第 8 章　光的折射、全反射与测量实验

站在泳池边往下看，池底好像被“抬高”了；把筷子斜插进水里，水面附近又像是折断了。筷子当然没有真的折，池底也没有上浮。真正改变方向的是从物体到达人眼的光。

如果只背一句“光从空气进入水会靠近法线”，这些现象还解释不透：什么叫靠近？偏多少？反过来从水进入空气又怎样？更麻烦的是，当入射角继续增大，折射光有时会突然消失。下面就沿着一条光线，把这些问题接起来。

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一、光到达介质分界面以后

1. 反射与折射常常同时发生

一束光从一种介质射向另一种介质的分界面，通常有一部分返回原介质，形成反射光；另一部分进入第二种介质，形成折射光。入射光线与法线的夹角叫入射角，反射光线与法线的夹角叫反射角，折射光线与法线的夹角叫折射角。

注意，三个角都从法线量起，不是从界面量起。光线与界面夹角为 $30^\circ$，它与法线的夹角就是 $60^\circ$。光路题里最常见的失误，往往不是不会用公式，而是一开始就把这个余角当成了入射角。

反射遵循反射定律：反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线与入射光线分居法线两侧，并且反射角等于入射角。折射光线、入射光线和法线也在同一平面内，折射光线与入射光线分居法线两侧，但折射角一般不等于入射角。

现在想一想：光垂直射到界面上，会不会折射？会发生折射现象，只是入射角和折射角都为零，传播方向不偏转。不能因为光路看起来是一条直线，就说“没有进入另一种介质”。

2. 折射定律把“偏多少”说清楚

对一定频率的光，在两种均匀透明介质的平面分界面上，有

$$n_1\sin i=n_2\sin r,$$

其中 $n_1$、$n_2$ 分别是入射介质和折射介质的折射率，$i$ 是入射角，$r$ 是折射角。也可写成

$$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n_2}{n_1}=n_{21}.$$

这里的 $n_{21}$ 是介质 2 相对介质 1 的折射率。若光由真空射入某介质，该介质的绝对折射率为

$$n=\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{c}{v},$$

$c$ 是光在真空中的速度，$v$ 是同频率光在该介质中的速度。透明介质中的光速小于真空光速，所以通常 $n>1$。空气的折射率很接近 1，高中题中常近似按真空处理。

折射率描述介质对某频率光的传播作用，它由介质和光的频率共同决定，不由入射角或折射角决定。改变入射角会改变折射角，却不会把同一块玻璃对同一种单色光的折射率改变。光跨越界面时频率不变，速度和波长随介质改变。

若 $n_2>n_1$，由折射定律可知 $r<i$，折射光靠近法线；若 $n_2<n_1$，则 ，折射光远离法线。所谓“光密介质”和“光疏介质”就是比较折射率后的相对称呼，跟物质的质量密度不是一回事。水的质量密度比某些油大，并不能据此判断它们对某种光谁是光密介质。

读光路图时，可以先不碰计算器，只比较两侧折射率。若光进入折射率更大的介质，折射角必小于入射角；算出的结果若与这个方向判断相反，通常是把两个角写颠倒了。比如从水射入玻璃，不能因为“水也是光密介质”就断定光远离法线，光疏与光密必须针对这两种介质比较。绝对折射率都大于 1，并不妨碍水相对玻璃成为光疏介质。

同一介质对不同频率的光，折射率可能略有差异。因此白光通过棱镜时，各色光偏折程度不同；但在本章的单色光计算中，如果题目没有给色散信息，就把该单色光对应的 $n$ 当作确定常量。不能把“不同颜色折射率不同”扩展成“同一光线每次入射的折射率都不同”。

来算一个最短的例子。某单色光从空气以 $45^\circ$ 入射玻璃，折射角为 $30^\circ$，玻璃的折射率为

$$n=\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\sqrt2.$$

若光改从玻璃沿原来的折射光线反向射出，它会沿原来的入射光线返回，这叫光路可逆。直接把折射定律的两种介质对调也能看出这一点。光路可逆并不是说入射角仍为 $45^\circ$；反向传播时，原来的 $30^\circ$ 成了入射角，原来的 $45^\circ$ 成了折射角。

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二、折射光路中的常见几何模型

1. 平行玻璃砖只让光线侧移

光斜着穿过一块上下表面平行的玻璃砖，会连续发生两次折射。第一次从空气进入玻璃，光线靠近法线；第二次从玻璃回到空气，光线远离法线。由于两界面的法线平行，两次使用折射定律后可知，最后的出射角等于最初的入射角，因此出射光线与入射光线平行，却不在同一直线上。

设玻璃砖厚度为 $d$，入射角为 $i$，砖内折射角为 $r$，侧移量可由几何关系写成

$$\Delta x=\frac{d\sin(i-r)}{\cos r}.$$

公式不是本章最值得死背的部分，更重要的是先画准两条平行法线：玻璃砖越厚，侧移通常越明显；垂直入射时 $i=r=0$，侧移为零；“出射光平行于入射光”依赖两界面平行，换成棱镜就不能照搬。

若题目给的是光在玻璃内的传播时间，还要把几何路程和介质中光速连起来。玻璃内光线与法线夹角为 $r$，厚度为 $d$，则砖内路程为 $L=d/\cos r$，传播时间

$$t=\frac{L}{v}=\frac{nd}{c\cos r}.$$

这里的 $d$ 是沿法线量出的厚度，不是光线走过的斜边。把 $d$ 直接除以 $c$ 会同时漏掉“路程变长”和“介质中光速变慢”两个因素。

2. 眼睛看到的是折射光的反向延长线

水中的小灯发出的两条光线射出水面后远离法线。眼睛习惯按光在眼前的直线方向反向寻找物体，两条折射光的反向延长线在水中较浅处相交，于是看到一个被抬高的虚像。

若物体真实深度为 $h$，水中光线的入射角为 $i$，空气中的折射角为 $r$，从几何图可得虚像深度

$$h'=h\frac{\tan i}{\tan r}.$$

在接近竖直俯视、光线与法线夹角很小时，$\tan\theta\approx\sin\theta$。对折射率为 $n$ 的介质，从空气中观察其中的物体，才可近似写成

$$h'\approx\frac{h}{n}.$$

注意，这是近轴、平面界面下的近似关系。斜着看、角度很大，或者界面是曲面，都应回到折射定律和几何关系，不能把“真实深度除以折射率”当万能公式。

3. 圆弧界面的法线一定过圆心

遇到半圆形玻璃砖、圆柱或球形透明体，先别急着套正弦。圆弧上任一点的法线就是该点与圆心的连线。若光线沿半径射到圆弧面，它是垂直入射，方向不发生偏折；真正需要列折射定律的，可能只剩另一个平面界面。

这类题的稳妥顺序是：先标圆心、连半径作法线，再从法线量角，最后判断是否折射或全反射。高考光学综合题经常把难度藏在几何图里，公式本身只有一行；若把圆弧切线误当法线，后面的计算会整条偏离。

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三、折射光消失以后：全反射

1. 临界角是折射光贴着界面的状态

让光从玻璃射向空气并逐渐增大入射角，折射角比入射角更大，而且增长得更快。当折射角达到 $90^\circ$ 时，折射方向沿着界面，此时的入射角叫临界角 $C$。若入射介质折射率为 $n_1$、折射介质折射率为 $n_2$，且 ，由折射定律得

$$n_1\sin C=n_2,qquad \sin C=\frac{n_2}{n_1}.$$

从折射率为 $n$ 的介质射向空气时，常写成

$$\sin C=\frac1n.$$

当 $i<C$，既有反射光又有折射光；当 $i=C$，折射光沿界面传播，是判断边界的临界状态；当 $i>C$，折射定律要求的 $\sin r$ 会大于 1，不再有实数折射角，光全部返回原介质，发生全反射。

有些题不直接给入射角，而是把光放进直角三棱镜、半圆玻璃砖或液滴里。此时临界角只负责提供一道“门槛”，真正决定能否越过门槛的是几何关系。先从界面法线量出内部入射角，再比较 $i$ 与 $C$；把棱镜顶角或光线与界面的夹角直接拿去和 $C$ 比，都是把几何量认错了。若光在多个界面来回反射，还要对每一次撞击分别判断，前一面全反射不代表后一面也必然全反射。

现在判断一下：玻璃折射率增大，临界角会增大还是减小？由 $\sin C=1/n$ 可知，$n$ 越大，$C$ 越小。容易错的原因是把“更容易偏折”误听成“需要更大的角度”；实际上临界角越小，越容易达到全反射条件。

2. 全反射棱镜与光导纤维

等腰直角玻璃棱镜能利用全反射使光路转过 $90^\circ$ 或 $180^\circ$。与镀银镜面相比，全反射在理想情况下反射率高，也不需要在反射面涂金属层。解棱镜题时仍要先算光线到各界面的入射角，再与临界角比较，不能看到“玻璃棱镜”就自动画全反射。

光导纤维的芯层折射率略大于包层。合适方向进入芯层的光到达芯层—包层边界时，入射角超过临界角，于是连续全反射，沿弯曲光纤向前传播。

“芯层折射率大于包层”只是必要条件之一。如果光在边界处的入射角不够大，它仍会进入包层并泄漏。通信光纤、医用内窥镜和光纤传感都利用了这种约束光线的能力；现实光纤还会有吸收、散射等损耗，所以“全反射”不等于信号可以无限远、毫无衰减地传输。

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四、学生实验：测量玻璃的折射率

看一束光穿过玻璃砖，我们只能看到玻璃和大头针，光在玻璃内部的路径并没有画在纸上。实验真正的任务不是直接“看见”内部光线，而是用四枚大头针把入射光与出射光的方向留下，再由几何作图恢复折射光路。

1. 实验原理与器材

光从空气斜射入玻璃时，若入射角为 $i$、折射角为 $r$，则

$$n=\frac{\sin i}{\sin r}.$$

需要长方体玻璃砖、木板、白纸、图钉、四枚大头针、直尺或三角板、量角器或圆规、铅笔。玻璃砖的两折射面应平行，边缘清楚且宽度适当；大头针要直，插针时必须竖直纸面。

2. 插针法怎样把光路留下

这里“挡住”利用的是视差消失：当眼睛左右稍微移动，若两针及像没有相对移动，说明它们在同一视线上。$P_3$ 要挡住的是 $P_1$、$P_2$ 的像，不是隔着玻璃直接看到的针杆。两针间距太小，连线方向对针孔位置的微小误差会非常敏感。

3. 数据既可以求平均，也可以作图

最直接的处理是每组分别计算

$$n_k=\frac{\sin i_k}{\sin r_k},qquad \bar n=\frac{n_1+n_2+\cdots+n_m}{m}.$$

记录表中应保留原始的 $i$、$r$，再列出 $\sin i$、$\sin r$ 和每组 $n$。如果某一组偏离其余数据很多，不能为了“平均值好看”直接删掉；应回看该组是否存在针未竖直、遮挡关系没有对准、玻璃砖移动或角度读错等可说明的异常。没有明确依据时，应保留数据并如实讨论离散程度。

还可令纵轴为 $\sin i$、横轴为 $\sin r$。由 $\sin i=n\sin r$，拟合直线应近似通过原点，斜率就是 $n$。若把两个坐标轴交换，斜率会变为 $1/n$；高考实验题里写“斜率就是折射率”之前，必须先看清横纵轴。

没有量角器时可以用单位圆法：以 $O$ 为圆心作任意相同半径的圆，分别与入射光线、折射光线相交；两交点到法线的垂直距离分别正比于 $\sin i$、$\sin r$，距离之比就是折射率。圆的半径不必真取 1 个单位，“单位圆法”要的是同圆半径在比值中约去。

4. 误差往往从一条线开始

为了减小误差，$P_1P_2$、$P_3P_4$ 的距离都应适当大，入射角宜较大但不能过分接近 ，玻璃砖也不宜太窄。入射角太小时，折射角与入射角差别不明显，作图的一点点偏差会在比值中被放大；角度过大时，透过光可能过弱，像也不容易瞄准。

界面必须用直尺描出，实验过程中玻璃砖位置不能移动。若第一界面正确，而第二界面被画得比真实位置更远，恢复出的砖内光线通常更偏离法线，测得的 $r$ 偏大，因而 $n=\sin i/\sin r$ 偏小；若第二界面画得更近，则趋势相反。若边界发生倾斜或针位误差方向不确定，就不能硬猜“必然偏大”或“必然偏小”，应根据实际光路逐图判断。

操作题的给分点通常落在“白纸固定、针竖直、两针距离适当大、用直尺描界面、多次测量”这些细节上。它们看起来不像公式，却决定了光线方向能否可靠恢复。做误差题时也别背孤立结论：先画真实光路，再把错误边界或错误针位放进图中，看 $i$、$r$ 怎样变，最后才判断 $n$ 的变化。

到这里，光线模型已经解释了折射、虚像和全反射。但当两束光相遇时，只靠一条条独立光线就不够了。下一章将从光的干涉、衍射与偏振出发，看到光作为波的另一面。

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章末练习：先独立判断，再展开核对

1

关于光在两种透明介质平面分界面上的反射与折射，下列说法正确的是

A.入射角是入射光线与界面的夹角B.折射率越大，光在介质中的速度一定越大C.反射角始终等于入射角D.只要入射角足够大就一定发生全反射

2

同一单色光从空气斜射入玻璃时，下列判断正确的是

A.光的频率不变B.光的传播速度减小C.折射角大于入射角D.光路反向传播时仍沿原路返回

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3

光从折射率较大的介质射向折射率较小的介质，在临界角状态下折射方向沿界面；继续增大入射角才进入稳定的全反射状态。

正确错误

4. 某单色光从空气以 $45^\circ$ 入射玻璃，折射角为 $30^\circ$。求玻璃对该光的折射率。

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由折射定律，$n=\sin45^\circ/\sin30^\circ=\sqrt2\approx1.41$。两个角都必须相对法线读取。

5. 某玻璃对一种单色光的折射率为 $1.50$，真空光速取 $3.0\times10^8\ \text{m/s}$。求该光在玻璃中的速度。

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由 $n=c/v$ 得 $v=c/n=2.0\times10^8\ \text{m/s}$。折射率不是速度增大的倍数，而是真空光速与介质中光速之比。

6. 一束光斜穿过两表面平行的玻璃砖后回到空气。忽略多次反射，比较出射光与入射光的方向，并说明垂直入射时侧移如何。

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两界面平行，第二次折射抵消第一次折射造成的方向偏转，所以出射光与入射光平行，但斜入射时一般有侧移。垂直入射时两次都不偏折，侧移为零。

7. 水深 $1.20\ \text{m}$，水对空气的折射率取 $4/3$。从空气中接近竖直向下观察池底，估算池底的视深。

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近轴条件下 $h'=h/n=1.20/(4/3)=0.90\ \text{m}$。若斜视角度很大，应使用 $h'=h\tan i/\tan r$，不能直接除以折射率。

8. 折射率为 $1.50$ 的玻璃与空气相接。求玻璃射向空气时的临界角，并判断入射角为 $50^\circ$ 时是否全反射。

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$\sin C=1/1.50=2/3$，故 $C\approx41.8^\circ$。光从玻璃射向空气且 $50^\circ>C$，两个条件同时满足，会发生全反射。

9. 有人说：“光从水射向空气时，只要入射角比折射角大，就会全反射。”指出其中的问题。

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水的折射率大于空气，发生普通折射时应有折射角大于入射角，而不是相反。全反射的判断也不能比较$i$与$r$，应比较入射角与临界角；当$i>C$时才没有折射光。

10. 某光纤芯层折射率为 $1.48$，包层折射率为 $1.46$。光到达芯层—包层边界时入射角为 $82^\circ$。判断它能否在该处全反射。

显示答案

临界角满足 $\sin C=1.46/1.48$，得 $C\approx80.6^\circ$。芯层折射率较大，且 $82^\circ>C$，所以在该处发生全反射。只比较两折射率而不检查入射角是不完整的。

11. 用插针法测玻璃折射率时，为什么同一侧两枚大头针的距离要适当大？为什么不能用玻璃砖直接代替直尺描边？

显示答案

针距较大时，针孔位置的同样误差引起的连线方向误差较小。用玻璃砖直接描边容易在画线时推动玻璃砖，使实际界面与纸上界面不一致，应保持玻璃砖不动并用直尺画线。

12. 某实验得到三组数据：$(i,r)$ 分别为 $(30.0^\circ,19.5^\circ)$、$(45.0^\circ,28.1^\circ)$、。分别估算 并求平均值；若作纵轴 、横轴 的图像，斜率表示什么？

显示答案

三组比值约为 $1.50$、$1.50$、$1.50$，平均折射率约为 $1.50$。由 $\sin i=n\sin r$，纵轴为 $\sin i$、横轴为 时，拟合直线斜率表示玻璃折射率 ；若交换坐标轴，斜率则为 。