第 4 章　简谐运动及其图像

把一只小车连在水平弹簧上，向右拉开后松手，它会穿过中间位置冲到左边，再折回来。看上去不过是“来回跑”，可问题马上来了：钟摆在来回摆，汽车雨刷也在来回扫，它们都算简谐运动吗？仅凭“重复”还不够。真正决定运动性质的，是物体离开中间位置后，受到怎样的力。

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一、来回运动为什么会有不同的“脾气”

1. 先找平衡位置，再谈位移

小车静止时，弹簧既不催它向左，也不催它向右。振动问题中，回复力，也就是沿振动方向的合力，为零的位置叫作平衡位置。对本章的一维弹簧振子，它同时也是物体总合力为零、能够保持静止的位置。研究振动时，我们把平衡位置作为位移的零点，规定一个正方向；物体在平衡位置右侧，位移可以记为正，在左侧则记为负。

这里的“平衡”不等于“弹簧一定处于原长”。水平弹簧振子若不受摩擦，平衡位置通常对应弹簧原长；竖直悬挂时，物体静止在弹簧已经伸长的位置，因为向上的弹力恰好与重力平衡。以后看到竖直装置，若仍从弹簧原长量振动位移，受力式会平白多出一项重力，计算当然越写越乱。

2. 把物体拉开后，谁把它叫回来

设小车相对平衡位置的位移为 $x$。把它拉到右侧时，弹簧把它拉向左；把它推到左侧时，弹簧又把它推向右。这个总是指向平衡位置、促使物体回到平衡位置的效果力，叫作回复力。

注意，回复力不是继重力、弹力、摩擦力之后出现的一种新性质力。它只是按作用效果给力起的名字：可以由弹力单独提供，也可以由几个力的合力提供，还可以是某个力的一个分力。判断时应先画真实受力，再把沿振动方向的合力找出来。

理想水平弹簧振子中，胡克定律给出

$$F=-kx。$$

$k$ 是弹簧的劲度系数，负号表示回复力与位移方向相反。若质点所受回复力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总与位移相反，即满足 $F=-kx$，它的运动就是简谐运动。结合牛顿第二定律，还可写成

$$a=-\frac{k}{m}x=-\omega^2x。$$

所以“受力总指向平衡位置”只是必要的直觉，还不够完成判定。比如某物体向右偏得越远，向左的力却始终保持同样大小，它能往返，却不满足 $F$ 与 $x$ 成正比，不能据此说它做简谐运动。

你可以暂停一下判断：小球在光滑碗底附近摆动，合力总把它拉向最低点，它就一定做简谐运动吗？答案是“不一定”。只有在研究范围内，沿运动方向的合力能近似写成 $F=-kx$，才能把它看作简谐运动。模型成立与否，既看力的方向，也看力随位移变化的规律。

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二、一次振动到底有多大、多快

1. 振幅不是轨迹长度

物体离开平衡位置的最大距离叫作振幅，用 $A$ 表示，$A$ 是非负的标量。若振子在 $-5\ \text{cm}$ 与 $+5\ \text{cm}$ 之间运动，振幅是 $5\ \text{cm}$，两端之间的距离是 $10\ \text{cm}$。把振幅写成“全程长度”是最常见的第一处混淆。

振子完成一次完整的往复运动，回到原位置且运动状态也与出发时相同，叫作一次全振动。完成一次全振动所用的时间是周期 $T$；单位时间内完成全振动的次数是频率 $f$：

$$f=\frac{1}{T}，\qquad T=\frac{1}{f}。$$

国际单位制中，$T$ 的单位是秒，$f$ 的单位是赫兹。圆频率

$$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$$

表示相位随时间变化的快慢，单位可写作弧度每秒。$\omega$ 越大，振动越快；它与普通频率 $f$ 相差因子 $2\pi$，两者不能混用。

2. 四分之一周期并非任何时候都走一个振幅

若从右端点静止释放，振子经过 $T/4$ 第一次到达平衡位置，经过 $T/2$ 到达左端点，经过 $3T/4$ 再到平衡位置，经过 $T$ 回到右端点。于是一个周期内路程为 $4A$，半个周期内路程为 $2A$。

但“四分之一周期走 $A$”有起点条件：必须从端点或平衡位置开始。若计时从途中某点开始，随后 $T/4$ 内走多远要由相位决定，不能机械套用。无论从何处开始，只要时间恰好是一个完整周期，路程仍是 $4A$，位移则为零。

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三、用一个式子保存整个运动

1. 振幅、角频率和初相各管一件事

一维简谐运动可以写成

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)。$$

$A$ 决定位移能达到的最大绝对值，$\omega$ 决定振动快慢，括号内的 $\omega t+\varphi$ 叫作相位，$\varphi$ 是 $t=0$ 时的初相。相位不是物体所在的位置，却能把“位置在哪、正向还是负向运动”共同编码进来。

若 $\varphi=0$，则 $t=0$ 时 $x=A$，振子在正向端点静止；若 $\varphi=\pi$，振子在负向端点；若 $\varphi=-\pi/2$，则 时 且随后沿正方向运动。你可能会觉得“经过平衡位置就该对应同一个相位”，这正是陷阱：振子一个周期内两次经过平衡位置，一次沿正方向，一次沿负方向，相位相差 。

表达式也可以用正弦写成 $x=A\sin(\omega t+\varphi')$。正弦式和余弦式不是两种运动，只是初相写法不同。解题时应先从图像读出 $A$、$T$，用 $\omega=2\pi/T$ 求角频率，再根据 的位置和紧接着的运动方向确定初相。只用 往往会得到两个候选初相，必须再看速度方向。

2. 延迟开始振动，图像会横向移动

在同一全局时间轴上，若第二个相同的振子比基准振子延迟 $t_0$ 开始振动，它的位移可写成

$$x=A\cos[\omega(t-t_0)]。$$

与基准运动 $x=A\cos\omega t$ 相比，这条图像向右平移 $t_0$。相位差的符号取决于差值顺序：若规定 $\Delta t=t_2-t_1=t_0>0$，并取 ，则 ；若交换相减顺序，符号也随之改变，而大小始终满足 。两条曲线振幅相同、周期相同，并不代表它们在每一时刻状态相同；初相不同，峰、谷和过零时刻都会错开。

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四、振动图像画的是“一个物体的一生”

1. 横轴是时间，不是空间位置

简谐运动的 $x-t$ 图像是一条正弦或余弦曲线。横轴表示时间，纵轴表示振子相对平衡位置的位移。曲线弯弯曲曲，不是说物体沿着波浪形轨道运动；实际的弹簧振子仍沿一条直线往返。

从图像可直接读取振幅和周期：纵坐标最大绝对值是 $A$，相邻两个同方向过零点之间、相邻两个波峰之间或相邻两个波谷之间的时间间隔都是 $T$。波峰到相邻波谷只隔 $T/2$，波峰到相邻过零点只隔 $T/4$。

2. 看斜率判断运动方向，看凹向判断加速度

$x-t$ 图像某点切线斜率就是速度。图线向右上升，$v>0$；向右下降，$v<0$；峰和谷处斜率为零，所以端点速度为零。曲线最陡处对应经过平衡位置，此时速度大小最大。

加速度满足 $a=-\omega^2x$。当图像在时间轴上方，$x>0$，加速度必沿负方向；在时间轴下方则相反。端点处 $|x|$ 最大，所以 $|a|$ 最大；平衡位置 $$，所以 。不要从图线“向上弯还是向下弯”凭感觉猜，先看位移正负再用 ，更稳。

现在看一个容易误判的情形：某时刻图像位于 $x>0$ 区域并向右下方延伸。振子是在平衡位置右侧，速度沿负方向，正在靠近平衡位置；加速度也沿负方向，因此速度与加速度同向，速率增大。若只看到“位移为正”就写“向正方向运动”，便把位置与运动方向混成了一件事。

不妨把读图过程压到一个具体情境里。某曲线在 $t=0$ 时位于 $x=-A$，到 $0.20\ \text{s}$ 第一次沿正方向经过平衡位置。端点到相邻平衡位置经历 $T/4$，所以 $T=0.80\ \text{s}$，。若用余弦表示，可写

$$x=A\cos(2.5\pi t+\pi)。$$

为什么初相取 $\pi$？代入 $t=0$ 得 $x=-A$；接下来相位略大于 $\pi$，余弦值从 $-1$ 增大，位移沿正方向变化。这样同时检查初位置与后续趋势，比只凭图形外观猜正负号可靠得多。

3. 怎样把真实振动变成一条可信曲线

用位移传感器记录弹簧振子时，第一件事不是按下“拟合”，而是确定平衡位置。让物体静止，记录传感器此时的读数 $s_0$，再用 $x=s-s_0$ 把它换成相对平衡位置的位移。随后轻轻拉开物体、由静止释放，等时间间隔采集 $t$ 与 $x$，描点后才会看到近似的正弦曲线。

若图像整体偏在时间轴上方，多半是零点没有校准；若峰值缓慢降低，说明阻力不能完全忽略，选取前面若干周期作近似分析更合适。测周期时不要只量一个峰到下一个峰，可以量连续多个周期的总时间再除以周期数，以减小读数误差。实验的目标不是把每个点强行“按”到公式上，而是检验振幅是否近似稳定、相邻同相状态的时间间隔是否相等，以及加速度方向是否总与位移相反。

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五、位置、速度、加速度怎样同时变化

1. 靠近中间时越来越快，离开中间时越来越慢

由

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

可得

$$v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)，\qquad a=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^2x。$$

在端点，$|x|=A$，速度为零，回复力和加速度大小最大；向平衡位置运动时，$|x|$、$|F|$、$|a|$ 都减小，速度大小增大；越过平衡位置后，速度方向暂时不变，但回复力和加速度已经反向，于是物体减速，直到另一端点。

消去相位还能得到

$$v^2=\omega^2(A^2-x^2)。$$

这说明在同一个位移处，速度大小相同；但速度方向可能相反，因为振子可能正在去往端点，也可能正在返回平衡位置。因此，题目只给 $x$ 而问速度方向，信息通常不足。若再告诉你“势能正在减小”或“正在靠近平衡位置”，方向才被确定。

2. 对称位置相同的量与不同的量

在 $+x$ 和 $-x$ 两个对称位置，速度大小相同，动能相同；回复力和加速度大小相同、方向相反。至于速度方向，必须结合运动过程判断。振子从 $+x$ 向平衡位置运动，与它从 $-x$ 向平衡位置运动，速度方向相反；从端点到这两个对称位置所用时间相同。

时间再向前推进半个周期，振子会来到关于平衡位置对称的状态：

$$x(t+T/2)=-x(t)，\quad v(t+T/2)=-v(t)，\quad a(t+T/2)=-a(t)。$$

因此位移、速度和加速度这些带方向的量都以 $T$ 为周期；速率、动能、势能只看大小或平方，经过 $T/2$ 就会重复一次。若一张能量图上相邻两个动能峰的间隔是 $0.30\ \text{s}$，振动周期应为 $0.60\ \text{s}$，不能直接把峰间距当作 $T$。同理，端点处速度为零的事件每半个周期出现一次，但“回到同一端点且状态相同”仍要等一个完整周期。

高考读图题很喜欢把“大小相同”和“矢量相同”放在一起。写“速度相同”意味着大小、方向都相同，只验证速率相等还不够；写“加速度相同”也要检查位移符号。阅卷中常见的失分并非公式不会，而是没有把方向写全。

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六、机械能在两只“口袋”之间搬家

理想水平弹簧振子运动时，弹性势能与动能不断转化。端点速度为零，动能最小，弹性势能最大；平衡位置弹簧形变量为零，弹性势能最小，动能最大。若忽略阻力，以弹簧和振子组成的系统为研究对象，机械能保持不变。

对水平弹簧振子，取平衡位置为弹性势能零点，有

$$E=\frac12kA^2，\qquad E_p=\frac12kx^2，\qquad E_k=\frac12k(A^2-x^2)。$$

所以振幅变为原来的两倍，总机械能变为原来的四倍；但在一次既定振动中，总能量不随位置改变。竖直弹簧振子也能用同样的能量图像理解，不过势能应包含重力势能和弹性势能，不能只盯着弹簧形变量。

若问 $x=A/2$ 时的动能占总能量多少，先别凭“走到一半”猜成一半。势能占比为 $x^2/A^2=1/4$，动能占比自然是 $3/4$。能量随位移平方变化，这个平方正是题目最爱藏起来的地方。

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七、弹簧振子模型怎样落到方程上

1. 水平与竖直模型其实共用一条主线

水平光滑面上，取弹簧原长处为平衡位置，位移为 $x$ 时合力 $F=-kx$，所以

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}，\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}。$$

竖直悬挂时，先由静止平衡求伸长量 $\Delta l_0$：

$$k\Delta l_0=mg。$$

再从这个平衡位置量位移 $x$。重力与平衡时的那部分弹力抵消，剩余合力仍为 $F=-kx$，周期仍是 $2\pi\sqrt{m/k}$。重力改变了平衡位置，却不出现在理想竖直弹簧振子的周期公式中。

2. 多根弹簧先求等效劲度系数

质量为 $m$ 的物块夹在左右两根弹簧之间，平衡时两弹簧均可处于原长。物块向右移动 $x$，左弹簧拉它向左，右弹簧也推或拉它向左，回复力大小相加：

$$F=-(k_1+k_2)x。$$

因此等效劲度系数 $k_{\text{eq}}=k_1+k_2$，周期为 $T=2\pi \sqrt{m\mathrm{/}(k_{}}$。不要看到“两根弹簧”就条件反射套电阻串并联式；应让物块发生一个微小位移，直接看每根弹簧的形变量和力的方向。

面对不熟悉的装置，可以按同一思路处理：先找平衡位置，规定从平衡位置量出的 $x$；再让物体产生小位移，写沿振动方向的合力；若能化成 $F=-k_{\text{eq}}x$，它就在该条件下做简谐运动。接着由 $\omega=\sqrt{k_{\text{eq}}/m}$ 连接周期、图像、速度和能量。

还有一种题目不给位移图像，而给竖直弹簧上端力传感器的示数。传感器读到的是弹簧拉力，不是物块的合力。设向下偏离平衡位置 $x$ 时弹簧拉力为 $F_T$，则合力应由 $mg-F_T$ 得到；只有这个合力才满足与 $x$ 成正比、指向平衡位置。传感器示数最大时，物块通常在最低端而不是平衡位置；示数等于 时，物块经过平衡位置，但究竟向上还是向下还要看图线随时间的变化趋势。

复习中遇到“力的图像”先确认纵轴属于哪个力，是最重要的给分细节之一。把弹簧拉力直接写成回复力，会漏掉重力；把平衡位置误认成弹簧原长，又会让振幅和位移都错位。只要先把真实受力列清，再从平衡条件中消去恒定项，陌生装置通常仍会回到 $F=-kx$。

本章一直假定系统理想、振幅稳定，讨论的是自由的简谐运动。现实中的振动为什么会慢慢变弱？又为什么有人按固定节奏推动，振幅反而可能越来越大？这需要把阻力和外界周期作用纳入模型，下一章再继续追问。

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章末练习：先独立作答，再展开核对

1

关于简谐运动的判定，下列说法正确的是

A.只要物体来回运动就是简谐运动B.只要合力指向平衡位置就是简谐运动C.沿振动方向的合力满足F=-kx时物体做简谐运动D.回复力是一种独立于弹力和重力的新性质力

2

理想弹簧振子从正向端点向平衡位置运动时，下列量的大小逐渐减小的是

A.位移B.速度C.回复力D.加速度

提交

3

在x-t振动图像中，图线经过时间轴表示振子经过平衡位置，此时图线斜率的绝对值最大。

正确错误

4

某简谐运动的周期为0.50 s，其频率为____Hz，角频率为____rad/s。答案用逗号隔开。

提交

5. 振子在 $-6\ \text{cm}$ 与 $+6\ \text{cm}$ 之间做简谐运动，周期为 $0.80\ \text{s}$。它从正向端点开始运动，求 $0.20\ \text{s}$ 后的位置、一个周期内的路程和位移。

显示答案

$0.20\ \text{s}=T/4$，从正向端点出发经过四分之一周期首次到达平衡位置，所以 $x=0$。一个周期内路程为 $4A=24\ \text{cm}$，末状态回到出发点，位移为零。

6. 某简谐运动的表达式为 $x=0.08\cos(5\pi t)\ \text{m}$。求振幅、周期，并判断 $t=0$ 时振子的位置和速度。

显示答案

$A=0.08\ \text{m}$，$\omega=5\pi\ \text{rad/s}$，故 $T=2\pi/\omega=0.40\ \text{s}$。$$ 时 ，振子在正向端点，速度为零。

7. 振子满足 $x=A\cos(\omega t+\varphi)$。已知 $t=0$ 时它经过平衡位置并沿正方向运动，写出一种满足条件的初相，并说明为什么仅由 $x(0)=0$ 不能唯一确定初相。

显示答案

可取 $\varphi=-\pi/2$，此时 $x(0)=0$，且 $v(0)=-A\omega\sin(-\pi/2)=A\omega>0$。只由 还可能得到 ，后者对应沿负方向经过平衡位置，因此还要用速度方向筛选。

8. 某振子从途中一点出发，经过 $T/4$。能否直接断定它的路程等于振幅 $A$？经过一个完整周期呢？

显示答案

不能。四分之一周期内的路程依赖出发相位，只有从端点或平衡位置出发时才恰为 $A$。无论从哪个状态开始，一个完整周期都会遍历两端并回到原状态，路程为 $4A$。

9. 一质量为 $0.20\ \text{kg}$ 的物块悬挂在劲度系数为 $80\ \text{N/m}$ 的竖直轻弹簧下端。取 $g=10\ \text{m/s}^2$。求静止时弹簧伸长量和小幅振动周期。

显示答案

静止时 $k\Delta l_0=mg$，所以 $\Delta l_0=0.20\times10/80=0.025\ \text{m}$。从平衡位置量位移后合力为 ，故 ，约为 。

10. 质量为 $m$ 的物块位于光滑水平面上，左右分别连接劲度系数为 $k_1$、$k_2$ 的轻弹簧，两弹簧另一端固定。证明物块在平衡位置附近的周期为 $2\pi\sqrt{m/(k_1+k_2)}$。

显示答案

设物块从平衡位置向右位移 $x$，两根弹簧对物块产生的回复效果都向左，合力为 $F=-(k_1+k_2)x$。因此 $k_{\text{eq}}=k_1+k_2$，由弹簧振子周期公式得 。

11. 理想水平弹簧振子的振幅为 $A$。当它位于 $x=A/2$ 处时，弹性势能和动能分别占总机械能的多少？

显示答案

$E=\tfrac12kA^2$，$E_p=\tfrac12kx^2=\tfrac12k(A/2)^2=E/4$，所以弹性势能占 ，动能占 。不能用位移占振幅的一半推出能量也占一半，因为势能与位移平方成正比。

12. 某简谐振子在 $x=+3\ \text{cm}$ 处的速度大小为 $0.40\ \text{m/s}$。再次经过同一位置时，速度、加速度和动能与前一次相比有何关系？

显示答案

再次经过同一位置时，速度大小仍为 $0.40\ \text{m/s}$，但通常方向相反；加速度由 $a=-\omega^2x$ 唯一确定，因此大小和方向都与前一次相同；动能只由速度大小决定，也相同。这里“速度大小相同”不能写成“速度相同”。