级数判别法：比较、积分、交错与绝对收敛 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

级数判别法：比较、积分、交错与绝对收敛

上一章里，几何级数和望远镜级数之所以好算，是因为我们能写出部分和公式。可大多数级数不会这么配合。面对

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt n}

逐项硬加没有路，部分和也没有漂亮公式。我们真正需要的是判断力：不求出总和，也能根据尾部大小、符号和衰减速度判断它是否收敛。

所有判别法仍然服务于同一个定义。级数

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

收敛，意思是部分和

s_N=a_1+\cdots+a_N

趋近某个有限数。判别法只是绕过“直接写出 $s_N$ ”这一步，借一个更熟悉的对象替我们判断极限。

级数判别法选择地图

判别法先看通项的尾部形状，再选择能描述这种形状的工具。

进入判别法

先做发散测试

任何无穷级数都必须先通过一个最基本的检查。如果

\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0

或这个极限不存在，那么

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

一定发散。原因很直接：如果无限相加能靠近一个有限数，后面继续加进去的每一项必须越来越接近 $0$ 。

发散测试只能证明发散，不能证明收敛。 $\lim a_n=0$ 只是级数可能收敛的必要条件。调和级数 $\sum 1/n$ 的通项趋于 $0$ ，但级数仍然发散。

例如

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3n-4}

的通项极限是 $2/3$ ，所以级数发散。这里不需要比较、不需要积分，也不需要算部分和。第一步检查已经结束了问题。

看尾部，不被前几项干扰

级数的收敛性只取决于足够靠后的项。删掉、改动或增加有限多项，不会改变级数是收敛还是发散，只会改变收敛时的和。

比如从 $n=2$ 开始的级数

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^2}

和从 $n=10$ 开始的同类级数有相同的收敛性。判别法关心的是 $n$ 很大以后项衰减得够不够快。

这个原则会反复出现。积分判别法允许函数“最终递减”，比较判别法关注通项的主导项，比值和根值判别法也只看极限。

积分判别法

积分判别法把正项级数和反常积分联系起来。它适合通项看起来像某个连续函数值的级数，尤其是含有 $\ln n$ 、幂函数或容易积分的表达式。

定理与条件

设 $a_n=f(n)$ 。如果函数 $f(x)$ 在 $[N,\infty)$ 上连续、正值、递减，并且 $a_n=f(n)$ ，那么级数

\sum_{n=N}^{\infty}a_n

和反常积分

\int_N^{\infty} f(x)\,dx

有相同的收敛性：积分收敛则级数收敛，积分发散则级数发散。

积分判别法的面积直觉

积分判别法比较的是矩形面积与曲线下面积。它判断收敛性，不直接给出级数的和。

这个定理来自矩形面积和曲线面积的夹逼。对递减正函数， $f(n)$ 形成的矩形可以从上方或下方估计曲线下面积。矩形总面积就是级数，曲线下面积就是反常积分。两者可能数值不同，但“面积是否有限”一致。

积分判别法不能只看表达式像函数就直接使用。需要检查正值、连续、最终递减这几个条件。尤其是“递减”可以是从某个 $N$ 以后才成立，不必从第一项就成立。

例题：用积分判别法处理对数尾部

判断级数

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^2}

是否收敛。

令

f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^2}.

同样的方法还能处理

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}.

这时对应积分是

\int_2^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx = \int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du,

它发散，所以级数也发散。一个额外的 $\ln n$ 幂次，正好把尾部从发散推到收敛。

从积分判别法得到 p 级数

对 $p$ 级数

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p},

使用函数 $f(x)=1/x^p$ 。反常积分

\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}\,dx

在 $p>1$ 时收敛，在 $p\le 1$ 时发散。因此

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{收敛}, & p>1,\\ \text{发散}, & p\le 1. \end{cases}

这个结论会成为后面比较判别法最常用的参照物。遇到有理函数型通项时，先看它像哪个 $1/n^p$ ，通常比直接积分更快。

积分判别法的余项估计

积分判别不仅能说“收敛”，还能估计只取前 $N$ 项时漏掉多少。

设 $f$ 正、连续、递减，且 $a_n=f(n)$ 。若

S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\qquad S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n

则余项

R_N=S-S_N

满足

\int_{N+1}^{\infty}f(x)\,dx \le R_N \le\int_N^{\infty}f(x)\,dx

两边来自递减曲线下矩形与面积的夹逼。

例题：需要取多少项

用

S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac1{n^3}

近似整个级数，并希望误差小于 $10^{-4}$ 。取 $f(x)=x^{-3}$ ，上界为

R_N\le\int_N^\infty x^{-3}\,dx =\frac{1}{2N^2}

要求

\frac{1}{2N^2}<10^{-4}

得到

N>\sqrt{5000}\approx70.71

所以取 $N=71$ 可以保证精度。

用上下界夹住总和

同样的公式还给出

S_N+\int_{N+1}^{\infty}f(x)\,dx \le S \le S_N+\int_N^{\infty}f(x)\,dx

这比只报一个部分和更完整：我们得到一个确定包含真实和的区间。

积分余项估计要求的正、连续、递减条件与积分判别相同。若通项只是最终满足这些条件，可以从足够大的项开始估计，前面的有限项照常保留。

比较判别法

比较判别法处理正项级数。它的思想是：如果一个级数的尾部不超过一个已知收敛级数，那么它也收敛；如果它的尾部不小于一个已知发散级数，那么它也发散。

直接比较与极限比较

直接比较强调明确不等式，极限比较强调尾部同阶。

直接比较

设 $0\le a_n\le b_n$ 从某个 $N$ 以后成立。

如果

\sum_{n=N}^{\infty} b_n

收敛，那么

\sum_{n=N}^{\infty} a_n

也收敛。

反过来，如果 $a_n\ge b_n\ge 0$ 从某个 $N$ 以后成立，并且

\sum_{n=N}^{\infty} b_n

发散，那么

\sum_{n=N}^{\infty} a_n

也发散。

注意方向。证明收敛时，用一个更大的收敛级数压住它；证明发散时，用一个更小的发散级数托住它。

例题：用直接比较证明收敛

判断

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{n^3+4}

的收敛性。

当 $n\ge 1$ 时，分母 $n^3+4\ge n^3$ ，分子 $3n+1\le 4n$ ，所以

0\le \frac{3n+1}{n^3+4} \le \frac{4n}{n^3} = \frac{4}{n^2}.

而

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2}

是 $p=2$ 的 $p$ 级数倍数，收敛。因此原级数收敛。

例题：用直接比较证明发散

判断

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}

的收敛性。

当 $n\ge 1$ 时，

\sqrt{n^2+1}\le \sqrt{2n^2}=\sqrt2\,n.

因此

\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \ge \frac{1}{\sqrt2\,n}.

级数

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt2\,n}

是调和级数的常数倍，发散。原级数被一个发散级数从下方托住，所以原级数发散。

极限比较

直接比较需要构造不等式。有时不等式可以做，但过程麻烦。极限比较更适合通项的主导项很清楚的情况。

设 $a_n>0$ 、 $b_n>0$ ，如果

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c

且

0<c<\infty,

那么

\sum a_n

与

\sum b_n

同敛散。它们的尾部是同阶的。

例题：有理式的主导项

判断

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}

是否收敛。

通项在 $n$ 很大时像

\frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}.

取

b_n=\frac{1}{n^2}.

计算极限：

\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^3+1}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{n^3+1} = 1.

因为 $\sum 1/n^2$ 收敛，且极限为正有限数，原级数收敛。

再看一个发散例子：

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+1}{n^3+n+5}.

通项像

\frac{2n^2}{n^3}=\frac{2}{n}.

与 $b_n=1/n$ 比较：

\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2n^2+1}{n^3+n+5}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3+n}{n^3+n+5} = 2.

调和级数发散，所以原级数发散。

极限比较中， $c$ 必须是正的有限数。若极限为 $0$ 或 $\infty$ ，仍可能得到结论，但要额外看比较级数的方向；初学时更稳妥的做法是换一个更同阶的 $b_n$ 。

交错级数

前面几种方法主要处理正项级数。若级数的项正负交替，正项的比较不能直接使用。交错级数的典型形式是

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n

或

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n,

其中 $b_n>0$ 。

交错级数判别法

如果 $b_n$ 满足：

$b_{n+1}\le b_n$ 从某个 $N$ 以后成立；
$\lim_{n\to\infty}b_n=0$ ；

那么交错级数

\sum_{n=N}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n

收敛。

交错级数部分和与误差估计

交错级数的部分和从两侧逼近极限，下一项控制当前误差。

交错级数的部分和会在极限两侧来回跳动。因为 $b_n$ 递减，每一次跳动幅度变小；因为 $b_n\to 0$ ，跳动最终消失。于是部分和被越来越窄的区间夹住。

交错级数判别法只能说明满足条件的交错级数收敛。它不能用来证明不满足条件的交错级数一定发散。若条件失败，需要回到通项极限、绝对值级数或其他判别法。

误差估计

对满足交错级数判别法条件的级数，若 $S$ 是真实和， $S_N$ 是前 $N$ 项部分和，则

|S-S_N|\le b_{N+1}.

也就是说，用前 $N$ 项近似总和时，误差不超过下一项的大小。

例题：交错调和级数与误差

级数

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}

满足 $b_n=1/n$ 递减且趋于 $0$ ，所以收敛。

若想用部分和 $S_N$ 近似它的和，并保证误差小于 $0.001$ ，只需让

b_{N+1}=\frac{1}{N+1}<0.001.

这等价于

N+1>1000.

因此取 $N=1000$ 就能保证误差小于或等于 $0.001$ ；若要严格小于 $0.001$ ，可取 $N=1001$ 。

条件不满足时要小心

考虑

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n+1}.

虽然符号交错，但

\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.

通项本身不趋于 $0$ ，所以级数发散。这里不需要交错级数判别法，发散测试已经给出结论。

绝对收敛与条件收敛

带符号的级数有两种不同的收敛方式。先看绝对值级数：

\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|.

如果这个正项级数收敛，那么原级数

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

也收敛。这时称原级数绝对收敛。

如果原级数收敛，但绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。

绝对收敛、条件收敛与发散

绝对收敛是最强的收敛形式；条件收敛依赖符号抵消。

为什么绝对收敛更强

把 $a_n$ 分成正部和负部可以看清这件事。设

a_n^+=\frac{|a_n|+a_n}{2}, \qquad a_n^-=\frac{|a_n|-a_n}{2}.

那么 $a_n^+\ge 0$ 、 $a_n^-\ge 0$ ，并且

a_n=a_n^+-a_n^-, \qquad |a_n|=a_n^++a_n^-.

如果 $\sum |a_n|$ 收敛，那么正部和负部都被一个收敛的正项级数控制，所以 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 都收敛。于是它们的差也收敛。

这个证明也解释了为什么绝对收敛可靠：正负两边各自的总量都是有限的，不只是靠抵消勉强稳定。

例题：交错 p 级数

考虑

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^p}.

当 $p>0$ 时， $b_n=1/n^p$ 递减且趋于 $0$ ，所以交错级数收敛。

它的绝对值级数是

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}.

这个 $p$ 级数在 $p>1$ 时收敛，在 $0<p\le 1$ 时发散。因此：

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{绝对收敛}, & p>1,\\ \text{条件收敛}, & 0<p\le 1. \end{cases}

交错调和级数对应 $p=1$ 。它收敛，但不是绝对收敛，所以是条件收敛。

实际判断带符号级数时，常先看绝对值级数。若绝对值级数收敛，问题结束；若绝对值级数发散，再检查原级数是否可能通过交错等结构条件收敛。

比值判别法与根值判别法

比较和积分适合幂函数、对数函数、有理函数尾部。含有阶乘、指数、连乘或整体的 $n$ 次方时，比值判别法和根值判别法通常更直接。

比值判别法与根值判别法

比值判别法看相邻项比例，根值判别法看通项的 n 次平均增长率。

比值判别法

对级数 $\sum a_n$ ，设

L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

如果 $L<1$ ，级数绝对收敛；如果 $L>1$ 或 $L=\infty$ ，级数发散；如果 $L=1$ ，判别法没有结论。

比值判别法适合出现 $n!$ 、指数函数或相邻项相除后能大量约去的表达式。

例题：阶乘与幂的竞争

判断

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}

是否收敛。

设

a_n=\frac{n!}{n^n}.

再看

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n!}.

取 $a_n=3^n/n!$ ，有

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}.

所以 $L=0<1$ ，级数收敛。

根值判别法

对级数 $\sum a_n$ ，设

L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

如果 $L<1$ ，级数绝对收敛；如果 $L>1$ 或 $L=\infty$ ，级数发散；如果 $L=1$ ，判别法没有结论。

根值判别法适合通项里有整体的 $n$ 次方，例如

\left(\frac{3n}{4n+1}\right)^n, \qquad \left(\frac{n+2}{2n-1}\right)^{2n}.

例题：整体 n 次方

判断

\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n}{4n+1}\right)^n

是否收敛。

设

a_n=\left(\frac{3n}{4n+1}\right)^n.

根值判别法给出

\sqrt[n]{|a_n|} = \frac{3n}{4n+1}.

因此

L=\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{4n+1} = \frac{3}{4}<1.

原级数绝对收敛。

L 等于 1 时没有结论

比值或根值判别法得到 $L=1$ 时，不能判断收敛或发散。例如

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

和

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

用比值判别法都会得到 $L=1$ ，但前者发散，后者收敛。这个结果不是“收敛边界”，而是方法失效的信号。此时要换用比较、积分或其他工具。

判别法选择策略

判别法不是线性清单。比较自然的流程是先做必要检查，再根据通项结构选择工具。

常见通项信号

通项特征	常用判别法	典型参照
$a_n$ 不趋于 $0$	发散测试	$\lim a_n$
正项，像 $f(n)$ 且易积分

一个实用流程

先看通项极限。如果 $a_n$ 不趋于 $0$ ，立刻判定发散。

看符号。如果所有项最终非负，优先考虑正项级数工具：积分、直接比较、极限比较、比值、根值。

例题：完整选择过程

判断

\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}

的收敛类型。

先看绝对值级数：

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n}.

用积分判别法，令

f(x)=\frac{\ln x}{x}.

反常积分为

\int_2^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_2^{\infty},

它发散。因此原级数不绝对收敛。

再看交错级数条件。令

b_n=\frac{\ln n}{n}.

它趋于 $0$ 。并且当 $x>e$ 时，

\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \frac{1-\ln x}{x^2}<0,

所以 $b_n$ 从足够大的 $n$ 以后递减。交错级数判别法成立，原级数收敛。

结论是：该级数条件收敛。

常见误区

把通项趋零当成收敛

通项趋零只是必要条件。下面两个级数都满足 $a_n\to 0$ ：

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

前者发散，后者收敛。差别在于尾部衰减速度。

比较方向写反

若想证明一个正项级数收敛，需要找到更大的收敛级数。若想证明发散，需要找到更小的发散级数。方向反了，结论通常无效。

例如知道

0\le \frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n}

不能推出 $\sum 1/n^2$ 发散，因为它比发散的调和级数小。小于一个发散级数没有用。

忘记绝对值

比值判别法和根值判别法使用的是

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

和

\sqrt[n]{|a_n|}.

它们判断的是绝对收敛或发散。若题目含有 $(-1)^n$ ，先取绝对值再计算极限。

把判别法无结论当成结论

比值判别法或根值判别法得到 $L=1$ ，只表示这两个方法在这道题上不够敏感。它不意味着级数发散，也不意味着级数收敛。

小结

本章的判别法可以按“尾部形状”理解。

正项级数的主要工具是积分、直接比较和极限比较。它们都在比较尾部面积或尾部大小。带符号级数要区分绝对收敛和条件收敛；交错级数收敛依赖项大小递减并趋于 $0$ 。比值判别法和根值判别法则把阶乘、指数和 $n$ 次方结构转化为一个增长率极限。

做题时先问三个问题：通项是否趋于 $0$ ，符号是否最终固定或交错，尾部像什么已知模型。能回答这三个问题，多数级数就能找到合适的判别法。

练习

基础判断

判断级数

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^3}

是否收敛。

判断级数

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2+1}{n^3+7}

是否收敛。

判断级数

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt n}

的收敛类型。

判断级数

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^3}

是否收敛。

综合练习

判断级数

\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{2n+3}\right)^n

是否收敛。

判断级数

\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{n}{n^2+1}

是绝对收敛、条件收敛还是发散。

判断级数

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{4^n}

是否收敛。

判断级数

\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln n(\ln\ln n)^2}

是否收敛。

n

=

1

\infty

\frac{1}{\sqrt{n}}

,

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n},

\sum 1 / n

\sum 1/n