积分应用 II：弧长、表面积、功与压力

上一章里，一片的量通常是“高度乘宽度”或“截面积乘厚度”。这一章仍然切片，只是薄片不再那么规整：曲线的一小段带着斜率，旋转曲面的窄带带着周长，变力做功带着位移，水下条带还带着深度。

公式看起来多了，建模动作其实没有变：先找到局部贡献，再累加。

从折线到弧长微元

一条弯曲的曲线不能直接用“两点距离”求长度。自然的办法是先在曲线上取许多点，用短线段连接，相加得到折线长度。取点越密，折线越贴近曲线。

对 $y=f(x)$，把一小段曲线放大。水平变化为 $dx$，竖直变化近似为

由勾股定理，小弧段长度为

提取 $dx$ 得

所以当 $f'$ 在 $[a,b]$ 上连续时，

用 $y$ 作变量

若曲线更容易写成 $x=g(y)$，就用

选择变量的原则仍是：让曲线表达、导数和上下限尽量简单。

例题：一段抛物线的弧长

求 $y=\frac23x^{3/2}$ 在 $0\le x\le3$ 上的弧长。

先求导：

于是

这个例子特意让根号能够直接积分。实际弧长积分经常没有初等反导，这时应转向数值积分，而不是怀疑弧长模型。

旋转曲面的表面积

把一小段曲线绕旋转轴转一圈，它会扫出一条很窄的曲面带。若该曲线段到旋转轴的距离为 $r$，带的周长近似为 $2\pi r$，斜宽是 $ds$：

若 $y=f(x)\ge0$ 绕 $x$ 轴旋转，$r=f(x)$：

若绕 $y$ 轴旋转，半径改为 $|x|$：

例题：直线段绕 $x$ 轴旋转

把 $y=x+1$ 在 $0\le x\le2$ 上绕 $x$ 轴旋转。

因为 $y'=1$，

这条直线旋转后形成圆台侧面。用几何公式检查也会得到相同答案。

质量与密度：先分清“每什么”

物理应用里，密度告诉我们单位长度、单位面积或单位体积含有多少质量。密度的类型决定微元。

线密度

一根细棒位于 $a\le x\le b$，线密度为 $\rho(x)$，单位例如千克/米。长度为 $dx$ 的小段质量近似为

总质量：

例如一根 $0\le x\le3$ 的细棒线密度为 $\rho(x)=2+x$ 千克/米：

平均线密度是

本例中为 $3.5$ 千克/米。

圆盘上的径向密度

若薄圆盘的面密度只随到圆心的距离 $r$ 变化，半径 $r$ 到 $r+dr$ 的窄圆环面积近似为

所以质量微元为

半径为 $R$ 的圆盘质量为

这里的额外因子 $r$ 来自圆环周长。若直接积分 $\rho(r)\,dr$，单位会变成千克/米，立刻暴露错误。

变力做功：把力沿位移累加

恒力 $F$ 沿同方向推动物体距离 $d$ 时，做功是 $W=Fd$。若力随位置变化，就把路径切成小段。在第 $i$ 段上，力近似为 $F(x_i^*)$，位移为 ：

取极限得到

例题：拉伸弹簧

理想弹簧在平衡位置外 $x$ 米处所需的力满足胡克定律

若把弹簧从 $0.1$ 米拉到 $0.25$ 米，需要的功为

如果已知把它拉长 $0.1$ 米需要 $12$ 牛，则

于是

提升链条

一条长 $L$ 米、线密度为 $\lambda$ 千克每米的均匀链条垂在高台边缘。把整条链拉上来时，离台面 $x$ 米处的一小段质量为 $\lambda\,dx$，重量为 $\lambda g\,dx$，要提升距离 $x$：

链条问题不能把整条链的重量乘同一个距离，因为各段原来的高度不同。

抽水问题

抽水题的微元通常是一片水平水层：

若水的重度为 $\gamma$，水层截面积为 $A(y)$，厚度为 $dy$，提升到高度 $H$：

这里最难的往往不是积分，而是把截面积和提升距离都用同一个坐标 $y$ 表示。

例题：从圆柱水箱抽水

一个竖直圆柱水箱半径 $1$ 米、高 $3$ 米，装满水。要把水抽到箱顶上方 $0.5$ 米处。令 $y$ 从箱底向上量，则水层截面积恒为

厚度 $dy$ 的水层体积为 $\pi\,dy$，重量为 $9800\pi\,dy$。它需要提升的距离是

所以

检查端点：底部水层提升 $3.5$ 米，顶部水层提升 $0.5$ 米，都符合几何位置。

流体压力：深处的条带承受更多力

液体静压力随深度线性增加。若液体重度为 $\gamma$，深度为 $h$，压强为

压强是单位面积上的力。竖直挡板上的水平窄条若宽 $w(y)$、厚 $dy$，面积为

于是窄条受力近似为

总流体力为

例题：矩形闸门

一块宽 $3$ 米、高 $2$ 米的竖直矩形闸门，顶边位于水面下 $1$ 米。令 $y$ 表示从水面向下的深度，则 $1\le y\le3$，条带宽度恒为 $3$：

若水的重度取 $\gamma=9800\ \text{N/m}^3$，

三角形挡板为什么要先写宽度

三角形挡板的水平宽度会随深度变化。假设顶点在水面，底边在深度 $H$，底宽为 $B$。由相似三角形：

所以

流体力为

如果三角形倒过来，宽度函数就变成 $B(1-y/H)$。仅凭“是三角形”不能套同一个宽度公式。

压强与总力不是同一个量

在深度 $h$ 处，

是压强，单位为牛/平方米。只有再乘条带面积，才得到力：

因此不能把最深处的压强乘整块板面积来代替积分；那相当于假设整块板都处在最大深度，会系统性高估。

若挡板水平放置，所有点深度相同，压强才是常量，此时可以直接用

竖直挡板通常必须积分。

概率密度中的期望值

连续随机变量不能靠“列出所有可能值再平均”。若概率密度为 $p(x)$，它满足

在很短区间 $[x,x+dx]$ 内的概率近似为 $p(x)\,dx$，该区间对平均值的贡献近似是

所以期望值为

例题：三角形密度

设

先检查总概率：

再求期望：

密度在较大的 $x$ 附近更高，所以期望值位于区间中点 $1/2$ 的右侧，这与结果相符。

同一个积分模板

这几类问题可以放进同一张表：

每次建模都要保证三个量使用同一个变量：局部大小、微元厚度和积分上下限。混用 $x$ 与 $y$ 是应用题里最常见的隐蔽错误。

物理量还可能带方向。功的正负取决于力与位移是否同向；流体压强本身是非负的，但若题目问挡板所受合力的方向，还要另外指定坐标正向；概率密度非负，而随机变量的取值可以有正有负。积分公式负责累加局部贡献，符号约定必须在建模阶段先说清，不能等算出负数后再凭感觉改成绝对值。

算完以后再做一个数量级检查：弯曲的弧长至少不短于两端点的直线距离；旋转曲面半径越大，表面积通常越大；提升距离翻倍而其他条件不变，功也应相应增大。公式推导保证结构，数量级检查负责抓住漏掉的系数、距离或单位。

建模时如何选坐标

物理题没有规定坐标原点时，选择会直接影响代数长度。一个好坐标通常让两件事简单：

• 截面宽度或面积容易表示；
• 位移、深度或半径容易表示。

例如抽水题把 $y=0$ 放在箱底，截面形状往往简单；流体压力题把 $y=0$ 放在水面，深度直接是 $y$。两种选择都正确，只要所有量保持一致。

一道题的完整建模顺序

以流体力为例：

这一顺序同样适用于链条、抽水和质量问题：先画微元，再列组成部分，最后积分。

常见错误

把公式当成记忆清单

若只记结果，很容易把 $dx$、$ds$、半径和深度混在一起。先画一片，再写“这一片的量”，公式会自然出现。

忘记半径是距离

绕 $y=2$ 旋转时，曲线 $y=f(x)$ 的半径是 $|f(x)-2|$，不是 $f(x)$。

把水深和坐标混在一起

若坐标原点不在水面，深度不能直接写成 $y$。先写“水面坐标减条带坐标”或相反，并检查深度为非负。

忽略单位

弧长是长度，表面积是平方单位，功是牛·米，流体力是牛。单位不对，通常说明微元少乘或多乘了一个长度。

练习

1. 求 $y=\frac12x^2$ 在 $0\le x\le2$ 上的弧长。
2. 把 $$ 在 上绕 轴旋转，建立表面积积分。

小结

本章的公式都来自一个局部模型：弧长来自小直角三角形，表面积来自窄曲面带，功来自力乘微小位移，流体力来自压强乘微小面积。应用模型建立后，剩下的困难往往变成“这个积分怎样算”。下一章开始，我们就专门建立处理复杂反导函数的工具箱。

在进入积分技巧前，再记住一条界线：模型正确不代表积分一定有初等反导。弧长或表面积积分若只能数值计算，微元推导仍然完全有效。先确认模型，再选择精确计算、数值近似或级数近似，不要因为积分不好算就回头随意改动几何公式。

这个积分可用下一章之后的三角代换，也可先保留为精确积分。

9. 令 $y$ 从箱底向上量。水层面积为 $4$，提升距离为 $3-y$：

   $$W=9800\int_0^3 4(3-y)\,dy =176400\ \text{J}$$