第 2 章　洛伦兹力与带电粒子的圆周运动

把一束电子射进没有电场的真空玻璃泡，它本来沿直线前进；线圈一通电，电子束却弯成了圆弧。更让人疑惑的是，电子的运动方向不断变化，速率却几乎不变。一个力既然持续作用，为什么只让粒子“拐弯”，却不让它越跑越快？

答案藏在力的方向里。磁场对运动电荷的作用力叫作洛伦兹力。它总与粒子的瞬时速度垂直，因而善于改变速度方向，却不能直接改变速度大小。只要再把这条方向规律和圆周运动连接起来，电子束为什么弯、弯曲半径多大、在磁场中停留多久，就都能落到同一套推理上。

看清三个方向，粒子才知道往哪边弯

运动电荷量为 $q$，速度为 $\boldsymbol v$，所在处磁感应强度为 $\boldsymbol B$。若 $\boldsymbol v$ 与 $\boldsymbol B$ 的夹角为 $\theta$，洛伦兹力大小为

$F=|q|vB\sin\theta$

式中必须使用电荷量的绝对值。电性的正负不改变力的大小，只改变力的方向。当 $\boldsymbol v\perp\boldsymbol B$ 时，$F=|q|vB$；当 $\boldsymbol v\parallel\boldsymbol B$ 或反向平行时，$F=0$。静止电荷的 ，也不受洛伦兹力。

方向可以用左手定则判断：让磁感线穿过手心，四指指向正电荷运动方向，拇指所指就是正电荷所受洛伦兹力方向。若粒子带负电，先按正电荷判断，再把结果反向。把“四指直接指向电子速度”是常见误区，因为这样等于悄悄把负号丢掉了。

例如，磁场垂直纸面向里，正电荷水平向右运动。按左手定则，洛伦兹力竖直向上；若换成同速率的电子，受力就竖直向下。现在把速度反向，两个粒子的受力也都反向。可见判断轨迹弯向哪边时，电性、速度和磁场三个方向缺一不可。

如果纸面图把速度和磁场画成任意方向，不妨先做一次“垂直性检查”。洛伦兹力必须同时垂直于 $\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol B$，也就是垂直于二者张成的平面；当速度和磁场都画在纸面内时，力只能指向纸外或纸内。若你的答案仍留在纸面内，不用继续算，方向已经错了。反过来，当磁场垂直纸面时，粒子的速度和洛伦兹力都在纸面内，轨迹才可能画成纸面上的圆弧。

还有一种很实用的核对办法：假定粒子带正电，看 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$ 的方向；最后再根据电荷正负决定是否反向。它不是要替代左手定则，而是给方向判断增加一道保险。复杂图中先判断“只能在哪条轴上”，再判断“轴的正向还是负向”，比一次完成三维手势更不容易乱。

若速度斜着穿过磁场，可以把它分成平行于磁场的 $v_\parallel$ 和垂直于磁场的 $v_\perp$。平行分量不产生洛伦兹力，真正被磁场“拽着转弯”的是垂直分量，因此

$F=|q|v_\perp B=|q|vB\sin\theta$

这就是磁场对速度方向的选择性：并不是运动电荷一进入磁场就一定受力，也不是所有速度分量都参与偏转。

在只受洛伦兹力的匀强磁场中，$v\parallel B$ 时粒子做匀速直线运动；$v\perp B$ 时粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动；一般斜射时，平行分量保持不变，垂直分量不断转向，空间轨迹是螺旋线。本章后面的定量计算集中在 $v\perp B$ 的平面圆周运动上。

力一直存在，为什么速率不变

洛伦兹力在每一瞬间都与速度垂直，力的功率为

$P=\boldsymbol F\cdot\boldsymbol v=Fv\cos90^\circ=0$

所以洛伦兹力不做功，粒子的动能不变，速率不变。这里最容易被一句“速度不变”带偏：速率是标量，只说快慢；速度是矢量，还包含方向。圆周运动中速率不变，速度方向却时刻改变，因而粒子仍有加速度。

你可以先判断：一个正电粒子在匀强磁场中转过半圆后，它的动能、速度和动量分别怎样变化？动能不变，速度大小和动量大小也不变；但速度、动量的方向都反向了。若题目问“速度是否变化”，答案是变化；若问“速率是否变化”，答案才是不变。复习题里把这两个词混写，往往会让后面的向心加速度判断一起出错。

洛伦兹力不做功只说明它本身不改变动能。如果粒子还受电场力、重力或其他力，总动能仍可能改变；不能把“洛伦兹力不做功”偷换成“粒子动能在任何磁场问题中都不变”。

半径记住动量，周期只看比荷

设带电粒子以 $v\perp B$ 射入匀强磁场，并且只受洛伦兹力。洛伦兹力始终垂直速度，大小又保持不变，正好充当匀速圆周运动的向心力：

$|q|vB=\frac{mv^2}{r}$

约去一个 $v$，得到轨道半径

$r=\frac{mv}{|q|B}=\frac{p}{|q|B}$

半径与粒子的动量 $p=mv$ 成正比，与 $|q|B$ 成反比。速度越大，粒子越“不愿急转弯”，轨迹越平；磁场越强或电荷量越大，偏转越明显。电荷正负只决定顺时针还是逆时针，不改变半径大小。

再用 $T=2\pi r/v$，可得

$T=\frac{2\pi m}{|q|B},\qquad \omega=\frac{|q|B}{m}$

周期与速度和轨道半径都无关，只由粒子的比荷 $|q|/m$ 和磁感应强度决定。同一种粒子在同一匀强磁场中，即使速度不同、圆周半径不同，转一整圈所需时间仍相同。这并不矛盾：速度大的粒子走得快，同时圆也按相同比例变大，路程增加恰好抵消了速度增加。

例如，甲、乙两粒子在同一磁场中垂直入射，动量相等而电荷量大小之比为 $1:2$，则 $r_甲:r_乙=2:1$；若二者质量之比为 $$、电荷量大小之比为 ，则 。比较时先决定用 还是 ，通常比把所有速度逐个算出更清楚。

来看一个参数同时变化的情境。甲粒子的质量为 $m$、电荷量大小为 $q$、速度为 $v$；乙粒子的质量为 $2m$、电荷量大小为 $3q$、速度为 $3v$。二者都垂直进入同一磁场。有人看到乙的电荷量更大，就断言乙的半径一定更小。把三个量一起代入才会发现

$\frac{r_乙}{r_甲}=\frac{(2m)(3v)/(3qB)}{mv/(qB)}=2$

乙的半径反而是甲的 $2$ 倍，因为质量和速度的增大盖过了电荷量增大的影响；而周期比为

$\frac{T_乙}{T_甲}=\frac{2m/(3qB)}{m/(qB)}=\frac23$

这类比例题真正考查的不是算术，而是公式里哪些量属于粒子、哪些量属于磁场。若两粒子不在同一磁场，还必须把各自的 $B$ 一并保留。

一段圆弧怎样找回完整的圆

有界磁场题只给你一小段弯曲轨迹，看上去信息很少。真正有效的动作不是盯着圆弧猜，而是把圆心找出来。圆周上任一点的速度沿切线，洛伦兹力和半径都垂直于该点速度。因此，已知一个轨迹点及速度方向，圆心一定在过该点所作的速度垂线上。

若还知道另一个轨迹点，就把两点连成弦；圆心也一定在弦的中垂线上。速度垂线与弦中垂线的交点就是圆心。若已由 $r=mv/(|q|B)$ 算出半径，则可从入射点沿洛伦兹力方向量出 $r$，直接定位圆心。

设粒子从 $A$ 沿圆弧运动到 $C$，轨迹圆心为 $O'$。两端半径 $O'A、O'C$ 的夹角为圆心角 。由于速度分别垂直于两端半径，速度转过的角度 与圆心角相等：

$\varphi=\alpha$

若弦 $AC$ 与端点切线的锐角为 $\theta$，弦切角定理首先确定的是劣弧对应的圆心角 $\beta=2\theta$。粒子实际走哪段弧，还要看电性、磁场方向以及磁场位于边界哪一侧：走劣弧时 $\alpha=2\theta$，走优弧时 $\alpha=2\pi-2\theta$。这里 表示速度方向沿实际运动过程累计转过的角度，因此仍有 。

不能见到图中一个锐角就直接把在场圆心角写成 $2\theta$。先根据洛伦兹力确定圆心和转动方向，再沿真实轨迹找到首次出界点，最后判断实际经过的是劣弧还是优弧。尤其要分清“速度与边界的夹角”和“速度与边界法线的夹角”，两者互为余角，代错后圆心角会完全不同。

半径确定空间尺度，圆心角决定粒子在磁场里走了整圈的多少份。运动时间可以写成

$t=\frac{\alpha}{2\pi}T$

其中 $\alpha$ 与 $2\pi$ 必须使用同一种角度单位。若 $\alpha$ 用弧度，代入周期可得更紧凑的形式：

$t=\frac{\alpha m}{|q|B}$

也可以由弧长 $s=r\alpha$ 写成 $t=s/v$。两种方法等价。一个常见错觉是“半径大，走弧线一定更久”。对同种粒子和同一磁场，周期与速度无关，真正决定在场时间的是圆心角；半径变大时，粒子速度也按相同比例变大。

把作图与计算合在一起看：一条水平直线的上方存在垂直纸面向外的匀强磁场。某正电粒子从边界上的 $A$ 点斜向右上方进入磁场，入射速度与边界夹角为 $30^\circ$，随后从同一边界的 $C$ 点离开。已知粒子质量 $m$、电荷量 $q$、速率 $v$ 和磁感应强度 $B$。轨道半径先由动力学得到

$r=\frac{mv}{qB}$

入口、出口都在同一直线上，所以 $AC$ 是弦，入射速度是轨迹圆在 $A$ 点的切线。左手定则表明粒子刚入场时受力斜向右下方，圆心位于边界下方，粒子沿磁场上方的劣弧运动。弦切角为 $30^\circ$，这段劣弧的圆心角为 $60^\circ$。于是弦长

$AC=2r\sin30^\circ=r=\frac{mv}{qB}$

而运动时间

$t=\frac{60^\circ}{360^\circ}T=\frac{\pi m}{3qB}$

你会发现，$AC$ 随速度增大而增大，但时间与速度无关。速度更大的粒子走了一段更长的圆弧，也以更大速率走完，两个变化正好抵消。若只凭图上“弧更长”比较时间，结论就会反过来。

边界只负责截取圆，不改变圆的规律

磁场有边界时，粒子在场内仍沿同一个轨迹圆运动，出界后若不受其他力，就沿出射点的切线做匀速直线运动。边界并没有给粒子额外的力，它只是决定圆弧从哪里开始、到哪里结束。因此处理有界磁场，可以把任务压缩成四件事：判断弯曲方向、确定圆心、求半径、找轨迹圆与边界的第一个有效交点。

同一张图有时会出现两个甚至更多候选交点。筛选时要同时满足三项条件：交点落在实际边界线段上，而不是延长线上；粒子沿既定顺、逆时针方向能够到达；在到达它之前没有先碰到其他边界。少掉任何一项，都可能得到一个几何上漂亮、物理上却不存在的轨迹。若题目给的是一束粒子，还要分别判断入射方向或半径变化时圆心怎样移动，不能把一条代表轨迹当成全部粒子的轨迹。

同一直线进出，入射和出射具有对称性

粒子从直线边界上的 $A$ 点斜着进入磁场，又从同一条边界的 $C$ 点离开。$AC$ 是轨迹圆的一条弦，圆心在它的中垂线上，所以对称性只保证入射速度、出射速度与边界所成的锐角相等。若这个锐角为 $\theta$，劣弧对应的圆心角是 $2\theta$；实际轨迹若走劣弧，则 $\alpha=2\theta$，若走优弧，则 $$。究竟取哪一个，必须由洛伦兹力方向、场区所在一侧和粒子的实际转动方向判断。在场时间统一写成

$t=\frac{\alpha}{2\pi}T$

这里 $\alpha$ 是实际经过圆弧的圆心角；若使用角度制，相应写成 $t=(\alpha/360^\circ)T$。因此，同样的边界夹角可能对应两种在场时间，不能只凭对称性选定较短的一段圆弧。

注意，轨迹画成完整圆后会与边界多次相交，但真实粒子沿确定方向前进，第一次到达边界时就离开磁场。选择“数学上存在但粒子还没走到”的交点，是有界磁场作图里很隐蔽的错误。

平行边界的临界状态，常是一条相切轨迹

两条平行边界间距为 $d$，粒子从左边界沿法线射入。轨迹圆心位于入口边界上，圆在水平方向能到达的最远距离就是半径 $r$。于是：

• $r<d$ 时，粒子碰不到远边界，会转回入口边界；
• $r=d$ 时，轨迹与远边界相切，粒子恰好到达远边界；
• $r>d$ 时，粒子会与远边界相交并穿出。

若粒子不是沿法线入射，上面的简单比较就不能原样照搬，但方法不变：沿洛伦兹力方向找圆心，画半径为 $r$ 的轨迹圆，再用轨迹圆是否与远边界相交或相切确定临界条件。题目出现“恰好穿过”“刚好不越界”“至少多大”时，相切往往就是需要寻找的那幅图。

若入射方向固定而速率连续变化，$r$ 随 $v$ 改变，所有轨迹圆的圆心会沿入口速度的垂线移动，这可以看成轨迹圆在不断放大或缩小。若速率固定而入射方向变化，半径不变，圆心则在以入射点为圆心、以 $r$ 为半径的圆周上移动。前一种情形适合寻找“某一速率恰好相切”的临界圆，后一种情形适合讨论“哪些发射方向能从指定边射出”。这两个几何图像都仍是单一匀强磁场中的圆周运动，并没有增加新的受力规律。

矩形边界要比较谁先截住圆弧

矩形磁场里，轨迹圆可能先碰上边界、下边界、右边界，也可能转回左边界。不能先认定出射边，再去凑几何关系。更稳的做法是画出按实际运动方向延伸的圆弧，求它与各边的候选交点，然后比较沿圆弧到达这些交点所需的圆心角，最先到达的那个才是真实出射点。

例如，边长为 $L$ 的正方形中，正电粒子从左边中点水平向右射入，磁场垂直纸面向里。粒子刚进入时受力向上，圆心在入口正上方。若 $r=L/2$，圆心恰在左上顶点，粒子转过 $90^\circ$ 后从上边中点离开，在场时间为 $T/4$。若把电荷改为负电，轨迹关于水平中线镜像，半径与时间不变，但出射边变成下边。

圆形边界里有两个圆心

圆形磁场题同时出现磁场区域圆和粒子轨迹圆。前者的圆心记作 $O$、半径记作 $R$；后者的圆心记作 $O'$、半径记作 $r$。把两个圆心混成一个，几乎一定会把半径关系写错。

粒子从磁场圆边界上的 $A$ 点沿半径方向射入时，$OA$ 与入射速度共线，而 $O'A$ 垂直入射速度，所以 $\triangle OO'A$ 在 $A$ 点是直角三角形。粒子从另一交点 离开时，、，两个三角形全等，因此 。出射速度又垂直 ，所以它沿 的方向，也就是沿磁场圆的半径方向射出。

若不是沿半径入射，也仍有对称关系：入射速度与入射点半径的夹角，等于出射速度与出射点半径的对应夹角。此时不要硬套“沿半径射出”，而应连接两个圆心和交点，用两圆公共弦与等腰三角形完成几何分析。

回到复习题的表达，完整解答通常要留下清楚的证据链：用左手定则说明弯曲方向；由 $|q|vB=mv^2/r$ 求动力学半径；作速度垂线和弦中垂线确定圆心；由几何关系求圆心角；最后用 $t=\alpha T/(2\pi)$ 求时间。只写一个半径公式却没有轨迹图，往往很难说明为什么从那条边离开，也容易在多交点中选错。

图画好以后还值得做两个数量级检查。轨迹弦长不可能大于直径 $2r$；一次首次出界所对应的圆心角必须与画出的劣弧或优弧一致，不能图上走了小半圈、式子却代入 $300^\circ$。若求得的出射点超出矩形边长，或圆与边界根本不相交，就说明当前假设的出射边不成立，需要换另一条边重新判断，而不是把超出部分强行截回边界。

课后练习

练习 1：正负电荷往哪边偏

匀强磁场垂直纸面向里，一质子和一电子都以相同方向水平向右射入磁场。分别判断它们刚进入时所受洛伦兹力方向。

显示答案

对正电荷使用左手定则，磁场向里、速度向右，洛伦兹力向上，所以质子向上偏。电子带负电，受力方向与同速度正电荷相反，故向下偏。

练习 2：斜射时的力

电荷量大小为 $2.0\times10^{-6}\ \text{C}$ 的粒子，以 $3.0\times10^4\ \text{m/s}$ 的速度进入 $0.50\ \text{T}$ 的匀强磁场，速度与磁场夹角为 。求洛伦兹力大小。

显示答案

$F=|q|vB\sin30^\circ=2.0\times10^{-6}\times3.0\times10^4\times0.50\times0.50=1.5\times10^{-2}\ \text{N}$。不能漏掉夹角的正弦。

练习 3：速度变不变

一个带电粒子仅受洛伦兹力，在匀强磁场中运动。下列说法中正确的是哪一项？

A. 粒子的速度不变　B. 粒子的速率一定不变　C. 粒子的加速度一定为零　D. 洛伦兹力可能对粒子做正功

显示答案

B正确。洛伦兹力始终垂直速度，不做功，所以速率不变；但速度方向可能改变，粒子可以有向心加速度。

练习 4：半径与周期

质量为 $2.0\times10^{-27}\ \text{kg}$、电荷量大小为 $1.0\times10^{-19}\ \text{C}$ 的粒子，以 $4.0\times10^6\ \text{m/s}$ 垂直射入 的匀强磁场。求轨道半径和周期。

显示答案

$r=mv/(|q|B)=0.16\ \text{m}$；$T=2\pi m/(|q|B)=8.0\pi\times10^{-8}\ \text{s}\approx2.51\times10^{-7}\ \text{s}$。

练习 5：动量相同的粒子

甲、乙两粒子动量大小相同，垂直进入同一匀强磁场，电荷量大小分别为 $q$ 和 $2q$。求轨道半径之比 $r_甲:r_乙$。

显示答案

由 $r=p/(|q|B)$，动量和磁场相同，半径与电荷量大小成反比，所以 $r_甲:r_乙=2:1$。

练习 6：速度变大后的轨迹

同一种带电粒子在同一匀强磁场中垂直入射。速度变为原来的 $3$ 倍，轨道半径和周期分别变为原来的多少倍？

显示答案

$r=mv/(|q|B)$，故半径变为 $3$ 倍；$T=2\pi m/(|q|B)$ 与速度无关，周期保持不变。

练习 7：弦长与圆心角

某粒子在匀强磁场中的轨迹是一段圆弧，入射点与出射点间的弦长为 $6.0\ \text{cm}$，速度偏转角为 $60^\circ$。求轨道半径，并求在场时间占周期的比例。

显示答案

弦长 $L=2r\sin(\alpha/2)$，其中 $\alpha=60^\circ$，所以 $6.0=2r\sin30^\circ=r$，得 。在场时间 。

练习 8：同一直线进出

一条水平直线的上方存在垂直纸面向外的匀强磁场。质量为 $m$、电荷量为 $+q$ 的粒子从边界上的一点斜向右上方射入，速度与边界成 $30^\circ$，后来从同一边界射出。求粒子速度方向累计转过的角度和在场时间。

显示答案

正电粒子在垂直纸面向外的磁场中刚入场时受力斜向右下方，圆心在边界下方，因此粒子在磁场上方走的是 $60^\circ$ 劣弧，而不是 $300^\circ$ 优弧。速度方向累计转过 $60^\circ$，在场时间 $t=T/6=\pi m/(3qB)$。

练习 9：能否穿过平行边界

宽度为 $d$ 的匀强磁场由两条平行直线围成，粒子从左边界沿法线射入，轨道半径为 $0.8d$。粒子能否从右边界射出？若将速度增大为原来的 $1.5$ 倍呢？

显示答案

初始半径 $0.8d<d$，粒子到不了右边界，会转回左边界。速度增大 $1.5$ 倍后，半径变为 $1.2d>d$，轨迹与右边界相交，粒子可以从右边界射出。

练习 10：正方形磁场

边长为 $L$ 的正方形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。正电粒子从左边中点水平向右射入，轨道半径为 $L/2$。求出射位置和在场时间。

显示答案

粒子刚进入时受力向上，圆心在左上顶点。半径为 $L/2$ 的轨迹转过 $90^\circ$ 后到达上边中点，因此从上边中点射出，$t=T/4=\pi m/(2|q|B)$。

练习 11：圆形磁场中的径向入射

圆形磁场区域半径为 $R$。正电粒子从最左端沿直径向右射入，磁场垂直纸面向里，粒子轨道半径也为 $R$。求粒子在场内转过的圆心角，并说明出射速度方向。

显示答案

磁场圆与轨迹圆的两个半径都为 $R$，两圆心距离为 $\sqrt2R$，两交点分别是磁场圆最左端和最上端。粒子沿轨迹转过 $90^\circ$，从磁场圆最上端射出，出射速度竖直向上，沿该点的磁场圆半径方向。

练习 12：只改变电性

把某粒子的电荷由 $+q$ 改为 $-q$，质量、速率、入射方向和磁场都不变。轨迹半径、周期、偏转方向怎样变化？

显示答案

半径和周期都只含 $|q|$，因此不变；洛伦兹力方向反向，轨迹的偏转方向也反向。

练习 13：由半圆时间反推磁场

质量为 $m$、电荷量大小为 $q$ 的粒子在匀强磁场中转过半圆，用时为 $t_0$。求磁感应强度大小。

显示答案

转过半圆用时 $T/2$，所以 $t_0=\pi m/(qB)$，解得 $B=\pi m/(qt_0)$。这里的 表示电荷量大小。

练习 14：概念综合

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一个带电粒子垂直进入匀强磁场并只受洛伦兹力，下列说法正确的是：

A.洛伦兹力改变粒子的动能B.同一粒子在同一磁场中速度越大，半径越大而周期不变C.速度偏转角等于相应轨迹圆的圆心角D.有界磁场中应把轨迹圆与边界的任意交点都视作可能的首次出射点

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洛伦兹力圆周运动的判断主线

洛伦兹力的方向同时垂直于速度和磁场，大小为 $|q|vB\sin\theta$。它不做功，因此只受洛伦兹力的粒子速率不变；当速度垂直匀强磁场时，洛伦兹力提供全部向心力，轨道半径 $r=mv/(|q|B)$，周期 $T=2\pi m/(|q|B)$。

遇到有界磁场，先用电性、速度和磁场判断弯曲方向，再由速度垂线、弦中垂线确定圆心；随后把边界条件翻译成弦、相切或两圆相交的几何关系，最后由圆心角求在场时间。下一章会在这条圆弧旁再放入电场、重力或另一个磁场区，到那时真正困难的不是多背公式，而是判断每一段运动究竟由哪个力主导。