积分应用 I：面积、体积与平均值 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

积分应用 I：面积、体积与平均值

上一章把微积分 II 的几条主线摆在了一起。现在先回到定积分本身：它为什么能同时算面积、体积和平均值？

答案不是“因为有三套公式”，而是因为这三类问题都能做同一件事——切成薄片，写出一片的近似量，再把所有薄片累加。

从面积到微元

设区间 $[a,b]$ 被分成许多小段，第 $i$ 段宽为 $\Delta x$ 。如果一个总量在小段上的贡献可以近似写成

\text{局部量}\approx q(x_i^*)\Delta x

那么全部小段相加得到

\sum_i q(x_i^*)\Delta x

当最宽的小段趋于 $0$ 时，这个和式若有极限，就成为

\int_a^b q(x)\,dx

这里的 $q(x)\,dx$ 就是微元模型。 $q(x)$ 可能是高度、截面积、圆柱壳的周长乘高度，也可能是某个函数值。

写积分应用题时，先别急着找上下限。第一步应是说清楚“一片是什么”“一片的量怎样近似”。微元写对以后，积分变量和上下限通常会跟着确定。

面积、体积与平均值中的微元思想

两曲线之间的面积

若区域在 $a\le x\le b$ 上由上方曲线 $y=f(x)$ 和下方曲线 $y=g(x)$ 围成，竖直薄片的高度是

f(x)-g(x)

宽度是 $dx$ ，所以面积微元为

dA=[f(x)-g(x)]\,dx

总面积是

A=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx

两曲线之间面积的竖直切片与水平切片

例题：同一区域的两种写法

求 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的面积。

先找交点。由 $x=x^2$ 得 $x=0$ 或 $x=1$ ，因此区域位于。

同一区域也能按 $y$ 切。由 $y=x$ 得 $x=y$ ，由 $y=x^2$ 且 $x \geq 0$ 得。对，右边界是，左边界是：

A=\int_0^1(\sqrt y-y)\,dy=\frac16

两个答案相同，因为它们累加的是同一块区域，只是切片方向不同。

曲线上下关系发生变化时

如果 $f(x)-g(x)$ 在区间内变号，直接积分得到的是带符号面积。几何总面积要在交点处分段：

A=\int_a^c[f(x)-g(x)]\,dx+\int_c^b[g(x)-f(x)]\,dx

也可以写成

A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx

但实际计算时通常先找交点并分段更清楚。

根据区域选择 dx 或 dy

竖切不是默认正确答案。我们真正要比较的是：

用竖切时，每条切片能否从下边界一直走到上边界？
用横切时，每条切片能否从左边界一直走到右边界？
哪种方向需要的分段更少？
曲线改写成 $x=g(y)$ 或 $y=f(x)$ 是否方便？

按 $y$ 积分时，面积公式变成

A=\int_c^d[\text{右边界}-\text{左边界}]\,dy

根据区域选择 dx 或 dy

例题：水平切片更简单

求抛物线 $x=y^2$ 与直线 $x=y+2$ 围成的面积。

交点由

y^2=y+2

得到 $y=-1,2$ 。在这段范围内，右边界为 $x=y+2$ ，左边界为 $x=y^2$ ，所以

A=\int_{-1}^{2}(y+2-y^2)\,dy

=\left[\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2} =\frac92

如果硬按 $x$ 切，抛物线有上下两支，而且直线会在某处改变下边界，必须分段。水平切片显然更省事。

例题：边界中途变化

求 $y=|x|$ 与 $y=x^2-2$ 在交点之间围成的面积。

绝对值提示我们先分段。两条曲线关于 $y$ 轴对称，所以只研究 $x\ge0$ ：

x=x^2-2

解得 $x=2$ 或 $x=-1$ ，在右半边的交点是 $x=2$ 。左半边对应 $x=-2$ 。在 $0\le x\le2$ 上，上方曲线是，下方曲线是，因此利用对称性：

A=2\int_0^2[x-(x^2-2)]\,dx

=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x\right]_0^2 =\frac{20}{3}

也可以从 $-2$ 到 $0$ 、从 $0$ 到 $2$ 分成两个积分。对称性只是减少计算，不能代替交点和上下关系的判断。

“上减下”和“右减左”只是帮助记忆。真正的检查是切片长度必须非负。如果写出的高度或宽度在积分区间里为负，说明边界顺序或分段出了问题。

一般截面体积：旋转只是其中一种

很多体积题并没有旋转轴。题目会给一个平面底面，并说明垂直于某条轴的截面是什么形状。此时仍使用

V=\int A(x)\,dx

难点变成：怎样从底面区域读出截面的边长。

例题：正方形截面

一个立体的底面由 $y=x^2$ 与 $y=4$ 围成。垂直于 $x$ 轴的截面都是正方形，求体积。

交点满足 $x^2=4$ ，所以 $-2\le x\le2$ 。对固定的 $x$ ，正方形边长是底面中从 $y=x^2$ 到的竖直距离：

s(x)=4-x^2

截面积为

A(x)=[4-x^2]^2

所以

V=\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2\,dx

被积函数是偶函数：

V=2\int_0^2(16-8x^2+x^4)\,dx =\frac{512}{15}

这里若误把 $4-x^2$ 直接积分，算到的是底面面积，不是体积。题目说“正方形截面”，就必须先平方边长。

例题：半圆截面

若同一底面上的截面改为半圆，直径仍是

d(x)=4-x^2

半径为 $d(x)/2$ ，截面积应写成

A(x)=\frac12\pi\left(\frac{4-x^2}{2}\right)^2 =\frac{\pi}{8}(4-x^2)^2

于是体积只是上一题结果乘以 $\pi/8$ ：

V=\frac{64\pi}{15}

一般截面题最容易混淆“底面里看到的距离”与“截面积”。先把那段距离命名为边长、直径或斜边，再使用相应的平面面积公式。

旋转体体积：切片、圆盘与垫片

面积问题把平面区域切成窄条；体积问题把立体切成薄片。若垂直于 $x$ 轴的截面积为 $A(x)$ ，厚度是 $dx$ ，那么

dV=A(x)\,dx

因此

V=\int_a^b A(x)\,dx

这个公式不只适用于旋转体。只要题目能给出每个位置的截面形状，例如正方形、半圆或等边三角形，就先写截面积再积分。

圆盘法

区域绕一条轴旋转后，如果截面是实心圆盘，半径为 $R(x)$ ：

A(x)=\pi[R(x)]^2

于是

V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx

垫片法

若截面中间有孔，外半径为 $R(x)$ ，内半径为 $r(x)$ ：

A(x)=\pi[R(x)]^2-\pi[r(x)]^2

V=\pi\int_a^b\left([R(x)]^2-[r(x)]^2\right)\,dx

圆盘法与垫片法的截面对比

例题：绕水平直线旋转

把 $y=x^2$ 与 $y=2x$ 在 $0\le x\le2$ 围成的区域绕直线 $y=-1$ 旋转。

旋转轴在区域下方。到上方曲线 $y=2x$ 的距离是外半径

R(x)=2x+1

到下方曲线 $y=x^2$ 的距离是内半径

r(x)=x^2+1

所以

V=\pi\int_0^2\left[(2x+1)^2-(x^2+1)^2\right]\,dx

展开并积分：

V=\pi\int_0^2(-x^4+2x^2+4x)\,dx =\frac{136\pi}{15}

这里半径不是曲线的 $y$ 值，而是曲线到旋转轴的距离。旋转轴不在坐标轴上时，这一点尤其容易错。

壳层法与变量选择

如果切片平行于旋转轴，旋转后形成的是薄圆柱壳。一个壳的近似体积等于

\text{圆周}\times\text{高度}\times\text{厚度}

若绕 $y$ 轴旋转，竖直切片位于 $x$ 处，半径是 $x$ ，高度是 $h(x)$ ：

dV=2\pi x\,h(x)\,dx

因此

V=2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx

若旋转轴是 $x=c$ ，半径应改成 $|x-c|$ 。

壳层法中的半径、高度和厚度

例题：同一立体的圆盘法与壳层法

把 $y=\sqrt{x}$ 、 $y=0$ 、 $x=4$ 围成的区域绕轴旋转。

用壳层法，半径是 $x$ ，高度是 $\sqrt{x}$ ：

V=2\pi\int_0^4x\sqrt{x}\,dx =2\pi\left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_0^4 =\frac{128\pi}{5}

若用垫片法，就改写成 $x=y^2$ 。对 $0\le y\le2$ ，外半径为 $4$ ，内半径为 $y^2$ ：

V=\pi\int_0^2(4^2-y^4)\,dy =\frac{128\pi}{5}

怎样选择方法

切片垂直于旋转轴时，优先考虑圆盘或垫片。
切片平行于旋转轴时，优先考虑壳层。
若一种方法需要反解函数或分成多段，另一种常常更短。
写完以后，用“半径、截面或壳高是否始终非负”做一次检查。

函数平均值

有限个数的平均值是总和除以个数。连续函数在 $[a,b]$ 上有无穷多个值，不能直接数“有几个”，但可以把区间分成许多等长小段，先对采样值取平均：

\frac{f(x_1^*)+\cdots+f(x_n^*)}{n}

因为 $\Delta x=(b-a)/n$ ，这个平均可以改写为

\frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x

取极限得到连续函数的平均值：

f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

函数平均值与等面积矩形

它的几何意义是：找到一个高度为 $f_{\text{avg}}$ 的矩形，使矩形面积等于函数图像下的带符号面积。

例题：平均速度与平均速率

设速度

v(t)=3t-6,\qquad 0\le t\le4

平均速度是

v_{\text{avg}} =\frac14\int_0^4(3t-6)\,dt =0

这表示净位移为零。平均速率要对速度取绝对值。 $v(t)=0$ 在 $t=2$ ，所以

\text{平均速率} =\frac14\left[\int_0^2(6-3t)\,dt+\int_2^4(3t-6)\,dt\right] =3

平均速度和平均速率回答不同问题，不能混用。

积分平均值定理

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，那么至少存在一个 $c\in[a,b]$ ，使

f(c)=f_{\text{avg}}

也就是

\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a)

这条结论说的是：连续函数一定会在某处真正取到自己的平均高度。

例如 $f(x)=x^2$ 在 $[0,2]$ 上的平均值为

f_{\text{avg}} =\frac12\int_0^2x^2\,dx =\frac43

令 $c^2=4/3$ ，得到

c=\frac{2}{\sqrt3}

因为区间只取非负部分，所以不用负根。

平均值定理保证某个 $c$ 存在，但不保证只有一个。若函数在区间内来回波动，水平线 $y=f_{\text{avg}}$ 可能与图像相交多次。

把问题写成微元再积分

面积、体积和平均值的统一流程是：

画出区域或截面，并选定切片方向。变量一旦确定，所有长度都要用这个变量表达。

写出一片的近似量，例如“高度乘宽度”“截面积乘厚度”或“圆周乘壳高乘厚度”。

找出变量扫过的范围，作为积分上下限。若边界公式中途变化，就在变化点分段。

计算积分，并检查符号、单位和数量级。面积单位应平方，体积单位应立方，平均值与原函数单位相同。

建立积分后，可以先做一次“切片测试”：在区间中任取一个代表点，代入你写出的高度、半径或截面积。如果得到负长度，说明边界次序或半径方向写反；如果切片会穿过区域外部，说明需要分段或换切片方向；如果旋转轴移动后公式完全没变，往往是忘了写“到旋转轴的距离”。这一步只花几十秒，却能在真正积分前发现大多数建模错误。

常见错误与修正

没有先找交点

积分上下限和边界切换点都来自交点。仅凭图像大致判断，很容易漏掉一个区间。先解方程，再用测试点判断哪条曲线在上方。

把带符号面积当几何面积

若两曲线交换上下位置，单个积分会发生抵消。几何面积要在每个交点处分段，保证每段的高度非负。

半径直接写成函数值

绕 $y=k$ 旋转时，半径是 $|f(x)-k|$ 。绕 $x=k$ 旋转时，半径是 $|x-k|$ 。先写“点到轴的距离”，再去掉绝对值。

圆盘与壳层混搭

圆盘/垫片的局部量是截面积乘厚度；壳层是圆周乘高度乘厚度。若式子里既出现 $\pi R^2$ 又出现 $2\pi r$ ，通常是两种模型混在了一起。

忘记分段

一个水平或竖直切片若会穿出区域，说明这种切片方向需要分段。可以改用另一方向，也可以明确写成多个积分，不能让切片跨过不属于区域的部分。

练习

求 $y=2x$ 与 $y=x^2$ 围成的面积。
由 $x=y^2-1$ 与围成的区域，判断用还是更自然，并建立积分。

本章小结

这章真正要带走的不是三张公式表，而是切片模型：

\text{总量}=\int \text{一片的量}

两曲线面积用“上减下”或“右减左”；一般体积用截面积；旋转体可在圆盘、垫片和壳层之间选择；函数平均值是“总累积除以区间长度”。下一章会把同一套微元思想用于弧长、旋转曲面、变力做功和流体压力。

做完一道应用题后，最后用一句话把积分翻译回几何：被积函数是哪一片的面积或体积，上下限让薄片从哪里扫到哪里。能完成这句翻译，说明公式不是凭形状猜出来的。

x\ge0