/s}$ 向左运动。初动量不是 $2.0\times3.0+1.0\times1.0$，而是

$$p_{\text{初}}=2.0\times3.0+1.0\times(-1.0)=5.0\ \text{kg·m/s}.$$

若相互作用后甲车速度为 $1.0\ \text{m/s}$，由 $5.0=2.0\times1.0+1.0\times v_乙'$，得 $v_{}^{}$。结果为正，说明乙车末速度向右。方程负责给出正负，最后还要把符号翻译成方向；若直接把所有“速率”当正数，初始账目第一行就错了。

一维二物体问题：先核条件，再求未知量

水平导轨上有甲、乙两车，中间压着轻弹簧并用细线束缚。剪断细线后，弹簧同时推开两车。若阻力可忽略，把甲、乙和弹簧作为系统，水平方向没有外冲量；初态两车都静止，系统初动量为零。设向右为正，甲车质量 $0.40\ \text{kg}$，分开后以 $1.5\ \text{m/s}$ 向左运动，乙车质量 $0.60\ \text{kg}$，则

$$0=0.40\times(-1.5)+0.60v_乙,$$

解得 $v_乙=1.0\ \text{m/s}$，方向向右。两车受到的内力等大反向，得到的动量变化等大反向；但质量不同，所以速度大小不必相等。

处理这类题可以把思路压成一张“守恒凭证”：研究系统是谁，研究过程是哪一段，外力冲量为何为零或可忽略，正方向如何规定，初末各物体的速度分别是多少。然后才列方程。高考解答题中，只写一个脱离对象和条件的 $p=p'$，即使算对数值也容易丢掉过程说明；而把动能守恒当成动量守恒的前提，更是把两条独立规律混在了一起。系统是否守恒由外力冲量决定，与机械能有没有损失不是同一件事。

如果计算得到负速度，不必急着改成正数。它不是“速度大小为负”，而是物体实际方向与所选正方向相反。只有题目明确问速率时，最终答案才取速度的绝对值；中间列式仍要保留方向。

分阶段与多物体：同一题里可以换系统

三辆小车排在光滑水平导轨上，甲先与乙发生短暂相互作用，随后乙再与丙发生短暂相互作用。若从全过程看，甲、乙、丙组成的整体没有水平外冲量，那么

$$m_甲v_甲+m_乙v_乙+m_丙v_丙 =m_甲v_甲''+m_乙v_乙''+m_丙v_丙''.$$

但这一条总账通常只能提供一个方程，未必足以求出三个末速度。题目若给出中间状态，就应把全过程切成两段：第一段选甲、乙系统，第二段选乙、丙系统，分别核对每一段的外冲量并列守恒式。甲、乙在第二段通常不能继续作为封闭系统，因为丙对乙的作用已经越过了它们的系统边界。

举个数值例子。三车质量都为 $1.0\ \text{kg}$，开始时只有甲以 $6.0\ \text{m/s}$ 向右运动。第一阶段结束后甲速度为 $2.0\ \text{m/s}$，由甲、乙系统守恒得乙速度为 $4.0\ \text{m/s}$。第二阶段开始前甲已不再参与，乙与静止的丙相互作用，若第二阶段结束后乙为 $1.0\ \text{m/s}$，由乙、丙系统守恒得丙为 $3.0\ \text{m/s}$。末态总动量 ，又与全过程总账相符。

这个例子还有一处容易被忽略：换系统时，系统质量和其中物体都可能改变，不能把上一段方程左边机械搬到下一段。若某个物体在分界时刻被纳入或移出系统，必须重新写该阶段的初态动量。选择大系统往往能消去更多内力，选择小系统则可能利用更多已知速度；好系统不是“越大越好”，而是既满足守恒条件，又能让未知量尽可能少。

用实验检查相互作用前后的动量账

实验不是去测“守恒定律等号两边绝对一样”，而是测量质量和速度，比较相互作用前后的总动量差异是否能由测量不确定度与残余外力解释。最直观的一套装置是水平气垫导轨、两滑块、遮光条和光电门。

实验前要调平导轨。轻推同一滑块，若它先后通过两个光电门时速度在误差范围内一致，说明水平方向残余合力很小。称量时，质量应包含滑块上随它共同运动的遮光条、配重和连接附件。光电门测得遮光条宽度 $d$ 通过光束的时间 $\Delta t$，用

$$v\approx\frac d{\Delta t}$$

估计遮光过程对应位置的瞬时速度。遮光条越窄，这个平均速度越接近该处瞬时速度，但过窄又会增大宽度与计时的相对误差，因此要在仪器分辨能力内选择。若两滑块的遮光条宽度不同，必须分别使用各自的 $d$，不能为了省事共用一个数值。

还要给速度加方向。可规定向右为正，光电门除了记录时间，还需结合通过次序判断滑块是向右还是向左。两个光电门应尽量靠近相互作用区域，使“相互作用前”和“相互作用后”的速度不被随后积累的阻力明显改变。得到 $v_1、v_2、v_1'、v_2'$ 后，分别计算

$$p_{\text{前}}=m_1v_1+m_2v_2,\qquad p_{\text{后}}=m_1v_1'+m_2v_2'.$$

例如 $m_1=0.20\ \text{kg}$、$m_2=0.30\ \text{kg}$，相互作用前 $v_1=+0.80\ \text{m/s}$、，相互作用后测得 、。于是 ，，两者相差 。实验结论不是强行把后三位改成相同，而要根据天平、宽度和计时的不确定度判断这点差异是否合理。

当 $p_{\text{前}}$ 不接近零时，可用 $|p_{\text{后}}-p_{\text{前}}|/|p_{\text{前}}|$ 描述相对偏差。若初总动量接近零，这个分母会让很小的绝对误差被夸大，此时应结合仪器不确定度，或以各物体动量绝对值之和作为量级参考，不能拿“除以一个接近零的数”评价实验好坏。

若多次结果有时偏大、有时偏小，可能来自计时分辨率、宽度读数和释放状态差异，可通过重复测量和改进操作减小偶然影响；若每次都出现 $p_{\text{后}}$ 沿运动方向略小，优先检查导轨阻力、倾斜和光电门离相互作用点过远。系统前后动量之差本就等于外力冲量，稳定的偏差方向往往是在提醒你：实验系统并没有完全隔绝外界。

没有气垫导轨时，也可用长木板、小车、纸带和打点计时器。先轻推小车，调节木板倾斜程度，使小车能近似匀速运动，以补偿运动阻力；纸带上相互作用发生处的点迹往往不规则，不能拿这一小段直接算速度，应在其前后各选靠近过程、点迹清晰的等时间段，用平均速度近似相应瞬时速度。若相邻计数点间隔为 $T$、对应位移为 $\Delta x$，则 $v\approx\Delta x/T$。相互作用前后的纸带运动方向、哪辆车牵引纸带以及两车和附件的总质量都要从装置实际情况确定，不能只照着图背公式。

教材中还常用斜槽滚球装置。入射球从斜槽同一位置由静止释放，斜槽末端必须水平，两球半径相同以保证球心在同一水平线上，通常让入射球质量大于被碰球质量，避免入射球反向后无法按预定方法记录。由于各球从同一高度水平飞出、下落时间相同，水平位移与飞出速度成正比，于是可用落点距离代替速度检验动量关系。白纸与复写纸位置要固定，每种落点重复多次并以落点簇中心作为代表位置。这里真正被替代的是“同一飞行时间下的速度”，不是随便拿距离当速度。

本章到这里解决了一个核心问题：只要选对系统、圈定过程并管住外力冲量，就能为许多相互作用建立可靠的动量总账。不过，一条动量方程并不总能决定所有末状态；有些相互作用还要借助能量变化和过程特征继续分类。下一章将从这里接手，讨论不同碰撞、反冲以及人船模型各自多出来的条件。

课后练习

1. 系统边界

水平导轨上甲、乙两车之间有相互作用。只把甲车选为系统时，乙对甲的力属于什么力？若把甲、乙两车一起选为系统呢？

显示答案

只选甲时，乙不在系统内，乙对甲的力是外力；选甲、乙整体时，这一相互作用发生在系统内部，是内力。内外力身份取决于系统边界。

2. 守恒条件辨析

2

关于系统动量守恒，下列说法正确的是

A.系统内力的矢量和为零，所以任何系统都动量守恒B.系统合外力冲量为零时，总动量不变C.系统总动量守恒时，每个物体的动量都不变D.某方向合外力冲量为零时，该方向分动量守恒

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3. 只在一个方向守恒

小球从可在光滑水平地面上移动的曲面顶端滑下。把小球和曲面作为系统，忽略空气阻力。系统总动量是否守恒？水平方向动量是否守恒？

显示答案

系统受到重力和地面支持力等竖直外力，总动量矢量不守恒；水平方向没有外力冲量，因此水平分动量守恒。

4. 近似判断

某相互作用持续 $0.010\ \text{s}$，系统所受合外力约为 $0.20\ \text{N}$，各物体动量变化的典型值约为 $0.50\ \text{kg·m/s}$。估计外力冲量，并判断把系统看作动量近似守恒是否合理。

显示答案

外力冲量约为 $I_{\text{外}}=F_{\text{外}}\Delta t=2.0\times10^{-3}\ \text{N·s}$，只占典型动量变化的 ，在通常精度要求下可近似认为动量守恒。判断依据是冲量量级，而不只是外力大小。

5. 带符号的初动量

规定向东为正，质量 $3.0\ \text{kg}$ 的甲以 $2.0\ \text{m/s}$ 向东运动，质量 $2.0\ \text{kg}$ 的乙以 $1.5\ \text{m/s}$ 向西运动。求系统总动量。

显示答案

$v_甲=+2.0\ \text{m/s}$，$v_乙=-1.5\ \text{m/s}$，故 $p=3.0\times 2.0$，方向向东。

6. 两车相互作用

光滑水平导轨上，质量 $0.50\ \text{kg}$ 的甲车以 $4.0\ \text{m/s}$ 向右运动，质量 $1.0\ \text{kg}$ 的乙车静止。相互作用后甲车速度变为 $-2.0\ \text{m/s}$。求乙车速度。

显示答案

取向右为正，由 $0.50\times4.0+0=0.50\times(-2.0)+1.0v_乙'$，得 $v_{\text{乙}}^{}$，方向向右。甲车末速度为负表示它向左，不应把负号删掉再列式。

7. 从负号读方向

按向右为正列动量守恒方程，解得某物体末速度为 $-1.8\ \text{m/s}$。若题目分别问速度和速率，应怎样回答？

显示答案

速度应答为 $-1.8\ \text{m/s}$，或表述为大小 $1.8\ \text{m/s}$、方向向左；速率只答 $1.8\ \text{m/s}$。负号表示方向，不表示速率为负。

8. 静止系统释放

质量分别为 $m$ 和 $2m$ 的两车静止在光滑水平面上，中间弹簧释放后，质量为 $m$ 的车速度大小为 $4v$。求另一车的速度大小和方向。

显示答案

初总动量为零，两车末动量等大反向。设第一辆车方向为正，则 $m(4v)+2m v_2=0$，得 $v_2=-2v$。另一车速度大小为 ，方向与第一辆车相反。

9. 三车分阶段

三辆质量均为 $m$ 的小车在光滑水平轨道上。开始只有甲以 $5.0\ \text{m/s}$ 向右运动；甲、乙相互作用后甲为 $1.0\ \text{m/s}$ 向右，随后乙、丙相互作用，末了乙为 $2.0\ \text{m/s}$ 向右。求丙的末速度。

显示答案

第一阶段：$m\times5.0=m\times1.0+mv_乙$，得 $v_乙=4.0\ \text{m/s}$。第二阶段：，得 ，方向向右。也可用三车全过程总动量核对 。

10. 研究系统的选择

在上一题的第二阶段，能否继续对“甲、乙”系统直接写动量守恒？为什么？

显示答案

通常不能。第二阶段丙对乙的作用越过了“甲、乙”系统边界，对该系统形成不可忽略的外力冲量。可选择“乙、丙”系统分析这一阶段，或选择三车整体分析全过程。

11. 气垫导轨的数据

某滑块遮光条宽度为 $1.20\ \text{cm}$，通过光电门的挡光时间为 $0.0150\ \text{s}$。求滑块通过光电门时的速度近似值。

显示答案

先换单位：$d=1.20\times10^{-2}\ \text{m}$。于是 $v\approx d/\Delta t=1.20\times10^{-2}/0.0150\ \text{m/s}=0.800\ \text{m/s}$。方向还需根据滑块通过光电门的运动方向另行确定。

12. 实验误差方向

导轨未完全水平，且阻力始终与系统初动量方向相反。多次实验都发现同方向的末总动量略小于初总动量。这个偏差更像偶然误差还是系统性影响？说明理由。

显示答案

更像系统性影响。阻力在相互作用和测速间隔内产生方向稳定的外力冲量，使末总动量沿原方向稳定减小。重复次数增加不能自动消除这种偏差，应调平、减小阻力并让测速位置靠近相互作用区。

13. 斜槽滚球实验

斜槽实验中，不放被碰球时入射球的平均落点到竖直投影点距离为 $OP$；放上被碰球后，入射球和被碰球的平均落点距离分别为 $OM、ON$，两球质量为 $m_1、m_2$。写出验证水平方向动量守恒的关系式，并说明为什么可用这些距离代替速度。

显示答案

应检验 $m_1OP=m_1OM+m_2ON$ 是否在实验误差允许范围内成立。各球都从同一高度水平飞出，下落时间相同，水平速度与水平位移成正比，因此同一个飞行时间因子可从动量关系中约去。前提包括斜槽末端水平、释放位置固定、落点取多次测量的代表位置等。