从样本推总体：抽样误差与置信区间

上一章里，我们认识了随机变量、期望、方差和正态分布。那些概念看起来像是在研究“一个随机结果会怎样变化”，但它们真正厉害的地方，是能把我们从一个样本带到看不见的总体。

先看一条很常见的新闻：某次民调随机访问了 $1000$ 名选民，其中 $520$ 人支持方案 A，于是报道说“A 的支持率是 $52\%$”。

这句话少说了一层意思。$52\%$ 是这 $1000$ 人给出的结果，不是刻在全部选民身上的答案。如果明天换一批 $1000$ 人，可能得到 $50.8\%$，也可能得到 $53.1\%$。这并不说明哪次民调“算错了”，而是随机抽样本来就会摇晃。

统计推断要做的，就是把这种摇晃算进去。我们既给出当前最合理的单点估计，也诚实说明这个估计有多不稳定。

先把参数、统计量和估计分开

总体参数和样本统计量在形式上经常很像，含义却完全不同。

• 参数属于总体。它通常固定但未知，例如全部选民中支持方案 A 的比例 $p$，或一条生产线上所有饮料的平均灌装量 $\mu$。
• 统计量由样本算出。换一个样本，统计量通常会跟着变，例如样本比例 $\hat p$、样本均值 $\bar x$。
• 估计是我们使用统计量了解参数的过程。只给一个数叫点估计，给一段合理范围叫区间估计。

如果样本里有 $x$ 个我们关心的结果，样本量是 $n$，样本比例就是：

如果样本记录的是数值 $x_1,x_2,\ldots,x_n$，样本均值就是：

例子：$57\%$ 到底是谁的比例

某平台想知道全部活跃用户中有多少人愿意开启新功能。它随机邀请 $1200$ 名活跃用户试用，其中 $684$ 人选择开启。

点估计的优点是干脆，缺点也正是太干脆。只说“支持率 $57\%$”，读者看不出这是从 $80$ 人、$800$ 人还是 $80000$ 人中算出的；而这三种样本提供的精度显然不同。

抽样变异：不是做错了，而是换人了

想象我们知道某个巨大总体里真实支持率恰好是 $60\%$。现在每次随机抽 $100$ 人，记录样本支持率，然后把人放回去，再重新抽 $100$ 人。

第一次可能抽到 $57$ 人支持，得到 $\hat p=0.57$；第二次可能是 $63$ 人，得到 $0.63$；第三次也许正好是 $60$ 人。所有抽样步骤都没有出错，结果仍不会次次一样。

这种由随机抽到不同对象而产生的变化，叫抽样变异。某一次统计量与总体参数之间的差，叫这次估计的抽样误差。例如真实比例是 $0.60$，某次样本得到 $0.57$，这次误差就是：

也就是低估了 $3$ 个百分点。

抽样误差和偏差不是一回事

这两个词很容易被混在一起，但它们造成的图景完全不同。

抽样分布：把统计量当成随机变量

如果我们把刚才的抽样重复成千上万次，并把每次得到的 $\hat p$ 都收集起来，这些样本比例也会形成一个分布。它叫样本比例的抽样分布。

这里最容易错认对象。原始数据分布描述的是“一个个受访者怎样回答”；抽样分布描述的是“一个个样本算出的比例怎样变化”。前者的一次观测是一位受访者，后者的一次观测是一个完整样本产生的统计量。

在互动器里把总体比例固定，先用较小样本重复抽样，再把样本量调大。你会看到两件事：点云的中心仍在总体比例附近，但样本越大，点云越挤。这正是后面所有区间公式的出发点。

大数定律给出的直觉

把“支持”记为 $1$，“不支持”记为 $0$，那么一份样本中这些 $0$ 和 $1$ 的平均数，恰好就是样本比例 $\hat p$。当独立观测越来越多时，这个平均数会越来越靠近总体期望，也就是总体比例 $p$。

这就是大数定律在这里的意思：大量重复后，平均或比例会稳定下来。

它没有说小样本一定离真值很远，也没有说大样本每一次都完全等于真值。它说的是，给定一个允许误差，例如 $\pm0.03$，样本量越大，样本比例落在这个误差带内的机会会越来越高。

标准误：估计值通常会摇多大

既然抽样分布有宽有窄，我们需要一个数来描述它的宽度。这个数叫标准误。

标准误可以理解成：如果真的反复抽取同样大小的随机样本，统计量偏离总体参数的典型尺度有多大。

这和上一章的标准差很像，但对象不同：

• 标准差描述个体数据离中心有多散。
• 标准误描述样本统计量离参数有多散。

样本比例的标准误

如果总体比例 $p$ 已知，样本比例抽样分布的标准误是：

现实里我们做调查，恰恰是因为 $p$ 不知道。因此在估计区间时，常把 $\hat p$ 代进去：

注意帽子表示“这是用样本估出来的标准误”。入门计算里经常把帽子省掉，只写 $SE$，但我们心里要知道它仍带着样本不确定性。

样本均值的标准误

如果总体标准差 $\sigma$ 已知，样本均值的标准误是：

总体标准差通常也不知道，所以实际中常用样本标准差 $s$ 代替：

平方根关系：样本量翻倍，误差不会减半

两类标准误公式的分母都有 $\sqrt n$。这带来一个很实用、也很反直觉的结论：精度的提升没有样本量增长得那么快。

假设总体比例接近 $0.50$：

样本量从 $100$ 增加到 $400$，变成原来的 $4$ 倍，标准误才从 $0.050$ 降到 $0.025$，也就是减半。想把标准误压到原来的三分之一，通常需要把样本量扩大到 $9$ 倍。

中心极限定理：为什么钟形曲线会出现

抽样分布为什么常常接近正态分布？直觉上可以这样看：样本均值是许多独立小贡献汇总后的结果。单个观测可能很不规则，但大量贡献相加再平均后，中间情况的组合方式很多，极端情况的组合方式很少，于是整体逐渐形成中间高、两边低的钟形。

把条件说完整一些：若 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 独立同分布，总体均值为 $\mu$，总体方差 有限且不为 ，那么随着 增大，中心化并标准化后的样本均值趋近标准正态分布：

样本比例不是另一条毫不相干的结论。把“成功”记为 $1$、“失败”记为 $0$ 后，$\hat p$ 就是一组 $0$—$1$ 变量的样本均值，所以它是中心极限定理的一个特例。

这里必须收紧一句常见口号：中心极限定理并不自动保证“任意样本统计量”都接近正态。样本中位数、分位数、相关系数和回归系数都有各自的抽样理论；有些在额外条件下也会近似正态，有些要改用别的分布或重抽样方法，不能只凭“样本量大”就套钟形曲线。

接近正态的是样本均值或由它涵盖的特例的抽样分布，不是说原始数据突然变成正态分布。个人收入可以严重右偏，但足够大样本的平均收入仍可能有近似正态的抽样分布。同时，“样本量大”不能脱离数据形状单独判断；比例和均值要检查的实际条件也不完全一样。

比例问题的条件

对一样本比例，常检查：

1. 独立性：数据来自随机样本或近似独立的随机过程。如果是不放回抽样，样本量通常不应超过总体的 $10\%$，否则要做有限总体修正。
2. 成功—失败条件：理论上要求 $np\ge10$ 且 $n(1-p)\ge10$。因为 $p$ 未知，构造区间时常用样本中的成功数 $n\hat p$ 和失败数 检查，二者都至少为 。

如果某批产品抽 $100$ 件，结果一件不合格品都没发现，那么 $n\hat p=0$，普通正态近似区间的条件明显不满足。这时不能因为公式算出标准误为 $0$，就宣布总体不合格率确定是 $0$。需要改用适合稀有事件或小计数的方法。

均值问题的条件

对样本均值，先检查观测是否独立，再看原始数据的形状和样本量。

• 小样本时，原始数据应当大致对称、没有明显离群值，近似正态会更稳妥。
• 样本量增大后，可以容忍一定偏斜，但极端离群值仍可能把均值拉得很远。
• 没有一个“只要 $n\ge30$ 就永远安全”的魔法门槛。偏斜越重、尾部越长，需要的样本通常越大。

大数定律和中心极限定理各管什么

这两个定理经常一起出现，却回答不同问题。

• 大数定律告诉我们：样本量增大时，样本平均或样本比例会向总体参数靠拢。
• 中心极限定理告诉我们：样本均值及样本比例这类特例围绕参数的随机波动，在合适条件下会呈现怎样的形状和尺度。

前者解释“为什么越来越稳”，后者让我们能用正态曲线的临界值，把“稳到什么程度”算成区间。

从点估计走向区间估计

点估计只给一个中心。区间估计则以点估计为中心，向两边留出与抽样不确定性相称的余量。

置信区间的共同骨架是：

其中：

也常把误差界叫作误差范围或区间半宽。标准误越大，区间越宽；想要的置信水平越高，临界值越大，区间也越宽。

置信水平越高，区间通常越宽

当正态近似适用时，常见置信水平对应的临界值为：

这很像撒网：希望长期更少漏掉真值，就要把网撒得更宽。不能既要求更高置信水平，又在样本量不变时要求区间更窄。

比例的近似置信区间

当随机性和成功—失败条件都合适时，一样本比例的近似置信区间是：

我们用民调从头算一遍。随机访问 $1000$ 名选民，其中 $520$ 人支持方案 A。求总体支持率的近似 $95\%$ 置信区间。

这里有一个很现实的结论：区间同时包含 $50\%$ 以下和 $50\%$ 以上的值。样本点估计虽然是 $52\%$，但仅凭这份样本，还不能把“总体支持率过半”说得很稳。

质检例子：$3\%$ 不是整批产品的精确答案

某工厂从一大批零件中随机抽检 $400$ 件，发现 $12$ 件不合格。样本不合格率是：

样本中不合格数为 $12$，合格数为 $388$，达到近似计算的基本条件。标准误约为：

$95\%$ 误差界约为：

于是区间为：

也就是大约 $1.3\%$ 到 $4.7\%$。如果合同要求整批不合格率低于 $2\%$，这次结果不能让人放心：合理范围里仍有很多高于 $2\%$ 的值。

这也提前埋下了下一章的问题：某个标准值落在区间里还是区间外，能帮助我们判断数据与这个标准是否相容。

“95% 置信”到底在说什么

这是整章最反直觉的地方，最好慢一点读。

假设总体比例 $p$ 固定不动。我们重复执行同一种随机抽样，每次都抽同样多的人，再用同一公式构造 $95\%$ 置信区间。由于样本不同，每次的区间端点也不同。有些区间会盖住 $p$，有些不会。

长期来看，这套方法构造出的区间大约有 $95\%$ 会覆盖总体参数。这才是 $95\%$ 置信水平的含义。

使用互动器时，先让样本量和总体比例满足成功—失败条件，再连续抽样。次数很少时，覆盖率可能是 $88\%$、$100\%$ 甚至更极端；次数越来越多后，它才会在目标置信水平附近稳定。若把比例调得很靠近 $0$ 或 $1$，同时把样本量调小，普通近似区间的条件会失效，覆盖率也可能明显偏离目标。

为什么不能说“这个参数有 95% 概率在区间里”

在这里采用的解释中，总体参数是固定的，随机的是样本和由样本算出的区间。某次样本已经抽完，区间也已经算成 $(0.489,0.551)$ 后，参数要么在里面，要么不在里面，不会再以 $95\%$ 的概率跳进跳出。

所以更准确的说法是：

我们使用了一种长期覆盖率为 $95\%$ 的方法，并得到区间 $48.9\%$ 到 $55.1\%$。根据这份样本，这段范围是总体支持率的一组合理值。

而下面这些说法都不对：

• “有 $95\%$ 的受访者落在这个区间里。”区间估计的是总体比例，不是个体位置。
• “如果再抽一次，新的样本比例有 $95\%$ 概率落在旧区间里。”置信区间不是预测下一个样本统计量的区间。
• “总体参数有 $95\%$ 概率在这个已经算出的区间里。”这把方法的长期覆盖率错误地说成了固定参数的概率。

均值区间：为什么多数时候用 t 而不是 z

比例用 $\hat p$ 估计 $p$，均值则用 $\bar x$ 估计 $\mu$。两者的区间骨架完全一样，差别主要在标准误和临界值。

如果总体标准差 $\sigma$ 已知，并且样本均值的正态近似合适，可以用：

但现实里，我们几乎总是不知道总体标准差。只能用样本标准差 $s$ 代替 $\sigma$。这又多了一层估计误差，所以小样本时继续使用正态分布的 $z^*$ 会显得过于自信。

t 分布就是为这层额外不确定性留余量。它和正态分布一样以 $0$ 为中心、左右对称，但尾部更厚。样本越小，临界值通常越大；样本越大，$s$ 对 $\sigma$ 的估计越稳定，t 分布也越来越接近标准正态分布。

一样本均值的 t 区间是：

这里的自由度是：

z 和 t 的入门选择

例子：平均灌装量

某饮料厂随机抽取 $36$ 瓶饮料，样本平均灌装量是 $502.4$ 毫升，样本标准差是 $6.0$ 毫升。假设数据没有严重偏斜或极端离群值，求总体平均灌装量的 $95\%$ 置信区间。

注意，这个区间估计的是平均灌装量。它绝不表示 $95\%$ 的单瓶饮料都在 $500.37$ 到 $504.43$ 毫升之间。单瓶之间的波动由标准差描述，通常比均值的标准误大得多。

从一样本区间走向常见比较

到目前为止，我们估计的都是一个参数：一个支持率、一个不合格率或一个平均灌装量。但很多现实问题天生带着比较：新版页面的转化率比旧版高多少？两种配送方式的平均用时差多少？同一批人接受训练前后，平均改变多少？

这些问题的共同形式仍然是：

真正需要先想清楚的是数据结构。两组对象彼此独立时，要把两组抽样不确定性合在一起；同一个对象测量两次时，两次数据天然成对，要先在每一对内部做差。

两比例之差：比较两个发生率

假设 A、B 两组的总体比例分别是 $p_A$ 和 $p_B$。我们关心的参数可以写成：

对应的点估计是：

直觉上，两组样本比例都会摇晃，所以差值的不确定性不能只看其中一组。两组独立时，方差相加，标准误为：

于是两比例差的近似置信区间是：

这里每组都使用自己的样本比例，因此叫非合并标准误。我们正在估计 $p_B-p_A$，不能先假设两组总体比例相等。

常见条件包括：

• A、B 两组彼此独立，一位对象不能同时以独立身份出现在两组里。
• 每组内部来自随机样本、随机过程，或取样机制足以支持目标总体的推断。
• 两组的成功数和失败数都足够多，常用检查是四个计数都至少为 $10$。

例子：新版页面的转化率高多少

旧版 A 有 $800$ 名访客，其中 $120$ 人完成注册；新版 B 有 $1000$ 名访客，其中 $190$ 人完成注册。假设两组访客独立分配，估计新版相对旧版的转化率差。

零假设下常见的合并标准误写成：

这里的下标 $0$ 提醒我们：它描述的是“两组真实比例相等”这个零假设世界里的波动，不是两比例差置信区间所用的标准误。

练一练：两种提醒方式的完成率

提醒方式 A 的 $500$ 名用户中有 $300$ 人完成任务；方式 B 的 $500$ 名用户中有 $340$ 人完成任务。用 $1.96$ 构造 $p_B-p_A$ 的近似 置信区间。

两独立均值之差：Welch t 区间

现在把结果换成数值，例如配送分钟数、考试分数或设备寿命。若第 1 组和第 2 组由不同对象组成，我们关心的参数是：

点估计是 $\bar x_1-\bar x_2$。两组均值各自会摇晃，所以差值的估计标准误为：

最常用的做法是 Welch t 区间：

Welch 方法不要求两个总体方差相同。它的自由度不是简单的 $n_1+n_2-2$，而是由两组样本量和方差共同决定。软件通常会直接给出；手算时可以使用近似式：

计算器或统计软件可能保留小数自由度，也可能向下取整查 t 表。两者会让最后几位略有差异，但推断逻辑不变。

需要检查：

• 两组对象彼此独立，每组内部观测也近似独立。
• 若要把结论推广到两个总体，取样机制要能支持这种推广。
• 小样本时，两组数据都不应有严重偏斜或极端离群值；样本较大时可以放宽形状要求，但极端值仍要检查。

例子：两种配送方式相差几分钟

配送方式 A 随机抽取 $25$ 个订单，平均用时 $42$ 分钟，样本标准差 $10$ 分钟；配送方式 B 独立抽取 $30$ 个订单，平均用时 $36$ 分钟，样本标准差 $8$ 分钟。估计 $\mu_A-\mu_B$。

这里没有把两组标准差强行当成一样。若 A 组波动明显大于 B 组，Welch 标准误和自由度会把这种差异带进区间。

练一练：两种教学方式的平均成绩

教学方式 A 有 $20$ 名学生，样本均值 $78$、样本标准差 $8$；方式 B 有 $22$ 名独立学生，样本均值 $83$、样本标准差 $7$。若 Welch 自由度近似为 $38$，取 $t^*=2.024$，构造 的 置信区间。

配对均值差：先做差，再当成一样本

有些“两组数据”其实不是两组独立对象。例如同一个人在训练前后各测一次血压，同一台机器调整前后各测一次能耗，或者把条件相近的两个人配成一对。每个“后”都对应一个特定的“前”，这种数据叫配对数据。

配对的价值在于先消掉个体之间的稳定差异。有人本来血压高，有人本来血压低；直接比较两列原始数据会把这种个体差异混进噪声。对第 $i$ 对先定义差值：

然后问题就变成：差值总体的平均数 $\mu_d$ 是多少？区间和一样本均值完全相同：

这里的 $n$ 是配对数，$s_d$ 是一列差值的样本标准差，不是把前后两列的标准差分别代入。

需要检查：

• 配对关系真实且一一对应，差值方向从头到尾保持一致。
• 不同配对之间近似独立；同一对内部本来就不要求独立，因为相关性正是配对设计要利用的信息。
• 小样本时，检查的是差值分布是否有严重偏斜或极端离群值，而不是分别要求“前”和“后”两列完美正态。

例子：训练前后收缩压降低多少

随机抽取 $16$ 名参与者，在训练前后测量收缩压。定义 $d=\text{训练前}-\text{训练后}$，样本平均差为 $\bar d=5.2$ 毫米汞柱，差值标准差为 $s_d=6.4$ 毫米汞柱。假设差值没有明显离群值，估计平均降低量。

如果误把前后测量当成两组独立数据，就丢掉了“同一个人对应同一个人”这条重要信息。配对分析不是另一套神秘公式，它只是先把每一对压缩成一个差值，再做一样本 t 区间。

练一练：设备调整前后的能耗

对 $10$ 台机器分别记录调整前后每小时能耗，定义 $d=\text{调整前}-\text{调整后}$。得到 $\bar d=2.8$ 千瓦时，$s_d=1.5$ 千瓦时。取 ，构造平均节能量的 置信区间。

误差界和样本量规划

调查做完后才嫌区间太宽，往往已经来不及。更好的做法是在收集数据前先问：“我希望误差界最多是多少？大概要抽多少人？”

对比例的近似区间，目标误差界 $E$ 满足：

解出样本量：

问题是，研究开始前 $p$ 还不知道。可以有两种做法：

• 有可靠的历史调查或小规模预调查时，用已有比例作规划值。
• 没有任何先验线索时，用 $p=0.5$。因为 $p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 时最大，这会给出最保守、也就是最大的样本量。

例子：把民调误差界控制在 3 个百分点

希望在 $95\%$ 置信水平下，把比例估计的误差界控制在 $E=0.03$ 以内，又没有旧调查可参考。取 $p=0.5$：

样本量必须向上取整，所以至少需要：

不能向下取成 $1067$，因为规划目标是“误差界不超过 $0.03$”。实际执行中还要预留无回应、无效问卷和分层分析的需求，因此联系人数通常会比 $1068$ 更多。

如果想把误差界从 $3$ 个百分点压到 $1.5$ 个百分点，也就是减半，样本量大约要变为四倍。公式里的 $E^2$ 正好体现了这个代价。

均值问题怎样规划

均值区间的误差界近似为：

于是可以先用历史数据或预调查估计 $\sigma$，得到初步样本量：

正式分析时，因为 $\sigma$ 通常未知，仍会使用 t 区间。样本量规划里的 $\sigma$ 只是提前估算所需规模的工作值，不是假装我们已经知道总体标准差。

置信区间不会修复坏数据

置信区间量化的是随机抽样造成的不确定性。它不会自动处理下面这些问题：

• 抽样名单漏掉了某些群体。
• 受访者大量不回应，而且回应者与不回应者看法不同。
• 问题措辞带有诱导性。
• 仪器没有校准，所有测量都系统性偏高。
• 数据经过了不恰当的筛选或重复尝试后只报告最好看的结果。

如果样本估计本身有偏，置信区间只会围着这个偏掉的中心画一段范围。增加样本量后区间甚至会变得更窄，看上去非常精确，却仍然精确地错着。

统计上看得见，不等于现实中很重要

样本量非常大时，标准误会很小，于是很微弱的差异也可能被统计方法识别出来。例如一个网站有数百万用户，转化率从 $10.0\%$ 提升到 $10.1\%$，区间可能窄到足以排除“完全没有提升”。

但这 $0.1$ 个百分点是否值得重新开发页面，要看新增收益、维护成本、用户体验和风险。统计方法回答的是“差异是否大到不像普通抽样波动”，实际决策还要问“差异是否大到值得在现实中采取行动”。

这一点会直接连接到下一章的显著性检验：统计显著性是证据强度的概念，实际重要性是效果大小和情境价值的概念，两者不能互相替代。

一套可以反复使用的区间流程

以后遇到一样本或两样本区间问题，可以按下面的顺序检查。

练习

练习 1：谁是参数，谁是统计量

某校随机抽取 $800$ 名本科生，其中 $296$ 人每天使用校园公交。请指出总体、参数、样本和统计量。

练习 2：计算比例置信区间

某学校随机调查 $500$ 名学生，发现 $315$ 人每周至少运动三次。检查近似条件，并用 $1.96$ 给出总体比例的近似 $95\%$ 置信区间。

练习 3：正确解释 95% 置信水平

某次随机调查得到总体支持率的 $95\%$ 置信区间为 $41\%$ 到 $47\%$。下面哪种解释正确？

练习 4：样本量和误差界

在其他条件不变时，若想把比例置信区间的误差界缩小到原来三分之一，样本量大约要变成原来的多少倍？

练习 5：均值的 t 区间

某平台随机抽取 $25$ 名用户，记录他们完成一项任务所需的时间。样本均值为 $18.4$ 分钟，样本标准差为 $5.0$ 分钟。假设数据没有明显偏斜或离群值，使用 $t^*=2.064$ 构造总体平均时间的 $95\%$ 置信区间。

练习 6：零件一个都没坏

某批产品随机抽检 $100$ 件，没有发现不合格品。有人直接使用普通比例近似公式，得到 $\hat p=0$、标准误为 $0$，于是宣布“总体不合格率确定为 $0$”。这一步错在哪里？

练习 7：区间能不能消除偏差

某社交平台发起自愿点击投票，收到了 $200000$ 份回答，并报告一个非常窄的 $95\%$ 置信区间。这个区间能否保证结果代表全体用户？

从“合理范围”走向“证据判断”

到这里，我们已经能用区间回答：“哪些总体参数值和当前样本还算相容？”对两组比较，我们尤其会看差异区间是否包含 $0$。下一章会把问题换一个方向：先提出一个具体说法，例如“两个按钮的真实转化率相同”，也就是 $p_B-p_A=0$，再问如果这个说法成立，眼前的样本差异有多反常。

置信区间和显著性检验不是两套互不相干的技巧。它们都在比较观察到的差异和随机抽样本来就会产生的波动。不过检验会把零假设强加的条件放进标准误，例如两比例相等时常使用合并比例。理解了非合并区间标准误、Welch t、配对差值和长期覆盖，下一章的零假设、p 值和统计显著性就不再是突然冒出来的新规则，而是同一条推断逻辑的下一步。

差异的点估计为 $0.19-0.15=0.04$，也就是新版高 $4$ 个百分点。

所以方式 B 的总体完成率估计比方式 A 高约 $2.1$ 到 $13.9$ 个百分点。这个结论依赖两组的分配或取样方式足以支持比较。

样本里 A 平均比 B 慢 $6$ 分钟。

所以方式 B 的总体平均成绩估计比方式 A 高约 $0.3$ 到 $9.7$ 分。若学生不是随机取样或两班还有教师、基础水平等系统差异，这个计算不能自动消除那些偏差。

所以每台机器调整后的总体平均节能量估计约为每小时 $1.73$ 到 $3.87$ 千瓦时。这个解释依赖这 $10$ 台机器的取样方式足以代表目标机器总体。

$37\%$ 是参数 $p$ 的点估计，不是总体比例的精确已知值。

标准误为：

误差界为：

所以区间约为：

根据这份样本，每周至少运动三次的学生总体比例的合理范围约为 $58.8\%$ 到 $67.2\%$。

那么：

所以样本量大约要扩大到原来的 $9$ 倍，而不是 $3$ 倍。

误差界为：

区间为：

可以报告为约 $16.34$ 分钟到 $20.46$ 分钟。这个区间估计的是全部同类用户的总体平均完成时间，不是说 $95\%$ 的用户个人时间都在这里。