第 3 章　带电粒子在复合场和组合场中的运动

医院里的质谱分析能分辨质量只差一点点的离子，回旋加速器能让带电粒子一圈一圈地获得能量；而在综合题的图里，同一个粒子可能刚在电场中走完一段抛物线，越过边界后又被磁场拽成圆弧。装置看起来各有各的脾气，真正控制它们的却只有三件事：粒子在每个位置受哪些力、这些力怎样改变速度，以及离开一个场区时的状态怎样交给下一个场区。

这里先把两个容易混用的词分开。若电场、磁场和重力场中的两种或三种同时存在于同一空间，称为复合场；若不同场分布在互不重叠的区域，粒子依次通过这些区域，称为组合场。复合场的难处是几种力要同时合成，组合场的难处则是轨迹要逐段拼接。两类问题最后都会落到同一条主线上：受力决定运动，边界传递状态。

同一片空间里，先把力认全

一颗带正电的小球斜着进入竖直平面内的电场和磁场。有人看到磁场就立即写 $|q|vB=mv^2/r$，可这个等式暗含“合力只有垂直速度的向心力”。若电场力或重力没有被抵消，轨迹通常既不是圆，也不是抛物线，半径公式当然不能直接套。

在复合场中，最稳的第一行不是公式，而是完整受力图。粒子可能受到

$\boldsymbol F=q\boldsymbol E+q\boldsymbol v\times\boldsymbol B+m\boldsymbol g$

其中 $q$ 带正负号；若只计算洛伦兹力大小，则写 $F_{\text{洛}}=|q|vB\sin\theta$。静电力和重力的大小、方向在匀强场中通常固定，洛伦兹力却跟着速度变：速度方向一转，洛伦兹力方向也转；速度大小一变，洛伦兹力大小也会变。这正是复合场不能只看入射瞬间的原因。

方向判断最好分两遍完成。先假设正电荷，用电场方向确定静电力，用左手定则确定洛伦兹力；若实际是负电荷，再把这两种力同时反向，重力仍竖直向下。这样做比一边套定则一边在脑中翻转电性可靠。随后把力沿便于计算的坐标轴分解，而不是看图上哪两个箭头“差不多反向”就宣布平衡。

还要区分“带电粒子”和“带电微粒”的尺度。电子、质子等基本粒子的 $mg$ 与常见电磁力相比通常很小，题目也常明确“不计重力”；带电液滴、小球和尘埃的质量大得多，重力可能正是形成平衡或临界的关键。规范答案应在开始处写出“重力忽略”或“重力参与”，让后续每个运动模型都有清楚的前提。

直线运动要经得住“下一瞬间”的检验

如果三种力的矢量和为零，粒子的加速度为零，它将保持原速度做匀速直线运动。正交电磁场中忽略重力时，若速度同时垂直于电场和磁场，并且静电力与洛伦兹力方向相反，就有

$|q|E=|q|vB$

这个状态能够持续，是因为合力为零后速度不变，洛伦兹力也就不变。

注意一个常见陷阱：某时刻合力恰好沿速度方向，并不自动保证以后一直走直线。只要合力使速率变化，$|q|vB$ 就会随之变化，原来的方向关系可能立刻被破坏。判断“直线运动”时要问的不是“刚进入时会不会偏”，而是“所列条件能不能在整个过程中保持”。

若粒子静止，洛伦兹力为零，平衡只可能由电场力与重力等其他力实现。带电油滴悬浮时应写

$q\boldsymbol E+m\boldsymbol g=\boldsymbol 0$

此时磁场即使存在，也对静止油滴不起作用。把 $|q|vB$ 硬塞进静态平衡式，往往是把“空间里有磁场”和“粒子受到磁场力”混成了一件事。

圆周运动需要把“碍事的力”先抵消

设电场竖直向上，带正电粒子的电场力恰好抵消重力，即 $qE=mg$。如果粒子的速度垂直磁场，那么剩下的洛伦兹力始终垂直速度，只改变方向，不改变速率，粒子便做匀速圆周运动：

$r=\frac{mv}{|q|B},\qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B}$

你可能会问：既然电场力和重力都做过功，为什么还能把它们忽略？这里不是分别忽略，而是它们在任意位置的合力恒为零，合功也为零。高考题里常用“某带电微粒恰能静止”暗示 $q\boldsymbol E+m\boldsymbol g=0$，随后让同种粒子以某速度进入；这时非磁场力仍然抵消，运动立即简化为纯磁偏转。

抵消一个方向，另一个方向可以成为类平抛

复合场里也能出现严格的类平抛，但场的方向必须安排得很讲究。设带正电粒子以 $v_0$ 沿 $x$ 轴射入，匀强磁场沿 $y$ 轴，因而初始洛伦兹力沿 $z$ 轴。把匀强电场分成两个互相垂直的分量：$\boldsymbol E_1$ 沿 轴反方向，满足

$qE_1=qv_0B$

它恰好抵消洛伦兹力；$\boldsymbol E_2$ 则沿磁场方向，也就是 $y$ 轴。粒子在 $x$ 方向保持速率 $v_0$ 做匀速直线运动，同时在 $y$ 方向受到恒定电场力 ，从静止开始做匀加速直线运动：

$x=v_0t,\qquad y=\frac12\frac{qE_2}{m}t^2$

消去时间可得

$y=\frac{qE_2}{2mv_0^2}x^2$

两个正交分运动合成后，轨迹就是一条抛物线。这个模型能持续成立的关键是：后来增加的 $y$ 方向速度与磁场平行，不产生新的洛伦兹力，所以 $x$ 方向速度仍为 $v_0$，$E_1$ 与原洛伦兹力的平衡不会被破坏。

如果静电力、重力和洛伦兹力既不平衡，也不能把某两力恒定抵消，粒子通常做一般变速曲线。高中阶段遇到这类情形，题目往往会提供特殊方向、对称性、周期性或始末状态，让我们用分运动、动量或能量寻找关系；没有这些条件时，不应擅自把复杂轨迹命名成圆或抛物线。

速度选择器：不是把粒子停住，而是让一种速度不偏转

想象一束快慢不一的带电粒子穿过一条狭窄通道。电场把它们往一侧推，磁场则按速度大小向另一侧推。速度太小，静电力占上风；速度太大，洛伦兹力占上风；只有某个速度能让两力正好抵消，沿直线穿过出口。

当 $\boldsymbol E、\boldsymbol B、\boldsymbol v$ 两两垂直，且两种力方向相反时，直线通过条件为

$|q|E=|q|vB,\qquad v=\frac{E}{B}$

质量和电荷量都约掉了，所以装置选择的是速度，不是某种质量或某种电性。若同时把正、负粒子从同一方向射入，两种力会随电性一起反向，满足 $v=E/B$ 的粒子仍都能直线通过。

但它有方向性。把粒子从出口反向射回，电场力方向不变，洛伦兹力却因速度反向而反向，原来抵消的两力会改成同向。除非同时改变场的方向，否则不能把速度选择器当成可双向通过的筛子。

这类选择器的给分点通常不只是一行 $v=E/B$。还要说明三者互相垂直、两种力方向相反，并检查粒子的入射方向。若题目只给出 $E$ 和 $B$ 的数值，却没有说明方向关系，不能仅凭大小式断言粒子一定直线通过。

质谱仪：先把速度管住，再让质量差变成位置差

两种同位素离子的质量很接近，肉眼当然分不出来。让它们进入磁场后，半径对质量敏感，不同的质荷比就会对应不同落点。这相当于把微小的“质量差”放大成可测的“距离差”。

常见模型中，初速度可忽略的离子先经过电势差为 $U$ 的加速电场，再垂直进入磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场。加速区用动能定理：

$|q|U=\frac12mv^2$

磁场区用洛伦兹力提供向心力：

$|q|vB=\frac{mv^2}{r}$

消去 $v$，得到

$\frac{|q|}{m}=\frac{2U}{B^2r^2}$

若粒子在磁场中走半圆，入射点到落点的距离是直径 $d=2r$，代入时不能把测得的直径直接当半径。质谱仪严格测出的是质荷比或比荷；只有电荷量已知且相同，才可以把落点差异直接解释为质量差异。

有些装置把速度选择器接在偏转磁场前面。此时所有通过者已有相同速度 $v=E/B_1$，进入另一磁场 $B_2$ 后满足 $r=mv/(|q|B_2)$，半径便与 成正比。解题时要看清装置究竟是“电压加速后进入磁场”，还是“先选速再偏转”，两种模型不能拼成一套公式乱用。

回旋加速器：每次只推一把，半径却越走越大

如果一直用很高的电压直线加速，设备会被拉得很长。回旋加速器换了一个思路：让粒子在两个中空的 D 形金属盒内反复转弯，每次经过盒间缝隙时再由电场推一把。盒内电场近似为零，磁场负责转弯；缝隙处电场负责增加动能。

非相对论条件下，粒子在匀强磁场中的周期为

$T=\frac{2\pi m}{|q|B}$

它与速率和轨道半径无关。粒子变快后，$r=mv/(|q|B)$ 随之增大，但走一个半圆所需的时间仍为 $T/2$。因此只要交流电压的周期与粒子回旋周期匹配，粒子每次到达缝隙时，电场方向都恰好翻转到“继续加速”的一侧。

设 D 形盒的最大有效半径为 $R$，粒子到达边缘时

$v_{\max}=\frac{|q|BR}{m}$

于是最大动能为

$E_{k\max}=\frac{q^2B^2R^2}{2m}$

这个结果里没有加速电压 $U$。这并不是说电压无用：若每过一次缝隙增加的动能为 $|q|U$，增大 $U$ 会减少达到目标能量所需的加速次数和时间；在盒半径与磁场一定的理想模型中，最大动能仍由 $B、R、q、m$ 决定。

跨过边界时，位置和速度都不能断

组合场像一场接力赛。电场段结束时的出口位置和速度，就是磁场段的入口条件。轨迹可以从抛物线换成圆弧，但粒子不会在没有冲量的边界上突然跳到别处，也不会凭空改变速度方向。

设正粒子以水平初速度 $v_0$ 进入宽度为 $L$、电场竖直向上的匀强电场，忽略重力。它在电场中停留

$t_1=\frac{L}{v_0}$

竖直加速度为 $a=|q|E/m$，所以出界时

$v_x=v_0,\qquad v_y=at_1,\qquad v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}$

随后它进入垂直纸面的匀强磁场。磁场半径必须使用刚算出的合速度：

$r=\frac{mv}{|q|B}$

圆心在入界点处速度方向的法线上，半径与速度垂直。有人沿着初速度 $v_0$ 的垂线找圆心，会让圆弧在边界处出现折角；正确做法是先画出入磁场时的合速度，再按电性与磁场方向判断洛伦兹力所在一侧。

一张分段表，比一口气列总方程更可靠

场区一多，建议给每一段记四项：运动类型、入口状态、出口状态、所用时间。

其中磁场段的 $\theta$ 必须用弧度。若用周期写，则 $t=(\theta/2\pi)T$；若图上标的是圆周角、弦切角或速度偏转角，要先换成轨迹对应的圆心角。

例如粒子先经电压 $U$ 加速，再穿过长度为 $s$ 的无场区，最后在磁场中转过半圆。加速后的速率由 $|q|U=mv^2/2$ 得到；无场段用这个速率算 $s/v$；半圆时间则是 $\pi m\mathrm{/}(\mathrm{\mid }$。你会发现，最后一段时间与刚求出的速率无关，但半径仍与速率有关。若只因为“时间约掉了速度”就跳过加速区，落点位置会算错；同一道题里，不同问题可能调用同一状态的不同信息。

磁场段的几何：先找圆心，再谈出口

粒子从直线边界上的 $P$ 点进入磁场，又从同一边界上的 $Q$ 点离开。由于入口、出口速度都与各自半径垂直，速度偏转角等于两条半径的夹角，也就是轨迹圆心角。弦长满足

$PQ=2r\sin\frac{\theta}{2}$

这条关系比背各种“半径等于某边长”的结论更通用。看到入射点和出射点，先分别作速度的垂线，两条垂线交点就是圆心；看到“恰好从边界射出”，要判断是相交、相切还是经过角点。高考综合题的几何分常丢在这里：动力学公式写对了，圆心却画在速度同侧，后面的半径、角度和时间全跟着翻车。

临界状态不是一句“恰好”，而是一条等式

当题目问“能够从某边射出的速度范围”或“磁感应强度至少多大”时，先画真正改变结果的临界轨迹。常见临界有两种：圆弧与某条边界恰好相切；圆弧恰好经过场区角点。前者把圆心到边界的距离与半径建立等式，后者把角点代入圆的几何关系。

得到等号状态后还没结束。因为 $r=mv/(|q|B)$，增大速度和减小磁场都会增大半径，但“半径更大”究竟让粒子从哪条边出去，必须在临界值两侧各取一个样本检验。只看图形大小就机械写不等号，很容易把范围方向反过来。

如果粒子源能从一段边界的不同位置或以一簇方向入射，临界对象还可能不止一条。此时先固定一个入射参数画轨迹族，判断哪个端点最先碰边、哪条轨迹最后还能到达接收区，再分别建立等式。把所有“恰好”塞进同一幅圆里，常会漏掉另一端的限制。最终速度或磁场范围应同时满足全部边界条件，并回到装置图检查粒子是否在到达目标前已经从别处离开。

人工复核：在 390px 窄屏中聚焦磁场核心时，左侧电场区和入射点标签会被部分裁切；“恰过角点”快捷值受滑块步长影响，显示半径与公式最多相差 $0.001\ \text{cm}$，但临界判断仍正确。

多次往返：重复的是单元，不是计算错误

粒子从磁场出来，经过无场区或电场区后又返回磁场，轨迹会出现多段相似圆弧。此时把整张图一次画完很费劲，先找一个“运动单元”更省力：粒子从某边界状态出发，经过若干场区，再回到方向相同或可预测的新边界状态。若每个单元的位移、速度变化和时间相同，总过程就能用单元数累加。

磁场只改方向，因此同一匀强磁场中、速率相同的重复圆弧半径相同；电场可能改变速率，下一次进入磁场的半径就未必相同。判断周期性时不能只看图形“长得像”，还要核对每轮入口速度的大小和方向是否恢复。

总时间则按段相加：

$t_{\text{总}}=\sum t_{\text{电}}+\sum\frac{s_{\text{无}}}{v}+\sum\frac{\theta m}{|q|B}$

若磁场强度分区不同，每段都要用自己的 $B_i$；若电场做功改变速率，后续无场段的 $v$ 和磁场段的 $r$ 也要随之更新。

速度难求时，先翻能量账本

组合场题常把注意力全吸到轨迹上，其实速度大小的变化往往可以先用能量解决。洛伦兹力始终垂直瞬时速度，功恒为零；静电力和重力可以做功。因此从状态 1 到状态 2，若没有其他力做功，

$\Delta E_k=W_{\text{电}}+W_g=q(\varphi_1-\varphi_2)+mg(h_1-h_2)$

这里 $q$ 要带符号。正电荷沿电场方向运动，电势降低，电场力做正功；负电荷的情况相反。磁场可以让粒子绕很长的弯路，却不会直接改变它的动能。

一个很实用的顺序是：先用能量求进入磁场的速率，再用 $r=mv/(|q|B)$ 求半径，接着用几何确定圆心角，最后求磁场中的时间。这样可以避开在电场段逐时追踪每个速度分量，也能减少把“电场出口速度”和“最初速度”混用的机会。

把复杂装置拆成可核对的链条

课后练习

练习 1：悬浮微粒与磁场

质量为 $m$、带电荷量为 $-q$（$q>0$）的微粒静止在竖直向下的匀强电场中，空间同时存在任意方向的匀强磁场。求电场强度大小，并说明磁场是否影响平衡。

显示答案

微粒静止时洛伦兹力为零。负电荷所受电场力方向向上，与重力平衡，故 $qE=mg$，即 $E=mg/q$。磁场存在但不对静止电荷施力，因此不影响这一平衡。

练习 2：直线通过速度选择器

正交电场和磁场的场强分别为 $E=3.0\times10^4\ \text{V/m}$、$B=0.20\ \text{T}$。不计重力，求能沿直线通过的粒子速率。

显示答案

两力反向时满足 $|q|E=|q|vB$，所以 $v=E/B=1.5\times10^5\ \text{m/s}$。结果与粒子的质量和电荷量无关，但仍要求入射方向使两力相反。

练习 3：反向射入是否还能通过

某粒子以 $v=E/B$ 从左向右直线通过速度选择器。保持电场、磁场均不变，让同种粒子以相同速率从右向左射入，它还能沿原直线通过吗？

显示答案

不能。速度反向后洛伦兹力反向，而静电力不变，两力由反向变为同向，粒子将发生偏转。速度选择器具有方向性。

练习 4：抵消重力后的圆周

质量为 $m$、电荷量为 $+q$ 的微粒处在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的匀强磁场中，且 $qE=mg$。微粒以垂直磁场的速率 $v$ 运动，求半径和周期。

显示答案

电场力与重力恒定抵消，只有洛伦兹力提供向心力，因此 $r=mv/(qB)$，$T=2\pi m/(qB)$。电场和重力不能分别省略，只能在说明二者合力为零后约去。

练习 5：质谱仪测比荷

离子从静止经 $2.0\times10^3\ \text{V}$ 电压加速后，垂直进入 $0.50\ \text{T}$ 的磁场，轨道半径为 $0.20\ \text{m}$。求离子比荷 $|q|/m$。

显示答案

由 $|q|/m=2U/(B^2r^2)$，得 $|q|/m=4.0\times10^5\ \text{C/kg}$。计算时半径应以米代入；若装置给的是半圆直径，必须先除以 2。

练习 6：同位素落点比较

两种电荷量相同、质量分别为 $m$ 和 $4m$ 的正离子从静止经同一电压加速，再进入同一匀强磁场。求轨道半径之比。

显示答案

由 $r=\frac1B\sqrt{2mU/|q|}$，半径与 成正比，所以 。不能在“同电压加速”条件下误写成半径与质量成正比，因为两种离子的速度并不相同。

练习 7：回旋频率

质子在磁感应强度为 $B$ 的回旋加速器中运动。若速率增大为原来的 3 倍，非相对论条件下回旋半径和回旋周期各怎样变化？

显示答案

$r=mv/(qB)$，所以半径变为 3 倍；$T=2\pi m/(qB)$ 与速率无关，周期不变。正因半圆时间不变，固定频率的交变电压才能持续加速。

练习 8：最大动能由谁决定

理想回旋加速器的磁感应强度为 $B$，D 形盒最大有效半径为 $R$。将缝隙电压增大为原来的 2 倍，粒子的最大动能是否变为 2 倍？

显示答案

不会。理想非相对论模型中 $E_{k\max}=q^2B^2R^2/(2m)$，最大动能不含缝隙电压。电压增大后，每次过缝隙获得的能量更多，达到边缘所需次数减少。

练习 9：电场出口速度

正粒子以水平速率 $v_0$ 进入宽度为 $L$、方向竖直向上的匀强电场，电场强度为 $E$，忽略重力。求离开电场时的两个速度分量和速率。

显示答案

水平方向匀速，停留时间 $t=L/v_0$，故 $v_x=v_0$。竖直方向加速度为 ，所以 ，合速率 。

练习 10：拼接后的磁场半径

练习 9 中的粒子随即垂直进入磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场。求轨道半径，并说明怎样确定圆心。

显示答案

半径为 $r=mv/(qB)$，其中 $v$ 必须使用电场出口合速率。圆心位于入界点处合速度的垂线上，再依据正电荷所受洛伦兹力方向选择垂线的正确一侧。

练习 11：磁场中的弦与时间

粒子在匀强磁场中沿半径为 $r$ 的圆弧从 $P$ 到 $Q$，弦长为 $r$。求圆心角的较小值以及走过这段圆弧的时间。

显示答案

由 $PQ=2r\sin(\theta/2)=r$ 得 $\sin(\theta/2)=1/2$，较小圆心角为 $\theta=\pi/3$。时间 。若实际轨迹走的是优弧，圆心角应改为 。

练习 12：临界磁感应强度

粒子以速率 $v$ 垂直进入宽度为 $d$ 的匀强磁场区。若临界状态为轨迹恰好与另一侧边界相切，且几何关系给出临界半径 $r=d$，求临界磁感应强度。

显示答案

由 $r=mv/(|q|B)$ 与 $r=d$ 得 $B_c=mv/(|q|d)$。至于 还是 能从目标边界射出，必须结合弯曲方向在临界值两侧试画，不能只凭公式猜不等号。

练习 13：三段总时间

粒子依次经过电场区、长度为 $s$ 的无场区和磁场区。已知电场中运动时间为 $t_E$，离开电场后速率为 $v$；无场区不改变速度；磁场中转过圆心角 $\theta$。求总时间。

显示答案

无场段时间为 $s/v$，磁场段时间为 $\theta m/(|q|B)$，所以 $t_{\text{总}}=t_E+s/v+\theta m/(|q|B)$。 要用弧度，且若后续电场再次改变速率，不能把同一个 沿用到底。

练习 14：能量账本

带电荷量为 $q$、质量为 $m$ 的粒子从电势 $\varphi_1$、高度 $h_1$ 的位置运动到电势 $\varphi_2$、高度 的位置，过程中只有电场、磁场和重力做作用。写出动能变化。

显示答案

$\Delta E_k=q(\varphi_1-\varphi_2)+mg(h_1-h_2)$。洛伦兹力始终垂直速度，做功为零，因此式中没有磁场功；但磁场仍可改变轨迹方向和到达终点的可能性。

练习 15：综合判断

15

关于带电粒子在复合场和组合场中的运动，下列说法正确的是：

A.速度选择器能同时筛选粒子的速度和质量B.回旋加速器中磁场负责改变方向，缝隙电场负责增加动能C.粒子从电场跨入磁场时，速度方向可以在边界处无故突变D.磁场临界范围应先求等号状态，再在临界值两侧检验

提交

练习 16：复合场中的类平抛

带正电粒子以速率 $v_0$ 沿 $x$ 轴正方向射入复合场，匀强磁场沿 $y$ 轴正方向。电场在 $z$ 轴负方向的分量大小为 $E_1=v_0B$，在 轴正方向的分量大小为 。粒子进入时 方向速度为零，忽略重力。证明粒子在 平面内做类平抛运动，并写出轨迹方程。

显示答案

初速度与磁场垂直，洛伦兹力沿 $z$ 轴正方向，大小为 $qv_0B$；$z$ 轴负方向的电场力为 $qE_1=qv_0B$，两力抵消。 方向与磁场平行，电场分量 使粒子以加速度 做初速度为零的匀加速运动；新增的 方向速度平行磁场，不产生洛伦兹力，因此原平衡能够持续。于是 ，，消去 得 ，轨迹为抛物线。

本章收束

同一区域存在多种场时，先列全受力并检查条件能否持续：合力为零对应匀速直线，非磁场力恒定抵消后可由洛伦兹力维持圆周，一般不平衡状态则不能随意套圆或抛物线。速度选择器利用两力平衡筛出 $v=E/B$，质谱仪把质荷比差异变成轨道半径差异，回旋加速器则借助与回旋周期同步的交变电场反复加速。

不同场区相接时，把每段当作独立运动，再让出口位置和速度成为下一段入口。电场段常用运动学与能量，磁场段抓住半径、圆心和圆心角，无场段保持匀速；临界题画相切或过角点的边界轨迹，多次往返题寻找可重复单元。这样拆开之后，再复杂的装置也只是若干段熟悉运动的有序接力。