反常积分与收敛 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

反常积分与收敛

普通定积分把连续或至少有界的函数放在有限闭区间上。反常积分故意越过这条安全线：积分区间伸向无穷，或者函数在区间某处无限增大。

这时不能直接把“无穷”代进反导函数。反常积分的值由极限定义；极限存在才叫收敛，不存在或无界就叫发散。

反常积分先截断，再取极限

从普通积分到反常积分

考虑

\int_1^\infty f(x)\,dx

符号里的 $\infty$ 不是一个数。我们先在有限位置 $T$ 截断：

\int_1^T f(x)\,dx

再让 $T$ 向无穷远移动：

\int_1^\infty f(x)\,dx =\lim_{T\to\infty}\int_1^T f(x)\,dx

若这个极限是有限实数，积分收敛；否则发散。

无限长不等于面积无限

计算

\int_1^\infty\frac{1}{x^2}\,dx

按定义：

\lim_{T\to\infty}\int_1^T x^{-2}\,dx =\lim_{T\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^T

=\lim_{T\to\infty}\left(1-\frac1T\right)=1

区间无限长，尾部面积仍然有限，因为函数下降得足够快。

与它比较：

\int_1^\infty\frac1x\,dx =\lim_{T\to\infty}\ln T

极限无界，所以发散。

无限尾部可以收敛，也可以发散

两端都无穷

对于

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx

必须选一个有限点 $c$ 分成两部分：

\int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx +\int_c^\infty f(x)\,dx

只有两部分都收敛，整个积分才收敛。

不能只算对称截断 $\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}f(x)\,dx$ 就宣布收敛。奇函数可能在对称区间里正负抵消，而左右两边各自发散。普通反常积分要求两边分别收敛。

例如

\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx

每个对称截断积分都是 $0$ ，但左右两半都发散，因此该反常积分不收敛。

无界点附近的反常积分

若 $f(x)$ 在端点 $a$ 附近无界，则

\int_a^b f(x)\,dx =\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx

若在右端点 $b$ 无界，则从左侧逼近：

\int_a^b f(x)\,dx =\lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\,dx

高度无限不等于面积无限

计算

\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

在 $x=0$ 处函数无界，必须写极限：

\lim_{t\to0^+}\int_t^1x^{-1/2}\,dx =\lim_{t\to0^+}[2\sqrt{x}]_t^1

=\lim_{t\to0^+}(2-2\sqrt t)=2

虽然图像在端点竖直冲高，狭窄区域仍只有有限面积。

而

\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{t\to0^+}[-\ln t]

发散。

端点无界时的收敛与发散

奇点在区间内部

对

\int_{-1}^{2}\frac{1}{(x-1)^2}\,dx

$x=1$ 是内部奇点，必须分成

\int_{-1}^{1}\frac{1}{(x-1)^2}\,dx +\int_{1}^{2}\frac{1}{(x-1)^2}\,dx

两边分别从各自方向逼近 $1$ 。只要其中一边发散，整个积分就发散。本例两边都发散。

反导函数在两个外端点给出有限差值，不代表积分收敛。只要区间内部有无界点，就必须先分段。跨过奇点直接使用微积分基本定理是无效的。

p 型积分

p 型积分是反常积分最重要的参照物。

无穷远处

\int_1^\infty\frac{1}{x^p}\,dx

当 $p\ne1$ ：

\int_1^T x^{-p}\,dx =\frac{T^{1-p}-1}{1-p}

若 $p>1$ ，则 $1-p<0$ ， $T^{1-p}\to0$ ，积分收敛；
若 $p<1$ ，则，积分发散；

所以

\int_1^\infty\frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛},&p>1\\ \text{发散},&p\le1 \end{cases}

原点附近

\int_0^1\frac{1}{x^p}\,dx

这次结论正好相反：

\int_0^1\frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛},&p<1\\ \text{发散},&p\ge1 \end{cases}

原因是同一个幂函数在无穷远与零附近扮演不同角色。记结论时最好配着位置一起记。

p 型积分的两个阈值

同时有奇点和无限区间

判断

\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx

问题出现在 $0$ 和 $\infty$ ，必须选有限点 $1$ 分开：

\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx +\int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx

在 $0$ 附近，函数与 $x^{-1/2}$ 同阶，因 $1/2<1$ 而收敛；在无穷远，函数与 $x^{-3/2}$ 同阶，因而收敛。因此两部分都收敛。

若要计算精确值，可令 $x=u^2$ ：

dx=2u\,du

\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx =2\int_0^\infty\frac{1}{1+u^2}\,du =\pi

比较判别法

很多反常积分没有方便的反导函数，但收敛性只关心尾部或奇点附近的大小。

设 $0\le f(x)\le g(x)$ 。

若 $\int g$ 收敛，则更小的 $\int f$ 也收敛；
若 $\int f$ 发散，则更大的 $\int g$ 也发散。

方向不能反用。“大函数收敛”能压住小函数；“小函数发散”能拖着大函数一起发散。

比较判别与极限比较

用上界证明收敛

判断

\int_1^\infty\frac{1}{x^2+4}\,dx

对 $x\ge1$ ：

0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac1{x^2}

而 $\int_1^\infty x^{-2}\,dx$ 收敛，所以原积分收敛。

用下界证明发散

判断

\int_1^\infty\frac{1}{x+2}\,dx

当 $x\ge2$ 时， $x+2\le2x$ ，因此

\frac1{x+2}\ge\frac1{2x}

而

\int_2^\infty\frac1{2x}\,dx

发散，所以原积分发散。前面从 $1$ 到 $2$ 的有限部分不影响结论。

极限比较思想

如果直接不等式难写，可以比较两个函数的比值。若 $f,g>0$ 且

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L

其中 $0<L<\infty$ ，那么两者在无穷远同阶，对应反常积分同收敛或同发散。

同阶于 $1/x^2$

f(x)=\frac{3x+1}{x^3+5}

取 $g(x)=1/x^2$ ：

\lim_{x\to\infty} \frac{(3x+1)/(x^3+5)}{1/x^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3+x^2}{x^3+5} =3

因此

\int_1^\infty\frac{3x+1}{x^3+5}\,dx

收敛。

同阶于 $1/x$

f(x)=\frac{x^2+1}{x^3+2}

与 $1/x$ 的比值趋近 $1$ ，所以对应积分发散。

极限是零或无穷时

若 $f/g\to0$ ，只能说明 $f$ 比 $g$ 小得多。若 $\int g$ 收敛，可以进一步尝试证明 $f\le g$ 后得到收敛；若发散，则没有结论。

若 $f/g\to\infty$ ，说明 $f$ 更大。若 $\int g$ 发散，可进一步证明 $f\ge g$ 后得到发散；若 $\int g$ 收敛，也没有结论。

绝对收敛

对于可正可负的函数，若

\int_a^\infty|f(x)|\,dx

收敛，那么

\int_a^\infty f(x)\,dx

一定收敛。这叫绝对收敛。

例如

\int_1^\infty\frac{\sin x}{x^2}\,dx

因为

\left|\frac{\sin x}{x^2}\right| \le\frac1{x^2}

所以它绝对收敛。

但

\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx

虽然会因振荡产生抵消并收敛，却不是绝对收敛。严格证明这种条件收敛需要超出直接正函数比较的工具。这里先记住：带符号抵消可以让积分收敛，但绝对值积分更强。

概率密度中的尾部积分

概率密度经常定义在无限区间上。要成为合法密度，必须满足非负和总面积为 $1$ 。

指数密度

p(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge0,\ \lambda>0

满足

\int_0^\infty\lambda e^{-\lambda x}\,dx=1

右尾概率为

P(X>t) =\int_t^\infty\lambda e^{-\lambda x}\,dx =e^{-\lambda t}

概率密度的右尾面积

期望值

E[X]=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx

通过分部积分可得

E[X]=\frac1\lambda

反常积分的收敛性决定这些概率量是否真正有限。

截断误差：收敛以后还要知道尾巴有多大

假设

I=\int_a^\infty f(x)\,dx

收敛。实际计算时只能截到有限的 $T$ ：

I_T=\int_a^T f(x)\,dx

遗漏的尾部是

R_T=I-I_T=\int_T^\infty f(x)\,dx

若能找到

0\le f(x)\le g(x),\qquad x\ge T

就有

0\le R_T\le\int_T^\infty g(x)\,dx

这把比较判别从“只判断收敛”升级成了误差控制。

例题：选择截断点

要用

\int_1^T\frac{1}{x^3+1}\,dx

近似

\int_1^\infty\frac{1}{x^3+1}\,dx

并保证尾部误差小于 $10^{-4}$ 。对 $x\ge1$ ：

0<\frac{1}{x^3+1}<\frac1{x^3}

因此

R_T<\int_T^\infty x^{-3}\,dx=\frac{1}{2T^2}

只要

\frac{1}{2T^2}\le10^{-4}

即

T\ge\sqrt{5000}\approx70.71

所以取 $T=71$ 就有保证。这个界可能保守，但它明确说明精度从哪里来。

发散速度也能比较

当积分发散时，截断量

\int_a^T f(x)\,dx

仍可告诉我们发散有多快。例如

\int_1^T\frac1x\,dx=\ln T

增长很慢，却永远没有有限上界；而

\int_1^T1\,dx=T-1

线性增长。二者都发散，但数值表现非常不同，所以只看有限范围的图像可能误判调和型尾部。

有限部分为什么不影响收敛

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上普通可积，那么

\int_a^\infty f(x)\,dx =\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^\infty f(x)\,dx

第一项是有限数，因此整个积分是否收敛，完全由第二个尾部决定。这就是比较判别时常说“只要对充分大的 $x$ 成立”。

例如要判断

\int_1^\infty\frac{x+5}{x^2-4x+10}\,dx

分母在 $[1,\infty)$ 上没有零点，但前几段的形状并不重要。对大 $x$ ，函数与 $1/x$ 同阶：

\lim_{x\to\infty} \frac{(x+5)/(x^2-4x+10)}{1/x} =1

所以发散。

同样，有限个可去间断点不会让积分变成反常积分的发散问题。若函数只是在一个点没有定义，但邻域内有界，改变单个点的函数值不改变定积分。真正要警惕的是函数在点附近无界，或左右行为造成不可积奇性。

收敛值与被积函数正负

若 $f\ge0$ ，截断积分

F(T)=\int_a^T f(x)\,dx

随 $T$ 单调增加。它收敛等价于这些截断面积有统一上界。这种“单调且有界”思想会在数列一章再次出现。

若 $f$ 有正有负，截断积分可能振荡。此时需要更谨慎地区分绝对收敛、条件收敛和对称抵消。

解题路线

先扫描积分区间与被积函数定义域，列出所有无穷端点和无界点。
每个问题点单独分段、单独写极限。
能直接求反导时，先算截断积分，再取极限。
只问收敛性时，优先找 p 型积分或简单函数比较。
判断的是无穷远就比较尾部；判断的是有限奇点就比较奇点附近。
所有部分都收敛，原积分才收敛。

最后一句尤其重要：把积分拆开只是为了分别检查每一个问题点，不是让两个发散部分互相抵消。若左段极限是 $+\infty$ 、右段极限是 $-\infty$ ，普通反常积分仍然发散。某些对称截断可能得到有限数，那是另一种叫主值的定义；除非题目明确要求，不能拿它替代反常积分的收敛值。

常见误区

把 $\infty$ 当作数字代入；
忘记区间内部的奇点；
两边无穷时只做对称截断；
比较方向反用；
在有限区间上看到一个孤立可去间断点就误判发散；
只凭函数趋零就宣布积分收敛。

练习

判断收敛性；能方便计算时求值。

$\int_2^\infty x^{-3}\,dx$
$\int_0^1 x^{-2/3}\,dx$

小结

反常积分不是普通积分符号里多写了一个 $\infty$ ，而是一组极限。无限区间、无界端点和内部奇点都要被单独隔离。直接计算困难时，p 型积分、比较判别与极限比较能判断尾部是否足够小。

下一章进入数列。反常积分的“截断后取极限”会以新的形式出现：我们不再让区间端点移动，而是让项号 $n$ 越来越大。

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