第 7 章　波的传播、干涉、衍射与多普勒效应

站在操场边，你听见远处广播里的音乐，并不会看见一团空气从音箱一路跑到耳边；把两只音箱同时打开，声音也不会像两辆小车那样撞在一起后各自停下。波传播的不是介质本身，而是振动状态和能量。上一章已经把一列波的形成、波长和波动图像讲清楚了，这一章要追问的是：两列波相遇会怎样，波遇到孔缝和障碍物会怎样，以及为什么移动的声源会让听到的音调改变。

一、两列波相遇，不会互相“撞坏”

1. 相遇时叠加，相遇后继续传播

在一根长绳的两端各抖出一个脉冲，一个向右走，一个向左走。你可能会把它们想成两团水，猜它们相撞后会混在一起。实际观察却很干脆：重叠的短暂时刻，绳上呈现一个合成形状；随后两个脉冲又以原来的形状和速度分开，好像彼此穿了过去。

原因藏在介质质点的运动里。两列波都传到某个质点时，每列波都想让它产生一个位移，质点的实际位移等于这些位移的矢量和；对于同一直线上的横向振动，就是带正负号的代数和。与此同时，每列波仍按自己原来的传播规律前进。这就是波的叠加原理。

叠加只发生在两列波同时到达的区域。假如左侧脉冲已经越过某点，而右侧脉冲还没传到，这个点当然不会凭空出现“合波”。做时空范围题时，可以先画出各列波在给定时刻覆盖的区间，取它们的重合部分，再在相同横坐标处逐点相加。这里加的是位移，不是把两个波形的横坐标、传播距离或波速相加。

注意，“互不影响”指两列波穿过重叠区后仍保持各自的传播特征，并不是说重叠时介质质点没有变化。恰恰相反，重叠区的实际位移就是各分波位移之和，可能更大，也可能更小。

2. 加强和减弱要看同一时刻的振动方向

如果两列波到达同一点时，都使质点向上偏离平衡位置，合位移会变大；一列使它向上、另一列使它向下，合位移会变小。两列振幅都为 $A$ 的波同向叠加时，合位移的振幅可达 $2A$；等大反向叠加时，某一时刻的合位移可以为零。

这里有个很容易踩的坑：某点此刻合位移为零，不等于这个点一定是“振动减弱点”。一个正在经过平衡位置、速度很大的质点，位移也为零。判断持续的加强或减弱，要看两列波到达该点后的相位关系是否始终固定，不能只截取一张波形快照。

现在先想一个问题：两列振幅分别为 $3\ \text{cm}$ 和 $2\ \text{cm}$ 的波在某点始终反相，这个点会完全静止吗？

不会。两列波反相时振幅相减，合振幅为 $|3-2|=1\ \text{cm}$。只有两列波振幅相等且始终反相，理想情况下合振幅才为零。高考题写“减弱”时，不要擅自改写成“静止”；是否完全抵消，还要检查振幅是否相等。

如果两列同频简谐波在某点分别写成

$$y_1=A_1\sin\omega t,\qquad y_2=A_2\sin(\omega t+\varphi),$$

合振动仍是同频简谐振动，合振幅满足

$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\varphi}.$$

这个式子不必脱离情境硬背，它只是把“相位相同就尽量相加、相位相反就尽量相减”写得更精确。当 $\varphi=0$ 时，$A=A_1+A_2$；当 $\varphi=\pi$ 时，。相位差介于两者之间，合振幅也就在最大值和最小值之间。这样再看“加强”和“减弱”，就不会误以为只有完全相加或完全抵消两种状态。

二、稳定干涉图样从哪里来

1. 不是任意两列波都能形成稳定干涉

把两支频率略有不同的音叉同时敲响，你会听见声音一会儿强、一会儿弱，但强弱还在随时间变化。两列波当然发生了叠加，却没有形成固定不动的加强区和减弱区。要让空间中出现稳定的干涉图样，两列波必须具有相同频率、恒定的相位差；对横波，还要求参与叠加的振动方向相同。满足这些条件的波源叫作相干波源。

“频率相同”还不够。两个人各自按同样节拍拍水，如果起拍时刻不断漂移，到某点的相位关系也会不断改变，加强区和减弱区就会来回移动。实验中常让同一个振源同时带动两个波源，目的正是把频率和相位关系一起锁住。相干条件说的是波源之间的稳定联系，不是要求两波源处处同相；它们保持一个不随时间变化的非零初相差，同样能形成稳定图样，只是加强线和减弱线的位置会随之移动。

图样稳定并不表示水面冻结了。加强线上的质点仍在来回振动，它可能在波峰、平衡位置或波谷；减弱线上的质点也未必完全静止。所谓“加强线”，是指这些位置的合振幅较大；所谓“减弱线”，是指合振幅较小。两者描述的是振幅的空间分布，不是某一瞬间的位移正负。

2. 用路程差追踪相位差

两列同频波从两个波源出发，到某个观察点走过的路程不同。多走一个完整波长，振动状态恰好又绕回一周；多走半个波长，振动状态恰好相反。因此，几何上的路程差可以翻译成振动的相位差。

设两波源到观察点的路程分别为 $r_1$、$r_2$，取路程差的大小

$$\Delta r=|r_1-r_2|.$$

若两波源同相振动，且两列波在介质中的波长均为 $\lambda$，则

$$\Delta r=k\lambda\quad(k=0,1,2,\ldots)$$

时两列波到达该点同相，振动加强；

$$\Delta r=\left(k+\frac12\right)\lambda$$

时两列波到达该点反相，振动减弱。若两个波源本来反相，上述两类结论正好互换。

更一般地说，应把波源的初相差和传播造成的相位差一起计算，再看总相位差是 $2k\pi$ 还是 $(2k+1)\pi$。路程差判据只是“同相源”或“反相源”情形下的快捷写法，离开波源初相条件就直接套公式，是干涉题最常见的失分原因之一。

例如，两同相波源发出的水波波长为 $0.40\ \text{m}$。某点到两波源的距离分别为 $2.10\ \text{m}$ 和 $1.50\ \text{m}$，路程差为 $0.60\ \text{m}=1.5\lambda$，所以该点是振动减弱点。若题目把两波源改成反相，这个点就变成振动加强点。

还有一类题不只问一个点，而要数某条线段上有多少个加强点。先别急着列一长串整数：几何位置会限制路程差的取值。若两波源间距为 $d$，任意点到两源的距离差都满足 $\Delta r\le d$；在线段内部，端点是否计入、波是否都已到达，也会改变答案。稳妥的做法是先由几何范围圈出可能的 $\Delta r$，再与 $k\lambda$ 或 $(k+\tfrac12)\lambda$ 对照，最后把每个路程差对应的空间位置数清楚。只数允许的 ，却不检查一个 对应一个点还是两个对称点，是这类题最隐蔽的漏计来源。

3. 加强区与减弱区都保持周期振动

在理想的等振幅同相双波源模型中，中垂线上的各点到两源等距，路程差为零，因此是一条加强线。离开中垂线后，路程差连续变化，便会依次出现加强线和减弱线。你若只数某一时刻画出的“波峰交点”，往往会漏掉波谷与波谷相遇的加强位置；波峰叠波峰和波谷叠波谷都属于加强。

主动降噪耳机正是在叠加上做文章：它产生与噪声同频、在目标位置近似反相的声波，使耳道附近的合振幅减小。不过真实噪声由许多频率组成，位置一变，传播路程和相位也会变化，所以“处处完全无声”并不是简单叠加就能做到的。

三、波为什么能绕到障碍物后面

1. 孔缝越窄，波越容易铺开

门只开一条缝，走廊里的人仍能听见屋内讲话；水波穿过窄缝后，也不会只留下与缝同宽的一条笔直水带，而会向缝后两侧展开。波绕过障碍物或通过孔缝继续传播的现象叫作波的衍射。

同一种波通过不同宽度的缝，效果为何差别这么大？关键不在“缝到底有几厘米”，而在缝宽 $d$ 与波长 $\lambda$ 的相对大小。当 $d$ 与 $\lambda$ 相差不多，或 $d$ 比 $\lambda$ 更小时，波通过缝后会明显向各方向展开；当 $d\gg\lambda$ 时，波主要向前传播，衍射不明显。

这也给出一个可操作的实验办法：缝宽保持不变，改变振源频率。若介质条件不变，波速近似不变，由 $\lambda=v/f$，降低频率会增大波长，使 $d/\lambda$ 变小，衍射更明显；提高频率会缩短波长，波在缝后更集中。注意，改变频率本身不是衍射强弱的直接判据，它是先改变波长，再改变波长与孔缝尺度的比例。

注意措辞：“不明显”不等于“不发生”。衍射是波的普遍现象，只是当障碍物或孔的尺寸远大于波长时，绕射部分相对很弱，宏观上看起来接近直线传播。

2. 障碍物的大小也要和波长比较

同样的道理也适用于障碍物。长水波遇到一块尺寸不大的石头，可以很明显地绕到石头背后；遇到一面尺寸远大于波长的长墙，墙后会留下较清楚的“影区”。因此，能不能观察到明显衍射，要比较障碍物或孔的尺寸与波长，不能只凭障碍物看起来“大不大”。

你可能会问：声音很容易绕过门缝，为什么日常观察中某些波看起来更“直”？因为可听声波的波长常能与门窗、墙角的尺度相比，明显衍射并不难出现。这里比较的始终是比例 $d/\lambda$，而不是给某一种波贴上“会衍射”、另一种波贴上“不会衍射”的标签。

四、靠近的鸣笛声为什么更尖

1. 变的是接收频率，不是声源频率

救护车从远处靠近时，听到的音调偏高；越过身边远离后，音调突然降低。司机并没有在经过你的一瞬间换一个音符。声源每秒振动次数仍然相同，变化的是你每秒接收到的完整波的个数，这种现象叫作多普勒效应。

声源向前运动时，相邻两个波面发出期间，声源自己也向前走了一段，所以前方波长变短、后方波长变长。介质没有改变，声波相对介质的传播速度 $v$ 不变；由 $f=v/\lambda$，前方观察者接收到的频率增大，后方观察者接收到的频率减小。

如果声源不动、观察者迎着波走，空间中的波长没有改变，但观察者单位时间遇到的波面更多，接收频率同样升高。两种情况听起来都“变尖”，内部原因却不完全相同：运动声源改变介质中前后方的波长，运动观察者改变自己扫过波面的速率。

可以从一个周期内发生的事情把这两个结论拆开。声源周期为 $T$，若它以速度 $v_s$ 向观察者运动，在连续发出两个波峰的时间里，第一个波峰向前走了 $vT$，声源自己也向前走了 $v_sT$，所以前方相邻波峰的距离是

$$\lambda'=(v-v_s)T.$$

静止观察者接收它们的时间间隔为 $\lambda'/v$，于是接收频率为 $fv/(v-v_s)$。若声源静止、观察者以 $v_o$ 迎着波走，波长仍是 ，但波面相对观察者的接近速度变成 ，所以单位时间遇到的波面数变为原来的 倍。把两个影响放在一起，才得到下面的通用表达式。

2. 一维声波计算先把正方向说清

在介质静止、声源和观察者沿二者连线运动的常规模型中，可以写成

$$f'=f\frac{v+v_o}{v-v_s}.$$

这里 $f$ 是波源频率，$f'$ 是接收频率，$v$ 是波相对介质的速度；约定观察者向波源运动时 $v_o>0$，波源向观察者运动时 $$。若运动方向相反，相应速度就取负值。这样，彼此接近会让分子增大或分母减小，得到 ；彼此远离则得到 ，计算结果和直觉能互相检查。

例如声速取 $340\ \text{m/s}$，频率为 $1700\ \text{Hz}$ 的声源以 $20\ \text{m/s}$ 靠近静止观察者，接收频率为

$$f'=1700\times\frac{340}{340-20}\approx1806\ \text{Hz}.$$

若改成声源静止、观察者以同样的 $20\ \text{m/s}$ 靠近，则

$$f'=1700\times\frac{340+20}{340}=1800\ \text{Hz}.$$

两个情形的接近速度相同，结果却略有不同。这提醒你：机械波有介质作为参考，不能只把“相对速度”塞进一个未经检查的比例式。上述公式还默认速度沿连线、介质静止，并限于普通的亚声速情境；题目给出其他条件时，要重新分析波面间距和观察者遇到波面的速率。

声源斜向掠过观察者时，前面的一维公式不能直接套用。接近阶段接收频率通常偏高，远离阶段通常偏低；若要判断中间过程，必须依据实际到达波面在发射时刻的传播方向和有关速度分量分析，不能把接收时刻的速度在当前连线上的投影直接代入一维公式。日常听到车辆驶过时音调快速下降，只表明接收状态由接近一侧转向远离一侧，并不意味着声速突然变化或波源频率必然改变。

3. 从测速到医学成像

雷达测速、超声测速和彩色多普勒超声都在读取频率偏移。以固定超声探头检测血流为例，血细胞相对探头靠近或远离，会使反射回来的超声频率发生偏移；仪器据此判断流动方向并估计速度。实际反射过程相当于经历两次频率变化，具体算法由设备完成，高中阶段先抓住“靠近时接收频率升高、远离时降低”这条物理主线。

波能叠加，能绕过障碍物，运动还会改变接收频率；这些现象让“波”不再只是一条会平移的正弦曲线。下一章把视线转向光在不同介质交界面上的传播：当传播速度改变时，光的路径为何会折转，又在什么条件下会全部返回原介质。

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章末练习：先独立作答，再展开核对

1

两列绳波脉冲相遇并完全重叠后继续传播。下列说法正确的是

A.两列波相撞后都消失B.重叠区质点位移等于两分波位移的矢量和C.相遇后两列波交换传播方向D.只有同向脉冲才能叠加

2

两列横波要形成稳定干涉图样，通常需要满足的条件有

A.频率相同B.相位差恒定C.振动方向相同D.振幅必须相等E.波速必须等于零

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3

障碍物尺寸远大于波长时，波绝对不会发生衍射。

正确错误

4

两同相相干波源发出波长为0.60 m的水波。某点到两源的路程差为0.90 m，该点属于

A.振动加强点B.振动减弱点C.一定静止的点D.无法传播到的点

5. 两个同相波源发出的水波波长为 $0.50\ \text{m}$。某点到两波源的距离分别为 $3.25\ \text{m}$ 和 $2.00\ \text{m}$，判断该点是加强点还是减弱点。

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路程差 $\Delta r=3.25-2.00=1.25\ \text{m}=2.5\lambda$，是半波长的奇数倍。对同相波源，该点是振动减弱点。

6. 两列频率相同、相位始终相反的波在某点的振幅分别为 $5.0\ \text{cm}$ 和 $3.0\ \text{cm}$。求该点的合振幅，并说明它是否静止。

显示答案

反相叠加时合振幅为 $|A_1-A_2|=2.0\ \text{cm}$，因此该点仍做振动，并不静止。只有两振幅相等时才可能在理想条件下完全抵消。

7. 一列频率为 $500\ \text{Hz}$ 的声波在静止空气中传播，观察者以 $10\ \text{m/s}$ 迎着波走来，声速取 $340\ \text{m/s}$，声源静止。求观察者接收到的频率。

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观察者向波源运动，取 $v_o=10\ \text{m/s}$，$v_s=0$。$f^{\mathrm{\prime }}=f(v+v_o)\mathrm{/}v=500$，大于波源频率，与“接近时音调升高”的定性判断一致。

8. 静止观察者前方有一频率为 $680\ \text{Hz}$ 的声源，以 $20\ \text{m/s}$ 向观察者运动，声速取 $340\ \text{m/s}$。求接收频率。

显示答案

波源向观察者运动，$v_s=20\ \text{m/s}$，$v_o=0$。$f^{\mathrm{\prime }}=fv\mathrm{/}(v-v_s)=680$。

9

关于机械波的多普勒效应，下列说法正确的是

A.声源靠近观察者时，声源自身频率一定增大B.接收频率变化时，介质中的波速一定变化C.观察者向静止声源运动时，单位时间遇到的波面数增多D.波源运动和观察者运动即使接近速度相同，接收频率也可能不同

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10. 主动降噪耳机产生一列与单频噪声振幅相等、频率相同的声波。要使耳道入口处的声音尽可能减弱，还需要满足什么相位条件？为什么人在别处未必同样安静？

显示答案

两列声波到达耳道入口时应近似反相，使合振幅尽可能小。换一个位置后，两列波的传播路程差可能改变，抵达时的相位差也随之改变，因此未必仍能同样减弱。

11. 分别判断下列现象主要体现哪种波现象：两列水波在水槽中形成固定的强弱条纹；隔墙仍能听到墙角另一侧说话；火车鸣笛驶过站台时音调先高后低。

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固定强弱条纹体现波的干涉；隔着墙角仍能听见声音体现声波的衍射；驶过站台时音调改变体现多普勒效应。

12. 两同相波源位于一条直线上，相距 $4.0\ \text{m}$，发出波长为 $1.0\ \text{m}$ 的同频波。在线段中点处以及距两波源分别为 $1.5\ \text{m}$、$2.5\ \text{m}$ 的位置，分别判断加强或减弱。

显示答案

中点到两源等距，$\Delta r=0$，是加强点。另一位置的路程差 $\Delta r=2.5-1.5=1.0\ \text{m}=\lambda$，也是加强点。加强位置不只有中垂线上的点。

13. 固定超声探头向血流发射频率稳定的超声波。若测得反射回波频率高于发射频率，应如何判断血流沿探头视线方向的运动趋势？这一判断是否意味着超声在人体组织中的传播速度变大？

显示答案

回波频率升高表明产生反射的血细胞总体上有靠近探头的速度分量。多普勒频移不意味着介质中的波速变大；在同一组织条件下，超声传播速度主要由介质性质决定。