第10章 密度测量、密度计算与实际应用

一枚外表金黄的奖牌，究竟是纯金、镀金，还是别的合金？只看颜色不可靠，放在手里掂一掂也只能得到模糊感觉。可如果我们测出它的质量和体积，再算出单位体积的质量，判断就有了依据。

上一章已经认识了密度：同种物质在状态和条件相同时，质量与体积的比值通常保持不变。现在真正麻烦的问题来了——质量可以用天平测，规则物体的体积也能用刻度尺算；可一块边缘凹凸不平的石头、一杯会流动的液体，体积怎么测？即使数据都摆在眼前，怎样换单位、选公式、判断物体是否空心，也很容易在某一步“拐错弯”。这一章就把这些问题逐个拆开。

一、量筒不是一只带刻度的杯子

把水倒进量筒，看起来只要瞄一眼刻度就行。可同一筒水，一个人站着俯视，一个人蹲着仰视，竟可能报出不同结果。水没有变，变化的是视线。

量筒是测量液体体积的仪器，常用单位是毫升，符号为 mL。在初中实验中要牢牢记住：

$1\ \text{mL}=1\ \text{cm}^3$

使用量筒时，先看清三件事：量程、分度值和单位。量程决定它最多能测多少，分度值决定相邻两条小刻度之间代表多少。读数时，量筒要放在水平桌面上，等液面稳定后，使视线与液面相平。水等常见液体形成凹液面，应读凹液面的最低处。

先把“平视”落到一幅具体画面上：量筒竖直放稳以后，眼睛、凹液面最低点和对应刻度应处在同一水平线上。俯视或仰视改变的不是液体体积，而是视线与刻度的交点。

看懂位置关系后，再把它变成一次真实读数。下面的训练器会更换量程、分度值和视线方向；不要只报一个数字，要先判断每小格代表多少，再说明应读凹液面的哪一处。

现在先想一想：量筒上从 40 mL 到 50 mL 之间分成五个相等的小格，每小格表示多少毫升？

别急着把“十”当答案。相邻两个标数相差 10 mL，被五小格平均分开，所以分度值是 2 mL。确定分度值以后，才能读液面所在的位置。很多读数错误并不是眼睛看不见，而是一开始就把“格数”和“刻度线条数”混在了一起。

量筒适合直接量取液体体积，也可以借助排水法测不规则固体的体积。但它不是称量容器，更不适合直接测热液体；选择量筒时也不是越大越好。在能装下被测液体的前提下，量程较小、分度值较小的量筒通常能读得更细。

二、让不规则石块“说出”自己的体积

长方体的体积可以用长、宽、高相乘，一块小石头却找不到三条规整的边。它自己不会报体积，但它浸没在水中时，会占据一块空间，把原来在那里的水“挤开”。增加的那部分体积，正好就是石块浸入水中的体积。

测一块能沉入水中、又不吸水且不溶于水的小石块密度，可以这样做：

把四步压缩成一个最容易检查的图像：第一次读数只有水，第二次读数是水和完全浸没的石块；两幅图中真正新增的那部分体积才属于石块。

单独看清 $V_1$、$V_2$ 以后，再把体积测量放回整套密度实验流程。下图把固体与液体的测量线索并排整理，比较时注意每一个质量和体积是否来自同一份样品。

注意，这里藏着一个非常常见的陷阱：$V_2$ 是“水和石块占据的总体积”，不是石块体积。石块体积一定是两次读数之差。若有气泡附着在石块表面，气泡也会排开水，算出的石块体积偏大，于是由 $\rho=m/V$ 算出的密度偏小。

下面这台实验工具把称量、读数和计算连在一起。先自己预测每一步该做什么，再看反馈，比背流程更容易发现错误究竟发生在哪儿。

不是所有固体都能直接用排水法

你可能会问：木块漂在水面上，怎么办？糖块会溶于水，又怎么办？这说明实验方法从来不是一条死背的流水线，使用排水法之前必须检查三个条件：物体能否完全浸没、是否会吸水、是否会与液体发生作用。

• 对会漂浮的小物体，可以用细针压入水中，或借助已知体积的沉坠使它完全浸没。细针法只有在针浸入液体部分的体积相对测量精度可忽略时，才能把量筒增量直接看作物体体积；若针的浸入体积不可忽略，就要另行测出并从增量中扣除，否则会把物体体积测得偏大，进而使计算出的密度偏小。若使用沉坠，要先测水与沉坠的总体积，再测水、沉坠和小物体的总体积，两次读数之差才是小物体体积。
• 对易溶于水但不溶于其他安全液体的物体，可以改用合适的液体排开法。不过必须确认物体不与该液体反应，也不会吸收液体。
• 对吸水、多孔或体积很小的物体，直接排水可能产生明显问题。此时应根据器材另选方法，不应为了套公式硬把它扔进水里。

漂浮物体的问题不是“没有体积”，而是不能自行完全浸没。借助沉坠时，两次读数都保留水和沉坠这个共同部分，作差后才留下被测物体的体积。

吸水、多孔或细小颗粒则是另一类困难：直接放进水里会改变样品状态，或者使体积变化小到难以可靠读出。此时要先说明替代方法的适用条件，不能把“换一种办法”理解成随意换步骤。

这些方法看似不同，骨架其实相同：直接测不到的量，就把它转化成可以测的量，再用差值去掉辅助部分。理解了“等效替代”和“差量”，实验题换一套器材也不会完全陌生。

现在把判断权交给你。下面每个场景都先问“直接排水法卡在哪里”，再让你选择策略、写清需要扣除的辅助量和使用边界。一个场景可能有不止一种合理方案，关键是条件要说完整。

三、液体会流动，质量要用“差”留下来

测液体密度同样需要质量和体积。把液体直接放到天平托盘上当然不行，必须用容器盛装。容器的质量又不能算进液体里，怎么办？最自然的想法是先称空容器，再称容器和液体，作差得到液体质量。

但实验中还有一个细节：液体从烧杯倒入量筒时，总会有少量附着在杯壁上。如果先测出烧杯中全部液体的质量，再把液体倒入量筒测体积，质量对应的是“原来全部液体”，体积对应的却只是“实际倒进去的液体”，两者不是同一份样品，算出的密度通常会偏大。

更稳妥的差量法是：

1. 用天平测烧杯和液体的总质量 $m_1$。
2. 向量筒中倒入一部分液体，读出这部分液体的体积 $V$。
3. 测剩余液体和烧杯的总质量 $m_2$。
4. 实际进入量筒的液体质量为 $m_1-m_2$，所以

$\rho=\frac{m_1-m_2}{V}$

杯壁上虽然仍会残留液体，但它既留在第二次称量中，也没有进入量筒，因此不会被误算进“倒出液体”的质量。这里真正关键的不是步骤先后本身，而是让质量和体积对应同一份液体。

流程和误差其实可以放在同一条因果链上检查。下面先由你把固体排水法或液体差量法排成正确顺序，再改变一个实验细节，判断质量、体积和最终密度分别怎样变化。

四、公式只有一个，问题却有三种问法

密度的定义式是

$\rho=\frac{m}{V}$

由它可以得到

$m=\rho V,\qquad V=\frac{m}{\rho}$

这不是三条互不相干的公式，而是同一关系的三种写法：已知质量和体积求密度；已知密度和体积求质量；已知质量和密度求体积。做题时不要先凭题目里的数字多少选公式，而要先弄清“已知什么、要求什么”。

例1：用体积求质量

一块铝制零件的体积是 $200\ \text{cm}^3$，铝的密度取 $2.7\ \text{g/cm}^3$。零件质量是多少？

现在想一想：如果有一个容积为 500 mL 的瓶子，装满密度为 0.8 g/cm³ 的某种油，油的质量是 400 g 还是 625 g？

答案是 400 g。因为 500 mL=500 cm³，应使用 $m=\rho V$。算成 625 的同学往往把公式误写成了 $m=V/\rho$。判断办法很朴素：油的密度小于 1 g/cm³，每立方厘米油不足 1 g，500 cm³ 油的质量就应小于 500 g。估算不代替计算，却能在最后把离谱答案拦下来。

单位必须先“站到同一队”

密度常见的两组单位是千克每立方米和克每立方厘米，它们的换算关系为

$1\ \text{g/cm}^3=1.0\times10^3\ \text{kg/m}^3$

因此，2.7 g/cm³ 等于 2.7×10³ kg/m³；800 kg/m³ 等于 0.8 g/cm³。可以把换算记成方向：从克每立方厘米换到千克每立方米，数值乘 1000；反过来，数值除以 1000。

但更可靠的办法是理解体积单位：

$1\ \text{m}^3=10^6\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3,\qquad 1\ \text{mL}=1\ \text{cm}^3$

质量用千克时，密度和体积宜配成 kg/m³ 与 m³；质量用克时，宜配成 g/cm³ 与 cm³。不能把 kg/m³ 和 cm³ 不加处理地直接相乘。

你可以在下面的工作台里故意混用一次单位，看看错误会在哪里暴露；再切换到空心判断，体会“比较密度”和“比较体积”其实是同一件事的两种表达。

五、同样的外形，里面可能藏着空气

一只金属球看起来很大，却比同体积的实心金属轻。它一定是假材料吗？未必，也可能内部是空心的。密度能帮助我们把“材料不对”和“结构为空”区分开来。

设某金属球质量为 $445\ \text{g}$，外部总体积为 $60\ \text{cm}^3$，制成它的金属密度为 $8.9\ \text{g/cm}^3$。如果这些金属全部压成没有空隙的实心块，金属本身应占的体积为

$V_{\text{金属}}=\frac{m}{\rho}=\frac{445\ \text{g}}{8.9\ \text{g/cm}^3}=50\ \text{cm}^3$

这里最好把“外部总体积”和“材料实际占据体积”分开看。空腔不是额外加进来的材料，而是总体积扣除金属体积后留下的空间。

金属实际只需要占 50 cm³，物体外部却有 60 cm³，所以内部有空隙，空心部分体积为

$V_{\text{空}}=V_{\text{总体}}-V_{\text{金属}}=10\ \text{cm}^3$

也可以先算物体按外部总体积得到的平均密度：$445/60\approx7.42\ \text{g/cm}^3$，小于这种金属的密度，因此它不可能是同种材料、同样总体积的实心物体。不过这个结论有前提：题目已经说明主体由这种材料制成，空腔中空气的质量可忽略。若物体由多种材料组成，仅凭平均密度不能武断地说它一定空心。

六、密度走进生活，不只是“鉴别材料”

密度表像一本材料的“体积—质量词典”，但它不是万能身份证。测出某物体密度接近铁的密度，只能说明结果与铁相符；若物体是合金、内部有孔或测量误差较大，就不能仅凭一次结果作绝对判断。科学结论需要条件，也需要其他证据相互印证。

图中真正有判断力的不是外观，而是同一物体的质量和体积共同给出的密度；即便算得接近某种材料的表中值，也应结合合金、空隙和测量误差继续核对。

1. 由容量估算能装多少

油罐、储水箱和包装瓶常标容量。知道容积和所装液体的密度，利用 $m=\rho V$ 就能估算满载质量。这在运输和包装中很重要：相同容积装水与装食用油，货物质量并不相同；把“多少升”直接当成“多少千克”，只有在特定液体和条件下才可能碰巧接近。

2. 由质量估算所需空间

工程中若已知某种材料的质量和密度，可以用 $V=m/\rho$ 估算材料体积。例如同样质量的铝和铜，铝的密度较小，占据的体积更大。轻量化设计常通过选择密度较小且性能合适的材料降低部件质量，但实际选材还必须考虑强度、耐热、成本等因素，不能只看密度。

3. 温度变化也可能改变密度

同一物质的密度并非在任何条件下都绝对不变。物体受热时，质量通常不变，体积却可能变化，所以密度也会变化。气体的体积受温度影响尤其明显，热空气密度较小而上升，周围较冷空气流来补充，能够形成空气流动。

这里不需要提前学习复杂的热学计算，只要抓住因果链：质量基本不变，体积改变，密度随之改变。因此查密度表或进行精确测量时，还要留意物质状态与温度条件。

4. 先估一估，再相信仪器

实验数据不是只要从仪器上抄下来就一定正确。比如一块能放进手心的小石头，量筒读出的体积却比一大瓶饮料还大；一杯看起来只有几十毫升的水，算出的质量却有几十千克，这时应先停下来检查量程、分度值和单位。估测的作用不是替代测量，而是给测量结果设置一道“常识关卡”。

正式记录时还应把物理量、数值和单位写完整。若同一物体进行了多次测量，可以比较各组结果是否接近；若差别特别大，应回到操作过程寻找原因，例如量筒是否倾斜、液面是否稳定、物体是否完全浸没、天平是否调平。不要为了让结果接近密度表而擅自改数据。测量值与表中数值略有差别并不奇怪，诚实记录、合理分析才是实验真正训练的能力。

再想一个实际问题：一批零件只抽测一个，能不能保证其余零件全部合格？当然不能。一次密度测量能为材料或结构判断提供证据，却不等于把所有可能性都排除。样品是否有代表性、物体是否混合材料、内部是否有空隙，都可能影响结论。这也是为什么实际检测往往要把密度与外观、尺寸、工艺记录等信息结合起来。

七、实验与计算共用的一条主线

回看整章，方法并不零散。测石块体积，用的是排开水后的体积差；测液体质量，用的是容器前后的质量差；判断空心，用的是材料应占体积与外部总体积的差。它们都在做同一件事：让不能直接得到的量，转化成可以测量或计算的量。

遇到密度问题，可以按下面的顺序自查：

1. 研究对象是哪一份物质？质量和体积是否对应同一对象？
2. 已知量和未知量分别是什么？应使用 $\rho=m/V$ 的哪种形式？
3. 单位是否配套？mL 与 cm³ 可以直接对应，kg/m³ 与 cm³ 不能直接混用。
4. 结果是否符合常识？密度小于水的液体，同体积质量通常应小于水；空心物体的平均密度通常小于其材料密度。
5. 实验中哪一个量偏大或偏小？它处在公式的分子还是分母？

到了中考复习阶段，密度实验的得分点常落在这些细节上：量筒分度值、凹液面最低处平视、排水法两次读数作差、液体差量法中质量与体积对应、公式与单位。它们不是孤立的“阅卷口令”，而是保证测量真正有效的条件。只要你能解释为什么这样操作，就不容易在器材或数据稍作变化时丢掉方向。

课后练习

1. 量筒读数

某量筒的量程为 0～100 mL，从 20 mL 到 30 mL 之间有十个相等的小格。水面稳定后，凹液面最低处在 26 mL 刻度处。下列说法正确的是哪一项？

1

关于该次量筒读数，下列说法正确的是

A.分度值为10 mL，读数为26 mLB.分度值为1 mL，读数为26 mLC.分度值为2 mL，读数为26 cmD.只要看见液面即可，量筒可以拿在手中读

2. 石块密度

用天平测得一块小石块的质量为 54 g。量筒中水的体积原为 30 mL，石块完全浸没后总体积为 50 mL。求石块的体积和密度。

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石块体积不是末态读数，而是两次量筒读数之差：$V=50-30=20\ \text{mL}=20\ \text{cm}^3$。因此 $\rho=m/V=54\ \text{g}/20\ \text{cm}^3=2.7\ \text{g/cm}^3$，即 。

3. 气泡造成的影响

测石块密度时，石块浸没后表面附着一个气泡，其他操作正确。测得的石块密度将怎样变化？

3

气泡未排尽时，测得的石块密度将

A.偏大B.偏小C.不变D.无法由题意判断

4. 液体差量法

烧杯和某液体的总质量为 142 g。向量筒倒入一部分液体，量筒读数为 50 mL，再称剩余液体和烧杯的总质量为 102 g。求该液体的密度。

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进入量筒的液体质量为两次称量之差：$m=142-102=40\ \text{g}$。量筒中这同一份液体的体积为 $V=50\ \text{mL}=50\ \text{cm}^3$，所以 $$。差量法的关键是质量和体积对应同一份液体。

5. 单位换算

完成下列换算：7.9 g/cm³ = ____ kg/m³；1.2×10³ kg/m³ = ____ g/cm³。

5

两个空依次填写，用中文逗号隔开

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6. 瓶子装液体

一个瓶子的容积为 750 mL，瓶子质量为 120 g。若装满密度为 0.8 g/cm³ 的液体，瓶子和液体的总质量是多少？

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液体体积等于瓶子容积：$V=750\ \text{mL}=750\ \text{cm}^3$。液体质量 $m_{液}=\rho V=0.8\times750=600\ \text{g}$。题目问瓶子和液体的总质量，还要加上瓶子质量，所以 。只算出 是漏看了研究对象。

7. 空心铝球

一个铝球质量为 270 g，外部总体积为 120 cm³，铝的密度为 2.7 g/cm³。判断它是否空心；若空心，求空心部分体积。

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这些铝实际占据的体积为 $V_{铝}=m/\rho=270/2.7=100\ \text{cm}^3$，小于铝球外部总体积 120 cm³，所以它是空心的。空心部分体积为 $V_{空}=120-100=20\ \text{cm}^3$。这里默认空腔内空气质量可以忽略。

8. 漂浮物体的体积测量

为了测一小块蜡的体积，实验小组使用一个能沉入水中的金属坠。量筒中原有水 40 mL，金属坠完全浸没时读数为 55 mL，蜡块与金属坠都完全浸没时读数为 67 mL。蜡块体积是多少？

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最后一次读数包含水、金属坠和蜡块，第二次读数包含水和金属坠，两次的共同部分相减后消去。蜡块体积 $V_{蜡}=67-55=12\ \text{mL}=12\ \text{cm}^3$。不能用 67-40，那会把金属坠体积也算进去。

9. 方案评价与改进

小明先用天平测出空烧杯质量，再在烧杯中装入液体并测出液体质量；随后把全部液体倒入量筒测体积。倒完后杯壁仍有少量液体。请判断测得密度偏大还是偏小，并写出一种改进方法。

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前面测得的质量是烧杯中原有全部液体的质量，后来量筒测到的体积却不包含残留在杯壁上的液体，所以体积偏小，而质量仍对应全部液体。由 $\rho=m/V$ 可知结果偏大。可改用差量法：先称烧杯和液体总质量 $m_1$，倒一部分进入量筒测体积 $V$，再称剩余液体和烧杯质量 $m_2$，用 计算。

10. 真实情境综合题

一只玻璃瓶装满水时，水的质量为 500 g。倒净水后再装满某种油，油的质量为 400 g。已知水的密度为 1.0×10³ kg/m³。求瓶子的容积和这种油的密度。

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先统一到克和立方厘米。水的密度为 $1.0\ \text{g/cm}^3$，所以瓶子容积 $V=m水/\rho水=500/1.0=500\ \text{cm}^3$。同一瓶子装满时体积相同，因此油的体积也是 500 cm³。油的密度 。本题的桥梁是“同一瓶子装满时容积相同”，不是水和油的质量相同。

把十道题放在一起看，你会发现真正反复出现的不是某个固定数字，而是三个判断：测量量是否对应同一份物质、公式中的单位是否配套、间接测量时哪些量应当作差。能把这三个问题说清楚，密度就不再是一串容易写反的字母，而是一把可以真正拿来测物质、算用量、辨结构的工具。

不过还有一个问题正等着我们：密度不同的物体放进水里，有的漂、有的沉，难道只比较密度就能解释背后的原因吗？要把“沉与浮”真正讲清，还要认识物体受到的力。下一册，我们就从力怎样改变物体开始，继续追问这些看得见的运动背后到底发生了什么。