第 1 章　安培力与通电导体平衡

把一根轻金属棒架在两条水平导轨上，接通电源之前，它安安静静地躺着；接通电源后，金属棒却突然沿导轨滚了起来。导轨没有倾斜，也没有人去推它，力从哪里来？再把电源正负极对调，金属棒会向相反方向运动；只改变磁场方向，它也会掉头。这个现象把三个量拴在了一起：磁场方向、电流方向和导体受力方向。

这股由磁场施加给通电导体的力叫作安培力。要把它用准，不能只背一个手势或一个公式，而要连续回答三个问题：力朝哪里、力有多大、它和其他力能否平衡。

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一、磁场用什么量描述

1. 磁感应强度是磁场自己的属性

磁体、电流以及运动电荷周围都存在磁场。磁场看不见，却能通过对磁体、电流和运动电荷的作用表现出来。为了描述某处磁场的强弱和方向，我们使用矢量磁感应强度 $\vec B$，国际单位是特斯拉，符号为 $\text{T}$。

在磁场中的某一点放一小段与磁场垂直的通电直导线。若导线中的电流为 $I$、处在磁场中的长度为 $L$、所受安培力为 $F$，可以用

$$B=\frac{F}{IL}$$

刻画该点的磁场强弱。这个定义有两个容易忽略的前提：导线与磁场垂直，而且所取导线足够短，所在范围的磁场可以看作均匀。$\vec B$ 的方向规定为小磁针静止时 N 极的指向，也就是磁感线上该点的切线方向。

你可能会从定义式倒着想：“把电流调大，分母变大，$B$ 就会变小吧？”注意，这是个陷阱。试探导线只负责显示磁场，不能决定原有磁场。磁场不变时，$I$ 增大，$F$ 会同比例增大，二者的比值仍是同一个 $B$。这和用弹簧测力计测物体重力很像：换一只测力计，不会把地球的引力场改掉。

在一块区域内，若各点的磁感应强度大小相等、方向相同，就称为匀强磁场。后面关于有效长度和线框合力的简洁结论，都依赖“匀强”这个条件，不能悄悄把它带到非匀强磁场中。

2. 纸内、纸外方向要读懂

空间方向画到纸面上时，常用“点”表示箭头尖端朝向你，即垂直纸面向外；用“叉”表示箭尾远离你，即垂直纸面向里。可以把点想成迎面飞来的箭尖，把叉想成远去箭尾的羽毛。类比到这里就够了，做题时仍要把它们明确翻译成“向外”和“向里”，否则左手定则很容易在脑中翻面。

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二、安培力方向：三根箭头的空间关系

1. 左手定则怎样摆才不会乱

伸开左手，使拇指与其余四指垂直，并处在同一平面内；让磁感线从掌心进入，四指指向常规电流方向，拇指所指就是安培力方向。常规电流方向是正电荷定向移动的方向，在金属导线中与自由电子定向移动方向相反。

先想一个具体情境：磁场垂直纸面向里，直导线中的电流水平向右，导线受力朝哪里？让磁场从左手掌心穿入，四指朝右，拇指会指向上方，所以安培力向上。若只反转电流或只反转磁场，安培力都反向；若电流和磁场同时反转，力的方向反而不变。

左手定则给出的不是“电流转向磁场”的方向。安培力一定同时垂直于电流方向和磁场方向；更紧凑地写，就是

$$\vec F=I\vec L\times\vec B，$$

其中 $\vec L$ 沿常规电流方向。这个叉乘式主要用来理解方向和有效长度，高中计算时仍以左手定则和 $F=BIL\sin\theta$ 为主。

2. 平行时不能硬摆左手

若电流与磁场平行或反平行，四指方向与“磁感线穿掌心”无法同时满足。不是你的手摆错了，而是这时安培力本来就为零。若二者斜交，只让磁场中垂直于电流的分量进入掌心，仍能判断力的方向。

一个非常实用的自检是：你得到的安培力若没有同时垂直于 $\vec I$ 和 $\vec B$，方向一定错了。高考方向判断常把立体图、俯视图和剖面图混在一起，先把“点、叉、箭头”翻译成三维方向，再用垂直性验算，比凭手掌印象可靠。

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三、安培力大小：真正起作用的是垂直部分

1. 夹角进入正弦

长为 $L$ 的直导线通有电流 $I$，导线方向与匀强磁场 $\vec B$ 的夹角为 $\theta$，安培力大小为

$$F=BIL\sin\theta。$$

这里的 $\theta$ 是电流方向与磁场方向的夹角，取 $0^\circ$ 到 $180^\circ$。当 $\theta=90^\circ$ 时，，安培力最大；当 或 时，。公式也可以理解为 ，其中 是磁场垂直于电流的分量。

现在自己估一下：把导线从与磁场垂直缓慢转到夹角 $30^\circ$，其他条件不变，安培力会变为原来的多少？不是 $30/90$，因为角度变化与力不是线性关系；$\sin30^\circ=1/2$，所以力变为原来的一半。

还有一种“长度陷阱”不在导线形状，而在磁场边界。一根总长 $1.0\ \text{m}$ 的直导线，只有中间 $0.30\ \text{m}$ 穿过匀强磁场，公式中的 $L$ 就只能取 $0.30\ \text{m}$。若磁场覆盖范围分成几段，且各段的 $B$ 大小或方向不同，应分别求每段安培力再作矢量合成；不能先把各段长度相加，再随便选一个 $B$ 代入。

例如一根导线的左右两半分别处在方向相反、大小相等的磁场中。两段电流方向相同，但由左手定则可知两段安培力反向，合力可能抵消。若只用“总长度乘磁感应强度”，会把本应相减的两个力错算成相加。反过来，导线虽弯曲，只要各小段处于同一匀强磁场，矢量求和却能压缩成端点连线，这就是下一小节有效长度结论成立的原因。

做数值题时还要检查单位：$B$ 用特斯拉，$I$ 用安培，$L$ 用米，算出的 $F$ 才是牛顿。若长度给成厘米，先换算再代入。安培力是磁场对通电部分的作用，不是对整根金属棒质量均匀分摊出来的“体力”；受力分析时可把合力画在棒的适当位置，但讨论转动时还必须关心各段力的作用线。

2. 弯曲导线看首尾，不沿弧长硬加

一段弯曲导线完全处在匀强磁场中，各小段电流相同。把每个小段的安培力作矢量相加，结果等效为一根从导线起点连到终点的直导线所受的力。于是有效长度对应的是端点位移矢量 $\vec L_{\text{效}}$，方向沿电流从起点指向终点，而不是弯曲路径的总长度。

例如半径为 $R$ 的半圆导线，电流沿半圆从左端流向右端，磁场垂直半圆平面。它的弧长是 $\pi R$，但有效长度是直径 $2R$，所以合安培力大小为 $2BIR$。若按弧长写成 $\pi BIR$，就把许多方向不同的小段安培力当成同方向相加了。

对于完全位于匀强磁场中的闭合通电线框，起点与终点重合，$\vec L_{\text{效}}=0$，所以线框所受安培力的合力为零。先别急着说“线框不会动”：合力为零只排除了质心的平动加速，分布在线框各边上的安培力仍可能组成力偶，使线框转动。

这个结论还藏着两个边界。线框若只有一部分进入磁场，或各边所在位置的 $B$ 不同，整体合力未必为零；导线若有分流，各支路电流不同，也要先分别计算再合成，不能只看一条几何端点连线。

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四、通电线框为什么会转

1. 合力为零，力矩可以不为零

把矩形线框放入匀强磁场，令矩形线框的一对边与磁场平行，这两条边不受安培力，另两条边受到大小相等、方向相反的安培力。这两力的合力为零，但作用线不重合，构成力偶，线框便绕轴转动。这正是直流电动机和磁电式仪表中“电流能让线圈转起来”的核心图景。

对面积为 $S$、匝数为 $N$ 的平面线圈，线圈电流为 $I$。设线圈平面法线与磁场的夹角为 $\alpha$，在高中常见的匀强磁场模型中，安培力矩大小为

$$\tau=NBIS\sin\alpha。$$

若线圈平面与磁场垂直，法线与磁场平行，$\alpha=0$，力矩为零；若线圈平面与磁场平行，法线与磁场垂直，$\alpha=90^\circ$，力矩最大。最常见的错法是把“线圈平面与磁场的夹角”直接当成 $\alpha$，于是最大值和零值恰好颠倒。

电流反向时，两条边的安培力都反向，力矩方向随之反向；磁场反向也有同样效果。若电流和磁场同时反向，力矩方向不变。线框从力矩最大的姿态转到力矩为零，并不意味着沿途合力不为零，而是两个安培力始终以力偶方式改变线框的转动状态。

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五、通电导体平衡：先把空间力图画到同一平面

1. 受力分析的主线

一根通电棒既可能受重力、支持力、拉力和摩擦力，又多出一个方向依赖电流与磁场的安培力。最稳的处理顺序是：先由左手定则确定安培力方向，再由几何关系找出 $\theta$ 和有效长度计算大小，随后把所有力画到合适的侧视图或剖面图中，最后列平衡方程。

注意，这个顺序不是为了套模板，而是避免“先列代数式、后来才发现安培力方向画反”的返工。若导体静止，满足的是矢量条件

$$\sum\vec F=0，$$

在平面问题中通常分解为 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$。摩擦力和支持力都应在受力图确定后再写，不能一看到接触面就机械地写 $f=\mu N$。

2. 悬挂导体：偏角把水平力显示出来

质量为 $m$、有效长度为 $L$ 的水平导体棒由两根相同绝缘细线悬挂。若磁场和电流使安培力水平，棒静止后细线与竖直方向夹角为 $\varphi$。两根绳的合拉力竖直分量平衡重力，水平分量平衡安培力，因此

$$2T\cos\varphi=mg, \qquad 2T\sin\varphi=BIL，$$

从而

$$\tan\varphi=\frac{BIL}{mg}, \qquad T=\frac{mg}{2\cos\varphi}。$$

若安培力并非水平，不能照搬 $\tan\varphi=BIL/(mg)$。更一般的做法是把安培力分解到水平、竖直方向；它的竖直分量会改变拉力大小，水平分量才负责偏转。题目若问“使所需磁感应强度最小的方向”，本质是在固定平衡条件下寻找安培力的最省力方向，往往可以用三力矢量三角形判断，而不是先假设磁场必须水平或竖直。

这里可以再追问一个常见的反问题：偏角、质量、电流和导线长度都已知，但磁场方向没有给全，能否直接由 $BIL=mg\tan\varphi$ 求 $B$？不能。这个等式默认安培力水平且电流与磁场垂直；若磁场斜放，安培力可能带有竖直分量，大小也可能只是 $BIL\sin\theta$。完整的条件应是先由平衡几何确定安培力的大小和方向，再寻找同时垂直于电流与安培力的磁场方向，并用夹角公式求 $B$。

当物体只受重力、绳拉力和安培力三个力而平衡时，三支力首尾相接必构成闭合三角形。若绳的方向已知，重力方向也已知，安培力方向其实已经被平衡条件限定；左手定则随后用来筛选磁场方向。这样做能处理“磁场沿哪个方向时 $B$ 最小”一类题：由于 $F_A=BIL\sin\theta\leqslant BIL$，在平衡所需 $F_A$ 已确定时，让电流与磁场垂直可使所需 最小。注意，最小的是磁感应强度，不一定是安培力；平衡所需的安培力通常已由其他力的矢量关系决定。

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六、摩擦参与时，先判断运动趋势

1. 水平导轨上的静摩擦不是固定值

水平粗糙导轨上有一根垂直导轨的通电棒。若磁场竖直，安培力沿导轨，支持力 $N=mg$。棒要保持静止，静摩擦力会自动调节为与安培力等大反向，只要

$$BIL\leqslant \mu_s mg。$$

于是临界电流为

$$I_c=\frac{\mu_s mg}{BL}。$$

当 $I<I_c$，摩擦力是 $BIL$，不是 $\mu_smg$；只有到临界状态，最大静摩擦才满足 ${}_{}$。若 ，棒开始运动，摩擦改为滑动摩擦，大小通常取 ，加速度由 求得。

再想一步：如果安培力斜向上，$N$ 还等于 $mg$ 吗？不等。安培力的竖直分量会减小支持力，进而减小最大静摩擦；若斜向下，则支持力和最大静摩擦都增大。因此“安培力的水平分量越大越容易运动”只说对了一半，还必须检查它是否改变了 $N$。

2. 斜面导轨可能有两个临界方向

导体棒横跨在倾角为 $\beta$ 的粗糙斜面导轨上，磁场垂直斜面，安培力沿斜面。若取沿斜面向上为正，并设电流方向使安培力向上，则没有摩擦时沿斜面的合力趋势由 $BIL-mg\sin\beta$ 决定。

棒静止时，所需静摩擦力大小为

$$f_{\text{需}}=\left|mg\sin\beta-BIL\right|，$$

而最大静摩擦为 $f_{s\max}=\mu_smg\cos\beta$。因此静止条件是

$$\left|mg\sin\beta-BIL\right| \leqslant \mu_smg\cos\beta。$$

这里为什么用了绝对值？电流较小时，棒有下滑趋势，静摩擦沿斜面向上；电流足够大后，安培力可能超过重力沿斜面的分量，棒转而有上滑趋势，静摩擦方向随之向下。于是随电流增大，可能依次出现“将下滑—静止—将上滑”三个区域，平衡区间有下、上两个边界。

若把静摩擦一开始就写成沿斜面向上，会在电流较大时得到错误方程。更可靠的办法是先不画摩擦，比较其他力沿斜面的合力趋势，再让静摩擦反抗这个趋势。临界点包含等号：刚好达到最大静摩擦时，物体仍处在临界静止状态。

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七、图像与参数变化：看清斜率和分段点

当导线、电流和磁场互相垂直，且 $B$、$L$ 不变时，

$$F_A=BLI，$$

所以 $F_A-I$ 图像是过原点的直线，斜率为 $BL$。若实验图线不过原点，先检查纵轴是不是“传感器示数”或“合力”，其中可能叠加初始拉力、重力分量或零点误差，不能直接把截距解释成安培力。

有摩擦时，运动状态关于电流的图像通常要分段。静止区内，安培力增加先由静摩擦调节抵消，加速度仍为零；越过临界电流后，滑动摩擦大小近似不变，若 $B$、$L$ 不变，则

$$a=\frac{BLI-\mu_kmg}{m}$$

随 $I$ 线性增加。图像的折点不是公式失效，而是物体的受力性质从静摩擦切换成了滑动摩擦。

复习这类综合题时，真正的给分点集中在几个连接处：左手定则得到正确方向，$L$ 取磁场中的有效长度，静摩擦先判方向再判是否达到最大值，临界状态写出等号。只会写 $F=BIL$ 而没有守住这些条件，后面的代数算得再快也会从第一行开始偏离。

本章始终把电流看成一个整体，研究磁场怎样推动通电导体。若把导线中的电流拆成一个个定向运动的电荷，磁场对每个电荷又怎样施力？宏观的安培力背后，正是下一章要研究的洛伦兹力。

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章末练习：先独立作答，再展开核对

1

关于磁感应强度和安培力，下列说法正确的是

A.由B=F/(IL)可知，B与I成反比B.通电导线受力为零，该处磁感应强度一定为零C.磁感应强度是描述磁场强弱和方向的矢量D.安培力方向一定与电流方向相反

2

一根直导线垂直磁场放置。下列操作能使安培力方向反向的是

A.只把电流反向B.只把磁场反向C.同时把电流和磁场反向D.保持方向不变，只增大电流

提交

3

闭合通电线框完全处在匀强磁场中时，所受安培力合力为零，所以安培力矩也一定为零。

正确错误

4. 长为 $0.40\ \text{m}$ 的直导线通有 $5.0\ \text{A}$ 电流，处在 $0.30\ \text{T}$ 的匀强磁场中，电流方向与磁场方向夹角为 $30^\circ$。求导线所受安培力大小。

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由 $F=BIL\sin\theta$，得 $F=0.30\times5.0\times0.40\times\sin30^\circ=0.30\ \text{N}$。夹角是电流与磁场的夹角，不能把安培力与磁场的 代入。

5. 半径为 $0.20\ \text{m}$ 的半圆形导线完全处在垂直导线平面的匀强磁场中，$B=0.50\ \text{T}$，电流为 $2.0\ \text{A}$，电流从半圆左端沿弧线流向右端。求导线所受合安培力大小。

显示答案

半圆导线的有效长度是两端点间的直径 $2R=0.40\ \text{m}$，不是弧长。故 $F=BI(2R)=0.50\times2.0\times0.40=0.40\ \text{N}$，方向由端点等效电流方向和左手定则判断。

6. 一个 $20$ 匝矩形线圈面积为 $2.0\times10^{-2}\ \text{m}^2$，电流为 $0.50\ \text{A}$，处在 $0.40\ \text{T}$ 匀强磁场中。线圈法线与磁场夹角为 ，求安培力矩大小。

显示答案

$\tau=NBIS\sin\alpha=20\times0.40\times0.50\times2.0\times10^{-2}\times\sin30^\circ=4.0\times10^{-2}\ \text{N}\cdot\text{m}$。这里的角是线圈法线与磁场的夹角。

7. 质量为 $0.10\ \text{kg}$、长为 $0.50\ \text{m}$ 的水平通电棒由两根相同细线悬挂。磁场和电流互相垂直，安培力水平；$B=0.20\ \text{T}$，$I=2.0\ \text{A}$，取 $g=10\ \text{m/s}^2$。求细线与竖直方向夹角的正切值。

显示答案

$F_A=BIL=0.20\times2.0\times0.50=0.20\ \text{N}$，平衡时 $\tan \phi =F_A\mathrm{/}(mg)=0.20\mathrm{/}$。两根绳的水平、竖直分量中都会同时出现因子2，约去后不是把安培力再除以2。

8. 水平粗糙导轨上有质量 $0.20\ \text{kg}$、有效长度 $0.40\ \text{m}$ 的通电棒，磁场竖直，$B=0.50\ \text{T}$，棒与导轨间最大静摩擦系数为 $0.30$，取 $g=10\ \text{m/s}^2$。求棒保持静止时电流的最大值。

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安培力水平，故 $N=mg$。临界时 $B I_c L=\mu_smg$，所以 $I_c={}_{}$。电流小于该值时，静摩擦并不总等于最大值。

9. 上题中电流增至 $4.0\ \text{A}$，棒已滑动，动摩擦系数为 $0.20$。求棒的加速度大小。

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$F_A=BIL=0.50\times4.0\times0.40=0.80\ \text{N}$，滑动摩擦 $f_k={\mu }_{k}mg=0.20\times 0.20\times 10=0.40\text{ N}$。由 ，得 。

10. 倾角为 $30^\circ$ 的粗糙斜面导轨上放有通电棒，$m=0.20\ \text{kg}$，$L=0.50\ \text{m}$，$B=1.0\ \text{T}$，磁场垂直斜面，安培力沿斜面向上。最大静摩擦系数为 ，取 。求棒保持静止的电流范围。

显示答案

静止条件为 $|mg\sin30^\circ-BIL|\leqslant\mu_smg\cos30^\circ$。代入得 ，所以 。低于下限有下滑趋势，高于上限有上滑趋势。

11. 某实验保持导线与磁场垂直、有效长度不变，作出的 $F_A-I$ 图像为过原点直线，斜率为 $0.12\ \text{N/A}$。若有效长度为 $0.30\ \text{m}$，求磁感应强度。

显示答案

由 $F_A=BLI$ 可知图像斜率 $k=BL$，所以 $B=k/L=0.12/0.30=0.40\ \text{T}$。若图像纵轴不是纯安培力而是传感器总示数，则还要先处理截距。

12. 一根闭合矩形通电线框完全处于匀强磁场中。说明为什么线框所受安培力合力为零，却仍可能从某个初始姿态开始转动。

显示答案

沿闭合线框一周的有效长度矢量和为零，所以匀强磁场中各边安培力的矢量和为零。可是相对两边的安培力虽然等大反向，作用线并不重合，可以形成力偶，产生非零合力矩，于是线框质心不加速而线框发生转动。

13. 一根通电棒静止在粗糙水平面上，安培力斜向上且具有水平向右的分量。有人直接写最大静摩擦力为 $\mu_smg$。指出问题并给出正确的判断思路。

显示答案

斜向上的安培力有竖直分量 $F_{Ay}$，会使支持力变为 $N=mg-F_{Ay}$，但接触模型还要求 $N⩾$；若 ，导体将脱离水平面，静摩擦模型失效。在保持接触时，最大静摩擦是 ，不是 。还应先用水平方向的运动趋势判断静摩擦方向，再比较所需静摩擦与 ；只有临界时二者才相等。