第9章 功、功率与机械能
放学后，两名同学把同样重的器材箱搬上同一段楼梯。甲先到，乙晚了一会儿。两个人都说自己“做了很多功”，可老师又说甲的功率更大。功和功率难道不是一回事吗？再看游乐场里的过山车：车被提升到高处后，即使发动机暂时不再拉它，它仍能俯冲加速；冲到低处又能爬向另一座高坡。速度从哪里来，又去了哪里？
这些问题都在追踪同一条线索：力怎样在运动过程中传递或转化能量。我们先判断力有没有做功，再比较做功的快慢，最后看看动能和势能怎样互相转化。这里研究的是初中阶段最基本、最常见的情形，不会提前使用高中阶段的动能定理和复杂功能关系。
一、出了力，不一定做了功
小明用力推购物车，车向前移动；小华同样很用力地推墙，墙却纹丝不动。日常语言里，两个人都“费了力气”，但在物理学中，只有第一种情形具备做功的条件。
一个力对物体做功，需要同时满足两个必要条件：
- 有力作用在物体上；
- 物体在这个力的方向上通过了一段距离。
两个条件缺一不可。下面四幅情境看起来都有人用力，判断结果却不同。看图时不要先凭“累不累”下结论，而要分别追问：研究的是哪个力？这个力作用期间，物体有没有沿它的方向移动？
举着书静止时，手对书有向上的支持力，但书没有移动，支持力不做功。托着书在水平走廊匀速前进时，书有水平位移，可手对书的支持力竖直向上，位移不在这个力的方向上，因此这个支持力仍不做功。推墙不动缺少距离，也不做功。提着书上楼时，手的力向上，书也向上移动，手对书做了功。
“人觉得累”与“这个力是否对物体做功”不是同一个问题。人维持姿势时肌肉内部仍在消耗能量，但判断某个力对某物体是否做功，必须检查力和物体位移的方向关系。
还有一种容易被忽略的情形：足球被踢出后继续滚动。脚只在与球接触、并使球发生位移的那一小段时间里对球做功；球离开脚以后，脚已经不再对球施力，不能说脚还在继续做功。此时地面对球的摩擦力会影响球的运动，那是另一个力。
下面的判断训练器会把“有力”“有移动”“沿力方向有距离”逐层拆开。先作判断，再看是哪一个条件成立或缺失。
二、功怎样计算：力和距离要一一对应
两个人都沿水平方向推箱子，一个用 100 N 的力把箱子推了 2 m，另一个用 50 N 的力把箱子推了 4 m。谁做的功更多？只比力会选第一个，只比距离会选第二个，真正的结果却需要把两方面同时考虑。
在力与物体运动方向相同的简单情形中，功等于力与物体沿力的方向通过的距离的乘积：
式中，F 表示力，单位是牛顿；s 表示物体沿力的方向通过的距离，单位是米；W 表示功，单位是焦耳，简称焦，符号是 J。
功的单位叫焦耳，是为了纪念物理学家焦耳。它告诉我们：一个 1 N 的力使物体沿力的方向移动 1 m，这个力做的功就是 1 J。
回到刚才的两次推箱子：第一次 W₁=100 N×2 m=200 J，第二次 W₂=50 N×4 m=200 J。虽然力和距离都不同，做功却相同。这也解释了为什么不能只凭“力大”判断功大。
例1：起重机提升货物
一台起重机用 2000 N 的拉力，在 10 s 内把货物竖直匀速提升 6 m。先求拉力对货物做多少功；这 10 s 暂时记下，下一节还会用到。
先确定研究的力是起重机对货物的拉力。拉力竖直向上，货物也竖直向上移动，具备做功的两个条件。
力和运动方向相同，可以使用 。这里 ，。
注意，公式中的 s 不是题目里出现的任意距离，而是物体沿所研究力方向通过的距离。若小车在水平面上前进 5 m，重力方向竖直向下，不能把这 5 m 直接代入重力做功的计算。初中阶段遇到力与位移方向不一致的复杂情形，重点是先作定性判断；只有题目给出与力同方向的距离时，才按这里的简单公式计算。
现在试试改变力和距离。工具不会只给结果，还会追问你代入的距离是否真的属于这个力。
计算完成后还要做一次“方向检查”和“单位检查”。若题目说物体根本没有移动，那么不论力写得多大，功都是零；若力和物体的运动方向相同，增大力或增大距离都会增大功。把牛顿与米相乘，结果应写焦耳，不能写成牛、米或瓦。功描述的是力作用在一段运动过程中的效果，不是物体静止在那里就“装着多少功”。一个举在高处的物体可以具有能量，但不能说它“具有功”。
功和能量都用焦耳作单位，却不是同一个概念。做功描述能量转化或转移的过程，能量描述物体具有做功能力的多少。就像“转账金额”和“账户余额”都用元作单位，也不能因此把转账过程与余额当成同一件事。
三、功率比较的是做功快慢
再回到搬器材箱的两名同学。他们把同一个箱子搬上同一层楼，克服重力所做的功相同，但甲用时较短。我们需要一个新物理量，把“做了多少功”和“用了多少时间”同时放进比较里，这就是功率。
功与完成这些功所用时间之比，叫作功率：
功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是 W。这里要当心：公式中的斜体字母 表示功，单位 W 却表示瓦特。它们字母相同，身份不同。常用的较大单位还有千瓦：
功率表示做功的快慢。1 W 的含义是每秒做功 1 J，即：
这时再回看上一节的起重机：它在 10 s 内做功 12000 J，功率就是 。图中的力、高度和时间现在都各有去处：力与高度先决定功，功再与时间共同决定功率。
你可能会这样想：“功率大的机器，一定做功多。”这句话少了时间条件。功率大的机器做功快，但如果工作时间很短，总功未必多；功率较小的机器工作很久，也可能做更多功。比较功率可以走两条路：做功相同时，时间短的功率大；时间相同时，做功多的功率大。若功和时间都不同，就用 计算后再比较。
例2：谁做功更快
甲机器在 10 s 内做功 6000 J，乙机器在 20 s 内做功 10000 J。乙做的总功更多，功率也一定更大吗？
甲的功率为 ；乙的功率为 。乙做功更多，却做得较慢，因此甲的功率更大。这正是“功多”和“功率大”最容易混淆的地方。
下面把时间和功分别改变一次。先预测哪一方功率大，再看数值是否支持你的判断。
生活中机器铭牌上的额定功率，是机器在规定条件下正常工作时功率的标称值。它能帮助我们比较机器做功的快慢，却不能单独告诉我们机器已经做了多少功。估测自己上楼时的功率也是常见实践：测出质量、竖直高度和上楼时间，用克服重力所做的功除以时间。这里比较的是身体提升自身重心的平均功率，不能把楼梯斜面长度误当成竖直高度。
如果已知功率和工作时间，也能从 看出做功多少：同一台机器在功率保持不变时，工作时间越长，完成的功越多。例如一台功率为 500 W 的机器正常工作 4 s，完成的功是 2000 J。这只是同一关系的倒推，不必另背一条毫无来由的新公式。
想亲自估测上楼功率，可以让同伴测量楼层的竖直高度并用秒表计时。每次从同一位置出发、到同一位置结束，重复几次再比较。若两次上楼高度不同，或者一次从静止开始、另一次在冲过终点后才停表，数据就失去了公平比较的基础。测量活动真正训练的不是“跑得越快越好”，而是知道每个数据在公式中代表什么。
四、运动的物体为什么能“干活”
滚动的保龄球能撞倒球瓶，流动的水能推动水轮机，行驶的小车能把纸盒撞开。它们虽然没有“手”，却能够对别的物体做功。物体能够对外做功，我们就说它具有能量；能量的单位同样是焦耳。
物体由于运动而具有的能叫作动能。一辆缓慢滑行的玩具车很难撞倒积木，加快后却能撞得更远；同样速度下，装满砝码的小车通常比空车产生更明显的撞击效果。这提示我们：物体的动能大小与质量和速度有关，质量越大、速度越大，动能越大。
这里最容易出现的实验错误是一次改变两个因素。若想研究速度的影响，就应保持小车质量相同，只改变速度；若想研究质量的影响，就应让小车到达撞击位置时速度相同，只改变质量。实验中常通过木块被推动的距离或软障碍形变程度，间接比较小车动能大小。这种“看不到动能，就观察它做功造成的效果”的办法叫转换法。
初中阶段只要求定性判断动能与质量、速度的关系，不使用高中阶段的动能计算式。比较时先检查控制变量，不能只看到“小车更快”就忽略它的质量也变了。
五、高处和形变里也能“存着本领”
静止在高处的重锤没有速度，却能在下落时把木桩打入土中；拉开的弓没有向前运动，却能放箭。这说明能量不只藏在运动里。
物体由于受到重力并处在一定高度而具有的能，叫作重力势能。在其他条件相同时，质量越大、相对参考平面的高度越高，物体具有的重力势能越大。说“高度越高”时，要先约定从哪里算起；同一个书包相对地面和相对桌面的高度不同，所以谈重力势能时不能把参考位置悄悄换掉。
发生弹性形变的物体，由于要恢复原状而具有的能，叫作弹性势能。被拉长或压缩的弹簧、拉弯的弓、被压扁后能恢复的弹力球，都可能具有弹性势能。在弹性限度内，同一弹性物体形变程度越大，弹性势能通常越大。若物体已经发生不能恢复的永久形变，就不能继续把它当作理想弹性形变来比较。
动能、重力势能和弹性势能的影响因素容易背成一串词，真正的关键是会设计公平比较。下面的变量实验要求你每次只改变一个条件，并先预测结果。
六、动能与势能会互相“换位置”
动能和势能统称为机械能。一个物体可以只具有其中一种，也可以同时具有几种。正在高处飞行的飞机既有动能，也有重力势能；静止在桌面的书有重力势能，却没有由于整体运动产生的动能；被压缩后暂时固定的弹簧具有弹性势能。
观察摆球：从最高点由静止释放的瞬间，摆球速度为零、动能为零，重力势能较大；向最低点运动时，高度降低、速度增大，重力势能减小而动能增大；越过最低点继续上升时，动能又逐渐转化为重力势能。理想情况下，如果只发生动能和势能之间的转化，机械能总量保持不变。
“机械能保持不变”不等于“速度保持不变”。摆球在下摆和上摆过程中速度一直变化，动能和势能也在变化，保持的是两者的总和。也不要把这个结论不加条件地套到所有运动上。真实过山车受到摩擦和空气阻力，机械能会有一部分转化为内能和声能，所以若不再次提升，车不可能越过一座比最初释放点更高的山峰。
类似的转化还发生在弹簧小车中：压缩的弹簧释放时，弹性势能减小，小车动能增大；小车随后沿粗糙地面滑行，速度变小，机械能的一部分转化为内能。能量没有凭空消失，只是形式发生了变化。
还要分清“转化”和“转移”。摆球下摆时，同一个系统中的重力势能转化为动能；运动的小球撞上静止木块并推动它时，能量可以从小球转移给木块。真实过程常同时发生两件事，例如球撞木块时既把一部分能量转移给木块，也可能有一部分转化为内能和声能。初中阶段不要求列复杂能量方程，但要能把能量的来路和去向说完整。
下面的轨道把高度、速度和能量条放在一起。先关闭摩擦观察理想转化，再打开摩擦，看看为什么小球每次回升都更低。
七、把这一章串成一条判断链
遇到功和机械能问题，不妨按这样的顺序想：
- 先点名研究对象和研究的力，判断它是否作用在物体上；
- 再看物体是否沿这个力的方向通过距离，确认力有没有做功；
- 在力与运动方向相同的简单情形中，用 计算功，并带上焦耳；
- 若问题问做功快慢，再用 ，不要把功多直接等同于功率大；
- 看到运动、高度或弹性形变，分别联想到动能、重力势能或弹性势能，并用控制变量判断影响因素；
- 分析转化时，说明哪一种能量减小、哪一种增大，还要检查摩擦和阻力是否让机械能转化为其他形式。
到中考复习阶段，常见失分并不来自公式太难，而是研究的力没说清、把任意路程塞进 、把功率理解成“做功多少”，或者只写“能量变了”却没有交代怎样转化。规范表达应当有对象、有条件、有方向、有单位。能说清为什么，公式才不会成为一串容易写混的字母。
课后练习
1
小明用50 N的水平推力使购物车沿推力方向移动4 m，这个推力做功多少？
2
下列关于指定力做功的判断，正确的是哪些？
3
一台机器做的功比另一台多，它的功率一定更大。
4
一台机器在20 s内做功6000 J，它的功率是 ____ W。
5
质量相同的甲、乙两辆小车，甲的速度大于乙。关于它们的动能，下列判断正确的是？
6. 上楼功率
一名质量为 50 kg 的同学在 10 s 内从一楼上到二楼，重心升高约 4 m。取 g=10 N/kg，估算他克服重力所做的功和平均功率。
7. 设计动能实验
现有同一辆小车、若干砝码、斜面和同样的木块。怎样探究小车动能大小与质量的关系？应控制什么量相同，用什么现象比较动能？
8. 摆球的能量变化
忽略空气阻力和摩擦，摆球从左侧最高点由静止释放，经过最低点后摆到右侧最高点。分别说明从左侧最高点到最低点、从最低点到右侧最高点的动能和重力势能怎样变化。
9. 粗糙斜面上的小车
一辆小车从粗糙斜面高处由静止滑下，到达底端后速度小于它在光滑斜面同高度释放时的速度。少掉的机械能“消失”了吗？请解释。
10. 起重机综合计算
起重机在 10 s 内把质量为 200 kg 的货物竖直匀速提升 5 m，取 g=10 N/kg。求起重机拉力对货物做的功和功率。若完成同样的功只用 5 s，功率怎样变化？
功、功率和机械能并不是三堆互不相干的名词：做功描述力在运动过程中传递或转化能量，功率描述这一过程进行得有多快，机械能则帮助我们追踪运动、高度和弹性形变之间的能量变化。下一章学习杠杆、滑轮和机械效率时，我们会继续追问：机械能不能省功？使用机械到底“省”下了什么，又付出了什么？