从样本推总体：抽样误差与置信区间 | 自在学

从样本推总体：抽样误差与置信区间

某次民调访问了 1000 名选民，结果显示方案 A 的支持率是 $52\%$ ，方案 B 是 $48\%$ 。新闻标题说“A 领先”。可是如果明天换另外 1000 人，A 还一定是 $52\%$ 吗？

一家工厂从一批 20000 个零件中抽检 400 个，发现 12 个不合格。样本不合格率是 $3\%$ 。这是否说明整批零件的真实不合格率就是 $3\%$ ？

这两个问题都在问同一件事：样本只看见总体的一部分，样本结论会因为“抽到谁”而摇晃。统计推断不是假装这种摇晃不存在，而是把摇晃的大小算出来，再用区间表达不确定性。

从总体中随机抽取样本，并用样本统计量估计总体参数

这一节只讨论最基本的一样本推断：用样本比例估计总体比例，用样本均值估计总体均值。你要抓住三句话：点估计给出一个数，标准误描述这个数会摇多大，置信区间把估计和不确定性一起报出来。

从样本统计量到总体参数

总体参数是我们真正关心但通常看不全的数。样本统计量是从样本中算出来、用来估计总体参数的数。

研究问题	总体参数	样本统计量
所有选民中支持方案 A 的比例是多少	总体比例 $p$	样本比例 $\hat{p}$
一批零件的真实不合格率是多少	总体比例 $p$	样本不合格率 $\hat{p}$
某型号饮料的平均灌装量是多少	总体均值

样本比例适合“是/否”“合格/不合格”“支持/不支持”这类变量。如果样本中有 $x$ 个成功，样本量是 $n$ ，则：

\hat{p}=\frac{x}{n}

样本均值适合用数值度量的变量。如果样本数据是 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ ，则：

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

点估计就是用一个样本统计量估计总体参数。它很有用，但它没有告诉我们“这个估计大概能差多少”。所以，只报 $52\%$ 或 $3\%$ 常常不够，还需要说明抽样误差。

民调结果中的点估计和误差范围，展示两个支持率接近时不能草率断定领先稳定

例题：识别参数和统计量

某平台想估计全部活跃用户中“愿意开启新推荐功能”的比例。它随机邀请 1200 名活跃用户试用，其中 684 人选择开启。

先找总体。研究目标是全部活跃用户，所以总体是平台当前所有活跃用户，而不是被邀请的 1200 人。

再找总体参数。题目关心“愿意开启”的真实比例，这个未知比例记作 $p$ 。

接着找样本统计量。样本中有 684 人开启，样本量是 1200，所以样本比例是：

\hat{p}=\frac{684}{1200}=0.57

抽样误差：样本结论为什么会摇晃

如果抽样过程有随机性，同一个总体中反复抽样，样本统计量一般不会每次一样。样本比例会围绕总体比例上下波动，样本均值也会围绕总体均值上下波动。这种由“只抽了一部分”造成的随机差异，叫抽样误差。

抽样误差不是调查员犯错，也不是样本作假。即使名单完整、随机抽样严格、每个人都如实回答，抽样误差仍然存在。原因很简单：不同样本包含的人或产品不同。

许多样本各自产生一个统计量，下方形成围绕总体真值的抽样分布

抽样分布不是原始数据的分布，而是“很多次抽样得到的统计量”的分布。它回答的是：如果重复抽很多次， $\hat{p}$ 或 $\bar{x}$ 会怎样分散？

抽样误差和抽样偏差不是一回事。随机误差会让样本结果在真值附近摇晃；偏差会让样本系统性偏向某个方向。增加样本量通常能减小随机摇晃，但不能自动修正一个偏掉的抽样框或诱导性问卷。

抽样波动的两个直觉

第一，样本量越大，样本统计量通常越稳。掷 10 次硬币可能有 8 次正面，掷 1000 次时正面比例通常会更靠近 $0.5$ 。

第二，比例越接近 $0.5$ ，样本比例越容易摇。若总体比例是 $0.98$ ，大多数人都属于同一类，样本比例空间较窄；若总体比例是 $0.5$ ，两类差不多，样本之间的差异更明显。

标准误：把摇晃程度量出来

标准误是样本统计量的典型抽样波动大小。它和标准差有关，但对象不同：标准差描述个体数据分散；标准误描述样本统计量分散。

对于样本比例，如果总体比例是 $p$ ，理论标准误是：

SE_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

实际做置信区间时， $p$ 往往未知，所以常用样本比例 $\hat{p}$ 代替：

SE_{\hat{p}}\approx\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

对于样本均值，如果总体标准差 $\sigma$ 已知，理论标准误是：

SE_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

现实里 $\sigma$ 常常未知，于是用样本标准差 $s$ 估计：

SE_{\bar{x}}\approx\frac{s}{\sqrt{n}}

这些公式里都有 $\sqrt{n}$ 。所以样本量变大时，标准误会变小；但不是 $n$ 翻倍，误差就减半，而是按平方根变窄。

三种样本量对应的误差线逐渐变短，显示样本量增大时误差范围收窄

例题：样本比例的标准误

一次产品抽检中，从一批零件中随机抽取 $400$ 个，发现 $12$ 个不合格。估计不合格率的标准误。

先计算样本不合格率。样本中不合格数是 $12$ ，样本量是 $400$ ：

\hat{p}=\frac{12}{400}=0.03

置信区间：用一段范围表达估计

置信区间的基本形状是：

\text{点估计}\pm \text{临界值}\times\text{标准误}

中间的乘积叫误差范围：

\text{误差范围}=\text{临界值}\times\text{标准误}

在入门课程里，样本量足够大时，比例的 95% 置信区间常用 $1.96$ 作为临界值。为了心算，也常近似为 $2$ 。

\hat{p}\pm1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

样本均值的置信区间通常使用 $t$ 临界值，因为总体标准差一般未知：

\bar{x}\pm t^*\frac{s}{\sqrt{n}}

样本量较大时，95% 置信区间里的 $t^*$ 会接近 $1.96$ 。样本量较小时， $t^*$ 通常更大，区间会更宽。

重复抽样得到多条置信区间，大多数覆盖总体真值，少数没有覆盖

95% 置信水平说的是方法的长期表现：如果用同一种抽样和计算方法重复很多次，大约 95% 的区间会覆盖总体真值。对已经算出的某一个区间，真值要么在里面，要么不在里面。

例题：民调支持率的 95% 置信区间

某民调随机访问 $1000$ 名选民，其中 $520$ 人支持方案 A。用近似方法给出方案 A 支持率的 95% 置信区间。

先计算样本比例：

\hat{p}=\frac{520}{1000}=0.52

这个区间说明 $52\%$ 这个点估计有抽样不确定性。如果方案 B 是 $48\%$ ，不能只看 $52>48$ 就断言 A 已经稳定领先。比较两方差距时，差值本身也有抽样误差，差值的误差范围通常比单个支持率的误差范围更大。

例题：平均灌装量的 95% 置信区间

某饮料厂随机抽取 $36$ 瓶饮料，样本平均灌装量为 $502.4$ ml，样本标准差为 $6.0$ ml。估计该生产线的平均灌装量。假设可用 $t^*\approx2.03$ 。

题目关心的是总体均值 $\mu$ ，点估计是样本均值 $\bar{x}=502.4$ 。

计算样本均值的标准误：

民调和抽检：区间比单点更诚实

民调中的“误差范围”常常就是置信区间半宽。若某候选人的支持率是 $48\%\pm3$ 个百分点，意思不是支持率会在明天自动落入这个范围，而是这次样本给出的估计精度大约只有这么细。小于误差范围的差距，需要谨慎解读。

还有几个细节很容易被忽略。第一，整体样本的误差范围不等于每个子群体的误差范围。1000 人样本中如果只有 160 名年轻受访者，年轻人子样本的误差范围会明显更宽。第二，民调误差范围主要描述抽样误差，不自动包括问题措辞、未回应、加权、可能选民模型等误差。第三，两个民调之间从 $52\%$ 到 $49\%$ 的变化，可能只是抽样波动，也可能是真变化，需要看更多连续结果。

抽检员从一批产品中随机抽样检查，用样本不合格率估计批次不合格率

产品抽检也一样。抽到 $400$ 个零件，其中 $12$ 个不合格，点估计是 $3\%$ 。用 95% 近似区间计算：

0.03\pm1.96\sqrt{\frac{0.03\times0.97}{400}}

误差范围约为：

1.96\times0.0085\approx0.0167

所以区间约为：

(0.013,\ 0.047)

也就是 $1.3\%$ 到 $4.7\%$ 。这个范围比单独的 $3\%$ 更适合拿去讨论风险。如果合同规定不合格率必须低于 $2\%$ ，这次抽检结果就不能让人完全放心，因为区间中有不少值高于 $2\%$ 。

区间不是为了让结论变含糊，而是为了让结论和证据强度匹配。样本给出的信息强，区间会窄；样本给出的信息弱，区间会宽。

常见误区辨析

误区一：样本比例就是总体比例

样本比例是估计值，不是总体真值。样本越大，估计通常越稳，但只要不是普查，就仍有抽样波动。

误区二：95% 置信区间表示这个区间有 95% 概率含真值

在常见的频率学派表述中，总体参数是固定未知数；随机的是抽样过程和由样本算出的区间。一个具体区间算出来以后，它是否覆盖真值已经是事实，只是我们不知道。

误区三：置信区间越宽越差

宽区间不是“算坏了”的同义词。它可能诚实反映了样本量小、数据分散或置信水平高。真正危险的是证据很弱却报得很精确。

误区四：样本量占总体比例越高，结果一定越准

很多大总体问题里，关键常常是样本的绝对数量和抽样方式，而不是样本占总体的百分比。对几千万选民做随机样本，1000 人已经能给出有用估计；但如果样本来自自愿投票，再多也可能偏。

误区五：误差范围包括所有错误

常规误差范围主要量化随机抽样误差。抽样框漏掉某些人、问题带引导性、受访者不愿回答、测量仪器校准错误，这些都可能造成非抽样误差，不能靠公式自动消失。

不要把“区间里有我要的值”当成“已经证明我要的值正确”。置信区间给的是与样本相容的一段范围，它帮助我们判断证据强弱，不替代研究设计和背景判断。

练习

练习 1：样本比例与置信区间

某学校随机调查 $500$ 名学生，发现 $315$ 人每周至少运动三次。请计算样本比例，并用 $1.96$ 近似给出 95% 置信区间。

练习 2：样本均值的标准误

某平台抽取 $64$ 名用户，记录他们一天使用某功能的次数。样本均值为 $18.5$ 次，样本标准差为 $8$ 次。请计算样本均值的标准误，并用 $t^*\approx2.00$ 给出近似 95% 置信区间。

练习 3：样本量如何影响误差范围

假设一个比例问题中，样本比例接近 $0.50$ 。样本量从 $400$ 增加到 $1600$ ，95% 置信区间的误差范围大约会怎样变化？

练习 4：判断民调说法

某民调显示甲候选人支持率 $51\%$ ，乙候选人支持率 $47\%$ ，报告给出的单个支持率误差范围是 $\pm3$ 个百分点。有人说：“甲领先 4 个百分点，超过 3 个百分点，所以甲已经稳胜。”这句话哪里需要谨慎？

需要谨慎的地方有两个。第一，单个支持率的误差范围不是两人差距的误差范围；差距的误差范围通常更大。第二，民调误差范围主要描述抽样误差，不包括所有非抽样误差。甲领先 4 个百分点说明样本中甲较高，但不能只凭“4 大于 3”就断定稳胜。更稳妥的做法是看差距的置信区间、多个民调的趋势和调查方法。

练习 5：抽检结论

某批产品抽检 $100$ 件，发现 $0$ 件不合格。有人说：“样本不合格率是 $0\%$ ，所以整批产品没有不合格品。”这句话为什么不对？

抽检没有发现不合格品，只能说明这 $100$ 件样本中没有不合格品，不能证明整批产品的不合格率就是 $0$ 。如果真实不合格率很低，随机抽 100 件没有抽到不合格品是可能的。样本量、抽样方式和可接受风险都要一起考虑。这里尤其不能用普通正态近似公式机械计算，因为成功或失败数太少，不满足至少若干个成功和失败的近似条件。

SE_{\bar{x}}\approx\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{6.0}{\sqrt{36}}=1.0