部分分式与积分策略

前面几章分别建立了分部积分、三角积分和三角代换。现在轮到有理函数：

它的好消息是流程非常稳定；坏消息是流程少一步就会漏项。先看次数、再分解分母、写全分式形状、求系数，最后才积分。

有理函数要先看次数

部分分式分解直接适用于真分式：

如果分子次数大于或等于分母次数，先做多项式长除：

其中 $\deg R<\deg Q$。

长除例题

计算

长除得到

因此

如果跳过长除，只分解真分式部分，就会漏掉多项式 $x$。

分母结构决定分解形式

在实数范围内，把分母完全分解成一次因子和不可约二次因子。每种因子都有固定的分子模板。

不重复线性因子

若

则写成

例如

通分后

代入 $x=1$ 得 $A=2$；代入 $x=-2$ 得 $B=3$。所以

重复线性因子

若分母含 $(x-a)^m$，从一次幂到最高次幂都要写：

例如

不能只写最高次项。重复因子的每一层都代表一个独立自由度。

把这个例子算完。通分得到

代入 $x=0$ 得 $A=1$，代入 $x=1$ 得 $C=1$。比较 $x^2$ 系数：

所以 $B=-1$。因此

积分为

最后一项不是对数，因为分母是二次幂。

不可约二次因子

若 $x^2+px+q$ 在实数范围不能分解，分子必须写成一次式：

即使最终 $A$ 或 $B$ 恰好为零，也不能一开始只写常数。

重复不可约二次因子

若有 $(x^2+px+q)^m$，同样要逐层写：

待定系数怎样求

通分后会得到一个多项式恒等式。常用两种求系数方法。

代入特殊值

对线性因子，代入使某个因子为零的值，可以迅速隔离一个系数。前面的 $x=1,-2$ 就是这样。

比较系数

若没有足够多的方便代入点，就展开右边，比较 $x^k$ 的系数，得到线性方程组。

例如

通分：

展开并比较系数：

解得

部分分式积分的几种结局

分解只是代数步骤，积分时还要识别每一项的反导结构。

线性因子给出对数

重复线性因子的高次项给出幂函数

当 $k\ge2$：

只有一次幂产生对数。

不可约二次因子给出对数和反正切

考虑

把分子拆成“分母导数的一部分加常数”：

第一部分给对数，第二部分配方后给反正切。

例如

分母导数为 $2x+2$，所以

并且

于是

混合例题

计算

分母包含线性因子 $x$ 和不可约二次因子 $x^2+1$：

通分：

比较系数得

所以

求导检查时，两项重新通分应回到原被积函数。

先换元再做部分分式

有些被积函数不是 $x$ 的有理函数，却能通过换元变成有理函数。

例题：指数换元

计算

令

积分变成

分解：

所以

回代：

这题的第一步不是部分分式，因为原式还不是关于 $e^x$ 的微分形式；先换元后结构才完整。

例题：平方换元

计算

这里直接令 $u=x^4-1$ 最短：

虽然分母能分解，部分分式却不是首选。这再次说明“有理函数”只是对象类型，不自动指定方法。

积分策略总览

部分分式只是工具箱的一格。面对一个新积分，建议按结构逐层排查。

先化简

约分、拆项、长除、配方、三角恒等变形，经常能让问题直接暴露。

再试简单换元

若出现 $g'(x)f(g(x))$，换元通常比其他方法短。

乘积结构考虑分部积分

一个因子求导后简化、另一个能积分时，才值得使用。

三角幂与根式看三角技巧

三角函数幂先看奇偶；平方和、平方差根式先整理成标准形状。

有理函数进入部分分式

先确保是真分式，再完全分解分母并写全模板。

组合方法

某些积分需要先换元，再对新变量做部分分式；也可能先分部积分，再用三角恒等式。每一步都应让结构更简单。

承认没有初等反导

若结构不属于初等反导可处理的范围，不要无限试招。根据任务改用数值积分、幂级数或保留定积分。

积分表与计算机代数系统

积分表把许多常见结构整理成模板，例如

使用积分表时，通常仍要先完成代数整理和换元，让题目与模板完全匹配。表中变量 $u$ 只是占位符，不能因为原题使用 $x$ 就忽略内层函数的导数。

计算机代数系统可以：

• 做部分分式分解；
• 给出符号反导；
• 检查求导是否回到原式；
• 进行数值积分。

但它的输出需要人工核验。

定义域与等价形式

两个反导表达式可能只相差常数，也可能只在某个区间等价。例如

可以合并为

绝对值不能随意删除，因为原被积函数可能在多个区间上定义。

复杂输出不代表更正确

系统可能给出反三角、复对数或分段表达式。最稳的验证是：

1. 对输出求导并化简；
2. 检查原被积函数的定义域；
3. 对定积分再做数值比较；
4. 判断是否漏掉奇点导致跨区间使用反导公式。

数值积分：精确反导找不到时

设 $[a,b]$ 等分成 $n$ 段：

节点为 $x_i=a+i\Delta x$。

中点法

每段取中点 $m_i$：

它用矩形近似曲线下的面积。

梯形法

每段用端点连成的弦构成梯形：

辛普森法

当 $n$ 为正偶数时，用二次多项式分段拟合：

权重是

例题：近似 $\int_0^2 e^{-x^2}\,dx$

取 $n=4$，$\Delta x=0.5$。辛普森法使用

因此

代入 $f(x)=e^{-x^2}$ 得近似

这不是“差不多看起来对”，而是可继续用误差界判断精度。

数值误差与凹凸性

绝对误差和相对误差分别为

若 $|f''(x)|\le K$，则中点法与梯形法的误差满足

若 $|f^{(4)}(x)|\le K$ 且 $n$ 为偶数，辛普森法满足

这些界通常不是实际误差，但能保证最坏情况下的精度。

凹凸性还提供方向判断：

• $f''>0$ 时，弦在曲线上方，梯形法倾向于高估；
• $f''<0$ 时，梯形法倾向于低估；
• 中点法的方向通常相反。

例题：怎样保证误差小于 $10^{-4}$

用梯形法近似

在 $[0,1]$ 上，

所以可取 $K=e$。要使

需满足

右侧约为 $2265.2$，因此

这给出保证，不表示 $47$ 段一定不够；它只是说用 $48$ 段时，基于该误差界一定安全。

比较中点与梯形

同一个函数上，两者误差界只差一个系数：

在相同 $n$ 下，中点法的保证通常更紧。但实际误差还取决于函数形状；误差界是上界，不是精确误差公式。

数据表只有离散值时

如果只知道实验节点上的函数值，没有解析公式，梯形法仍能使用，因为它只需要端点值。辛普森法需要等距节点且子区间数为偶数。此时无法轻易计算导数上界，误差评估可能要借助加密采样、重复计算或外部测量误差。

选择数值方法的策略

• 函数值计算便宜、只要中等精度：中点法或梯形法足够。
• 函数很光滑且能取等距节点：辛普森法通常收敛更快。
• 数据来自表格：先检查节点是否等距，再决定梯形或辛普森。
• 函数有尖点、无穷间断或剧烈振荡：先分段或变换问题，不能盲目加大 $n$。
• 需要可靠位数：使用误差界或把不同分段数的结果比较，同时说明依据。

数值积分不是把困难藏进计算器，而是把“求反导”换成“求函数值并控制误差”。

常见错误

1. 假分式没有先长除。
2. 重复因子只写最高次项。
3. 不可约二次因子的分子只写常数。
4. 二次分母的每一项都误判成对数，忘记反正切部分。
5. 辛普森权重排列错误或 $n$ 取奇数。
6. 数值近似只报小数，不说明方法、分段数和误差控制。
7. 计算机代数系统给出复杂结果后不求导验证，也不检查定义域。

练习

1. 分解并积分 $\dfrac{4x+7}{(x+1)(x-2)}$。
2. 分解 $\dfrac{1}{x(x+1)^2}$。

小结

有理函数积分的流程高度可复用：次数检查、长除、分母分解、写全模板、求系数、逐项积分。更广的积分策略则始终从结构出发。若精确反导不现实，数值积分提供有误差保证的答案。下一章会面对另一种障碍：积分区间无穷，或函数在区间内无界。

3. 分母为 $(x+2)^2+4$，分子 $x+4=\frac12(2x+4)+2$：

   $$\frac12\ln(x^2+4x+8)+\arctan\frac{x+2}{2}+C$$

4. 先长除：

   $$\frac{x^2}{x^2-1}=1+\frac1{x^2-1}$$

5. 节点为 $0,0.5,1,1.5,2$：

   $$T_4=\frac{11}{4}=2.75$$

辛普森法对次数不超过三的多项式给出精确结果。

7. 令 $u=e^x$：

   $$\int\frac{du}{(u+1)(u+2)} =\ln|u+1|-\ln|u+2|+C$$

   所以答案为

   $$\ln\left|\frac{e^x+1}{e^x+2}\right|+C$$

8. 设

   $$\frac{2x+3}{(x-1)^2(x^2+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$$

9. 两个中点为 $0.5,1.5$，$\Delta x=1$：

   $$M_2=e^{-0.5}+e^{-1.5}\approx0.8297$$

10. 辛普森误差界要求

得 $n^4\ge213333.3$，所以 $n\ge22$。$n$ 必须为偶数，最小可取 $22$。

解得 $A=-\frac32$、$B=\frac52$、$C=\frac32$、$D=-1$。因此积分为