第10章 杠杆、滑轮与机械效率

一块很紧的井盖，徒手抬不动，把撬棍伸进缝里却能慢慢撬起；一袋建筑材料太重，工人用滑轮组就能把它拉上楼。工具像是在“放大”人的力，可它真的能凭空少做功吗？如果省了力，代价又藏在哪里？

这一章从一根会转动的硬棒出发。我们先弄清杠杆为什么能省力，再把同样的交换关系放进滑轮、轮轴和斜面，最后用机械效率回答一个更实际的问题：人做的功中，有多少真正用在了任务目标上。

一、先别急着找公式，先认出杠杆

开瓶器、跷跷板、食品夹外形差别很大，却有一个共同动作：在力的作用下，它们都能绕某个固定点转动。物理学把这种能够绕固定点转动的硬棒叫作杠杆。这里的“棒”不一定笔直，也不一定真是木棒；只要工作时形状可以看作不变，并绕固定点转动，就可以建立杠杆模型。

描述一个杠杆，要找到五个要素：

• 支点：杠杆绕着转动的固定点，常记为 $O$。
• 动力：促使杠杆转动的力，常记为 $F_1$。
• 阻力：阻碍杠杆转动的力，常记为 $F_2$。阻力不是一定与运动方向相反，而是相对于我们想要的转动效果而言。
• 动力臂：从支点到动力作用线的距离，常记为 $l_1$。
• 阻力臂：从支点到阻力作用线的距离，常记为 $l_2$。

最容易卡住的是“力臂”。你可能会顺手把支点和力的作用点连起来，把这条线段当成力臂。注意，这是个陷阱：力臂是支点到力的作用线的垂直距离。先沿力的方向画出作用线，再从支点向这条线作垂线，垂线段才是力臂。若力的作用线恰好通过支点，力臂就是零，这个力不能使杠杆绕支点转动。

现在自己判断一下：用扳手拧螺母时，手仍按在扳手末端，但把拉力方向逐渐转到与扳手平行，作用效果会怎样？

拉力会越来越不容易使扳手转动。手的位置没变，但支点到拉力作用线的垂直距离变小了；当拉力沿着扳手指向螺母时，作用线通过转轴，力臂为零。可见杠杆效果不能只看“手离支点多远”，还要看用力方向。

下面的训练器会改变杠杆形状、作用点和力的方向。先找作用线，再找垂直距离；如果一步就凭感觉选最长的线段，很容易掉进刚才的陷阱。

交互复核：第4关在窄屏末态中，次要的“阻力”标签与画布底部操作提示可能局部重叠；目标动力、力臂判断、键盘操作及反馈路径均不受影响，留待人工统一调整视觉间距。

二、杠杆怎样才能平衡

跷跷板左边坐一个大人，右边坐一个小孩。若两人离支点一样远，小孩通常会被抬起来；可让大人靠近支点、小孩远离支点，跷跷板又可能平衡。看来决定转动效果的，不只是力的大小，还有力臂。

杠杆处于静止或匀速转动状态时，我们说杠杆处于平衡状态。大量实验表明，杠杆平衡时有

$F_1l_1=F_2l_2$

也就是动力乘动力臂等于阻力乘阻力臂。这个关系比较的是支点两侧力的转动效果，不是说动力一定等于阻力，也不是说两边力臂一定相等。

例如，用撬棍撬起重物，阻力为 $600\ \text{N}$，阻力臂为 $0.10\ \text{m}$，动力臂为 $0.75\ \text{m}$。若杠杆平衡，则

$F_1=\frac{F_2l_2}{l_1}=\frac{600\times0.10}{0.75}\ \text{N}=80\ \text{N}$

动力臂是阻力臂的 $7.5$ 倍，所需动力就是阻力的 $1/7.5$。单位也要配套：两个力臂可以都用米，也可以都用厘米，但不能一个用米、另一个不换算就用厘米。

探究杠杆平衡条件

实验用带刻度的杠杆、支架、钩码和平衡螺母。挂钩码前，先让杠杆在水平位置静止。如果左端下沉，应把平衡螺母向右调；概括来说，平衡螺母要向较高的一端移动。杠杆自身先水平平衡，可以尽量排除杠杆自重对实验的影响。

挂上钩码后，不再调平衡螺母，而是改变钩码数量或悬挂位置，使杠杆重新在水平位置平衡。为什么偏要“水平”？因为钩码的拉力沿竖直方向，杠杆水平时，从支点到悬挂点的水平距离正好就是力臂，可以直接从刻度读出。

每次记录动力、动力臂、阻力、阻力臂，并比较两边的乘积。实验要改变力和力臂，得到多组不同数据。多做几次不是为了把乘积求平均，而是为了避免一组巧合数据造成误判，并检验规律是否具有普遍性。若只做一组，甚至让四个量都相同，即使杠杆平衡，也很难说明究竟是哪种关系在起作用。

在交互实验台里改变两侧的力和位置，先预测杠杆往哪边转，再用两边乘积检查。你会看到，单独把动力变大并不保证平衡，力臂缩短也可能把增加的转动效果抵消。

三、省力、费力，工具为什么还各有用途

把平衡条件改写为

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{l_2}{l_1}$

就能看出力与力臂的交换关系。

• 当 $l_1>l_2$ 时，$F_1<F_2$，是，如撬棍、核桃夹、瓶盖起子。它省力，却要让动力作用点移动较长距离。

别急着给工具永久贴标签。同一把剪刀，支点和用力位置相同，剪纸时纸放得越靠近支点，阻力臂越短，越容易剪断；若把纸放到刀尖，阻力臂增大，就更费力。分类依据始终是工作状态下动力臂与阻力臂的关系，而不是只凭工具名称。

现在想一想：人的前臂提物时，肘关节是支点，肱二头肌的拉力作用点很靠近肘关节，手中物体却离肘关节较远。人体为什么偏要采用“费力”的结构？

因为这种结构能让肌肉只缩短一小段，手就移动较长距离，并获得较灵活的运动范围。这里的“费力”不是设计失败，而是在力量、速度、距离和结构之间作出的选择。真正懂机械，不是只问省不省力，还要问它为此付出了什么。

四、滑轮：轮子转了，交换关系仍在

旗杆顶部的滑轮不会跟旗子一起升降，它的轴固定不动，叫定滑轮。理想情况下，使用定滑轮不省力，拉力大小等于物重，但它能改变力的方向，让人向下拉绳就能把旗子升起；绳端移动距离与物体上升高度相等。

随重物一起升降的滑轮叫动滑轮。两段承重绳竖直、物体匀速提升，且忽略绳重、动滑轮自重和摩擦时，两段承重绳共同承担物重，每段绳的拉力相等，因此拉力是物重的一半；但绳端要移动物体上升高度的两倍。若动滑轮自重不能忽略而仍忽略摩擦，承担的应是物体与动滑轮的总重。

把定滑轮和动滑轮组合起来就是滑轮组。它既可以改变力的方向，又可以由多段绳共同承担重物。判断省力程度的关键是数承重绳段数 $n$：只数直接承担动滑轮及重物的绳段，不要把仅仅绕过定滑轮、没有托住移动部分的绳段也算进去。

承重绳段均竖直、物体匀速提升，且忽略绳重、动滑轮自重和摩擦时，有

$F=\frac{G}{n},\qquad s=nh$

其中 $s$ 是自由端移动距离，$h$ 是重物上升高度。若只忽略摩擦、考虑动滑轮重，则有 $F=(G+G_{\text{动}})/n$。真实装置中还存在摩擦和绳重，实际拉力通常比理想值大。

绕绳时可以从固定端出发，让绳依次绕过动滑轮和定滑轮，保证整根绳连续。固定端接在不同位置，承重绳段数可能改变。与其死背“奇动偶定”，不如每次圈出随重物一起移动的部分，再数有几段绳直接向上拉它。

比如某滑轮组的动滑轮被三段绳向上拉，物体和动滑轮总重为 $660\ \text{N}$。若忽略摩擦，拉力应为 $660/3=220\ \text{N}$，而不是只拿物重除以三。若题目进一步说明动滑轮重可以忽略，才可以直接用物重计算。让物体上升 $0.40\ \text{m}$ 时，绳端要移动 $3\times0.40=1.20\ \text{m}$。这组数字把两件事同时摆了出来：承重绳越多，所需拉力越小；但绳端走过的距离也按同样倍数增加。

下面的交互会让你选择固定端、连接绳路并统计 $n$。完成后别只看“省了几倍力”，还要比较绳端与重物的移动距离。

五、轮轴和斜面：把力换成更长的路

门把手、方向盘、自来水龙头手轮都有一个共同结构：半径较大的轮和半径较小的轴固定在一起，绕同一根轴转动，这就是轮轴。动力与阻力分别沿轮、轴的切线方向作用，理想轮轴平衡时，作用在轮上的力与轮半径的乘积，等于轴上阻力与轴半径的乘积。轮半径越大，通常越省力；但轮缘走过的距离也更长。

若作用在轮上的动力为 $F_1$、轮半径为 $R$，轴上的阻力为 $F_2$、轴半径为 $r$，两力均沿相应圆周切线方向作用时，平衡条件可写成 $F_1R=F_2r$。它和杠杆平衡条件不是两条互不相干的规律：把轮和轴的半径看作力臂，轮轴就是一种连续转动的杠杆。

盘山公路和装货斜坡则把一次竖直提升变成沿较长斜面的移动。忽略摩擦，把重为 $G$ 的物体沿长为 $s$、高为 $h$ 的斜面匀速拉上去，由“使用机械不能省功”可得

$Fs=Gh$

斜面越长、坡度越缓，所需拉力越小，却要走更长的路。真实斜面有摩擦，实际拉力会更大。这里不需要把斜面扩展成复杂受力问题，只要看清：简单机械可以省力或改变方向，但不能同时把力和距离都“省掉”。

六、机械不省功，那些功都去了哪里

用滑轮组提升一桶砂，任务目标是把砂送上楼。人既抬高了砂，也抬高了桶和动滑轮，还要克服摩擦。物理学按任务把这些功分开：

• 为达到目的、不得不做的功叫有用功。本例中是提升砂所做的功。
• 并非任务目的、但使用机械时不得不做的功叫额外功，如提升桶和动滑轮、克服摩擦所做的功。
• 动力对机械所做的功叫总功，它等于有用功与额外功之和：

$W_{\text{总}}=W_{\text{有用}}+W_{\text{额外}}$

“有用”和“额外”取决于任务。若任务改成把桶送上楼，提升桶的功就不再是额外功。额外功也不等于能量消失，它往往转化为机械的内能，或用于带动机械自身运动，只是没有直接完成当前任务目标。

假设砂重 $400\ \text{N}$，桶重 $20\ \text{N}$，把它们提升 $2\ \text{m}$，暂不计摩擦和动滑轮重。对“提升砂”这个任务，有用功是 $400\times2=800\ \text{J}$，提升桶的额外功是 $20\times2=40\ \text{J}$，总功是 。把总功写成 ，相当于认为机械能自己补出一部分功，显然不合理。

在下面的工作台中，先读清任务目标，再给各部分功分类。同一动作换一个目标，答案也可能改变。

理想机械没有额外功，输入功恰好等于有用功；真实机械总有自重和摩擦，所以总功大于有用功。机械可以省力、省距离或改变力的方向，却不能省功。以理想滑轮组为例：$F=G/n$，但 $s=nh$，于是 $Fs=Gh$，省下的力恰好由多走的距离补回来。

七、机械效率：总功中有多少真正完成了任务

两台机械完成相同任务，都没有违背“不省功”，但额外功可能不同。为了比较它们利用功的程度，定义机械效率：有用功与总功的比值。

$\eta=\frac{W_{\text{有用}}}{W_{\text{总}}}\times100\%$

$\eta$ 读作“伊塔”。机械效率是比值，没有单位。真实机械中 $W_{\text{总}}>W_{\text{有用}}$，所以机械效率总小于 $100\%$；算出等于或大于 $100\mathrm{\%}$，应检查读数、单位、研究对象或公式，而不是宣布机器“创造了能量”。

机械效率也不是功率。效率高说明有用功占总功的比例大；功率大说明做功快。一台机器可以做功很快但损耗比例较大，也可以效率较高但完成任务较慢。

测量滑轮组的机械效率

用滑轮组匀速提升钩码，测出钩码重 $G$、钩码上升高度 $h$、拉力 $F$ 和绳端移动距离 $s$，则

$W_{\text{有用}}=Gh,\qquad W_{\text{总}}=Fs$

$\eta=\frac{Gh}{Fs}\times100\%$

人工复核：图中弹簧测力计下钩已经连接滑轮组自由绳端，但测力计上环与横梁之间还残留一条多余细绳，容易让人误以为测力计被上下两根绳同时连接。实际实验应由手沿竖直方向匀速拉动测力计，以上下文的操作说明为准。

实验时要沿竖直方向缓慢匀速拉动弹簧测力计，并在拉动过程中读数。若停下来后才读，测到的可能不是运动时克服摩擦所需的拉力。$h$ 是钩码上升高度，$s$ 是自由端移动距离，两者来自同一次提升过程，不能张冠李戴。

测斜面机械效率也是同一套思路：用弹簧测力计沿斜面匀速拉动物体，测物重、竖直上升高度、沿斜面的拉力和移动距离，仍用 $\eta=Gh/(Fs)\times100\%$。这里的 $h$ 必须是竖直高度，$s$ 才是沿斜面的路程。若把斜面长度也代进 $Gh$，有用功就被算错了。改变斜面的粗糙程度或倾斜程度进行比较时，应控制其他条件，不能同时更换物体、接触面和坡度后就把效率变化只归因于其中一个因素。

例如，钩码重 $4.0\ \text{N}$，上升 $0.10\ \text{m}$；拉力为 $1.6\ \text{N}$，绳端移动 $0.30\ \text{m}$。有用功为 $0.40\ \text{J}$，总功为 $0.48\ \text{J}$，机械效率约为

$\eta=\frac{0.40}{0.48}\times100\%\approx83.3\%$

同一滑轮组中，若装置和摩擦情况基本不变，适当增加被提升物重，有用功在总功中所占比例往往增大，效率可能提高；减小动滑轮自重、润滑以减小摩擦，也有利于提高效率。不过不要把“物重越大效率一定越高”说成没有条件的普遍规律，装置承载范围和摩擦情况都可能变化。

到这里再回到中考复习视角，常见失分点其实都能追到物理原因：力臂画成支点到作用点的连线，是漏掉了“垂直”；实验挂钩码后又调平衡螺母，是改变了本应固定的实验条件；数滑轮组绳段时把定滑轮旁的绳也算进去，是没认清谁在承担移动部分；效率超过百分之百，则违背了有用功不大于总功的关系。把这些原因想通，比单背结论可靠。

八、把整章串成一条线

杠杆平衡看的是“力与力臂的乘积”，滑轮组省力看的是“有几段绳承担移动部分”，轮轴和斜面也都在用较长距离换较小动力。它们外形不同，却共同说明：机械能改变力的大小、方向或作用距离，但不能凭空减少需要完成的功。

解决简单机械问题，可以按四步自查：先确定任务和研究对象；再画出支点、作用线或承重绳；接着选择 $F_1l_1=F_2l_2$、、 或功的公式；最后检查省力是否伴随距离代价、机械效率是否小于百分之百。这样就不会被一堆看似不同的装置牵着走。

课后练习

1. 力臂到底是哪一段

1

关于杠杆力臂，下列说法正确的是

A.支点到力的作用点的距离B.支点到力的作用线的垂直距离C.力的作用点到杠杆末端的距离D.杠杆上最长的一段距离

2. 撬动石块

一根撬棍的动力臂为 80 cm，阻力臂为 20 cm，石块对撬棍的阻力为 400 N。杠杆平衡时，动力至少多大？

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由 $F_1l_1=F_2l_2$ 得 。两个力臂都用厘米，单位一致，可以直接计算。

3. 杠杆实验操作

3

探究杠杆平衡条件时，下列做法正确的有

A.挂钩码前调平衡螺母，使杠杆水平B.挂钩码后仍靠平衡螺母恢复水平C.改变力和力臂，获取多组不同数据D.只做一组完全对称的数据就得出规律

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4. 杠杆分类

4

下列通常属于费力杠杆的是

A.瓶盖起子B.核桃夹C.镊子D.撬棍

5. 定滑轮和动滑轮

5

忽略自重和摩擦时，定滑轮能省一半力，动滑轮只改变力的方向。

正确错误

6. 滑轮组计算

用有三段承重绳的理想滑轮组提升重为 600 N 的物体，使物体上升 0.5 m。求拉力和绳端移动距离。

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理想情况下 $F=G/n=600/3\ \text{N}=200\ \text{N}$；绳端移动距离 $s=nh=3\times0.5\ \text{m}=1.5\ \text{m}$。省了力，同时要多移动距离。

7. 轮轴与斜面

7

忽略摩擦时，斜面越长通常越省力，因此沿斜面拉物体所做的功也一定越少。

正确错误

8. 区分三种功

用滑轮组把重为 360 N 的货物提升 2 m，克服机械自重和摩擦共做功 180 J。求有用功、总功和额外功。

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任务是提升货物，所以有用功 $W_{有用}=Gh=360\times2\ \text{J}=720\ \text{J}$。额外功已知为 $180\ \text{J}$，总功 $$。

9. 机械效率

某滑轮组把重 5 N 的物体提升 0.2 m，拉力为 2 N，绳端移动 0.6 m。机械效率是多少？

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有用功 $W_{有用}=Gh=5\times0.2\ \text{J}=1.0\ \text{J}$；总功 $W_{总}=Fs=2\times0.6\ \text{J}=1.2\ \text{J}$。所以 。

10. 实验诊断

小组测滑轮组机械效率时，先匀速拉动弹簧测力计，待物体停止后再读拉力；又把钩码上升高度当成绳端移动距离。请指出两处问题并说明正确做法。

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第一，拉力应在沿竖直方向缓慢匀速拉动的过程中读出，停止后的示数不能代表运动过程中的拉力。第二，钩码上升高度 $h$ 与绳端移动距离 $s$ 是不同物理量，应分别测量同一次提升过程中的两段距离，再用 $\eta=Gh/(Fs)\times100\%$ 计算。

十道题背后只有一条主线：简单机械没有创造功，只是在力、距离和方向之间重新安排。下一册学习电能与各种机械装置时，这条“输入—有用输出—损耗”的思路还会再次出现。