随机变量与常见分布

上一节里，我们一直在谈事件：阳性、下雨、点击、迟到。事件很适合回答“会不会发生”，可一旦问题变成“会发生几次”“要等多久”“损失会有多大”，只用事件就有点吃力了。

随机变量就是从这里登场的。它把随机结果翻译成数，再用一套分布说明这些数各有多大可能。这样一来，前面学过的概率规则就能继续向前走：我们不只会算一件事发生的概率，还能讨论长期平均、风险大小和极端结果。

这部分最容易产生两个错觉。第一个是把随机变量理解成“一个自己乱跳的字母”；第二个是见到钟形曲线或成功次数，就急着给数据贴上某个分布的标签。我们会把这两件事拆开讲清楚：随机变量是一条从结果到数值的规则，分布是一种有条件的概率模型。

随机变量：先把结果翻译成数

设一次随机试验所有可能的结果组成样本空间 $S$，其中一个具体结果记作 $\omega$。随机变量 $X$ 给每个结果安排一个实数：

这个写法看着很正式，意思却很朴素：把结果送进一条规则，出来一个数 $X(\omega)$。前面讨论样本空间时也用了 $S$；有些书把它写成希腊字母 $\Omega$，两种写法只是在给同一个对象取不同名字。

比如连续抛两次硬币，样本空间可以写成：

如果我们关心“正面出现几次”，就定义 $X$ 为正面次数。于是：

注意“正反”和“反正”是两个不同结果，却被映射成同一个数 1。随机变量并不需要保留结果的全部细节，它只保留当前问题关心的那一部分。如果我们改为关心“第一次是不是正面”，就会得到另一条映射规则，也就是另一个随机变量。

离散还是连续

随机变量通常先分成两类：

“记录时有没有小数”不是判断标准。一家门店把等待时间四舍五入成整数分钟，数据表里虽然只有整数，但等待时间背后的量仍然是连续的；相反，一场比赛的得分即使写成 $3.0$，它依旧是在数离散的得分。

离散分布：给每个可能值分配概率

设离散随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1,x_2,\ldots$。它的概率质量函数写作：

它必须满足两条底线：每个概率都不能为负，所有可能取值的概率加起来等于 1。

假设一台设备一天内的故障次数 $X$ 有下面这个简化分布：

这张表已经把离散分布说完整了。比如：

而“一天至少故障一次”需要把 1、2、3 三种互斥情况加起来：

也可以用补集更快地算：

累积分布函数：把左边的概率不断累加

概率质量函数逐点回答“恰好等于多少”。还有一种更通用的记法叫累积分布函数：

它回答“落在 $x$ 左边、包括 $x$ 的概率有多少”。在刚才的故障例子里：

随着 $x$ 从左向右移动，累计进去的概率只会增加，不会减少。对离散变量，$F_X(x)$ 常像一段一段向上跳的台阶；到最右边时，它最终接近 1。

入门阶段不用急着研究累积分布函数的全部性质。先记住它是一种“从最左边累加到当前位置”的记账方式，而且离散分布和连续分布都能用它描述。

连续分布：概率藏在区间面积里

连续随机变量不能再给每个可能值单独列一行，因为两个数之间永远还可以插入更多数。我们改用概率密度函数 $f(x)$ 描述概率怎样铺在数轴上。

一个合法的密度函数满足：

落在区间 $[a,b]$ 的概率，是密度曲线在这段区间下方的面积：

这里最反直觉的一点是：曲线高度不是概率，面积才是概率。 密度可以大于 1，只要整条曲线下的总面积仍然等于 1。

为什么连续变量的单点概率是 0

设 $X$ 是精确测量的等候时间。问 $P(X=12)$，其实是在问时间是否刚好等于 12.000000……分钟，不多也不少。在连续模型里，一个点没有宽度，曲线下也就没有面积，因此：

这不表示“12 分钟不可能出现”。它表示精确到无限小数时，任何一个孤立点都不占概率。现实中看到“等待时间为 12 分钟”，通常是因为计时器做了取整。若记录精确到分钟，显示为 12 的实际范围可能是 $11.5\le X<12.5$，这是一个有宽度的区间，当然可以有正概率。

连续分布还有一个方便结果：端点本身不占面积，所以小于还是小于等于通常没有区别。

连续情形下的累积分布

累积分布函数仍然定义为：

如果 $X$ 有密度 $f$，那么它就是从最左边一直积到 $x$ 的面积：

因此区间概率也可以写成：

你可以把 $f$ 理解成“概率在当前位置铺得有多密”，把 $F$ 理解成“走到当前位置一共收集了多少概率”。

期望：不是下一次预测，而是长期平均

对离散随机变量，期望是所有可能值按概率加权后的平均：

“加权”很重要。常见结果出现得多，对平均的影响就大；罕见结果出现得少，但如果数值特别大，也可能明显拉动期望。

例题：这个转盘游戏值不值得玩

一个游戏每次先付 10 元。转盘给出的奖金有三种：一半概率没有奖金，三成概率得到 20 元，两成概率得到 50 元。设 $R$ 表示奖金，$X$ 表示扣掉报名费后的净收益。

这个游戏的期望为正，不代表每次都赚钱。你有 $50\%$ 的概率当场亏 10 元。若只能玩一次，是否参加还取决于你能不能承受损失；若能独立重复很多次，长期平均才更有机会接近期望。

期望的线性性质

如果 $a,b,c$ 是常数，那么：

这条性质不要求 $X$ 和 $Y$ 独立。期望只管长期中心，变量之间是否有关联不会破坏“总和的平均等于平均的总和”。

例如，平台预计上午订单收益为 $X$，下午订单收益为 $Y$，全天还要固定支付 500 元场地费。即使上午和下午会同时受到天气影响，全天净收益的期望仍然是：

方差与标准差：同样的平均，风险可能完全不同

期望只告诉我们中心，不告诉我们结果会围绕中心晃多远。方差把每个结果到均值的距离平方，再按概率平均：

其中：

对离散变量，也可以展开成：

计算时常用等价公式：

标准差是方差的平方根：

为什么要平方？如果只把偏差 $X-\mu$ 直接平均，正偏差和负偏差会互相抵消，结果永远回到 0。平方让两边的偏离都变成正数，也让特别远的结果受到更大权重。

方差的单位是原单位的平方。若 $X$ 用元计，方差用平方元计，不太好直接解释；标准差开方后回到元，所以现实交流里更常说标准差。

继续看转盘游戏的风险

刚才净收益 $X$ 的可能值为 $-10$、10、40，概率分别为 0.5、0.3、0.2，而且 $E(X)=6$。先算平方的期望：

所以：

平均每局净赚 6 元，标准差却约为 19.08 元，说明单局结果离 6 元很远并不稀奇。期望描述“长期中心”，标准差补上“单次结果通常会摇多大”。做保险定价、库存准备和资金管理时，这两项经常要一起看。

平移和缩放会怎样改变波动

给每个结果都加上同一个常数，只会整体平移，不会改变分散程度：

把每个结果放大 $a$ 倍，离均值的距离也放大 $|a|$ 倍，所以方差会放大 $a^2$ 倍：

两个随机变量相加时，一般公式还要包含协方差：

其中：

协方差为正，表示两者倾向于一起高于或一起低于各自均值，合计波动会被放大；协方差为负时，一个偏高常伴随另一个偏低，合计波动会被抵消。只要 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，方差就可以直接相加。

独立是协方差为 0 的常见充分条件，但不是必要条件：两个变量可能不独立，协方差仍然恰好为 0。所以准确的说法是“协方差为 0 时可以相加”；独立只是最容易确认这种情况的一种条件。这一点和期望的线性性质不同，期望相加从来不要求独立。

伯努利分布：一次试验，只有两类结果

一次试验只有“事件发生”和“事件不发生”两类结果时，可以把发生记为 1，不发生记为 0。若事件发生的概率是 $p$，就写成：

它的概率质量函数是：

期望和方差分别为：

这里的“成功”只是我们给事件起的技术名称，不带褒贬。研究设备故障时，可以把“故障”记为成功；研究贷款违约时，也可以把“违约”记为成功。关键是从头到尾保持定义一致。

伯努利变量还有一个很好用的直觉：因为它只取 0 和 1，重复很多次后的平均值就是 1 所占的比例。所以 $E(X)=p$ 同时连接了“概率”和“长期频率”。

二项分布：固定次数里出现多少次成功

现在把同一种伯努利试验重复 $n$ 次，用 $X$ 记录成功总次数。如果以下四个条件成立，$X$ 服从二项分布：

1. 试验次数 $n$ 事先固定。
2. 每次结果都能归为成功或失败两类。
3. 每次成功概率都相同，记为 $p$。
4. 各次试验相互独立。

记作：

刚好出现 $k$ 次成功的概率是：

其中：

这个公式不是凭空出现的。$p^k(1-p)^{n-k}$ 是某一种固定排列发生的概率，例如“成功成功失败成功失败”；$\binom{n}{k}$ 负责数清楚成功可以放在哪 个位置。两部分相乘，才覆盖“恰好成功 次”的全部排列。

例题：抽检中发现缺陷件

某生产过程下，每件零件出现缺陷的概率为 $0.02$。质检员从当天大量、稳定生产的零件中随机抽取 20 件，并把各件是否有缺陷近似看成独立。设 $X$ 表示缺陷件数。

二项模型什么时候会失效

看到“成功次数”还不够，四个条件必须逐项检查。

• 从只有 30 件、其中确定有 3 件缺陷的批次里不放回抽 20 件，每抽一次都会改变剩余组成，独立性和相同概率都不成立。
• 观察 30 天内每天是否下雨，如果进入雨季后降雨概率不断上升，$p$ 不是固定的。
• 统计宿舍里感染人数时，一个人的感染会改变室友的风险，各次结果可能明显相关。
• 一直试到第一次成功才停止，试验次数没有预先固定，随机变量也不是固定次数内的成功个数。

样本来自一个很大的总体且抽样比例很小时，不放回带来的依赖有时可以忽略，二项分布可以当近似。这里要说的是“近似合理”，不能把依赖关系说成真的消失了。

二项之外：问题稍微一变，模型也要跟着变

二项分布只回答一种结构很固定的问题：预先做 $n$ 次相互独立、成功概率相同的两类试验，最后数成功次数。现实问题往往只改动其中一个条件，答案就会落到另一个常见模型上。

下面用一家设备维修中心贯穿四种变化。中心既要抽检备件，也要反复尝试远程修复，还要安排故障工单的接线人手。看起来都是“成功、故障和等待”，但随机变量问的东西不同。

超几何分布：有限总体中不放回抽样

维修中心收到一箱 $N$ 个备件，其中已知有 $K$ 个不合格。质检员不放回抽取 $n$ 个，设 $X$ 为样本中的不合格件数。抽走一件以后，箱中剩余组成会改变，所以各次抽取不独立，不能直接用二项分布。

这时使用超几何分布：

恰好抽到 $k$ 个不合格件的概率是：

分母是在 $N$ 个备件中选出 $n$ 个的全部方法。分子先从 $K$ 个不合格件中选 $k$ 个，再从 $N-K$ 个合格件中选剩余的 $n-k$ 个。它的均值是：

这个均值和成功概率取 $K/N$ 的二项模型一样，但完整分布不同。抽样比例越大，不放回造成的影响越明显。

几何分布：一直试到第一次成功

工程师不断尝试同一种远程修复，每次成功概率为 $p$，各次结果独立，而且失败后成功概率不变。设 $T$ 为包括成功那次在内，直到第一次成功一共尝试了多少次。那么 $T$ 的可能值是 $1,2,3,\ldots$，并服从几何分布：

第一次成功出现在第 $t$ 次，意味着前 $t-1$ 次全部失败，第 $t$ 次成功，所以：

它的期望是：

有些资料把几何变量定义成“第一次成功前失败了几次”，这时取值从 0 开始，公式中的指数和均值会相应平移。两种约定都可以，做题前必须先看随机变量到底数“总尝试次数”还是“失败次数”。

泊松分布：固定区间内出现多少次稀有事件

现在不再固定尝试次数，而是固定观察区间。设 $Y$ 为维修中心一小时内收到的紧急故障工单数。若事件在很小时间段内发生的机会大致与区间长度成正比，不同时段的增量近似独立，而且平均速率在这一小时内稳定，就可以考虑泊松分布。

若一小时平均收到 $\lambda$ 个工单，记作：

恰好收到 $k$ 个工单的概率是：

泊松分布有一个醒目的性质：均值和方差都等于参数 $\lambda$。

如果工单会成批涌入、早晚高峰速率差异很大，或一个故障会触发一串相关工单，简单泊松模型就可能低估波动。此时不能只拿“每小时平均几个”硬套公式。

指数分布：泊松过程中要等多久

泊松分布数的是固定区间里的事件个数；指数分布问的是同一类过程中的等待时间。若紧急工单按速率 $\lambda$ 的泊松过程到达，设 $W$ 为等到下一张工单的时间，那么：

它的密度为：

等待超过 $w$ 的概率有一个很简洁的形式：

平均等待时间是速率的倒数：

指数分布还有“无记忆性”。已经等了 $s$ 时间仍没等到事件后，再等超过 $t$ 的概率，和刚开始时等超过 $t$ 的概率相同：

直觉上，这表示过去空等了多久，不会让下一小段时间的到达速率改变。它适合速率稳定、没有老化效应的理想过程；人的等待耐心、会磨损的机器寿命通常会随时间改变风险，并不天然具有无记忆性。

例题：同一家维修中心，四个问题用四个模型

维修中心有 20 个备用传感器，其中 4 个不合格；工程师每次远程修复成功率为 $0.25$；紧急工单平均每小时到达 3 张，并暂时用稳定泊松过程描述。

把这四个问题并排看，模型选择就不容易混：已知有限总体、固定抽样量且不放回，用超几何；重复独立尝试直到第一次成功，用几何；固定时间或空间里数事件，用泊松；在同一个泊松过程中等下一次事件，用指数。

二项分布的正态近似

当 $n$ 较大，而且成功与失败的期望次数都不太小时，二项分布的柱形图会逐渐接近钟形。常用检查是：

这时可以用均值 $np$、标准差 $\sqrt{np(1-p)}$ 的正态分布近似大段区间概率。但二项变量只能取整数，正态变量是连续的；计算很窄的区间时，近似误差可能明显，通常还要做连续性修正。若 $p$ 很接近 0 或 1、样本量又不够大，分布会偏斜，别急着套正态曲线。

均匀分布：等长区间拥有相同概率

设活动开始时刻在 $a$ 到 $b$ 之间随机选择，并且没有哪个时段更受偏爱。若 $X$ 表示开始时刻，就可以用连续均匀分布：

它的密度是一个平顶矩形：

区间概率只由长度决定。若活动会在 10:00 到 10:30 之间均匀随机开始，那么它在 10:20 到 10:27 之间开始的概率是：

这时 10:00 到 10:05 和 10:20 到 10:25 长度相同，所以概率相同。单个时刻仍然没有面积，$P(X=20)=0$。

均匀分布的期望和方差是：

正态分布：用均值和标准差定位一条钟形曲线

正态分布是一类连续分布。它关于均值对称，只有一个峰，离中心越远，密度通常越低。若 $X$ 的均值是 $\mu$、方差是 $\sigma^2$，本课程记作：

它的密度函数是：

$\mu$ 决定曲线中心。改变 $\mu$，整条曲线左右平移；$\sigma$ 决定展开程度，$\sigma$ 越大，曲线越宽越扁。曲线下总面积永远是 1。

正态模型常用来近似许多小影响叠加后的连续测量，例如稳定生产条件下的尺寸误差，或同类对象中由许多因素共同造成的生理测量差异。但“常用”不等于“所有数据都正态”，更不等于现实数据会精确贴着一条理论曲线。

标准化：把不同量纲放到同一把尺子上

正态分布的中心和尺度可以各不相同。为了统一计算，我们把观测值 $x$ 转成标准分数：

$z$ 的含义是“这个值离均值有多少个标准差”。正数表示高于均值，负数表示低于均值，$z=0$ 就在均值上。

标准化后的随机变量：

服从标准正态分布：

例题：哪个测量结果更异常

某灌装线的瓶装量近似服从正态分布，均值为 500 毫升，标准差为 6 毫升。另一条袋装线的净含量均值为 1000 克，标准差为 10 克。现在测到一瓶 488 毫升、一袋 976 克。不能直接比较“少了 12”和“少了 24”，因为单位和正常波动不同。

68-95-99.7 经验规则

对正态分布，可以快速记住三段中心面积：

• 约 $68\%$ 的结果落在 $\mu\pm\sigma$ 内。
• 约 $95\%$ 的结果落在 $\mu\pm2\sigma$ 内。
• 约 $99.7\%$ 的结果落在 $\mu\pm3\sigma$ 内。

因为正态曲线左右对称，均值两侧会平分剩余面积。比如约 $95\%$ 落在两个标准差以内，那么落在均值上方两个标准差之外的右尾面积约为：

回到瓶装线，488 毫升正好是均值下方 2 个标准差。用经验规则估计，低于 488 毫升的比例约为 $2.5\%$。精确计算会略有差异，因为 $95\%$ 本来就是便于心算的近似值。

正态模型什么时候不合适

用正态模型前，至少看三件事：形状是否大致单峰对称，变量是否允许在均值两边自然波动，尾部是否和钟形曲线相称。

• 收入、网页停留时长和排队时间常常右偏，极少数大值会拖出长尾。
• 比例被限制在 0 到 1，考试分数也常有上下界；当数据挤在边界附近时，对称正态模型会把一部分概率放到不可能区域。
• 两类人群混在一起，可能出现两个峰，一条钟形曲线会掩盖分组差异。
• 少量极端异常值会让均值和标准差失去代表性，尾部风险也可能被低估。

选择分布时，先问随机机制

本章出现的常见模型可以先这样区分：

真正的顺序应该是：先定义随机变量，再判断离散或连续，然后看结果是怎样产生的，最后才选模型和公式。若条件只近似成立，就把结论说成近似；若关键条件明显失败，就换模型或回到原始数据本身。

一个现实风险判断

假设医院为急诊到院时间安排人手。历史平均等待是 28 分钟，标准差是 12 分钟。有人因此直接套正态分布，估计“超过 52 分钟”的概率。

先别算。等待时间不能小于 0，而且高峰拥堵可能产生很长的右尾；平均数附近也未必左右对称。若原始分布明显右偏，正态模型可能低估长等待风险。更稳妥的做法是先看直方图、分位数和分时段数据，再决定用什么模型。分布选择本身就是结论的一部分，不能藏在公式后面。

练习

练习 1：写出随机变量映射

连续抛三次硬币。设 $X$ 表示正面次数。

1. 写出 $X$ 的所有可能取值。
2. “正反正”和“反正正”是否是同一个随机结果？它们的 $X$ 值是否相同？
3. $X$ 是离散变量还是连续变量？

练习 2：检查概率质量函数

有人为随机变量 $X$ 写出下面的分布：

它是合法的概率分布吗？

练习 3：密度与单点概率

公交车会在 8:00 到 8:20 之间均匀到站。设 $X$ 为 8:00 之后经过的分钟数。

1. 求公交车在 8:05 到 8:11 之间到站的概率。
2. 在连续模型下，求它恰好在 8:11:00 到站的概率。
3. 为什么手机上显示“8:11 到站”仍然可能发生？

练习 4：游戏的期望与风险

一个免费游戏有 $0.8$ 的概率获得 2 元，有 $0.2$ 的概率损失 8 元。设净收益为 $X$。求 $E(X)$，并判断“期望为 0”是否意味着这局不会亏钱。

练习 5：利用期望的线性性质

一家店每天上午利润 $X$ 的期望是 1800 元，下午利润 $Y$ 的期望是 1200 元，每天固定成本为 900 元。上午和下午利润会同时受天气影响。求全天净利润 $X+Y-900$ 的期望，并说明是否需要假设 $X$、$Y$ 独立。

练习 6：二项分布条件与计算

某题库中，一名准备充分的学生独立回答每道判断题，答对概率为 $0.8$。一份小测固定有 10 道题。设 $X$ 为答对题数。

1. 说明为什么可以用二项分布。
2. 写出恰好答对 8 题的概率。
3. 求 $E(X)$ 和 $\operatorname{Var}(X)$。

练习 7：识别二项模型的误用

盒中有 6 个红球、4 个蓝球，不放回抽取 5 个，记录红球数。能否直接使用 $\operatorname{Bin}(5,0.6)$？应该换成什么模型？并求恰好抽到 3 个红球的概率。

练习 8：在几何、泊松和指数之间选择

某维修中心的远程修复每次独立成功，成功概率为 $0.2$。紧急工单暂时可看成每小时平均到达 4 张的稳定泊松过程。

1. 设 $T$ 为第一次修复成功所需的总尝试次数，$T$ 服从什么分布？求 $P(T>3)$。
2. 设 $Y$ 为两小时内的紧急工单数，$Y$ 服从什么分布？参数是多少？
3. 设 $W$ 为等到下一张紧急工单的小时数， 服从什么分布？求平均等待时间和 。

练习 9：标准化与经验规则

某种测量误差近似服从正态分布，均值为 0，标准差为 2 毫米。

1. 误差为 3 毫米时，$z$ 分数是多少？
2. 约有多少比例的误差落在 $-4$ 到 4 毫米之间？
3. 约有多少比例高于 4 毫米？

练习 10：模型不是标签

某平台用户停留时长的均值为 12 分钟，标准差为 9 分钟。有人据此写下 $X\sim N(12,81)$。只凭这两个数字，为什么还不能接受这个模型？

从个体分布走向抽样分布

到这里，我们描述的还是“一次结果”或“固定次数里的成功个数”：一次等待多久，一组抽检有几件缺陷，一个测量值离均值多远。

下一步会把视角抬高一层。假设我们从同一个总体反复抽样，每次都算一个样本均值或样本比例，这些统计量本身也会随机变化，也有自己的分布。理解期望、方差、二项分布和正态分布之后，我们就能解释样本结果为什么会摇晃、样本量为什么会改变误差，并最终进入置信区间和统计推断。

期望不合格件数为 $5\times4/20=1$。

它比本线均值低 2 个标准差。

只有总体远大于抽样量、抽样比例很小时，才可能把不放回造成的依赖近似忽略。

两小时的平均工单数为 $4\times2=8$，所以：

$W$ 是同一泊松过程里等到下一次到达的时间，因此：

平均等待时间为 $1/4$ 小时，也就是 15 分钟。$0.25$ 小时同样是 15 分钟，所以：