第 6 章　电磁感应中的单杆、双杆与线框模型

两根光滑金属导轨上横放一根导体棒，轻轻推一下，它不会像普通滑块那样一直匀速滑下去；把导轨末端接上电阻后，棒越快，受到的“阻拦”反而越强。可磁场明明没有直接消耗能量，这股阻力从哪里来？棒减少的动能又去了哪里？

这类题看起来一会儿是电路，一会儿是动力学，一会儿又要算热量。真正把它们串起来的只有一条因果链：运动或磁通量变化产生电动势，电动势推动电流，电流在磁场中受到安培力，安培力再改变运动。只要每次都把这条链从头接好，单杆、双杆和线框就不是三堆孤立公式，而是同一台“机—电耦合机器”的不同外形。

先把运动的导体棒看成一节电源

设导体棒有效长度为 $l$，棒、速度和匀强磁场两两垂直，棒以速度 $v$ 切割磁感线。棒中自由电荷受到洛伦兹力，正、负电荷向两端分离，直到棒两端建立电势差。动生电动势为

$E=Blv$

这个式子不是看见“棒、磁场、速度”就能直接套。若磁场垂直于棒和速度所在平面，只有棒的有效切割长度 $l_{\rm eff}$ 和垂直于棒的速度分量 $v_\perp$ 贡献电动势：

$E=Bl_{\rm eff}v_\perp$

若整根棒都在磁场中，且速度与棒的夹角为 $\theta$，也可写成 $E=Blv\sin\theta$。速度与棒垂直时，$v_\perp=v$，才化成最常用的 $E=Blv$。

棒的哪一端是正极？可以让正电荷代入 $q\boldsymbol v\times\boldsymbol B$，也可以用右手定则。正电荷被推向的一端电势较高。这里先判电源极性，再沿闭合回路画电流，通常比拿楞次定律在复杂电路里反复绕圈更稳。

注意，运动棒虽然相当于电源，却不是“没有电阻的理想电源”。若棒本身电阻为 $r$，它既提供电动势 $E$，又贡献内阻 $r$。外接电阻为 $R$，导轨总电阻为 $r_0$，则

$R_\Sigma=R+r+r_0,\qquad I=\frac{Blv}{R_\Sigma}$

题目说“导轨电阻不计”，不代表棒的电阻也自动不计；说“棒电阻不计”，也不能顺手把外电阻删掉。动态过程中，回路中串联元件流过同一随时间变化的电流，各部分发热为

$Q_i=\int I^2R_i\,\mathrm dt$

若该段电流恒定且 $R_i$ 不变，才可化为 $Q_i=I^2R_i\Delta t$。因此在各电阻均不随时间改变时，同一段过程的热量仍按电阻比分配：

$Q_1:Q_2:\cdots=R_1:R_2:\cdots$

这条分配规律看似简单，却经常决定“总机械能减少量”和“某一只电阻的热量”为什么不能画等号。

还有一个很隐蔽的区别：$Blv$ 是运动棒的电动势，不一定等于棒两端的路端电压。若棒作为电源向外供电，棒内阻为 $r$，从负极沿棒内走向正极时电势先因非静电力升高 $E$，再因电阻降低 $Ir$，所以棒两端电压为

$U=E-Ir$

外电路电压则为 $IR_{\rm 外}$，两者相等。若量的是外电阻的一部分，还要继续按实际串并联关系分压。你可以用两个极端情况检查：回路断开时 $I=0$，棒两端电压才等于 $E$；外电路近似短路时电流很大，路端电压反而很小。只看到“电压表跨在棒两端”就写 $U=Blv$，往往漏掉了闭合回路中的内阻降压。

单杆接电阻：越快，电磁制动越强

水平光滑导轨末端接电阻，给棒一个向右初速度。感应电流使棒受到安培力

$F_{\rm A}=BIl=\frac{B^2l^2}{R_\Sigma}v$

方向总是阻碍相对运动引起的磁通量变化。棒向右时它向左；若棒后来向左，电流和安培力都会反向，安培力仍阻碍运动。不要把“阻碍变化”简化成“永远向左”。

若外力 $F$ 向右且保持不变，取向右为正，有

$ma=F-\frac{B^2l^2}{R_\Sigma}v$

刚启动时 $v$ 小，感应电流和安培力都小，加速度接近 $F/m$；速度升高后，安培力增大，加速度逐渐减小。经过足够长时间，若导轨和磁场区域足够长，棒趋于

$v_{\rm m}=\frac{FR_\Sigma}{B^2l^2}$

此时 $F=F_{\rm A}$，加速度为零。你可能会问：既然最后匀速，电流是不是也变成零？不是。这里的匀速靠外力和安培力平衡维持，稳定电流为 $I=F/(Bl)$。把“加速度为零”和“合力中的每个力都为零”混为一谈，是这类模型最常见的误判。

功率关系把能量去向说得更直白。安培力的机械功率大小为

$P_{\rm A}=F_{\rm A}v=BIlv=EI=I^2R_\Sigma$

没有外电源时，棒克服安培力所损失的机械能转化为回路焦耳热。若外力拉棒，则任意过程满足

$W_F+E_{\rm k1}=E_{\rm k2}+Q$

到稳定匀速阶段，动能不再改变，外力功率全部转化为总焦耳热功率。磁场在这里传递力和能量转换关系，本身不是被“烧掉”的燃料。

同一套装置换一种控制方式，图像会立刻不同。若题目说“恒力拉动”，加速度随速度改变，不能把运动当成匀加速；若说“以恒定速度拉动”，则施力者必须随时提供恰好等于安培力的拉力；若只给初速度后撤去外力，棒持续减速，安培力又随着速度减小。三种情况下的瞬时电学式相同，运动方程却不同。读题时先圈出“恒力”“恒速”或“撤去外力”，比先套稳定速度公式更重要。

稳定速度还必须接受几何检查。公式默认导轨和匀强磁场区域足够长，让棒有时间接近终态；若棒尚未稳定就越过磁场边界，后续安培力会突变甚至消失，所谓 $v_{\rm m}$ 只是这一阶段理论上趋近的速度，不能当成实际出场速度。

有初速度、斜面和摩擦时，先统一正方向

把导轨倾斜，模型的骨架并没有变。若磁场垂直斜面，棒沿斜面向下运动，取向下为正，动摩擦力为 $f$，则

$ma=mg\sin\theta-f-\frac{B^2l^2}{R_\Sigma}v$

若 $mg\sin\theta>f$，稳定速度为

$v_{\rm m}=\frac{(mg\sin\theta-f)R_\Sigma}{B^2l^2}$

现在让棒一开始以很大的速度向下滑。如果 $B^2l^2v_0/R_\Sigma$ 大于 $mg\sin\theta-f$，初始加速度会向上，棒先减速；但随着 $v$ 变小，磁阻力也变小，速度最终仍趋近同一个稳定值，而不是必然减到零。判断加速还是减速，不能只看速度方向，要看合力方向。

若棒由静止从高处滑入一段有界磁场，还要先用磁场外的机械能或运动学求入场速度，再对磁场内单独列式。磁场边界往往就是过程分段点，不能用一个恒定加速度从起点算到终点。

单杆接电源：反电动势会把速度拉回平衡点

把导轨左端接上直流电源，电源先推动电流，安培力让棒加速。棒运动后产生动生电动势，它在通常连接方式下与电源电动势相反。设电源电动势为 $E_0$，回路总电阻为 $R_\Sigma$，则

$I=\frac{E_0-Blv}{R_\Sigma}$

当 $v<E_0/(Bl)$ 时，电源占上风，电流方向使棒继续加速；当 $v>E_0/(Bl)$ 时，反电动势更大，电流反向，安培力使棒减速。若没有摩擦和其他负载，速度会趋于

$v_{\rm m}=\frac{E_0}{Bl}$

这时 $I=0$。这里的零电流来自电源电动势与反电动势抵消，不是因为棒停止切割磁感线。若存在恒定阻力 $f$，稳定时要有 $BIl=f$，电流一般不为零，稳定速度也会低于 $E_0/(Bl)$。

从功率看，$E_0I$ 是电源提供的功率，$I^2R_\Sigma$ 是焦耳热功率，$BIlv$ 是转化为棒机械能的功率。在上述方向约定下有

$E_0I=I^2R_\Sigma+BIlv$

若电流反向，能量流向也随之改变，机械能可能经电路回送。公式带符号分析比背“电源一定供能”更可靠。

单杆接电容器：电流跟着加速度，而不只跟着速度

把外电阻换成电容器，直觉容易卡住：棒一直加速，电容器两端电压也一直升高，回路里为什么能持续有电流？因为电容器只要还在增加电荷，就有充电电流。

先看理想模型：导轨和棒电阻忽略，电容器初始不带电，$B、l$ 不变，恒力 $F$ 拉棒。任一时刻电容器电压满足

$U_C=Blv$

由 $Q=CU_C$ 得

$I=\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=CBl\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=CBla$

代入 $F-BIl=ma$：

$F=(m+CB^2l^2)a$

于是

$a=\frac{F}{m+CB^2l^2}$

电容器没有真的增加棒的质量，但它不断储存电场能，使相同外力产生的加速度比 $F/m$ 小。用能量再核一次：外力做功等于棒动能与电容器电场能之和，

$Fx=\frac12mv^2+\frac12C(Blv)^2$

也会得到同一结果。

对有电阻的自由运动过程，常用两条关系联立：电路方程描述瞬时电压，动量关系描述累计电荷。若安培力是水平方向唯一作用力，

$m\,\mathrm dv=-BlI\,\mathrm dt=-Bl\,\mathrm dq$

积分得到

$m(v-v_0)=-Bl(q-q_0)$

等电流最终趋于零后，再用 $Blv=Q_C/C$ 确定终态。此时有电阻发热，初始电场能不可能全部变成棒的动能。

双杆模型：安培力在系统内部搬运动量

两根棒都横跨同一组水平光滑导轨，棒 1 速度比棒 2 大。即使导轨末端没有外接电阻，两棒和两段导轨也组成闭合回路。回路电动势来自两棒动生电动势的代数差：

$E=Bl(v_1-v_2),\qquad I=\frac{Bl(v_1-v_2)}{R_\Sigma}$

快棒受到向后的安培力，慢棒受到向前的安培力，两力大小都为 $BIl$。于是一个减速、一个加速，相对速度逐渐减小。

在两棒长度相同、处于同一匀强磁场、导轨光滑且无其他水平外力的标准模型中，安培力是系统内力，系统动量守恒：

$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v_{\rm c}$

最终相对速度为零，电动势和电流都为零，两棒以共同速度

$v_{\rm c}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

匀速运动。这里机械能不守恒，减少的动能变成焦耳热：

$Q=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2-\frac12(m_1+m_2)v_{\rm c}^2$

还可整理为

$Q=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)^2$

若两棒电阻分别为 $r_1、r_2$，导轨电阻不计，同一电流依次流过两棒，所以

$Q_1:Q_2=r_1:r_2$

总热量由动能差求出，再按电阻比分配，比先求随时间变化的电流再积分省力得多。

双杆“稳定”不总等于“两棒同速、电流为零”。若棒 1、棒 2 分别受恒定外力 $F_1、F_2$，长期状态可能是两棒加速度相同、相对速度恒定。列式为

$m_1a=F_1-BlI,\qquad m_2a=F_2+BlI$

相加得到

$a=\frac{F_1+F_2}{m_1+m_2}$

再由任一棒求稳定电流。进一步联立可得

$I=\frac{m_2F_1-m_1F_2}{(m_1+m_2)Bl}$

只要这个电流不为零，$Bl(v_1-v_2)=IR_\Sigma$ 就说明两棒仍有恒定相对速度。比如只对棒 1 施加向右恒力，稳定后两棒以相同加速度前进，但棒 1 必须比棒 2 更快一点，才能维持把力传给棒 2 的感应电流。这里两棒速度都在增加，所谓“稳定”指相对速度和电流稳定，而不是各自速度不变。

若导轨粗糙、两棒处在不同磁场，或者只有一根棒在磁场中，就不能不加检查地说两安培力等大反向。动量守恒要求所选系统所受外力总冲量为零；能量关系则还要把摩擦生热、外力做功和电源能量算入。看到“双杆”只是提醒你考虑系统观点，并不自动赠送动量守恒。

电荷量和安培力冲量：绕开变化电流

单杆或双杆的电流常随速度变化，直接求 $I(t)$ 很麻烦。若 $B、l$ 和受力方向在研究阶段内不变，安培力冲量可写成

$J_{\rm A}=\int BIl\,\mathrm dt=Blq$

其中 $q=\int I\,\mathrm dt$ 是该阶段通过导体横截面的电荷量。于是对单杆有

$m(v-v_0)=J_{\rm 其他}-Blq$

对无外力的双杆，分别写动量定理，还能直接得到累计电荷量。假设 $v_1>v_2$，最终共速，则