第 5 章　法拉第电磁感应定律、自感与涡流

把同一块条形磁铁从同一个线圈中穿过：慢慢推，电流表指针只轻轻偏一下；快速推，指针却猛地摆过去。两次都是从线圈外进入线圈内，磁通量的变化量看起来完全相同，为什么电流表的反应差得这么大？

问题不在“变了多少”这一句话，而在“用多长时间变完”。电磁感应现象告诉我们磁通量变化能够产生感应电动势，法拉第电磁感应定律还要继续回答：产生的电动势到底有多大。

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一、磁通量变化得有多快

1. 从“变化量”走向“变化率”

设一个 $n$ 匝线圈在时间 $\Delta t$ 内，每一匝线圈的磁通量由 $\Phi_1$ 变为 $\Phi_2$。这段时间内的平均感应电动势大小为

$$\bar E=n\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} =n\frac{|\Phi_2-\Phi_1|}{\Delta t}。$$

这里的 $\Phi$ 是穿过一匝线圈的磁通量，$n\Phi$ 才对应全部匝数的磁通链。式中的绝对值只负责计算大小；若把方向也写进代数式，可以写成 $E=-n\Delta\Phi/\Delta t$，负号表达楞次定律。本章计算大小时通常把方向另行判断，千万不要把负号理解成“电动势一定为负”。

现在回看开头的实验：两次 $|\Delta\Phi|$ 相同，快速推动时 $\Delta t$ 更小，所以平均感应电动势更大。反过来也要当心，某次磁通量变化得很多，但若过程非常缓慢，电动势仍可能很小。

2. 平均值与瞬时值不能混用

$\bar E=n|\Delta\Phi|/\Delta t$ 给出一段时间内的平均值。若磁通量随时间均匀变化，变化率恒定，感应电动势大小也恒定，此时平均值就等于各时刻的瞬时值。若磁通量变化不均匀，平均值只能描述整段过程，不能直接冒充某个时刻的电动势。

把时间间隔取得越来越短，平均变化率就越来越接近该时刻的瞬时变化率，因此瞬时电动势可写成

$$E=n\left|\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}\right|。$$

在 $\Phi-t$ 图像中，两时刻连线的斜率对应这段时间的平均变化率，某点切线的斜率对应该时刻的瞬时变化率。于是，图像最高点处虽然 $\Phi$ 最大，但切线水平，$E=0$；图像过零点时若最陡，$\Phi=0$ 而 $E$ 反倒可能最大。这正是图像题最爱设置的“视觉陷阱”。

图线的斜率还有方向信息。若规定某个穿面方向为磁通量正方向，斜率为正表示磁通量沿正方向增加，斜率为负表示它沿正方向减小；在匝数相同的情况下，斜率绝对值相同，电动势大小就相同。至于感应电流究竟顺时针还是逆时针，还要把斜率正负放回线圈图中，再用楞次定律判断。只看一张没有标明正方向的 $\Phi-t$ 图像，不能凭“上升”两个字武断地报出顺、逆时针。

分段直线图像也值得停一下。每一段斜率恒定，说明该段感应电动势恒定；拐点前后斜率若突然改变，电动势也随之改变。计算跨越多段的平均电动势时，应直接用整个区间的初末磁通量和总时间；计算各段产生的热量或电流，则要分别处理各段，不能拿整段平均值代替每一段的真实值。

3. 先算初、末磁通量

匀强磁场中，平面线圈的磁通量为

$$\Phi=BS\cos\theta，$$

其中 $\theta$ 是磁感应强度 $\boldsymbol B$ 与线圈平面法线之间的夹角。线圈平面与磁场垂直时，法线与磁场平行，$\theta=0$，磁通量为 $BS$；线圈平面与磁场平行时，$\theta=90^\circ$，磁通量为零。

磁通量可以因为 $B$ 改变、有效面积 $S$ 改变或线圈转动而改变。只有面积与方向不变时，才可直接用 $\Delta\Phi=S\Delta B$；只有磁场与方向不变时，才可用 $\Delta\Phi=B\Delta S$。若几个量同时改变，最稳妥的方法是分别求

$$\Phi_1=B_1S_1\cos\theta_1，\qquad \Phi_2=B_2S_2\cos\theta_2，$$

再算 $\Delta\Phi=\Phi_2-\Phi_1$。

例如，一个 $200$ 匝线圈的面积为 $4.0\times10^{-3}\ \text{m}^2$，线圈平面始终与磁场垂直，磁感应强度在 $0.10\ \text{s}$ 内由 $0.20\ \text{T}$ 均匀增加到 。每匝磁通量的变化量为

$$|\Delta\Phi|=S|\Delta B|=4.0\times10^{-3}\times0.30\ \text{Wb} =1.2\times10^{-3}\ \text{Wb}，$$

所以

$$E=200\times\frac{1.2\times10^{-3}}{0.10}\ \text{V}=2.4\ \text{V}。$$

先算“一匝的磁通量”，最后再乘匝数，能避开把 $n$ 重复计算两次的常见错误。

再看一个“磁场和方向一起变”的情形。$100$ 匝线圈面积为 $2.0\times10^{-2}\ \text{m}^2$，磁感应强度保持 $0.20\ \text{T}$，线圈法线在 $0.50\ \text{s}$ 内由平行磁场转到与磁场成 。初、末磁通量分别为 和 ，平均感应电动势为 。这里若把 错当成磁场与线圈平面的夹角，结果会完全不同；先在图上画一根法线，往往比在脑中转线圈稳妥。

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二、导体切割磁感线时，电动势藏在哪里

1. 电荷为什么会分到导体两端

一根金属棒在磁场中运动，棒里的自由电荷也随棒一起运动。正电荷所受磁场力方向由 $q\boldsymbol v\times\boldsymbol B$ 决定，导体内等效的正、负电荷因此向两端分离。一端积累正电荷，另一端积累负电荷，棒内出现电场；当电场力与磁场力平衡时，两端形成稳定的电势差。这根运动导体就像一个电源。

若直导体处在匀强磁场中，参与切割的有效长度为 $L$，导体相对磁场的速度为 $v$，速度与磁场方向夹角为 $\theta$，则动生电动势大小为

$$E=BLv\sin\theta。$$

当 $\boldsymbol v\perp\boldsymbol B$ 时，$E=BLv$；当 $\boldsymbol v\parallel\boldsymbol B$ 时，电荷不受沿棒方向的分离作用，$E=0$。公式里的速度是导体相对磁场的速度，不一定是相对地面的速度。

2. 三个适用条件要同时看

第一，$B$ 应取导体所在区域的磁感应强度；若磁场不均匀，不能随便拿某一点的 $B$ 代表整根导体。第二，$L$ 是有效切割长度。斜放的导体连接两平行导轨时，实际棒长可能大于导轨间距，真正进入 $BLv$ 的常常是棒在与速度、磁场都垂直方向上的有效投影。第三，棒的运动方向若不与磁场垂直，还要保留 $\sin\theta$。

有个容易忽略的细节：回路没有闭合时，棒两端仍可形成动生电动势，只是没有持续的感应电流。判断两端电势高低时，可以对正电荷使用 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$；正电荷被推向的一端电势较高。

例如，长 $0.40\ \text{m}$ 的导体棒在 $0.50\ \text{T}$ 的匀强磁场中以 $6.0\ \text{m/s}$ 运动，速度与磁场夹角为 $30^\circ$，棒的有效长度就是全长，则

$$E=0.50\times0.40\times6.0\times\sin30^\circ\ \text{V}=0.60\ \text{V}。$$

若只看到“切割磁感线”就直接写 $BLv$，漏掉角度，这一步在复习题中很容易失分。先画出 $\boldsymbol B$、$\boldsymbol v$ 和导体方向，再决定公式，比背一句“右手定则”更可靠。

法拉第定律和切割公式并不是两条互相竞争的规律。导体棒、导轨和电阻组成闭合回路时，棒移动使回路面积改变，既可以从 $\Delta\Phi/\Delta t$ 求整个回路的电动势，也可以从运动棒的 $BLv$ 求动生电动势，条件正确时结果相同。前者从回路磁通量着眼，后者从运动电荷受力着眼。若回路中同时有磁场随时间变化和导体运动，就要把各种因素造成的磁通量变化统一核算，不能看见一根运动棒就只保留 $BLv$。

3. 棒上各点速度不同时怎么办

平动时，棒上各点速度相同，可以直接把 $v$ 放进 $BLv$。若一根棒绕轴转动，离转轴越远的点线速度越大，整根棒就没有唯一的线速度。对于长度为 $\ell$ 的直导体棒绕一端以角速度 $\omega$ 匀速转动，整个棒都处在匀强磁场中，转动平面与磁场垂直，也就是棒始终与 $\boldsymbol B$ 垂直，此时可用棒上各点的平均线速度

$$\bar v=\frac{0+\omega\ell}{2}=\frac{\omega\ell}{2}。$$

于是棒两端的动生电动势大小为

$$E=B\ell\bar v =\frac{1}{2}B\omega\ell^2。$$

你可能会顺手取棒端速度 $\omega\ell$，再写 $E=B\ell\cdot\omega\ell$，结果恰好多出一倍。原因是只有最外端达到这个速度，靠近转轴处的速度更小。这个平均线速度方法要求磁场均匀、整根棒都在磁场内、转轴位于棒的一端且棒始终垂直磁场；若只有部分棒进入磁场或转轴位置改变，就要按实际参与切割的各段另行计算。两端电势高低仍对正电荷使用 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$ 判断，不需要另背一条转动专用口诀。

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三、一次变化到底送过多少电荷

电流大不代表通过的总电荷一定多。快速改变磁通量时，电流可能很大，却只持续很短时间；慢慢改变时，电流较小，却持续得更久。假设闭合回路总电阻 $R$ 在过程中保持不变，则

$$q=\bar I\Delta t，\qquad \bar I=\frac{\bar E}{R}，\qquad \bar E=n\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}。$$

三式联立，时间恰好约去：

$$q=\frac{n|\Delta\Phi|}{R}。$$

这个结论说的是：在 $n$、$R$ 和初末磁通量确定时，通过回路横截面的总电荷量与过程快慢无关。它不等于说电流也与时间无关。过程越快，平均电流越大；过程越慢，平均电流越小，只是“电流乘时间”相同。

某 $50$ 匝闭合线圈总电阻为 $2.0\ \Omega$，每匝磁通量由 $3.0\times10^{-4}\ \text{Wb}$ 变为 $1.0\times10^{-4}\ \text{Wb}$，则

$$q=\frac{50\times2.0\times10^{-4}}{2.0}\ \text{C} =5.0\times10^{-3}\ \text{C}。$$

题目若再告诉你过程用时减半，总电荷量仍不变，但平均电流加倍。

公式中出现的是磁通量的净变化量。线圈先从零磁通量变到最大，再回到零，整个往返过程的初末磁通量相同，若问带方向的电荷代数和，正、反方向的电荷会相互抵消；若问两个阶段各自通过的电荷量或电流绝对值的累计，就应分段计算后相加。看到“回到原状态”就直接回答“全过程没有电流”，显然把过程和结果混在了一起。

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四、自感：线圈为什么不愿意让电流突变

1. 线圈既是用电元件，也会“反过来发电”

闭合含线圈的电路时，电源已经接通，灯泡为什么可能不是立即达到正常亮度？原因是线圈中的电流正在增大，它产生的磁场也在变化，变化的磁场又穿过线圈自身，于是在线圈中产生感应电动势。这种由线圈自身电流变化引起的电磁感应现象叫自感，产生的电动势叫自感电动势。

自感电动势大小满足

$$E_L=L\left|\frac{\Delta I}{\Delta t}\right|，$$

$L$ 是自感系数，单位是亨利，符号为 $\text{H}$。$L$ 反映线圈产生自感作用的本领，与线圈的大小、形状、匝数以及有无铁芯等因素有关；对于结构和介质不变的线圈，不能因为某时刻电流较大，就说它的自感系数一定较大。

自感电动势总要阻碍线圈中原电流的变化。原电流增大时，它阻碍增大；原电流减小时，它阻碍减小。后半句尤其关键：断电时自感电动势往往与原电源电动势方向相同，努力维持原来的电流，而不是“永远与原电流反向”。

2. 通电瞬间与稳定状态

开关闭合前线圈电流为零，闭合瞬间线圈电流不能突然跃变到稳态值。自感作用越强、电路电阻越小，电流建立通常越慢。于是，与线圈串联的灯泡可能逐渐变亮，而普通电阻支路的灯泡立即亮起。

直流电路稳定后，线圈电流不再变化，$\Delta I/\Delta t=0$，自感电动势为零。理想线圈可近似看作导线；实际线圈还有导线电阻，应看作其直流电阻，不能一律当作“零电阻短路”。

还要把“变化慢”和“最终小”分开。自感线圈让电流建立得较慢，并不意味着稳定电流一定较小；稳定电流由电源、电阻和电路连接决定。两条并联支路分别接相同灯泡，其中一条再串联直流电阻可忽略的线圈，刚通电时普通支路先亮，线圈支路后亮；足够久后，两灯却可能同样亮。观察亮暗的时间过程，才能看见自感，不能只盯着最终状态。

3. 断电后先画出新回路

开关断开时，线圈电流也不能突变为零。线圈会改变两端电势，尝试沿原来通过线圈的方向维持电流。如果线圈与灯泡在开关断开后还能组成闭合回路，电流就在这个新回路中逐渐减小；若没有闭合续流路径，就不能照搬“灯泡慢慢熄灭”的结论。

灯泡会不会“闪亮一下”，还取决于断开前通过线圈的电流与灯泡原电流的比较。断后流过灯泡的初始电流若大于它断前的电流，才可能先更亮再熄灭；若不大于，通常只是逐渐变暗。高考电路图中，先标出断前各支路电流，再重画断后的闭合回路，是这类题最稳定的给分路径。

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五、涡流：大块金属内部也能形成回路

1. 看不见的闭合电流

把整块金属放在变化的磁场中，金属内部不同位置的磁通量发生变化。虽然没有绕好的导线圈，导体内部仍会出现一圈圈闭合的感应电流，形状像水中的旋涡，因此叫涡流。金属导电性越好、磁通量变化越快，涡流通常越明显。

涡流通过金属电阻会发热。感应电炉和电磁灶利用交变磁场在金属中激发涡流，把电能转化为内能。变压器、电机的铁芯若产生过强涡流，发热却成了损耗；把铁芯制成彼此绝缘的薄片，可以切断大尺度涡流路径、增大回路电阻，从而减小涡流损耗。注意，叠片不是为了让铁芯“完全绝缘”，而是为了限制片间的大环流。

2. 电磁阻尼：阻碍的是相对运动

让磁铁落入竖直铜管，它会比在塑料管中落得慢。磁铁与铜管相对运动，使铜管中的磁通量变化并产生涡流；涡流磁场阻碍磁通量变化，安培力最终阻碍磁铁与铜管的相对运动。磁铁减少的机械能主要转化为铜管的内能，这不是“磁力把能量吃掉了”。

电磁阻尼不要求接触，磁电式仪表指针的快速稳定、金属摆片在磁场中的减振、电磁制动都可以利用它。若把金属片开槽，涡流回路被切断，阻尼会明显减弱。

判断阻尼方向有个朴素办法：先问“若没有阻力，相对运动会怎样改变磁通量”，再让感应效应去阻碍这种改变。磁铁接近铜板时，铜板的磁效应倾向于排斥它；磁铁远离时，铜板又倾向于吸引它。两种情况下力的具体方向不同，但共同结果都是阻碍相对运动。把这概括成“永远排斥磁铁”就错过了楞次定律真正约束的对象。

3. 电磁驱动：安培力也能带着导体走

若磁场相对导体转动，导体中同样会产生涡流。安培力为了减小相对运动，会推动导体跟随磁场同向转动，这叫电磁驱动。异步电动机、磁性转速表等装置都能看到这种作用。

“跟着转”不等于最终转速必然相同。若导体与旋转磁场完全没有相对运动，磁通量不再变化，涡流和驱动力就会消失；在有阻力的稳定状态下，导体通常要略微落后，保留足够的相对运动来产生驱动力。

回到本章最初的磁铁和线圈：法拉第定律用磁通量变化率算出电动势；闭合回路再把电动势变成电流；电流产生的磁场依照楞次定律阻碍原变化。自感、涡流、阻尼与驱动不是几套互不相干的口诀，而是同一条因果链在不同导体结构中的表现。下一章再把这条链放进会运动的导体棒和线框中，动力学、能量和电路才会真正汇合。

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六、本章要点

1. 平均感应电动势为 $\bar E=n|\Delta\Phi|/\Delta t$；瞬时电动势由磁通量的瞬时变化率决定。
2. 匀强磁场中 $\Phi=BS\cos\theta$，$\theta$ 是磁场与面积法线的夹角；多个量同时变化时应先求初、末磁通量。
3. 匀强磁场中直导体平动切割的基本式为 $$；长度为 的棒绕一端在垂直于磁场的平面内匀速转动时，。

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七、课后练习

1

某线圈的磁通量很大但保持不变。线圈中的感应电动势

A.一定很大B.一定为零C.由线圈电阻决定D.由磁通量正负决定

2

在Φ-t图像中，某时刻图线达到光滑的最高点。该时刻的瞬时感应电动势大小

A.一定最大B.一定为零C.等于磁通量最大值D.无法由图像判断

3

100匝线圈中每匝磁通量在0.20 s内均匀改变4.0×10⁻³ Wb，平均感应电动势为 ____ V。

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4

关于匀强磁场中平面线圈的磁通量，下列说法正确的是

A.Φ=BS cosθ中的θ是磁场与线圈平面的夹角B.线圈平面与磁场垂直时磁通量最大C.B和S同时变化时应优先比较初末BS cosθD.磁通量为零时感应电动势必为零

提交

5

长0.50 m的导体棒在0.40 T匀强磁场中以4.0 m/s运动，速度与磁场夹角30°，有效长度为全长。动生电动势为

A.0.20 VB.0.40 VC.0.80 VD.1.60 V

6

导体棒没有接成闭合回路时，棒两端不可能形成动生电动势。

正确错误

7

20匝闭合线圈的总电阻为4.0 Ω，每匝磁通量改变6.0×10⁻⁴ Wb，通过回路的总电荷量为 ____ C。

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8

某闭合线圈的匝数、总电阻和初末磁通量均不变，只把变化时间减半。下列判断正确的是

A.平均感应电动势加倍B.平均感应电流加倍C.通过的总电荷量加倍D.通过的总电荷量不变

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9

同一线圈中的电流增大时，线圈的自感系数一定随之增大。

正确错误

10

含自感线圈的直流电路刚闭合时，线圈产生的自感电动势

A.促进线圈电流增大B.阻碍线圈电流增大C.使线圈电流立即达到稳态D.与线圈电流是否变化无关

11

分析断电自感电路时，下列做法正确的是

A.先判断断电后线圈能否与其他元件组成闭合回路B.线圈中的电流会立即变为零C.断电后线圈努力维持原电流方向D.只要有线圈，灯泡就一定闪亮

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12

下列关于涡流的说法正确的是

A.感应电炉利用涡流发热B.铁芯叠片可限制大尺度涡流C.铜管中的电磁阻尼违反机械能守恒D.金属片开槽通常会减弱电磁阻尼

提交

13

旋转磁场通过涡流带动铝盘稳定转动时，铝盘通常

A.与磁场反向且转速相同B.与磁场同向且转速略低C.与磁场同向且转速一定相同D.始终静止

14

长0.40 m的导体棒绕一端以10 rad/s的角速度匀速转动，转动平面垂直于0.50 T的匀强磁场，整根棒均在磁场内。棒两端的动生电动势为

A.0.20 VB.0.40 VC.0.80 VD.1.60 V