单摆、受迫振动与共振 | 自在学

第 5 章　单摆、受迫振动与共振

荡秋千时，胡乱推并不省力：有时你刚把人往前推，秋千却正往后回来，手上使了劲，振幅反而没怎么增加。可一旦踩准节奏，每次都在合适的时刻轻轻一推，秋千就能越荡越高。更有意思的是，把秋千拉开后完全不再推，它仍有自己的往复节奏；换一根更长的吊绳，这个节奏又会变慢。

这里藏着本章的三条线索：单摆为什么能近似看成简谐运动，它自己的节奏由什么决定；现实中的振动为什么会逐渐停下；外界反复“喂”给系统的力，又为什么会在某个节奏附近产生格外强烈的响应。

按固定节奏推动秋千，驱动力使系统形成稳定的受迫振动

一、单摆：看似简单，条件一点也不能少

1. 从摆动装置到理想模型

在一根细线下拴一个小球，让小球在竖直平面内来回摆动，这套装置很像单摆，却不一定已经满足物理模型的要求。理想单摆需要同时作出几项近似：摆线的质量与摆球相比可以忽略，摆线不可伸长，摆球的直径远小于摆长，悬点固定，摆动过程中阻力可以忽略。这样，摆球可视为质点，摆长就是悬点到摆球重心的距离。

摆球偏离平衡位置时受到重力和拉力。拉力始终沿摆线指向悬点，主要参与改变速度方向；真正沿圆弧切线把小球拉回平衡位置的是重力的切向分量。若偏角为 $\theta$ ，取偏离平衡位置的方向为正，则

F_{\text{回}}=-mg\sin\theta。

单摆的重力、拉力与沿圆弧切向的回复方向

你可能会盯着这条式子问：简谐运动要求回复力与位移成正比，而这里出现的是 $\sin\theta$ ，单摆怎么会是简谐运动？关键就在“小角度”。当 $\theta$ 很小并且用弧度表示时， $\sin\theta\approx\theta$ ；摆球沿圆弧相对最低点的位移大小又满足 $x=l\theta$ ，于是

F_{\text{回}}\approx-mg\theta=-\frac{mg}{l}x。

回复力终于有了 $F=-kx$ 的形式，所以单摆在偏角很小时做近似简谐运动。实验中常把最大偏角控制在 $5^\circ$ 左右或更小，这是一条实用的误差控制建议，并不是说 $5^\circ$ 内外存在一道自然界突然改变规律的“墙”。偏角越大， $\sin\theta\approx\theta$ 的误差越明显，理想周期公式的精度就越差。

单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受合力，也不是摆线拉力。小球沿圆弧运动还需要法向加速度，因此合力一般不会始终指向平衡位置。

2. 周期公式说了什么，也没说什么

在小角度近似成立时，单摆的周期为

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}。

式中 $l$ 是摆长， $g$ 是当地重力加速度。把公式平方后再比较，往往比直接盯着根号更清楚：

T^2=\frac{4\pi^2}{g}l。

同一地点，摆长变成原来的 $4$ 倍，周期变成原来的 $2$ 倍；摆长并非变成原来的 $2$ 倍就让周期也变成 $2$ 倍。摆长相同而重力加速度变为原来的 $1/4$ ，周期则变成原来的 $2$ 倍。周期与摆球质量无关，在小角度范围内也近似与振幅无关。

相同地点的短摆节奏快，长摆节奏慢

先想一个看起来很合理的办法：想让摆钟每天走得慢一些，换一个更重的摆球是否有效？答案是否定的，理想单摆的周期里没有质量。应该适当增大摆长，让每次摆动用时更长。复习题若故意同时改变摆球质量和摆长，质量常常就是用来干扰判断的；但现实装置若球太轻、体积太大，空气阻力相对影响会增强，这属于模型误差，不能反过来说理想周期由质量决定。

再看一个具体数值。某地 $g=9.8\ \text{m/s}^2$ ，摆长 $l=1.00\ \text{m}$ ，则

T=2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}\approx2.01\ \text{s}。

小球从最左端到最右端只经历半个周期，约为 $1.00\ \text{s}$ ；从最左端到最低点只经历四分之一个周期。看到“经过最低点两次”也要小心：相邻两次经过最低点，方向相反，时间间隔是 $T/2$ ，不是 $T$ 。

二、用单摆测量重力加速度

1. 把周期公式改造成测量方案

直接测重力加速度似乎需要研究很快的下落过程，单摆却把它变成了从容的周期测量。由

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

可得

g=\frac{4\pi^2l}{T^2}。

只要测出摆长和周期，就能算出当地的 $g$ 。器材通常包括铁架台和铁夹、约 $1\ \text{m}$ 长且不易伸长的细线、体积小而密度大的金属球、刻度尺、游标卡尺和停表。用铁夹固定悬点，是为了避免摆动中悬点滑动；选择小而重的球，是为了既接近质点，又减小空气阻力的相对影响。

摆长最容易量错。刻度尺通常先量悬点到摆线与球连接处的长度 $l_0$ ，游标卡尺再量球的直径 $d$ 。若连接点位于球面上方，摆长应为

l=l_0+\frac d2，

因为终点在球心，不在球的上表面，更不在球的下表面。

装好后还要做一次不带数据的检查：轻轻拨动摆球，观察悬点有没有移动、摆线有没有碰到支架、小球是否始终在同一竖直面内。若摆球逐渐绕成立体圆圈，继续多测几组并不会让模型自动变正确，应该先停下来重新释放。测量讲究的不是“数据越多越好”，而是每一组数据都对应同一个清楚的物理模型。

摆长应从悬点量到摆球球心

2. 为什么要在最低点累计计时

把摆球拉开一个小角度后由静止释放，不要顺手给它一个侧向推力，否则轨迹容易变成立体的圆锥摆。待摆动稳定后，让视线对准平衡位置，在小球同向经过最低点时开始计时，记录 $N$ 次全振动的总时间 $t$ ，周期为

T=\frac tN。

最低点附近速度最大，同样大小的位置判断误差引起的时间误差较小。一次周期约两秒，人的按表反应时间却可能有零点几秒；若只测一次，反应误差占比很大。累计 $30$ 至 $50$ 次全振动再除以次数，相当于把起止时刻误差分摊到许多个周期上。

经过最低点开始计时，并累计多个全振动

“数到 30”到底代表多少次全振动，不能靠口号判断。最稳妥的做法是把首次同向经过标记点记为起点，只数之后完整回到同位置、同方向的次数。若采用每次经过最低点都计数的方法，相邻记录只隔 $T/2$ ，就必须根据总间隔数换算，不能直接把读数当作全振动次数。

单摆应保持在同一竖直面内，避免形成圆锥摆

3. 公式法与图像法

假设测得摆长 $l=0.810\ \text{m}$ ， $40$ 次全振动用时 $72.0\ \text{s}$ ，则

T=\frac{72.0}{40}\ \text{s}=1.80\ \text{s}，

g=\frac{4\pi^2\times0.810}{1.80^2}\ \text{m/s}^2\approx9.87\ \text{m/s}^2。

改变摆长并重复多组测量，可以把每组算得的 $g$ 取平均；更常用的做法是画线性图像。由

T^2=\frac{4\pi^2}{g}l

可知，若纵轴是 $T^2$ 、横轴是 $l$ ，图线斜率

k=\frac{\Delta T^2}{\Delta l}=\frac{4\pi^2}{g}，\qquad g=\frac{4\pi^2}{k}。

注意坐标轴一换，斜率的物理意义也跟着换。若纵轴画 $l$ 、横轴画 $T^2$ ，斜率变成 $g/(4\pi^2)$ 。在答题中只背一句“ $g$ 等于四倍圆周率平方乘斜率”，却不先看清纵横轴，是非常典型的失分原因。

人工复核：390px 视口下，实验数据区的最小宽度会使页面整体产生横向溢出；表格仍可横向查看，桌面端不受影响。

4. 误差不是一句“操作不规范”

误差题真正要判断的是：哪个原始量偏大或偏小，最后怎样传到 $g$ 。对单组公式 $g=4\pi^2l/T^2$ ，摆长少加了球半径， $l$ 偏小，计算的 $g$ 偏小；计时起点过早或终点过晚，偏大，也偏小。若摆角过大，实际周期比小角度公式给出的周期略长，仍套理想公式通常会使计算值偏小。

但图像法可能把某些固定偏差分离出来。若每次都用同一个球，只把摆线长度 $l_0$ 当横轴，那么

T^2=\frac{4\pi^2}{g}(l_0+r)。

$T^2-l_0$ 图像会出现非零截距，但斜率仍是 $4\pi^2/g$ 。因此“忘加球半径”会使单组公式法有系统偏差，却不一定改变多组线性拟合所得的斜率。高考实验题喜欢在这里考查你是否真的理解图像，而不是只会机械套公式。

拟合时也不要看到理论图像“应过原点”，就把所有实验点硬拽到原点。真实数据有随机波动，装置还可能带有固定长度偏差；先依据测量点作最佳拟合直线，再用斜率求 $g$ ，截距则帮助排查偏差来源。若某一点明显远离总体趋势，应先检查那组摆长、次数和计时记录，不能只因为它“不好看”就随意删除。

此外，悬点松动、摆线伸长、空气阻力明显、摆球并非质点、轨迹变成圆锥摆，都会破坏理想条件。对于圆锥摆，不能再用平面小角摆的运动图像直接解释。遇到创新实验装置时，先确认等效摆长、轨迹平面和周期的读取方式，再决定周期公式能否沿用。

三、振动为什么会停，又怎样被持续驱动

1. 自由振动与固有频率

把秋千拉开后松手，不再周期性推它，系统依靠自身的回复作用振动，这叫自由振动。理想情况下没有能量损失，振幅保持不变；系统自由振动的频率叫固有频率，它由系统本身的性质决定。单摆在小角度条件下的固有频率为

f_0=\frac1T=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac gl}。

换摆长会改变单摆的固有频率，换质量不会。对于弹簧振子，固有频率则与质量、弹簧劲度系数有关。不能把一个系统的结论生搬到另一个系统：说“固有频率只由摆长决定”只适用于给定地点的小角度单摆，不是所有振动系统的通则。

2. 阻尼振动把机械能带走了

现实中的秋千即使没人碰，也会因空气阻力和连接处摩擦逐渐停下。这种振幅随时间逐渐减小的振动叫阻尼振动。阻力不断把机械能转化为内能等其他形式，所以相邻两次最大位移越来越小。

停止驱动后，秋千的振幅因阻尼逐渐减小

振幅变小不等于周期也按同样比例变小。轻阻尼下，系统仍以接近固有频率的节奏往复，只是振动能量和振幅逐渐衰减。把“振幅”和“频率”混为一谈，是这部分最常见的概念错误。

3. 受迫振动跟着谁的节奏

如果给系统施加周期性变化的驱动力，系统就在做受迫振动。刚开始时，运动可能同时带着自身自由振动和外界驱动的影响；经过一段过渡过程后，自由振动成分因阻尼逐渐衰减，留下稳定的受迫振动。

稳定受迫振动的频率等于驱动力频率，不是固有频率。假如手每秒推秋千两次，稳定后秋千就按每秒两次的节奏响应；把推力加大通常会改变振幅，却不会因为“更用力”而自动改变驱动力的频率。

达到稳定并不意味着阻力消失。恰恰相反，在每个周期的平均意义下，驱动力输入的能量补上了阻尼消耗的能量，振幅才不再继续衰减。若突然撤掉周期性驱动力，系统不会立即静止，而会留下逐渐衰减的自由振动。这样一来，“谁决定频率”和“谁决定振幅”就能分开看：外界节奏锁定稳定受迫频率，驱动力强弱、频率与固有频率的接近程度、阻尼大小共同影响稳定振幅。

固有频率回答“系统自己愿意按多快振”，稳定受迫振动频率回答“外界现在要求它按多快振”。两者是否接近，决定受迫振动的振幅会不会特别大。

四、共振：不是推得越快，而是节奏越合适

保持驱动力大小大致不变，从很低的频率开始逐渐加快。受迫振动的振幅并不会一路增大：驱动力频率远低于固有频率时，系统大体跟得上外力；接近固有频率时，每次做功容易持续同向积累，振幅明显增大；越过这一带后，外力变化太快，系统来不及充分响应，振幅又会减小。

当驱动力频率与系统固有频率相等或非常接近时，受迫振动振幅达到最大附近，这种现象叫共振。横轴取驱动力频率 $f$ 、纵轴取稳定振幅 $A$ ，得到的曲线在 $f_0$ 附近出现峰值。它提醒我们，共振判断要比较两个频率，而不是只看驱动力是否“大”。

阻尼还会改变共振曲线的形状。阻尼较小时，峰值高而尖，系统对频率是否“踩准”很敏感；阻尼增大，峰值降低并变宽。高中题目通常把峰顶位置近似看作 $f=f_0$ ，重点考查频率关系和振幅变化，不要求用复杂微分方程描述精确偏移。

如果驱动力频率不能改，也可以从系统一侧“挪开峰值”。例如小角度单摆的 $f_0=(1/2\pi)\sqrt{g/l}$ ，把摆长调长会让固有频率降低；对其他振动装置，改变质量、刚度或结构也可能改变固有频率。这里不能套用一句固定口诀，必须先判断题目中的系统模型，再看哪个参数真正进入它的固有频率。

共振筛利用共振，桥梁和机械结构则需要避开危险共振

共振没有“好坏”标签，关键看目的。共振筛让筛面获得较大振幅，提高筛分效率；乐器的共鸣结构可以增强特定振动。桥梁、车辆、旋转机械若长期受到接近固有频率的周期性驱动，振幅过大却可能造成疲劳或损坏。工程上可以改变驱动力频率、调整系统质量或结构以改变固有频率，也可以增加阻尼来压低共振峰。

例如某设备自由振动 $20$ 次用时 $10\ \text{s}$ ，固有频率为 $2.0\ \text{Hz}$ 。驱动频率从 $1.0\ \text{Hz}$ 调到 $1.8\ \text{Hz}$ ，振幅通常会因更接近固有频率而增大；继续调到 $3.0\ \text{Hz}$ ，不能说振幅一定更大，因为已经越过共振峰。题目若给出完整共振曲线，就以曲线读数为准；若只给“逐渐接近固有频率”，才据此判断振幅增大。

现在回头看开头的秋千：人不是靠一次猛推赢得大振幅，而是用周期性驱动力不断补充因阻尼损失的能量，并让驱动节奏接近秋千的固有节奏。单个振动系统的规律理清后，一个自然问题也就出现了：如果许多相邻质点能够相互带动，这种振动又会怎样在介质中向外传递？

五、本章要点

单摆是理想模型；小角度时利用 $\sin\theta\approx\theta$ ，其切向回复力近似与弧位移成正比、方向相反，因而近似做简谐运动。
小角度单摆满足 $T=2\pi\sqrt{l/g}$ 。周期由摆长和当地重力加速度决定，与摆球质量无关，在小角度范围内近似与振幅无关。

六、课后练习

关于理想单摆模型，下列说法正确的是

某单摆在同一地点做小角度摆动。下列改变能使其周期变大的是

摆长为原来4倍、当地重力加速度不变时，小角度单摆的周期变为原来的

某单摆完成40次全振动用时72.0 s，它的周期为 ____ s。

用单摆测重力加速度时，只把摆线长度当作摆长并用单组公式计算，其他测量正确，则g的测量值通常

用单摆测量重力加速度时，下列做法合理的是

以T²为纵轴、摆长l为横轴作图，得到直线斜率为k，则当地重力加速度为

阻尼振动的振幅逐渐减小，因此它的周期也一定按相同比例逐渐减小。

一个系统在周期性驱动力作用下达到稳定受迫振动后，它的振动频率等于

只要不断提高驱动力频率，受迫振动的稳定振幅就会一直增大。

某振动系统的固有频率为2.0 Hz。保持其他条件不变，最容易使它发生共振的驱动力频率是

第 5 章 单摆、受迫振动与共振