三角积分与三角代换

这一章名字里有两个“三角”，但它们解决的是两类不同麻烦。

• 三角积分：被积函数本来就是三角函数的幂或乘积，要用恒等式把它整理成可换元的形态。
• 三角代换：被积函数里有 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$ 或 $\sqrt{x^2-a^2}$，借三角恒等式消掉根号。

先识别是哪一类，再谈具体步骤。

本章要抓住的结构

三角积分没有一条万能代换。真正有用的是把恒等式和微分结构配成一对：

以及

策略的本质是：保留一个能成为 $du$ 的因子，再把其余部分改写成 $u$。

正弦与余弦幂的积分

考虑

先看 $m,n$ 的奇偶性。

正弦幂为奇数

把一个 $\sin x$ 留给 $du$，其余偶次幂用

改写，再令 $u=\cos x$。

例如

写成

令 $u=\cos x$，$du=-\sin x\,dx$：

余弦幂为奇数

保留一个 $\cos x$，用

改写其余部分，再令 $u=\sin x$。

例如

两个幂次都为偶数

这时没有单独的 $\sin x$ 或 $\cos x$ 可配微分，使用降幂公式：

例如

由 $\sin x\cos x=\frac12\sin2x$：

所以

不同角度的乘积

若出现 $\sin(mx)\cos(nx)$，奇偶策略不再直接适用，可用积化和差：

对应的 $\cos A\cos B$、$\sin A\sin B$ 也能化成和。目标仍是把乘积改成可逐项积分的和。

例题：不同频率的乘积

计算

使用积化和差：

所以

求导时两个负号分别与正弦的导数负号抵消。

正切与正割幂的积分

考虑

两条最常用的通道是：

• 若 $\sec x$ 的幂次 $n$ 为正偶数，留出 $\sec^2x\,dx$，令 $u=\tan x$；
• 若 $\tan x$ 的幂次 为正奇数且有正割因子，留出 ，令 。

正割偶次

计算

留出一个 $\sec^2x\,dx$，并把另一个 $\sec^2x$ 改成 $1+\tan^2x$：

令 $u=\tan x$：

正切奇次

计算

写成

令 $u=\sec x$：

两个特殊基本积分

当结构无法靠简单换元拆开时，要记住

第二个公式可通过分子分母同乘 $\sec x+\tan x$ 推出。

对于 $\cot$ 与 $\csc$，策略平行：

• 留 $\csc^2x\,dx$ 配 $u=\cot x$；
• 留 $\csc x\cot x\,dx$ 配 $u=\csc x$。

特殊积分与降阶公式

奇次正割的积分是一个典型例外。它没有 $\sec^2x$ 可直接留给 $d(\tan x)$，也没有多余的 $\sec x\tan x$ 可直接留给 $d(\sec x)$。

例题：$\int\sec^3x\,dx$

把它看成乘积，使用分部积分：

取

则

于是

用 $\tan^2x=\sec^2x-1$：

原积分回到右边，移项：

所以

这是一道循环分部积分题，也说明积分技巧常常跨章合作。

正弦幂的降阶

令

适当分部积分可得

例如 $n=4$：

再使用降幂公式即可。降阶关系适合连续处理高次幂；低次题直接使用奇偶策略通常更快。

什么时候策略表没有直接结论

对

$\sec$ 次数不是偶数，$\tan$ 次数也不是奇数。此时先用

得到

再调用上面的特殊积分。策略表不是说“没有满足条件就不能算”，而是提示要先用恒等式改写。

三角代换的三种基本形状

根式之所以适合三角代换，是因为三个勾股恒等式能把平方和或平方差化成完全平方。

代换后还要同步计算 $dx$。例如 $x=a\tan\theta$ 时，

用三角代换计算根式积分

形如 $\sqrt{a^2-x^2}$

计算

令

并取 $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$，于是 $\cos\theta\ge0$：

积分变为

回代时 $\theta=\arcsin(x/3)$，且

所以

形如 $\sqrt{x^2+a^2}$

计算

令 $x=2\tan\theta$：

因此

由 $\tan\theta=x/2$、$\sec\theta=\sqrt{x^2+4}/2$：

常数因子被吸收到 $C$ 中。

形如 $\sqrt{x^2-a^2}$

计算

令 $x=3\sec\theta$：

积分化为

所以

代换三角形与回代

三角代换完成后，答案通常仍含 $\theta$。除了写反三角函数，还可以画直角三角形读出其他三角比。

例如 $x=a\tan\theta$ 表示

可画一条直角三角形：对边为 $x$，邻边为 $a$，斜边为 $\sqrt{x^2+a^2}$。因此

先配方再代换

根式未必一开始就是标准形状。考虑

先配方：

令 $u=x+3$，积分变为

现在才使用 $u=2\tan\theta$，最后回到 $u$ 再回到 $x$：

三角代换不是看到根号就立刻换。应先提取常数、配方，并确认属于哪一种标准平方结构。

定积分中的三角代换

定积分换元时有两条完整路线：要么把 $\theta$ 换回 $x$ 后再代原上下限，要么在代换一开始就把上下限改成 $\theta$。不能在同一个积分里混用。

例题：四分之一圆的面积

计算

令

当 $x=0$ 时 $\theta=0$；当 $x=2$ 时 $\theta=\pi/2$。于是

所以

这也等于半径为 $2$ 的四分之一圆面积，是一个很好的几何检查。

区间限制为什么重要

在代换 $x=a\sec\theta$ 中，常取

来覆盖 $x\ge a$，或取另一段覆盖 $x\le-a$。如果原积分跨过 $[-a,a]$ 内没有定义的区域，就必须先考虑定义域并分段，不能让一个代换区间强行穿过根式不存在的地方。

方法选择与常见错误

1. 三角函数幂乘积先看奇偶性，不要一上来全部展开。
2. 正弦或余弦有奇次幂时，保留一个因子给 $du$。
3. 两者都是偶次时用降幂；不同角度的乘积考虑积化和差。
4. 正切与正割先寻找 $\sec^2x\,dx$ 或 $\sec x\tan x\,dx$。
5. 根式先配方，再匹配三种标准形状。
6. 三角代换后必须同时换掉 $x$、$$ 和根式。

还有三类错误值得单独检查：

• 使用 $\sqrt{\sec^2\theta}=\sec\theta$ 却没有说明 $\sec\theta$ 的符号；

练习

计算下列积分。

1. $\int\sin^5x\cos^2x\,dx$
2. $\int\sin^2x\,dx$

小结

三角积分是在现有三角函数之间重排结构，三角代换是把代数根式翻译成三角恒等式。两者都不是盲目套表：先找能与微分配对的因子，再决定保留什么、改写什么。下一章会处理有理函数，并把目前学过的积分方法组织成一条选择路线。

3. 留 $\sec^2x\,dx$，令 $u=\tan x$：

   $$\frac{\tan^3x}{3}+\frac{\tan^5x}{5}+C$$

4. 令 $x=4\sin\theta$：

   $$8\arcsin\frac{x}{4}-\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2}+C$$

6. 令 $x=2\sec\theta$：

   $$\frac14\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}+C$$

8. 用积化和差：

   $$\frac{\sin(3x)}{6}+\frac{\sin(5x)}{10}+C$$

9. 令 $x=3\sin\theta$，上下限改为 $0$ 到 $\pi/2$：

   $$9\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta =\frac{9\pi}{4}$$