用图表看数据：分布、形状与异常值

上一节留下了一条很重要的顺序：先审数据是怎么来的，再看数据说了什么。现在假设研究设计没有明显问题，记录也已经拿到手，下一步不是立刻按计算器，而是先把数据画出来。

这一步看起来简单，实际上很容易翻车。同一组数据换一种画法，可能显得差异巨大，也可能显得什么都没发生；直方图的分箱宽一点还是窄一点，甚至会改变你对“几个高峰”的判断。图表不会自动说真话，它只会把制作者选定的角度放大给你看。

所以这一节不只是教“哪种数据配哪种图”，还要建立一套防误导的读图顺序。我们会一直使用一份“学习状态记录”作为主线：24 位同学各自记录了主要学习地点、当天是否完成计划、课后自主学习时长和次日小测分数。类别变量和数值变量都在同一批记录里，正好可以看到同一份数据如何随着问题变化而换图。

先分清你在问什么

选图表之前，不妨先把问题翻译成一句很朴素的话：我是在数类别、看一组数字、追踪时间，还是比较两个数字？

同一个变量可能因为问题不同而换图。比如“当天学习了几小时”是数值变量：想保留每个学生的准确时长，可以用点图；想看整体轮廓，可以用直方图；想和另一个班快速比较中间位置及离散程度，可以用箱线图。不存在一张图包办所有问题。

类别变量：从频数到相对频数

24 位同学回答“放学后主要在哪里自主学习”，整理后得到下面的表。

频数回答“有多少个”，相对频数回答“占全部的多大比例”。图书馆有 9 人，所以它的相对频数是：

最后一列因为四舍五入可能出现 $99.9\%$ 或 $100.1\%$，不必误以为原始计数出了错。先回到频数核对总人数，再看舍入位数即可。

什么时候看频数，什么时候看相对频数

如果各组总人数相同，频数和相对频数讲的是同一个排序。可一旦组大小不同，只看人数就会误导。

例如甲班 40 人中有 24 人选择图书馆，乙班 20 人中有 15 人选择图书馆。甲班按人数更多，但按比例比较时：

所以“谁的人数多”和“哪个班更常选择图书馆”是两个问题。前者看频数，后者应看相对频数。

条形图怎样画才不偷换问题

条形图的每根柱子代表一个类别，柱高可以是频数，也可以是相对频数。横轴类别不需要按数值大小排列；为了便于比较，常按频数从高到低排，也可以保留有意义的自然顺序。

一张可以核对的条形图至少要说清楚三件事：横轴是什么类别，纵轴是人数还是比例，数据覆盖的是谁。柱子之间通常留空隙，提醒读者这些是不同类别，不是连续区间。

两个类别变量：列联表要盯住分母

现在把“主要学习地点”和“当天是否完成学习计划”放在一起。每个格子记录一种组合出现了多少次，这就是列联表。

先练习最基本的读法。“7”不是图书馆人数，也不是完成计划的总人数，而是同时满足“主要在图书馆学习”和“完成计划”的人数。行合计 $9$ 是所有在图书馆学习的人，列合计 $16$ 是所有完成计划的人。

行比例和列比例不是一回事

如果问题是“在不同地点学习的人，完成计划的比例是否不同”，分母应固定在每个地点的行合计上。图书馆组的完成比例是：

宿舍组的完成比例是：

这里比较的是“给定学习地点以后，完成计划的比例”。每一行的比例加起来应为 $100\%$。

但如果问题换成“已经完成计划的 16 人中，有多少人在图书馆学习”，分母就变成完成列的合计：

两个计算都使用格子里的 7，却回答完全不同的问题。列联表最常见的错误并不是除法算错，而是分母拿错。

例题：从列联表判断是否值得继续调查

有人看到图书馆组完成率 $77.8\%$，宿舍组完成率 $50.0\%$，便说“去图书馆会让计划更容易完成”。这个结论走得太快了。

展示两个类别变量时，可以用并列条形图比较各组合人数，也可以把每个地点的柱子都标准化为 $100\%$，再比较完成与未完成所占比例。后者更适合组大小不同的情况，但会隐藏每组到底有 4 人还是 40 人，所以最好同时标出样本量。

一个数值变量：先保留原始样子

24 位同学记录的课后自主学习时长如下，单位是小时：

0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2.0, 2.0, 2.1, 2.2, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 3.0, 3.2, 3.4, 4.6, 7.8

这串数已经排序，所以我们能勉强看出大多数人在 1 到 3 小时之间，最右边的 7.8 小时离主体较远。但数据再多一点，肉眼就会丢失结构。先从最忠实于原始记录的点图和茎叶图开始。

点图：一个点就是一个观察

点图在数轴上为每个观察放一个点；相同值就向上堆叠。它不会把相邻值合并，因此很适合几十个以内的数据。

真正画图时，这些位置都落在同一条数轴上。表格这里只是把堆叠数量写出来，方便核对：2.0 和 2.2 各有两个点，其余数值各有一个点。点图的优势是能看见空档、重复值和远点；缺点是样本很大时点会挤成一团。

茎叶图：压缩了，但没有丢掉原始值

这组数据保留一位小数，可以把整数部分当“茎”，十分位当“叶”：

茎 | 叶
0  | 8
1  | 0 2 4 6 7 8 9
2  | 0 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8
3  | 0 2 4
4  | 6
7  | 8

读图键是：2 | 4 表示 2.4 小时，而不是 24 小时。茎叶图既显示分布轮廓，又保留每个原始值；但数据跨越太大、精度太多或样本太大时，它会变得笨重。

直方图：用分箱换取整体轮廓

直方图不再显示每个准确数值，而是把数轴切成相连区间，再数每个区间有多少观察。用 1 小时作为组距，并规定左端点计入、右端点不计入，这 24 个学习时长可整理为：

记号 $[2,3)$ 表示包含 2.0，但不包含 3.0，所以 3.0 要放进下一组。边界规则必须前后一致，否则同一个观察可能被数两次，也可能没有落进任何一组。

这张频数表画成直方图后，主体集中在 1 到 3 小时，右侧逐渐稀疏，并在 7 到 8 小时处出现一个孤立柱。它给人的第一印象是右偏，但“右偏”要看尾巴，不是看最高柱在左边还是右边。

分箱真的会改变故事

组距很窄时，柱子很多，随机的小起伏会显得像一个个高峰；组距很宽时，柱子很少，4.6 和 7.8 这样的远值可能与主体合在同一根柱里。起点也会影响边界附近的数据落在哪一组。

下面的交互使用另一组 42 人的屏幕时间记录。数据始终不变，滑块只改变分箱宽度。你可以观察最高频区间、组数和右尾是否稳定。

一个可靠做法是试几个合理组距。如果“主体在较低值，右侧有长尾”在不同组距下都存在，这个结论就比较稳；如果“双峰”只在某一种组距里出现，就先别急着给它编故事。

描述分布：形状、中心、离散、异常值

看到点图或直方图后，不要只说“看起来差不多”。一段完整描述至少回答四个问题，而且要带回变量和单位。

形状：有几个峰，尾巴往哪边走

先看明显高峰的数量。一个主要高峰叫单峰，两个明显高峰叫双峰，更多则可称多峰。小小的锯齿不一定算新峰，我们找的是稳定、突出的聚集区。

双峰常常提示数据里混着两个群体。例如把早班和晚班的到校时间放在一起，两个作息群体可能各形成一个峰。它不是证明，但会提醒我们回头找分组变量。

再看对称性。左右两侧大致像镜像，可以说近似对称；尾巴向较大值一侧拖得更长，是右偏；尾巴向较小值一侧拖得更长，是左偏。

图里的词不是互斥选项。一组数据完全可以同时“单峰且近似对称”，也可以“双峰且右侧还有较长尾巴”。描述时把峰数和偏斜方向分开说，会比强行选一个标签准确。

中心：典型位置大约在哪里

这一节先从图上估计主体聚集的位置，不急着计算。24 人的学习时长大多落在 1 到 3 小时，中间位置大约在 2.2 小时附近。这个“中心”只是图形层面的定位，下一节会把平均数、中位数和众数分别算清楚。

离散：数据铺得有多开

离散程度描述数据彼此差得多不多。两组数据都以 2.2 小时为中心，一组全部挤在 2.0 到 2.4 小时，另一组从 0.5 延伸到 5 小时，它们的中心相近，但稳定性和个体差异完全不同。

读图时可以先说主体覆盖的范围，再说全体范围。例如这组学习时长的主体约在 1 到 3.4 小时，总体从 0.8 到 7.8 小时。这样既不会让远点吞掉主体，也不会假装远点不存在。

异常值：离群不等于错误

7.8 小时离主体很远，可以把它标成待核查的异常值候选。这里故意加上“候选”，因为异常值首先是一种相对位置：它和大多数观察不一样；它是否错误，要靠情境和记录过程判断。

可能的情况至少有四种：小数点录错，单位混了，计时没有停止，或者这位同学确实在考试前学习了很久。前面三种需要修正记录，最后一种反而可能是数据里最有解释价值的个案。

箱线图：把位置压缩成五个关键点

当我们想快速比较多组数值分布时，点图往往太拥挤，箱线图更紧凑。它主要用最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值附近的信息概括数据，并把某些远值单独画出来。

对这 24 个学习时长，按常见的“上下半组分别取中位数”方法：

箱体从 $Q_1$ 画到 $Q_3$，中间的线标出中位数。箱体长度叫四分位距：

按常见的 $1.5IQR$ 规则，上下界限为：

因此 4.6 和 7.8 会单独标成潜在异常值，须线向下到 0.8、向上到 3.4，也就是界限内最远的实际观察。须线不是自动伸到全体最小值和最大值，这一点很容易被画错。

箱线图擅长比较中心、离散与远点，却看不出清楚的峰数。两个分布可能拥有相同的四分位数，一个是单峰，另一个是双峰。所以箱线图最好和点图或直方图搭配，而不是替代它们。

时间序列折线图：顺序本身就是信息

如果记录有时间顺序，横轴就不再只是普通数值。每日访问量、每周训练里程、每月销售额都可能受趋势、周期和前一天状态影响。时间序列折线图把相邻时间点连接起来，是为了强调先后变化。

读这类图时可以按下面的顺序：

1. 看长期趋势：整体在上升、下降，还是大致水平？
2. 看常规波动：相邻时间点通常变化多大？
3. 看周期：是否每周、每天或每季重复出现相似节奏？
4. 看突变：某一天是否突然跳高或跌低？突变发生时有什么事件？

图中的第 12 天是一个明显尖峰，但它不一定是错误。可能当天举办了活动，也可能埋点重复计数。先查日志和活动记录，再决定如何处理。异常值的判断始终依赖情境。

折线不是“让图更顺”的装饰

“图书馆、宿舍、家里、空教室”之间没有连续顺序，把四个类别的频数连线，会凭空制造上升和下降。类别比较应使用条形图。

反过来，时间点即使间隔不均匀，也要让横轴距离反映真实时间。把 1 月、2 月、8 月画成等间隔，会把半年空白压成一个普通月度变化。

两个数值变量：散点图看它们怎样一起动

现在把每位同学的学习时长放在横轴，次日小测分数放在纵轴。每个点代表同一位同学的一对记录。只把两列数字分别画成两个直方图，看不出谁和谁配对；散点图保留了这种配对关系。

读散点图可以记住四个词：方向、形态、强弱、异常。

方向

点云整体向右上延伸，叫正方向：学习时间较长的同学往往分数也较高。点云向右下延伸，叫负方向。没有稳定上升或下降，则说没有明显方向。

“正方向”和“正相关”描述的是一起变化，不等于“横轴导致纵轴”。即使学习时长与分数同向，也可能同时受到基础水平、学习方法、睡眠和题目难度影响。

形态

点云可能接近直线，也可能弯曲、分段或形成两个团块。弯曲关系仍然是真关系，只是不适合用一条直线概括。两个团块可能意味着混入了不同年级、不同课程或不同测验版本。

强弱

点越贴近一条窄带，关系越强；点越分散，关系越弱。强弱必须和形态一起说。一个非常清晰的弧线关系，如果只问“是否贴近直线”，反而会被错判为弱。

异常点与高影响点

异常点可以在竖直方向离主体很远，也可以在横轴上远离其他点。横向很远的点有更大的机会拉动趋势线，但“远”不自动等于“影响大”：如果它刚好顺着主体趋势延伸，趋势线可能几乎不变；如果主体本来没有明显方向，而一个远点单独撑出斜率，它就可能控制整张图的结论。

异常值：一套可以执行的检查方法

异常值最容易触发两种极端反应：要么把它当错误马上删除，要么为了“尊重数据”一律保留。两种做法都省略了调查。

假设一组调查题完成时间大多在 18 到 24 分钟，有一条记录是 54 分钟。下面的交互允许你移动这个特殊点，观察平均数和中位数怎样变化。

图上离得远，只完成了“发现”这一步。完整处理还需要下面四步。

这里还要分清“异常”和“有影响”。在一元数据里，极端值可能明显拉动平均数，却几乎不动中位数。在散点图里，一个点可能离主体很远，却恰好靠近整体趋势；另一个点未必最远，却可能把趋势线的方向扭过来。真正需要警惕的是结论对少数点是否过度敏感。

图表也会误导：六个常见机关

图表比表格直观，也正因为直观，它更容易绕过我们的怀疑。看到一张“差异巨大”的图，先做下面的检查。

截断坐标轴

条形图用柱长表示数量，纵轴若从 98 而不是 0 开始，100 和 102 会看成相差一倍。条形图通常应从 0 起；若确实需要截轴，必须清楚标记，并同时写出实际数值。

折线图不一定必须从 0 起，因为它常用于观察小幅变化。但读者仍要看刻度：从 98 到 102 是 4 个单位的变化，不是视觉高度所暗示的“翻倍”。

面积和体积误导

如果数量翻倍，把一个人物图标的高和宽都放大两倍，面积会变成四倍；若是立体图标，体积看起来甚至会变成八倍。数值只控制一个维度时，就不要让两个或三个维度一起长大。普通条形图通常更诚实。

分箱选择

直方图的组距、起点和边界能隐藏空档，也能制造多峰。只给一张直方图却不说明分箱，相当于把关键决定藏了起来。试几个合理分箱，看结论是否稳定。

双纵轴

把销售额放左轴、广告费放右轴，两条线的高度可以通过改变两个刻度范围任意对齐，制造“几乎同步”的感觉。遇到双轴图，分别读取两边单位和范围；更稳妥的展示是拆成上下两个共享时间轴的图。

时间窗口选择

只截取连续上涨的三个月，可以藏住前一年的下跌；从一个异常低点开始，又会让恢复看成爆发增长。读图时找起止日期，并问换一个合理起点后结论是否还成立。

只给比例，不给分母

“完成率提高 50%”可能只是从 2% 提高到 3%，也可能是从 40% 提高到 60%。两者相对增幅相同，实际意义完全不同。比例旁边应尽量保留原始人数和基准值。

综合例题：先画图，再决定算什么

某学习小组收集了 12 位同学的课后学习时长：

0.9, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.1, 2.2, 2.4, 2.7, 3.0, 6.8

请描述分布，并说明下一步选择中心指标时要考虑什么。

练习：把读图顺序练成习惯

练习 1：频数还是相对频数

甲校 800 名学生中有 320 人骑车上学，乙校 200 名学生中有 100 人骑车上学。哪所学校骑车人数更多？哪所学校骑车比例更高？

练习 2：列联表的分母

某表显示，使用纸质笔记的 30 人中有 21 人通过测验，使用电子笔记的 20 人中有 16 人通过。若要比较两种笔记方式的通过率，应计算哪两个比例？能直接说笔记方式造成通过率不同吗？

练习 3：条形图还是直方图

“最喜欢的运动项目”和“每天运动分钟数”分别应该优先用什么图？

练习 4：读茎叶图

一张以分钟为单位的茎叶图写着：

1 | 2 5 8
2 | 0 0 4
3 | 1

若图键为 2 | 4 = 24 分钟，原始数据是什么？

练习 5：分箱判断

同一组等待时间用 1 分钟组距时看出两个峰，用 5 分钟组距时只剩一个峰。可以直接宣布它是双峰分布吗？

练习 6：按四个方面描述分布

某次排队时间多数在 3 到 8 分钟，少量记录在 12 到 18 分钟，最长为 31 分钟。请用形状、中心、离散和异常值组织一句完整描述。

练习 7：箱线图的须

若 $Q_1=10$、$Q_3=18$，请计算四分位距和上界。数据中最大值为 35，而不超过上界的最大观察为 29，上须应画到哪里？

练习 8：时间序列还是散点图

要看某城市过去 30 天的每日气温变化，用什么图？要看 100 个城市的年平均气温与年用电量关系，用什么图？

练习 9：异常点是否一定有影响

散点图里有一个点在横轴上远离主体，却正好落在主体趋势的延长线上。它一定会大幅改变趋势线吗？

练习 10：识别误导

一张双轴折线图把广告费和销售额画得几乎完全重合。你至少要检查什么，才能判断这种“同步”是否真实？

收束：图先提出问题，数字再给出答案

类别变量先数频数，再根据问题决定是否换成相对频数；两个类别变量用列联表时，最重要的是找对条件和分母。一个数值变量可以用点图或茎叶图保留细节，用直方图看整体形状，用箱线图快速比较中心、离散与远点。遇到时间顺序看折线图，遇到两个配对数值看散点图。

无论哪种图，都不要只报“高”“低”或“有关”。先把变量、单位和样本说清楚，再描述形状、中心、离散与异常值。最后检查坐标轴、分箱、面积、双轴、时间窗口和分母，确认图形没有把差异夸大或藏起来。

图像会告诉我们下一步该算什么：右偏且有远点时，平均数会不会被拉走？两组中心相近时，哪一组更分散？箱体和须分别对应什么数量？下一节就把这些视觉判断变成平均数、中位数、四分位数、极差和标准差，让“看起来”落到可以比较的数值上。