第 7 章　浮力与阿基米德原理

把一个拧紧瓶盖的空塑料瓶按进水里，你的手会越来越明显地感觉到它在“顶”你；可换成一块沉甸甸的金属块，放手后它往往又会下落。既然物体最后可能沉下去，水还会不会对它向上托呢？

会。物体是上浮、下沉还是停住，要由它受到的多个力共同决定；这一章先把其中来自流体的那个力单独研究清楚。等到下一章，再把浮力与重力放在一起判断物体的运动状态。

水中的物体为什么像“变轻”了

先把一个金属块挂在弹簧测力计下，待它静止后读出示数。再缓慢降低金属块，使它浸入水中但不接触杯底和杯壁。你会看到测力计示数减小了。

金属块的重力并没有因为浸水而突然改变，测力计也没有凭空“少算”一部分力。真正发生的事是：水对金属块施加了一个竖直向上的力，分担了弹簧的拉力。浸在液体或气体里的物体受到流体向上的力，叫作浮力，通常用 $F_\text{浮}$ 表示，单位是牛顿，简称牛，符号为 $\mathrm{N}$。

浮力的方向总是竖直向上。这里的“竖直向上”由重力方向确定，并不等于“垂直于某个斜着的物体表面”。即使把物体歪着浸在水中，浮力方向也不会跟着物体转动。

“浸在”也不只表示完全没入。物体只要有一部分进入流体，那一部分就会受到流体压力，整个物体便可能受到浮力。浮力也不只存在于水里：盐水、酒精等液体会产生浮力，空气等气体同样会产生浮力。只是日常小物体受到的空气浮力往往很小，不容易直接察觉。把充气气球、同体积实心球和水中的金属块放到同一个概念下看，浮力的施力物体始终是周围的流体。

你可能会问：金属块明明会沉，怎么也有浮力？注意，这是第一个陷阱——“受到浮力”和“最终上浮”不是同一回事。只要它浸在流体中并受到流体各处压力形成的向上合力，就有浮力；至于运动结果，要等所有力都比较完才能判断。

下面的实验台把这段过程放慢了。先记住金属块在空气中静止时的示数，再让它逐渐入水，观察水中示数怎样变化。完全浸没后还可以继续改变深度，但不要让物体碰到容器。

人工复核：该交互在部分窄屏手机的“完全浸没”场景中，“保持悬空，不得触底”提示与水槽右下方液体标签距离较近，可能出现局部重叠；交互操作与计算结果不受影响。

用两次示数把浮力“称”出来

物体静止在空气中时，弹簧测力计示数可近似看作物体重力 $G$。物体静止浸在液体中且不接触容器时，它受到竖直向下的重力 $G$、竖直向上的拉力 $F_\text{示}$ 和浮力 $F_\text{浮}$。三个力平衡，因此

$F_\text{浮}+F_\text{示}=G$

移项得到

$F_\text{浮}=G-F_\text{示}$

这就是测量浮力常用的称重法。例如，物体在空气中示数为 $4.0\ \mathrm{N}$，完全浸入水中后示数为 $2.6\ \mathrm{N}$，那么浮力为

$F_\text{浮}=4.0\ \mathrm{N}-2.6\ \mathrm{N}=1.4\ \mathrm{N}$

算式很短，条件却一个都不能少：两次读数都应在示数稳定时读取；浸液后物体不能碰底、碰壁；细线不能松弛；弹簧测力计使用前要调零；读数时视线要与指针位置相平。若物体碰到杯底，杯底还会给它支持力，这时直接用两个示数相减就不再只代表浮力。

称重法还可以反过来检查读数是否合理。浸入液体后若测力计示数反而比空气中更大，先别急着套公式，应检查是否把物体向下按、测力计是否调零、物体是否被其他物体牵拉。正常静止悬挂且不接触容器时，向上的浮力分担一部分重力，所以液中示数应小于空气中示数，二者差值才应为正数。

现在先想一想：物体进入水中后，测力计示数从 $5\ \mathrm{N}$ 变为 $3\ \mathrm{N}$，能不能说“物体的重力变成了 $3\ \mathrm{N}$”？

不能。$3\ \mathrm{N}$ 是弹簧对物体的拉力，不是重力。重力仍约为 $5\ \mathrm{N}$，减少的 $2\ \mathrm{N}$ 正好由浮力补上。中考实验题常把“测力计示数”“物体重力”“浮力”放在同一组数据里，写答案时必须把量名和单位一一对应，不能只抄一个数。

浮力从哪里来

上一章学过，液体内部向各个方向都有压强，而且同种液体中深度越大，压强越大。把一个正方体完全浸在水中，它的上表面较浅，液体向下的压力较小；下表面较深，液体向上的压力较大。下、上表面的压力差形成向上的合力。左右两侧在同一深度处受到的压力成对平衡，水平方向的作用相互抵消。

因此，对上下表面水平、完全浸没的长方体，可以直观地写成

$F_\text{浮}=F_\text{向上}-F_\text{向下}$

物体形状不规则时，各处压力方向看起来很乱，但把所有液体压力合成后，仍可得到竖直向上的浮力。这个解释也提醒我们：浮力不是物体内部自己产生的，而是流体对物体的压力合成的结果。

有个边界条件容易被忽略。如果物体下表面与容器底部严密贴合，液体进不到下表面，就不能照搬“下表面一定有向上的液体压力”。做实验时要求物体不触底，不只是为了动作规范，也是为了保证研究的受力情形没有被改变。

浮力大小到底由什么决定

空瓶按入水中时，浸入越多越难按；同一块橡皮泥做成不同形状，浸入水中的状态也可能不同。看到这些现象后，人很容易一口气猜出很多因素：物体质量、材料、形状、深度、浸入多少、液体种类……怎样从一堆猜想中找出真正的规律？

办法是一次只改变一个因素，也就是使用控制变量法。

先用同一物体、同一种液体，让物体逐渐浸入。弹簧测力计示数逐渐减小，说明浮力逐渐增大。此时真正随操作改变的是物体排开液体的体积，记作 $V_\text{排}$。物体只浸入一部分时，$V_\text{排}$ 等于液面以下那一部分的体积；对不吸水的实心物体，完全浸没时 $V_\text{排}$ 才等于物体总体积。

再让同一物体以相同的 $V_\text{排}$ 分别浸在水和盐水中。盐水密度较大，测得的浮力也较大，说明浮力还与液体密度有关。

最后，让体积不变的物体在同种均匀液体中完全浸没，保持它不碰容器，只改变所处深度。因为 $V_\text{排}$ 和液体密度都没变，测得的浮力基本不变。

这正好拆穿一个常见误会：液体压强确实随深度增大，但浮力看的是物体各表面压力合成后的结果。物体整体下移时，上、下表面压强都增大，它们的压力差并没有因此必然增大。所以不能把“压强与深度有关”偷换成“浮力只由深度决定”。

下面的交互会要求你先预测，再用控制变量法记录结果。每一轮都留意：改变了谁，保持了谁，最后比较的又是谁。

把一次典型实验记录整理出来，会更容易看清控制变量：

比较甲、乙时，液体相同而排开体积不同，可以研究 $V_\text{排}$；比较乙、丙时，液体和 $V_\text{排}$ 相同而深度不同，可以判断完全浸没后的深度是否直接影响浮力；比较丙、丁时，必须保持 $V_\text{排}$ 相同，才能研究液体密度。若把甲和丁直接相比，一次变了两个条件，即使浮力不同，也说不清是谁造成的。

被挤开的液体，正好给出答案

实验已经把范围缩小到液体密度和排开液体体积，但它们与浮力究竟有什么定量关系？可以换一个角度：物体占据了液体原来的位置，相当于“挤开”了一部分液体。如果把这部分被排开的液体收集起来并称重，会发生什么？

实验要取得四个稳定读数：先测空小桶重力 $G_\text{桶}$；再测物体在空气中的重力 $G$；把溢水杯加液体到溢水口，让物体完全浸没且不碰杯，用小桶收集全部溢出的液体，同时读出水中示数 $F_\text{示}$；最后测小桶和排开液体的总重 $G_\text{桶+液}$。

由称重法得到

$F_\text{浮}=G-F_\text{示}$

排开液体的重力为

$G_\text{排}=G_\text{桶+液}-G_\text{桶}$

例如，$G_\text{桶}=0.5\ \mathrm{N}$，$G=2.8\ \mathrm{N}$，$F_\text{示}=1.8\ \mathrm{N}$，。计算得 ，，两者相等。换不同物体和液体重复实验，也会得到相同关系。

真实实验中两次计算结果可能只是在误差允许范围内接近，而不是每一位小数都完全相同。读数估计、物体表面附着气泡、溢水没有收集完全，都可能造成小偏差。判断结论时应多做几组实验，看差值是否很小且没有固定的反常趋势，不能为了让数据“漂亮”而擅自改读数。若每组 $G_\text{排}$ 都明显偏小，就应优先检查溢水杯初始液面和收集过程，而不是宣布原理失效。

下面请你亲手排一次实验顺序。如果忘记先称空桶、溢水杯液面没到溢水口，或收集过程中洒出一部分液体，最后的比较都会失去意义。

实验结论是：浸在液体中的物体受到的浮力，大小等于它排开的液体所受的重力。这就是阿基米德原理。

$F_\text{浮}=G_\text{排}=m_\text{排}g=\rho_\text{液}gV_\text{排}$

式中，$\rho_\text{液}$ 是液体密度，单位为 $\mathrm{kg/m^3}$；$V_\text{排}$ 是排开液体的体积，单位为 $$； 常按题目要求取 或 。阿基米德原理既适用于液体，也适用于气体；初中计算通常研究静止、密度均匀的流体。

为什么公式里没有出现物体密度？因为这一章问的是“流体给了物体多大浮力”，直接决定量来自被排开的那部分流体。物体材料可能影响它能否保持某种浸入状态，却不会在 $\rho_\text{液}$ 和 $V_\text{排}$ 已经确定时再额外给浮力乘一个系数。同理，同一物体从水换到盐水，如果浸入体积也随之改变，就不能只凭最后浮力不同断言全部差异都来自液体密度，仍要先把变量分开。

公式不是让你把四个字母背成一串，而是在回答两件事：同样的 $V_\text{排}$，液体越密，排开的液体越重，浮力越大；同一种液体里，$V_\text{排}$ 越大，排开的液体越重，浮力也越大。

计算前，先把“排开”和单位认准

一块物体完全浸没在水中，排开水的体积为 $250\ \mathrm{cm^3}$，取 $\rho_\text{水}=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$、，它受到的浮力是多少？

这里最容易错的不是乘法，而是单位。$1\ \mathrm{cm^3}=10^{-6}\ \mathrm{m^3}$，$1\ \mathrm{dm^3}=10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；密度若用 ，体积就应换成 。此外，物体只浸入一部分时，不能把物体总体积直接当作 。

公式也能倒着用。若物体浸在未知液体中，测得 $F_\text{浮}=1.6\ \mathrm{N}$、$V_\text{排}=2.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}$，取 ，则

$\rho_\text{液}=\frac{F_\text{浮}}{gV_\text{排}}=\frac{1.6}{10\times2.0\times10^{-4}}\ \mathrm{kg/m^3}=0.8\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$

倒推时仍然先写原式，再根据未知量变形。若一上来凭记忆“挪字母”，分母中的 $g$ 或 $V_\text{排}$ 很容易漏掉。算完还要做数量级检查：常见液体密度通常在 $10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ 附近，若得到极端离谱的数，先回头查单位换算。

公式工作台可以在“求浮力、求液体密度、求排开体积”之间切换。每次都先选未知量，再检查已知量的单位，最后看它怎样一步步代入。

把本章串成一条线

我们从测力计示数变小认识浮力，用 $F_\text{浮}=G-F_\text{示}$ 把它测出来；再借助液体压力解释浮力的方向和来源；通过控制变量实验发现液体密度、排开液体体积才是关键量；最后称量排开的液体，得到 $F_\text{浮}=G_\text{排}=\rho_\text{液}gV_\text{排}$。

回到开头的塑料瓶：你把它按得越深但还没有完全浸没时，$V_\text{排}$ 逐渐增大，所以手感到的向上作用越来越明显；完全浸没且瓶身体积不变时，在同种均匀液体中继续下移而不碰底，$V_\text{排}$ 不再变化，浮力也基本不变。

到这里，我们只算清了浮力这一位“选手”。下一章会把它与重力放到同一张受力图里，研究物体为什么有时上浮、有时下沉、有时又能停在液体内部。

课后练习

1

一个物体浸在静止的水中，它受到的浮力方向是（　　）

A.竖直向上B.垂直物体表面向上C.沿容器底面方向D.与物体运动方向相反

2

物体在空气中静止时测力计示数为4.6 N，完全浸入水中且不触底时示数为3.1 N，物体受到的浮力为（　　）

A.1.5 NB.3.1 NC.4.6 ND.7.7 N

3

同一体积不变的物体完全浸没在同种均匀液体中，越深处液体压强越大，所以浮力一定越大。

正确错误

4

研究浮力大小时，下列能在其他条件相同时直接改变浮力的量有（　　）

A.液体密度B.排开液体体积C.物体所处深度D.物体名称

提交

5

用溢水杯和小桶验证阿基米德原理时，测量空小桶重力的主要目的是（　　）

A.求排开液体的重力B.求物体的体积C.求液体的密度D.调节溢水杯高度

6． 某物体完全浸没在水中，排开水的体积为 $300\ \mathrm{cm^3}$。取 $\rho_\text{水}=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$、，求浮力。

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$300\ \mathrm{cm^3}=3.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}$。由 $F_\text{浮}=\rho_\text{水}gV_\text{排}$，得 。易错点是把立方厘米直接代入与 配套的公式。

7． 同一物体排开水的体积为 $2.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}$，再以相同排开体积浸入密度为 $1.2\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ 的盐水中。取 ，分别求两次浮力并比较。

显示答案

在水中，$F_1=1.0\times10^3\times10\times2.0\times10^{-4}\ \mathrm{N}=2.0\ \mathrm{N}$；在盐水中，。排开体积相同时，液体密度较大的盐水产生的浮力较大。

8． 验证阿基米德原理时，记录物体重力 $G=3.6\ \mathrm{N}$、水中示数 $F_\text{示}=2.4\ \mathrm{N}$、空桶重力 $G_\text{桶}=0.4\ \mathrm{N}$、桶和排开水总重 。计算并比较 与 。

显示答案

$F_\text{浮}=3.6\ \mathrm{N}-2.4\ \mathrm{N}=1.2\ \mathrm{N}$；$G_\text{排}=1.6\ \mathrm{N}-0.4\ \mathrm{N}=1.2\ \mathrm{N}$，所以在测量精度允许范围内 。不能直接把桶和水的总重当成排开水的重力。

9． 某同学做验证实验时，没有先把溢水杯加水到溢水口，就把物体浸没并开始收集。这样测得的 $G_\text{排}$ 偏大还是偏小？为什么？

显示答案

测得的 $G_\text{排}$ 偏小。物体刚浸入时，一部分被排开的水先用来把杯内液面升到溢水口，没有全部流入小桶，因此收集到的液体少于物体实际排开的液体。

10． 一个体积为 $500\ \mathrm{cm^3}$ 的物体只有五分之三浸在水中。取 $g=10\ \mathrm{N/kg}$，求它此时受到的浮力，并说明为什么不能把 $500\ \mathrm{cm^3}$ 直接作为 。

显示答案

物体只有五分之三浸入，$V_\text{排}=500\times\frac{3}{5}\ \mathrm{cm^3}=300\ \mathrm{cm^3}=3.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}$。因此 。 是液面以下部分排开的体积；只有物体完全浸没时，它才等于物体总体积。