分部积分法：把乘积拆开 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

分部积分法：把乘积拆开

换元法是链式法则反着用；分部积分法则是乘积法则反着用。它专门处理这样的麻烦：被积函数由两个部分相乘，其中一个部分求导后会变简单，另一个部分容易积分。

真正的技术不在背公式，而在挑选 $u$ 与 $dv$ 。选得好，难度下降；选得差，新积分会比原题更麻烦。

分部积分公式来自乘积法则的反向使用

从乘积法则得到公式

乘积求导法则是

\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] =u(x)v'(x)+v(x)u'(x)

两边积分：

u(x)v(x)=\int u(x)v'(x)\,dx+\int v(x)u'(x)\,dx

移项得到

\int u\,dv=uv-\int v\,du

这个公式做的事很具体：把原来的 $\int u\,dv$ 换成 $\int v\,du$ 。它只有在新积分更简单时才有价值。

公式中的每个位置

使用时要完成四个动作：

从被积式中选择 $u$ ；
剩余的全部连同 $dx$ 组成 $dv$ ；
求 $du$ ；
对 $dv$ 积分得到 $v$ 。

$dv$ 必须包含微分，例如 $e^x\,dx$ ，不能只写 $e^x$ 。如果拆完后有因子既不在 $u$ 中也不在中，说明拆分不完整。

怎样选择 u 和 dv

我们希望同时满足两件事：

$u$ 求导后变简单；
$dv$ 能顺利积分。

选择 u 与 dv 的判断流程

LIATE 是经验，不是定理

常见经验顺序是：对数、反三角、代数、三角、指数。越靠前的因子越常被选为 $u$ 。例如在

\int x e^x\,dx

中选 $u=x$ ，因为求导后变成 $1$ ；而 $e^x\,dx$ 很容易积分。

但 LIATE 只是初筛。最终标准仍是检查

\int v\,du

是否比原积分简单。

LIATE 经验顺序

先比较两种拆法

分部积分最值得练的，不是把一个正确拆法背下来，而是能解释另一个拆法为什么差。

$\int x\ln x\,dx$

方案一：取 $u=\ln x$ 、 $dv=x\,dx$ 。于是

du=\frac1x\,dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}

新积分变为

\frac12\int x\,dx

明显更简单。

方案二：取 $u=x$ 、 $dv=\ln x\,dx$ 。但求 $v$ 本身就需要先计算 $\int\ln x\,dx$ ，相当于为了用分部积分，先解决另一个分部积分问题。这不是错误，却没有效率。

采用方案一：

\int x\ln x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx

=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C

$\int x^2\ln x\,dx$

同样取 $u=\ln x$ 、 $dv=x^2\,dx$ ：

\int x^2\ln x\,dx =\frac{x^3}{3}\ln x-\frac13\int x^2\,dx

=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C

这里让代数因子去积分、让对数去求导，比机械套 LIATE 更准确地描述了选择理由。

什么时候 LIATE 会让位

在

\int xe^{x^2}\,dx

中，按“代数优先于指数”选 $u=x$ 并不好。它其实是换元结构，令 $w=x^2$ 一步完成。任何经验表都应让位于明显的链式结构。

一次分部积分

例题： $\int xe^x\,dx$

取

u=x,\qquad dv=e^x\,dx

则

du=dx,\qquad v=e^x

代入：

\int xe^x\,dx =xe^x-\int e^x\,dx =e^x(x-1)+C

检查时对答案求导：

\frac{d}{dx}[e^x(x-1)] =e^x(x-1)+e^x =xe^x

一次分部积分让代数因子降阶

如果反过来选 $u=e^x$ 、 $dv=x\,dx$ ，新积分会出现 $x^2e^x$ ，次数升高，方向显然错了。

例题： $\int x\cos x\,dx$

取 $u=x$ 、 $dv=\cos x\,dx$ ：

du=dx,\qquad v=\sin x

\int x\cos x\,dx =x\sin x-\int\sin x\,dx =x\sin x+\cos x+C

看起来不是乘积的积分

有些积分表面上只有一个函数，也可以把它乘以 $1$ 。

例题： $\int\ln x\,dx$

把它写成

\int(\ln x)\cdot1\,dx

取

u=\ln x,\qquad dv=dx

于是

du=\frac1x\,dx,\qquad v=x

\int\ln x\,dx =x\ln x-\int1\,dx =x\ln x-x+C

例题： $\int\arctan x\,dx$

取

u=\arctan x,\qquad dv=dx

得到

du=\frac{1}{1+x^2}\,dx,\qquad v=x

所以

\int\arctan x\,dx =x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}\,dx

第二项使用换元 $w=1+x^2$ ：

\int\arctan x\,dx =x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C

这说明分部积分之后不一定立即结束，新积分可能要接换元、三角恒等式或部分分式。

多次分部积分

多项式乘指数或三角函数时，每次都让多项式降一次次数，重复进行即可。

例题： $\int x^2e^x\,dx$

第一次取 $u=x^2$ 、 $dv=e^x\,dx$ ：

\int x^2e^x\,dx =x^2e^x-2\int xe^x\,dx

利用前面的结果：

\int x^2e^x\,dx =x^2e^x-2e^x(x-1)+C

=e^x(x^2-2x+2)+C

表格法

当多项式会连续求导到 $0$ ，可以把重复步骤压缩成表格：

左列连续求导；
右列连续积分；
符号按 $+,-,+,-,\ldots$ 交替；
斜向相乘后相加。

多次分部积分的表格法结构

表格法只是记账工具，背后仍是多次使用同一个公式。若右列不容易连续积分，表格法并不会创造新能力。

例题： $\int x^2\sin(3x)\,dx$

这题需要连续两次分部积分，并且每次积分三角函数都要保留链式系数。

第一次取 $u=x^2$ 、 $dv=\sin(3x)\,dx$ ：

du=2x\,dx,\qquad v=-\frac13\cos(3x)

所以

\int x^2\sin(3x)\,dx =-\frac{x^2}{3}\cos(3x) +\frac23\int x\cos(3x)\,dx

对剩余积分取 $u=x$ 、 $dv=\cos(3x)\,dx$ ：

\int x\cos(3x)\,dx =\frac{x}{3}\sin(3x)+\frac19\cos(3x)

合并：

\int x^2\sin(3x)\,dx =-\frac{x^2}{3}\cos(3x) +\frac{2x}{9}\sin(3x) +\frac{2}{27}\cos(3x)+C

求导时，含 $x\cos(3x)$ 和 $\sin(3x)$ 的中间项会相消，留下原被积函数。

循环分部积分

有些函数求导或积分后会周期性返回，例如 $e^x\sin x$ 。这时分部积分不会把积分彻底消掉，而是让原积分重新出现。

设

I=\int e^x\sin x\,dx

第一次分部积分，取 $u=\sin x$ 、 $dv=e^x\,dx$ ：

I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx

对剩余积分再分部一次：

\int e^x\cos x\,dx =e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx

因此

I=e^x\sin x-e^x\cos x-I

把 $I$ 移到左边：

2I=e^x(\sin x-\cos x)

I=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C

循环分部积分让原积分回到等式两边

原积分重新出现不是失败。只要它以可移项的线性形式出现，问题就从积分计算变成了一次代数求解。

定积分中的分部积分

把不定积分公式应用到上下限，可得

\int_a^b u\,dv =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b v\,du

上下限应保留到最后，不需要额外加积分常数。

例题： $\int_0^1 xe^x\,dx$

\int_0^1xe^x\,dx =\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1e^x\,dx

=e-(e-1)=1

例题： $\int_1^e\ln x\,dx$

\int_1^e\ln x\,dx =\left[x\ln x\right]_1^e-\int_1^e1\,dx

=e-(e-1)=1

定积分还可以通过聪明选择让边界项消失。例如若 $u$ 在端点为零， $\left[uv\right]_a^b$ 可能直接为零。

例题：边界项消失

计算

\int_0^\pi x\sin x\,dx

取 $u=x$ 、 $dv=\sin x\,dx$ ：

\int_0^\pi x\sin x\,dx =\left[-x\cos x\right]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx

第二项为零，边界项为

-\pi\cos\pi-0=\pi

结果为正，也符合 $x\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 内非负的图像。

定积分中的换元顺序

若分部积分后又换元，可以选择：

一直保留 $x$ 的上下限，换元完成后回到 $x$ ；
把剩余积分的上下限同步换成新变量。

两种方法都正确，不能把新变量的被积式配上旧变量的上下限。

降阶公式

分部积分还能生成一整族积分之间的递推关系。令

I_n=\int x^n e^x\,dx

取 $u=x^n$ 、 $dv=e^x\,dx$ ，得到

I_n=x^ne^x-nI_{n-1}

这叫降阶关系：把次数为 $n$ 的积分降到次数为 $n-1$ 。

类似地，对

J_n=\int\sin^n x\,dx

适当分部积分并使用 $\cos^2x=1-\sin^2x$ ，可得

J_n =-\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} +\frac{n-1}{n}J_{n-2}

降阶公式适合处理同一结构的一系列积分，但若只算一个低次例子，直接计算往往更清楚。

对数幂的降阶

定义

K_n=\int(\ln x)^n\,dx

取

u=(\ln x)^n,\qquad dv=dx

则

du=\frac{n(\ln x)^{n-1}}{x}\,dx,\qquad v=x

所以

K_n=x(\ln x)^n-nK_{n-1}

例如

\int(\ln x)^2\,dx =x(\ln x)^2-2\int\ln x\,dx

=x[(\ln x)^2-2\ln x+2]+C

这类递推也说明为什么对数通常适合选作 $u$ ：每求导一次，幂次会下降。

分部积分在证明中的作用

分部积分不只算反导函数，还能建立函数之间的关系。

例如对 $a>0$ ，研究

I_n(a)=\int_0^a x^n e^{-x}\,dx

取 $u=x^n$ 、 $dv=e^{-x}\,dx$ ：

du=nx^{n-1}\,dx,\qquad v=-e^{-x}

得到

I_n(a) =\left[-x^ne^{-x}\right]_0^a +n\int_0^a x^{n-1}e^{-x}\,dx

=-a^ne^{-a}+nI_{n-1}(a)

这个关系把高次积分降到低次积分。即使不把每个积分都展开，它也足以做递推计算或比较。

类似地，在傅里叶分析、概率和微分方程中，分部积分经常把导数从一个因子“搬到”另一个因子。公式的本质是重新分配求导负担。

常见误区

让新积分更难

分部积分后先比较新旧难度。如果代数次数升高，通常是 $u$ 选反了。

忘记链式系数

若 $dv=\cos(3x)\,dx$ ，则

v=\frac13\sin(3x)

少掉 $1/3$ 会让整题都错。

对 $\int v\,du$ 再减一次

公式本身已经有负号：

\int u\,dv=uv-\int v\,du

若 $du$ 中也带负号，要认真处理双重符号。

循环时忘记移项

原积分回到右边后，不是把它删掉，而是把它移到左边再解。

快速诊断表

被积函数结构	常见的 $u$	选择理由
多项式 $\times$ 指数	多项式	连续求导会降次到零
多项式 $\times$ 正弦或余弦	多项式	三角函数可反复积分，多项式会结束
对数 $\times$ 代数函数	对数	对数求导后去掉对数
反三角函数单独出现	反三角函数，令 $dv=dx$	其导数变成有理函数
指数 $\times$ 正弦或余弦

这个表只给候选方案。实际使用前仍要确认 $dv$ 能积分，并在第一次变换后检查新积分是否更简单。

还要特别区分两类“乘积”：

x e^{x^2}

是链式结构，换元优先；而

x e^x

没有内外函数配对，分部积分更自然。写出内层函数的导数，是区分两者最快的办法。

方法选择小结

遇到乘积积分时，可以按下面的路线判断：

先看是否其实是直接换元结构；
若一个因子求导会明显变简单，另一个因子容易积分，试分部积分；
多项式乘指数或三角函数，准备多次使用或用表格法；
指数乘正弦、余弦，准备循环并移项；
单独的 $\ln x$ 、反三角函数，可补乘 $1$ ；
每次变换后都检查新积分是否更简单。

练习

计算下列积分。

$\int x\sin x\,dx$
$\int x^2\cos x\,dx$
$\int\ln(2x)\,dx$

本章收束

分部积分法的本质，是用一次求导换取一次积分：

\int u\,dv=uv-\int v\,du

挑选 $u$ 时始终看难度是否下降。下一章会处理另一类结构：三角函数的幂与乘积，以及由平方和、平方差根式产生的积分。

2

4

+

C

\int x(\ln x)^2\,dx =\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 -\frac{x^2}{2}\ln x +\frac{x^2}{4}+C