第 7 章　交变电流的产生与描述

自行车的车轮贴着小发电机转动时，灯泡会亮；摇柄式手电的线圈在磁场中转动，也能把机械能变成电能。可线圈明明一直朝同一个方向转，外电路里的电流为什么会一会儿向左、一会儿向右？更奇怪的是，线圈转得最“正对”磁场时，感应电动势反而为零。要把这些现象讲通，不能只盯着“有没有切割磁感线”，而要追踪磁通量随时间怎样变化。

一、转动的线圈怎样产生交变电流

1. 方向周期性改变，才叫交变电流

把检流计接在线圈两端，让线圈在磁场中持续转动，指针会有节奏地左右摆动。这说明电流的大小和方向都在改变。方向随时间做周期性变化的电流叫交变电流，简称交流；方向不随时间改变的电流叫直流。

这里判断交流的关键是“方向周期性变化”，不是“大小一定按正弦变化”。大小忽大忽小但始终同向的脉动电流，仍不属于严格意义上的交变电流；方波、锯齿波只要方向周期性改变，也都是交变电流。正弦交变电流只是最常见、最重要的一类。

要得到正弦交变电动势，一种典型条件是：面积为 $S$、匝数为 $N$ 的线圈处在磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴以角速度 $\omega$ 匀速转动。若线圈接成闭合电路，周期性变化的感应电动势就会驱动交变电流。滑环和电刷负责让转动线圈与外电路保持连接，它们不负责把交流“变出来”；真正的根源仍是磁通量周期性变化。

2. 中性面为什么“磁通最大、电动势为零”

取线圈的面积法线与磁场方向的夹角为 $\theta$。单匝线圈的磁通量为

$$\Phi=BS\cos\theta.$$

若从线圈平面与磁场垂直的位置开始计时，则面积法线起初与磁场同向，$\theta=\omega t$，于是

$$\Phi=BS\cos\omega t.$$

线圈平面与磁场垂直的位置叫中性面。这个名字很容易让人误会：中性面不是磁通量为零的位置，恰好相反，此时 $|\Phi|$ 最大；只不过线圈在这一瞬间转动造成的磁通量变化率为零，所以感应电动势为零。

由法拉第电磁感应定律

$$e=-N\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt},$$

在预先规定好感应电动势正方向后，可以写成

$$e=NBS\omega\sin\omega t=E_{\mathrm m}\sin\omega t, \qquad E_{\mathrm m}=NBS\omega.$$

负号所表达的楞次定律并没有消失，而是被包含在“正方向怎样选”和正弦函数的正负中。若只求大小，不能把 $e=E_{\mathrm m}\sin\omega t$ 当作永远为正的数；正负正是在告诉我们电动势方向怎样改变。

线圈从中性面转过四分之一周时，线圈平面与磁场平行，磁通量为零，但磁通量变化得最快，$|e|$ 达到峰值。再转四分之一周，线圈又经过中性面，$e$ 再次为零，而且穿过该位置前后的电动势方向相反。因此线圈每经过一次中性面，感应电流方向改变一次；匀速转动一周经过两次中性面，方向改变两次。

下面这个位置判断器故意把转向也放进条件里。先预测电动势的正负，再让图像替你核对；如果只背“某位置电流向某边”，一旦题目改变磁场或转向，答案就会整体翻转。

3. 磁通量和电动势总差四分之一周期

从中性面开始计时，磁通量按余弦规律变化，感应电动势按正弦规律变化。两条曲线相差四分之一周期：$\Phi$ 处在峰值或谷值时 $e=0$，$\Phi$ 过零时 $|e|$ 最大。不是电动势“追着磁通量跑”，而是电动势由磁通量的变化快慢决定。

先试着判断：若线圈仍从中性面出发，经过 $T/8$ 时，磁通量和电动势分别是各自峰值的多少？因为 $\omega T=2\pi$，此时 $\omega t=\pi/4$，所以

$$\Phi=\frac{\sqrt2}{2}\Phi_{\mathrm m}, \qquad e=\frac{\sqrt2}{2}E_{\mathrm m}.$$

两者数值恰好相等只是 $45^\circ$ 这个位置的结果，不表示磁通量和电动势始终同步。高考读图题常把一条曲线的零点与另一条曲线的峰值放在一起考，漏掉这四分之一周期的错位，后面的方向和瞬时值都会跟着错。

二、一条正弦式怎样装下全部信息

1. 瞬时值、峰值和初相位各管一件事

交流电表显示一个稳定读数，可示波器屏幕上的曲线却每时每刻都在变化。这里需要先分清两个层次：某一时刻到底是多少，用瞬时值；整个变化过程中能达到的最大绝对值，用峰值。

正弦变化的电动势、电压和电流都可以用“峰值乘正弦函数”描述，但它们的相位未必相同。更稳妥的写法是

$$e=E_{\mathrm m}\sin(\omega t+\varphi_e),\qquad u=U_{\mathrm m}\sin(\omega t+\varphi_u),\qquad i=I_{\mathrm m}\sin(\omega t+\varphi_i).$$

$E_{\mathrm m}$、$U_{\mathrm m}$、$I_{\mathrm m}$ 是峰值，括号里的量是相位，、、 分别是初相位。纯电阻电路中的电压与电流同相，含电感、电容的电路则可能不同相，本章末只作定性认识。只有从中性面开始计时并把随后出现的第一个半波规定为正时，才可直接写成 。如果从电动势峰值位置开始计时，更自然的表达式是 ；强行照抄正弦式，就会把初相位漏掉。

图像横轴是时间，纵轴是瞬时值。曲线上某点的纵坐标可以为正、为负或为零，正负代表相对规定正方向的方向，不代表能量“变成负数”。峰值要从时间轴到波峰或波谷量，峰峰值则是最高点到最低点，大小为 $2I_{\mathrm m}$；把示波器给出的峰峰值直接当峰值，是读图时很隐蔽的一倍差错。

2. 周期、频率和角频率可以相互翻译

交变电流完成一次周期性变化所需的时间叫周期 $T$，单位是秒；单位时间内完成周期性变化的次数叫频率 $f$，单位是赫兹。角频率 $\omega$ 描述相位每秒推进多少弧度，它们满足

$$T=\frac1f, \qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.$$

例如 $i=4\sin(100\pi t+\pi/6) \text{A}$。一眼能读出的峰值是 $4\ \text{A}$，角频率是 $100\pi\ \text{rad/s}$，所以 $f=50\ \text{Hz}$、，初相位为 。频率是每秒多少个完整周期，不是电流每秒改变方向的次数；一周期改变两次方向，因此 正弦交流每秒改变方向 次。

还要留意相位必须是纯数，计算三角函数时通常用弧度。表达式里的 $100\pi$ 不是频率，而是角频率；把它直接读成 $100\pi\ \text{Hz}$，会多出一个 $2\pi$。用单位检查也能发现问题：$f$ 的单位是赫兹，$\omega$ 的单位是弧度每秒，二者含义不同。

改变线圈转速会同时动两个量。因为 $E_{\mathrm m}=NBS\omega$，转速提高会使峰值增大；又因为 $f=\omega/(2\pi)$，频率也会提高、周期缩短。若转速变为原来的两倍，在 $N$、、 不变时，峰值和频率都变为两倍，周期变为一半。只改图像“压得更密”却忘了“长得更高”，或者只改峰值不改周期，都没有把线圈转速的影响追到底。

3. 图像反推表达式，先别急着代点

拿到一幅 $u-t$ 图像，稳妥的顺序是：先由纵轴读 $U_{\mathrm m}$，再由相邻同相状态的时间间隔读 $T$，算出 $\omega=2\pi/T$，最后用 时的数值和增减趋势判断初相位。只用一个点通常不够，因为 相同的角可能不止一个；还要看曲线是在上升还是下降。

例如一列交流电压的峰值为 $10\ \text{V}$，周期为 $0.040\ \text{s}$，$t=0$ 时电压为零且随后增大。于是 $\omega=50\pi\ \text{rad/s}$，可以写成

$$u=10\sin50\pi t\ \text{V}.$$

若 $t=0$ 时仍为零但随后减小，则可写成 $u=-10\sin50\pi t\ \text{V}$，或写成 $u=10\sin(50\pi t+\pi)\ \text{V}$。两种表达式描述同一件事，关键是正方向和初始趋势一致。

4. 发电机不是“无阻力地生出电能”

线圈空载转动时，人手只需克服摩擦等阻力；接上用电器后，摇柄往往明显更沉。线圈中的感应电流进入磁场，会受到安培力，这些安培力形成的力矩总要阻碍原来的转动趋势。外力必须持续做功，机械能才转化为电能，再在负载上转化为内能、光能等。楞次定律在这里不仅判断电流方向，也守住了能量守恒。

这能帮你检查方向题。假如按某个电流方向判断出的安培力矩反而持续帮助线圈加速，同时外电路还不断得到电能，那就等于凭空产生能量，方向判断一定出了问题。不过，能量判断通常只能确定“阻碍转动”这一整体效果；要落实到某条边的电流或安培力方向，仍应配合右手定则、楞次定律和左手定则逐步核对。

实际发电机线圈有内阻，负载两端的电压不一定等于发电机电动势，负载电流峰值也不一定简单等于 $E_{\mathrm m}/R$。题目只有明确“线圈电阻不计、外接纯电阻”时，才能直接这样处理。遇到图像题先看纵轴标的是 $e$、$u$ 还是 $i$，别把三者当成同一条曲线。

三、有效值不是把正负平均掉

1. 为什么电网说“220伏”却还有更高的峰值

把正弦电压接到电热器上，正半周电流向一个方向，负半周反向，但电热器在两个半周都发热。若直接求一周期内电流的代数平均，正负恰好抵消为零，难道电热器没有得到能量？显然不是。焦耳热与 $i^2$ 有关，方向反转不会让已经产生的热量倒流回电源。

让交变电流和恒定电流分别通过相同的电阻，如果在相同时间内产生的热量相等，这个恒定电流的电流值就叫该交变电流的有效值。电压有效值也用相同的等热思想定义。对周期电流，通常取一个周期比较：

$$I^2RT=\int_0^T i^2R\,\mathrm dt,$$

因此

$$I=\sqrt{\frac1T\int_0^T i^2\,\mathrm dt}.$$

这就是“先平方、再平均、最后开方”的来历。对 $i=I_{\mathrm m}\sin\omega t$，一周期内 $\sin^2\omega t$ 的平均值为 $1/2$，所以

$$I=\frac{I_{\mathrm m}}{\sqrt2}.$$

同理，正弦交变电动势和电压满足

$$E=\frac{E_{\mathrm m}}{\sqrt2}, \qquad U=\frac{U_{\mathrm m}}{\sqrt2}.$$

注意，峰值除以 $\sqrt2$ 只适用于正弦或余弦交变电流，不能见到“交流”两个字就套。家用交流电标称的 $220\ \text{V}$ 通常指有效值，相应峰值约为 $220\sqrt2\ \text{V}$；交流电表的正常示数、电器铭牌上的额定电压、计算电功率和焦耳热时使用的交流量，通常也是有效值。电容器的耐压值和器件绝缘要求却要盯住可能出现的最大瞬时电压，不能拿有效值冒充峰值。

2. 非正弦波要让每一段都参加发热

一列周期为 $T$ 的电流，在前 $T/4$ 为 $6\ \text{A}$，接着 $T/4$ 为 $-6\ \text{A}$，后 $T/2$ 为零。有人看到正负相抵，会答有效值为零；也有人看到峰值 $$，直接除以 。两个答案碰巧一个太小、一个在本题中反而算对了，但第二种做法没有依据——这里只是时间比例恰好给出同样结果。

按等热定义列式：

$$I^2RT=(6^2R)\frac T4+(-6)^2R\frac T4+0^2R\frac T2,$$

得到

$$I=3\sqrt2\ \text{A}.$$

一般的分段恒定电流可直接写成

$$I=\sqrt{\frac{I_1^2\Delta t_1+I_2^2\Delta t_2+\cdots}{T}}.$$

每一段先平方，所以正负都产生正的热量；每一段还要乘持续时间，所以“出现多久”与“有多大”同样重要。若波形某段按正弦变化，就对那一段积分，或者利用已经证明且适用于该完整区间的均方结论，不能把曲线随意当成长方形。

3. 瞬时值、平均值、有效值和峰值各有用途

四个“值”长得相似，解决的问题却不同。瞬时值回答某一时刻的电压、电流和受力；峰值用于判断器件是否可能被击穿、瞬间量能到多大；有效值用于电热、电功率、交流电表示数和额定值；某段时间内的平均感应电动势则由

$$|\overline E|=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$$

求得，常与通过导体截面的电荷量相联系。完整周期内正弦电动势的代数平均值为零，但有效值不为零。题目说“平均值”时还要看它指代数平均、平均电动势，还是口语中误称的有效值；物理计算必须由使用场景决定。

四、电感和电容为什么对交流反应不同

1. 线圈不喜欢电流变化得太快

把灯泡与线圈串联，接到合适的低压交流电源上，灯泡会比只接同样直流条件时暗一些。不是线圈把电能“吃掉”了，而是交变电流不断变化，线圈中的自感电动势总要阻碍电流的变化。电流变化越快，这种阻碍作用通常越明显。

稳定直流接通并经过暂态后，电流不再变化，理想线圈不再产生自感电动势；真实线圈仍有导线电阻，因此不能说它对直流“完全没有阻碍”。在课标要求的定性范围内，可以记住趋势：电感器通直流、阻交流，交变越快，阻碍越明显。这句话是方便理解的概括，使用时仍要保留“暂态”和“线圈自身电阻”两个条件。

2. 电容器的电介质没有被电荷穿透

把电容器串入直流电路，接通瞬间会有充电电流；充电完成后，理想电路中不再有持续电流。若改接交变电源，两极板的电压和电荷不断改变，电路中便持续出现交替方向的充、放电电流，于是看起来像交流“通过”了电容器。

注意，这是个很容易被口号带偏的地方：电荷并没有穿过两极板之间的绝缘介质，而是在外电路中往复移动，使两极板交替充放电。交变越快，在相同时间里充放电越频繁，电容器对交流表现出的阻碍越小。于是可以作定性概括：电容器隔直流、通交流，交变越快，阻碍越小。这里的“隔直流”说的是稳定状态，不是否定接通瞬间的充电电流。

在电源有效电压及 $L$、$C$、$R$ 等其他电路参数不变时，如果把交流频率调高，串联电感支路中的灯泡趋于变暗，串联电容支路中的灯泡却趋于变亮。这组相反趋势很适合先用物理过程判断，再核对实验现象。高考选择题常把两句话对调，或者把“阻碍”偷换成“完全不能通过”；看到这类绝对表述，要回到自感和充放电过程，而不是只背四字口号。

从线圈转动产生正弦电动势，到有效值衡量热效应，再到电感、电容对频率作出不同响应，我们已经能描述交流本身。下一章会把这种周期变化的电压送进两个彼此绝缘的线圈，看看变压器怎样改变电压，以及远距离输电为什么偏爱高电压。

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章末练习：先独立作答，再展开核对

1

关于交变电流和直流，下列说法正确的是

A.电流大小变化的一定是交变电流B.电流方向周期性改变的是交变电流C.正弦交变电流的方向不变D.方向不变、大小周期变化的电流一定是正弦交流

2

线圈从中性面开始在匀强磁场中匀速转动。关于中性面，下列说法正确的是

A.线圈平面与磁场垂直B.磁通量绝对值最大C.感应电动势绝对值最大D.经过中性面前后电流方向改变E.磁通量变化率为零

提交

3. 一台交流发电机从中性面开始计时，产生的电动势为 $e=100\sin100\pi t\ \text{V}$。求峰值、频率、周期和有效值，并求 $t=5.0\times10^{-3}\ \text{s}$ 时的瞬时值。

显示答案

$E_{\mathrm m}=100\ \text{V}$，$\omega=100\pi\ \text{rad/s}$，所以 $f=50\ \text{Hz}$、。有效值 。给定时刻的相位为 ，故 。

4

线圈从中性面开始匀速转动，经过T/4时，下列判断正确的是

A.磁通量最大，感应电动势为零B.磁通量为零，感应电动势绝对值最大C.磁通量和感应电动势都为零D.磁通量和感应电动势都最大

5. 一正弦交流发电机的 $N$、$B$、$S$ 均不变，只把线圈转速提高为原来的 $2$ 倍。说明电动势峰值、有效值、频率和周期怎样变化。

显示答案

$E_{\mathrm m}=NBS\omega$，峰值变为原来的 $2$ 倍；正弦电动势有效值 $E=E_{\mathrm m}/\sqrt2$，也变为 倍； 变为 倍； 变为原来的 。

6. 某周期电流在前 $T/3$ 内为 $3.0\ \text{A}$，中间 $T/3$ 内为 $-3.0\ \text{A}$，最后 $T/3$ 内为零。求它的有效值。

显示答案

由等热定义，$I^2T=3^2(T/3)+(-3)^2(T/3)+0^2(T/3)$，解得 。正负电流都要平方，不能先求代数平均。

7

某交变电流一个周期内的代数平均值为零，所以它通过电阻时一个周期内产生的焦耳热也为零。

正确错误

8

正弦交流电压的有效值为220 V。若忽略波动，其峰值最接近

A.110 VB.220 VC.311 VD.440 V

9

关于交流电的几个数值，下列说法正确的是

A.交流电表通常显示有效值B.计算电阻的平均热功率通常用有效值C.电容器耐压只需大于交流电压有效值D.正弦电流的有效值等于峰值除以√2E.所有周期电流都满足峰值等于有效值的√2倍

提交

10. 某正弦电压在 $t=0$ 时为零且随后减小，峰值为 $12\ \text{V}$，频率为 $25\ \text{Hz}$。写出一种符合条件的瞬时值表达式。

显示答案

$\omega=2\pi f=50\pi\ \text{rad/s}$。因 $t=0$ 时过零且随后减小，可写成 $u=-12\sin50\pi t\ \text{V}$；等价形式为 。

11

在课标要求的定性范围内，关于电感器和电容器的说法正确的是

A.稳定后理想电感对直流的自感阻碍消失B.交流频率越高，电感的阻碍通常越明显C.电容器中电荷穿过绝缘介质形成持续电流D.交流频率越高，电容表现出的阻碍通常越小E.电容器接直流后任何时刻都没有电流

提交

12. 一个用电器接在 $u=110\sqrt2\sin100\pi t\ \text{V}$ 的电源上正常工作。分别指出式中的电压峰值、有效值和频率；若它是纯电阻 $R=55\ \Omega$，求平均功率。

显示答案

峰值 $U_{\mathrm m}=110\sqrt2\ \text{V}$，有效值 $U=110\ \text{V}$，频率 。纯电阻平均功率 。

13. 一匝数为 $N$、面积为 $S$ 的线圈在磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场中，从中性面开始以角速度 $\omega$ 匀速转动，外接纯电阻 $R$，线圈电阻忽略。写出电动势瞬时值，求一个周期内电阻产生的热量，并说明线圈每转一周电流方向改变几次。

显示答案

从中性面开始计时，$e=NBS\omega\sin\omega t$。峰值 $E_{\mathrm m}=NBS\omega$，有效值 $E=E_{\mathrm{m}}\mathrm{/}$，周期 。一个周期内 。线圈一周经过中性面两次，电流方向改变两次。