相关不等于因果

上一节我们盯着一列数据看：中心在哪里，数据散不散，有没有极端值。现在把第二列数据放到旁边，问题就变了。我们不再只问“考试成绩通常是多少”，而会问“学习时间较长的人，成绩是不是也往往较高”；不再只问“每天有多少人去游泳”，而会问“天气越热，下水人数是不是越多”。

这种“两个变量是否一起变化”的问题，最容易诱发一个很自然、也很危险的跳跃：既然它们一起变化，那一定是一个导致了另一个。

先看开头那个经典例子。某城市天气越热，冰淇淋销量越高，水边救援记录也越多。于是冰淇淋销量和救援记录呈正相关。可你大概不会真的相信“冰淇淋让人溺水”。更合理的解释是：气温升高以后，人们既更愿意买冰淇淋，也更愿意下水。气温同时推高了两个量。

这就是这一节要反复练习的停顿：先承认数据里的关系，再问这个关系是怎样产生的。

相关回答的是“两个变量怎样一起变化”，因果回答的是“改变一个变量会不会让另一个变量跟着改变”。前者可以从数据中直接描述，后者需要研究设计和替代解释的共同检验。

从配对数据开始

散点图不是把两列互不相干的数据随便画在一起。图上的每一个点，都必须来自同一个观察对象。

假设我们记录 5 名学生一周的自主学习时间和小测成绩：

学生	学习时间（小时）	小测成绩（分）
甲	2	62
乙	3	70
丙	5	73
丁	6	85
戊	8	91

甲对应点 $(2,62)$ ，乙对应点 $(3,70)$ ，依此类推。横坐标和纵坐标必须属于同一名学生。如果把一列重新排序后再画，配对关系被打乱，图上的趋势也就没有原来的含义了。

通常把用来解释或预测的变量放在横轴，叫解释变量；把我们关心的结果放在纵轴，叫响应变量。不过，轴放在哪边是由研究问题决定的，不是由数据大小决定的。

读散点图的四个问题

第一次看散点图，不要急着找一个数字。先按下面的顺序观察：

方向：点云总体从左下走向右上，还是从左上走向右下？
形状：它像一条直带、一条弯曲的轨迹，还是分成几团？
强弱：点贴着主要形状排得紧不紧？
异常情况：有没有远离点云的点、断层，或隐藏的分组？

三幅中文手绘散点图分别展示正相关、负相关和无线性相关

方向

点云从左下向右上倾斜，叫正相关：横轴变量较大时，纵轴变量通常也较大。点云从左上向右下倾斜，叫负相关：横轴变量较大时，纵轴变量通常较小。

这里的“通常”很重要。正相关不是说每一个靠右的点都必须比左边的点高。真实数据有波动，方向描述的是整体趋势。

形状

一团点可能大致围着直线，也可能沿着 U 形、倒 U 形或其他曲线排布。还可能出现两团各自很紧的点，说明数据背后也许混合了两个群体。

所以“无明显线性方向”不等于“完全没有关系”。如果点整齐地排成 U 形，横轴当然提供了关于纵轴的信息，只是这份信息不能由一条斜直线概括。

强弱

强弱说的是点云围绕主要形状有多紧。两幅图都向右上倾斜，其中一幅点几乎贴成窄带，另一幅散得很开；它们方向相同，但前者的关系更强。

强关系也不等于因果关系。气温和季节可能让两个变量形成很紧的同步变化，却依然不是其中一个直接推动另一个。

异常点与分组

一个远点可能是录入错误，也可能是一个真实但特殊的对象。两团点可能对应不同年龄、地区、产品类型或风险层级。看到这些结构时，先查背景，不要立刻删除，也不要急着把所有点压成一个结论。

下面的交互可以调节点云的方向和噪声。先试“强正”和“强负”，再逐渐增加噪声。你会看到，方向决定相关的正负，点偏离直线的程度会削弱线性相关。

先画图，再计算相关系数。一个数字看不出 U 形、分组和异常点，也无法告诉你某个点为什么特殊。散点图不是装饰，它是相关分析的第一道检查。

皮尔逊相关系数到底算了什么

当两个变量都是定量变量，而且我们关心的是线性关系时，常用皮尔逊相关系数 $r$ 概括方向和强弱。它一定在 $-1$ 和 $1$ 之间：

-1 \le r \le 1

$r$ 的正负号给出方向。
$|r|$ 越接近 $1$ ，点云越贴近一条斜直线。
$r$ 越接近 $0$ ，线性趋势越弱。
$r=1$ 或 $r=-1$ 表示所有点恰好落在一条斜直线上。

从 -1 到 1 的相关系数刻度、五种线性强弱点云，以及相关系数无单位的中文手绘图

不要把 $r=0.7$ 读成“有 70% 的点符合关系”，也不要读成“横轴变量解释了纵轴变量的 70%”。 $r$ 不是比例。它是一个没有单位的线性关系指标。

标准化为什么能消掉单位

例题：把 $r=0.72$ 说完整

某班记录 30 名学生最近两周的自主学习时间和一次小测成绩，得到 $r=0.72$ 。这句话能说明什么？

先看符号。 $0.72$ 为正，所以在这 30 名学生中，学习时间较长的人通常也有较高的小测成绩。

再看绝对值。点云应该有比较清楚的右上直线趋势，但不代表所有点都贴在线上，也不代表每多学一小时成绩都会固定增加。

接着确认范围。这个结论描述的是这 30 名学生。若他们不是从目标学生群体中合理抽取的，就不能自然推广到所有学生。

一句稳妥的结论是：“在这 30 名学生中，自主学习时间与小测成绩呈较明显的线性正相关。”

从相关走到简单线性回归

相关系数把一团点压成一个强弱分数，但很多实际问题还会继续追问：“如果横轴变量是这个值，纵轴变量大概是多少？”这时就要从描述关系走到简单线性回归。

“简单”表示模型里只有一个解释变量 $x$ ；“线性”表示我们用一条直线概括 $x$ 与响应变量 $y$ 的平均关系。样本拟合出的直线写成：

\hat{y}=b_0+b_1x

$y$ 是实际观察值， $\hat{y}$ 读作“ $y$ 帽”，表示直线给出的预测值。 $b_0$ 是截距， $b_1$ 是斜率。

用开头的数据拟合一条线

继续使用开头 5 名学生的数据。 $x$ 是一周自主学习时间， $y$ 是小测成绩：

学习时间 $x$ （小时）	2	3	5	6	8
小测成绩 $y$ （分）	62	70	73	85	91

这 5 个点有明显的右上趋势。我们希望找一条直线，让它尽量靠近所有点，而不是只穿过其中两个点。

斜率的计算式是：

b_1= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

截距再由两个样本平均数确定：

b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}

这保证拟合直线会经过点 $(\bar{x},\bar{y})$ 。对这组数据， $\bar{x}=4.8$ 、 $\bar{y}=76.2$ 。

例题：完整算出回归直线

先计算横坐标的离均差平方和。5 个学习时间离平均数 $4.8$ 的平方和为：

\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2=22.8

截距 $53.42$ 是 $x=0$ 时的预测成绩。不过，这批数据只观察了 2 到 8 小时，0 小时在范围之外，所以截距在这里主要负责确定直线位置，不必硬解释成“完全不学习就会考 53.42 分”。

残差：每个点离直线还有多远

直线不可能穿过所有真实数据点。第 $i$ 个点的实际值与预测值之差叫残差：

e_i=y_i-\hat{y}_i

残差为正，说明实际点在直线上方，模型低估了结果；残差为负，说明实际点在直线下方，模型高估了结果。

把 5 名学生逐个代入 $\hat{y}=53.42+4.746x$ ，得到：

学习时间 $x$	实际成绩 $y$	预测成绩 $\hat{y}$	残差 $e=y-\hat{y}$

例如，学习 5 小时的学生实际得 73 分，模型预测约 77.15 分，所以：

e=73-77.15=-4.15

这个负残差表示模型高估了约 4.15 分。残差不是“学生的错误”，而是这条直线没有解释掉的那一部分。

最小二乘为什么选中了这条线

我们当然能在点云上画出许多条线。最小二乘法的规则是：选择让残差平方和最小的截距和斜率。

\operatorname{SSE}=\sum_{i=1}^{n}e_i^2 =\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2

残差直接相加会让正负互相抵消；平方以后，每个偏差都变成正数，较大的偏差还会受到更重的惩罚。对当前直线，残差平方和约为：

\operatorname{SSE}\approx33.32

“最小”是相对于所有可能直线而言。它不表示残差已经很小，也不表示直线一定适合数据。若真实关系是 U 形，最小二乘仍会给出一条“最不差的直线”，但这条线依然可能讲错故事。

残差图是回归模型的体检表

残差图把横轴保留为 $x$ 或预测值 $\hat{y}$ ，纵轴改成残差 $e$ ，并在 $e=0$ 处画一条水平线。一个合适的简单线性模型，残差通常会在 0 上下无明显规律地散开。

如果残差图出现结构，就要停下来：

弯曲轨迹说明直线漏掉了非线性关系。
左窄右宽的漏斗形说明误差大小随 $x$ 改变。
一个远离其余残差的点可能是异常点或测量问题。
按时间连续出现同正同负的长段，说明观察之间可能并不独立。

在不考虑计算舍入时，带截距的最小二乘直线会让样本残差之和恰好为 0。这个性质不能证明模型很好，因为正负残差本来就被算法平衡掉了；真正要看的是残差有没有形状，以及偏差大小是否可以接受。

$R^2$ ：直线解释了多少样本波动

先用所有成绩离平均成绩的平方和表示模型拟合前的总波动：

\operatorname{SST}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2

再比较拟合后剩下的残差平方和：

R^2=1-\frac{\operatorname{SSE}}{\operatorname{SST}}

当前数据中， $\operatorname{SST}=546.8$ 、 $\operatorname{SSE}\approx33.32$ ，所以：

R^2=1-\frac{33.32}{546.8}\approx0.939

可以说：“在这 5 个观测值中，学习时间与成绩的线性模型概括了约 $93.9\%$ 的成绩波动。”在只有一个解释变量且包含截距的简单线性回归里，还有：

R^2=r^2

但不能说“学习时间造成了 93.9% 的成绩”，也不能把高 $R^2$ 当成因果证据。它只评价这条线对当前样本纵向波动的概括程度，而且样本只有 5 人，数值很容易对新数据失去稳定性。

内插可以谨慎用，外推要特别警惕

在观测到的 $x$ 范围内预测叫内插。这批学习时间介于 2 到 8 小时，用模型预测 7 小时对应的成绩属于内插：

\hat{y}=53.42+4.746\times7\approx86.64

把直线伸到观测范围之外叫外推。若预测 12 小时：

\hat{y}=53.42+4.746\times12\approx110.37

考试满分只有 100，结果已经暴露出外推的危险。数据范围内近似线性的趋势，不保证到了范围外还会继续。即使做内插，预测值也是平均趋势，不是对某个学生的保证。

高杠杆点与影响点

横坐标远离 $\bar{x}$ 的点叫高杠杆点，因为它有更长的“力臂”拉动回归线。高杠杆不一定有害：如果它顺着主体趋势落在直线附近，拟合结果可能变化不大。

如果删掉某个点后，斜率、截距、预测或结论明显改变，这个点就是影响点。一个点可以有很大残差却没有高杠杆，也可以有高杠杆却几乎没有残差。判断影响不能只看它离直线多远，还要比较“有它”和“没有它”时模型怎样变化。

斜率也会因换样本而波动

这里的 $b_1=4.746$ 是 5 名学生给出的样本斜率。若换一批学生， $b_1$ 通常会改变。总体中真正想了解的线性斜率常记作 $\beta_1$ ，它固定但未知。

后面学习统计推断时，我们会给 $\beta_1$ 构造置信区间；到第 11 页的显著性检验，还会把“总体线性斜率为 0”写成原假设：

H_0:\beta_1=0

再用斜率离 0 有多少个标准误来衡量证据。那一步需要独立观察、近似线性、误差波动大致稳定，以及小样本时误差分布没有明显偏斜和极端点等条件。本页先不计算区间和 $p$ 值，只把样本回归线、残差和模型检查打牢。

斜率显著不为 0，回答的是“总体线性关联是否有证据不同于 0”，仍不自动回答“改变 $x$ 是否会导致 $y$ 改变”。因果解释依然取决于数据如何产生。

两个会让相关数字失真的图形陷阱

非线性：关系很强， $r$ 却可能接近零

想象汽车在一条 U 形山谷里行驶。离谷底越远，不论向左还是向右，海拔都越高。横向位置和海拔显然有稳定关系，但一条向上或向下的斜直线都描述不好它。

如果点云左右对称，左半边的负方向和右半边的正方向会在计算中互相抵消，最后可能得到 $r\approx0$ 。这个结果没有算错。错的是把“线性相关很弱”翻译成“变量没有关系”。

异常点：一个点可能替整团数据说话

再想象 11 家规模相近的小店。它们的广告费和销售额散成一团，没有明显方向。第 12 家是大型门店，广告费和销售额都远高于其他店。把它算进去，相关系数可能突然变得很大。

这个远点既可能是异常点，也可能有高杠杆。所谓高杠杆，是它的横坐标离主体点云很远，因此很能拉动拟合直线。如果删掉它以后直线斜率和结论发生明显改变，它还是一个影响点。

异常点不等于错误点。遇到它时，按这个顺序处理：

回查记录、单位和录入过程，看是不是数据错误。
确认它是否属于目标总体，还是混进来的另一类对象。
分别报告包含与不包含它时的图形和结论。
只有在有明确理由时才更正或排除，并说明理由。

异常点拉偏拟合直线，以及明显 U 形关系被近水平直线误判的手绘散点图

为了让结论“更漂亮”而删除异常点，会把分析变成挑选证据。可以检查异常点，可以做敏感性比较，但不能只因为它破坏了想要的趋势就把它扔掉。

例题：相关系数被大型门店拉高

某研究小组记录 12 家门店的广告费用和当月销售额。前 11 家点分布很散；第 12 家的广告费与销售额都远高于其余门店。全部数据的 $r=0.81$ ，去掉第 12 家后 $r=0.09$ 。怎样写结论？

先描述图。主体的 11 家门店没有明显线性趋势，第 12 家在横向和纵向都远离主体点云。

再比较数字。 $r$ 从 $0.81$ 变成 $0.09$ ，说明整体的强正相关几乎由这个点决定，结论对它非常敏感。

分组混在一起，方向甚至会反过来

有时每个分组内部都有一个方向，合并之后却出现另一个方向，甚至正负完全反转。这叫辛普森悖论。

它听起来像数学魔术，其实是加权比例在起作用：不同组的基准难度不同，而两种方案进入各组的人数比例又不同。合并数据时，组别构成可能盖过组内差异。

一个通过率反转的例子

某培训机构比较两种学习方案。学员同时来自基础课程和进阶课程，进阶课程更难。结果如下：

课程难度	方案甲通过人数	方案甲总人数	方案甲通过率	方案乙通过人数	方案乙总人数	方案乙通过率
基础课程	81	87	93.1%	234	270	86.7%
进阶课程	192	263	73.0%	55	80	68.8%

在基础课程里，方案甲通过率更高；在进阶课程里，还是方案甲更高。直觉会说：那合起来当然也是甲更高。

但实际合并后：

\text{方案甲总通过率}=\frac{81+192}{87+263}=\frac{273}{350}=78.0\%

\text{方案乙总通过率}=\frac{234+55}{270+80}=\frac{289}{350}\approx82.6\%

总体上反而是方案乙更高。

原因不在算术，而在分组构成。方案甲的大多数人参加更难的进阶课程，方案乙的大多数人参加较容易的基础课程。课程难度同时影响方案选择结构和通过率。把难度藏起来，合并比例就讲出了相反的故事。

先比较同一难度内的方案。基础课程中甲为 $93.1\%$ 、乙为 $86.7\%$ ；进阶课程中甲为 $73.0\%$ 、乙为 $68.8\%$ 。组内都是甲更高。

辛普森悖论给我们一个很实用的习惯：既看整体，也看有意义的分组。 但不能无限切分数据直到得到喜欢的答案。分组应该来自研究背景，例如年龄、难度、地区、风险等级，而不是事后试出来的漂亮结果。

隐藏变量怎样制造表面相关

回到冰淇淋和水边救援记录。我们观察到：冰淇淋销量高的日子，水边救援记录往往也多。

设冰淇淋销量为 $A$ ，救援记录为 $B$ ，气温为 $C$ 。表面上只看到 $A$ 与 $B$ 一起上升，实际可能是：

C\longrightarrow A \qquad\text{且}\qquad C\longrightarrow B

气温既与解释变量有关，也与响应变量有关，还会影响我们对两者关系的判断。这种第三变量叫混杂变量。

气温共同影响冰淇淋销量和水边救援记录的中文手绘混杂变量示意图

下面的交互用同一套模拟数据展示这个过程。所有月份混在一起时，冰淇淋销量和救援记录的线性相关很强；按相近气温分层以后，各层里的相关会明显减弱。你可以切换分组开关，亲手看“整体趋势”是怎样由气温层之间的差异堆出来的。

“控制了几个变量”不等于“消除了所有混杂”。没测量到的变量、测得不准的变量和错误的分组方式仍可能留下偏差。观察数据里的调整能让比较更公平，却不能自动变成随机实验。

一条相关关系至少有五种解释

看到 $A$ 与 $B$ 相关时，别只在“A 导致 B”这一条路上走。至少要同时考虑下面五种解释。

相关背后的五种中文手绘解释：甲影响乙、乙影响甲、共同原因、偶然关系和选择偏差

正向因果： $A$ 影响 $B$

例如，在其他条件得到良好控制时，给植物增加适量光照可能改变其生长速度。这是人们最容易想到的解释，但“容易想到”不是证据。

反向因果： $B$ 影响 $A$

假设观察到“使用学习 App 越频繁的学生，成绩提高越多”。可能是 App 帮助了学习，也可能是成绩开始提高以后，学生更有动力继续使用 App。

判断反向因果，第一步是检查时间顺序。原因必须发生在结果之前。但时间在前也只是必要条件，不是充分条件。

共同原因： $C$ 同时影响 $A$ 和 $B$

冰淇淋和水边救援的共同原因可能是气温。鞋码和儿童阅读分数的共同原因可能是年龄。防晒霜使用量和皮肤损伤风险的表面正相关，可能来自日晒时间：晒得久的人既更常用防晒霜，也暴露在更高风险中。

偶然相关：样本刚好排出了趋势

即使两个变量在总体中毫无关系，小样本也可能碰巧排出一条漂亮斜线。一次分析同时尝试几百组变量时，总会有少数相关系数显得惊人。

这不是计算错误，而是随机波动。样本越小、尝试的比较越多、只展示“有意思”的结果，偶然相关越容易伪装成发现。

选择偏差：进入数据的人本来就不同

网上某商品有一半评价是差评，不能直接推出一半购买者都不满意。愿意主动评价的人不是从所有购买者中随机抽来的；体验特别糟或特别好的人更可能发声，沉默的大多数没有出现在数据里。

同样，只调查健身房里的会员来估计全城运动量，只用仍在使用某 App 的用户评价产品效果，只统计完成随访的病人，都会让“进入数据的方式”改变结论。

选择偏差与混杂有时会同时发生。它们的共同点是：观察到的比较对象并不代表我们以为自己正在比较的对象。

因果判断时，快速回顾研究设计

第 2 页已经详细讲过数据如何产生，这里只保留判断相关与回归结论所需的几条线。

观察性研究记录现实中已经发生的选择，适合描述关联、建立预测和提出假设，但通常无法排除所有混杂。
随机抽样决定样本能否较有把握地代表目标总体，主要管“能推广给谁”。
随机分派决定处理组是否具有公平可比的起点，主要管“组间差异能否解释为处理效果”。
控制、足够样本、独立重复、区组设计（阻断）以及可行时的盲法，会进一步减少替代解释和随机波动。

因此，睡眠时间与成绩的观察回归线可以用来描述或预测这组学生的趋势，却不能仅凭正斜率说“强迫每个人多睡一小时就会提高多少分”。若研究者把合适的参与者随机分派到不同睡眠干预，保持其他流程一致，并妥善处理失访、未遵从方案和测量偏差，因果解释才有更坚实的起点。

随机分派支持的是处理对研究参与者的因果效应；结论能否推广到更广人群，还要看招募、随机抽样和真实使用情境。研究设计是回归分析的前提， $r$ 、斜率、 $R^2$ 或很小的残差都不能替代它。

一份可以真的拿来用的因果判断清单

下次看到“多做某事能提高某结果”“某食品导致某疾病”或“某城市政策降低了事故”时，可以按下面的顺序检查。

从先看相关到判断研究设计并谨慎提出因果结论的六步中文手绘检查清单

先把结论拆成解释变量、响应变量和目标人群。连研究对象与变量都说不清，后面的因果句就没有稳定含义。

看原始图和数据质量。关系是直线、曲线还是分组？是否被异常点决定？变量怎样测量？缺失值和失访是否集中在某些人身上？

确认时间顺序。解释变量的变化是否发生在结果之前？如果两者同时测量，反向因果通常很难排除。

主动列出替代解释。至少问一次反向因果、混杂变量、偶然相关和选择偏差，不要只为自己喜欢的故事找理由。

成熟的统计表达不是永远拒绝因果，而是让结论的力度与证据的力度相配。该保守时保守，该下结论时也要说清条件和范围。

练习

练习一：方向、形状与强弱

某地记录每天最高气温和热饮销量。点云大致从左上走向右下，围绕一条直线分布，但散得比较开。请从方向、形状和强弱三方面描述。

练习二：换单位与交换变量

城市间距离用千米记录，行车时间用分钟记录，两者相关系数为 $r=0.84$ 。如果距离改用米、时间改用小时， $r$ 会怎样？如果交换横纵轴呢？

练习三：预测值与残差

继续使用回归直线 $\hat{y}=53.42+4.746x$ 。另一名学生一周学习 4 小时，实际小测成绩是 75 分。求预测成绩和残差，并解释残差的正负。

练习四：解释 $R^2$ 与识别外推

这条学习时间回归线的 $R^2\approx0.939$ ，原始学习时间范围是 2 到 8 小时。怎样解释 $R^2$ ？能否用直线断言“学习 10 小时会考多少分”，或者说学习时间造成了 93.9% 的成绩？

练习五： $r$ 接近零

某游乐设施的横向位置 $x$ 与轨道高度 $y$ 形成非常整齐的 U 形点云，计算得到 $r=0.03$ 。能不能说 $x$ 与 $y$ 没有关系？

练习六：找出可能的混杂变量

一项观察发现，儿童鞋码越大，阅读测试分数通常越高。能不能说“鞋码变大会提高阅读能力”？请给出一个可能的混杂变量。

练习七：判断推断范围

某公司招募 200 名自愿员工参加实验，并把他们随机分派到“可站立办公桌”和“普通办公桌”两组。三个月后，站立桌组报告的腰背不适更少。这个研究能支持什么？哪里仍要谨慎？

随机分派让两组在实验开始前更可比，因此在执行良好、失访和依从性没有严重问题时，可以支持“站立桌安排对这些参与员工的腰背不适产生了影响”。但员工是自愿参加的，不是从所有公司或所有职业人群中随机抽样，所以不能不加限制地推广到所有劳动者。自我报告的测量方式、参与者是否真正按要求使用桌子，也需要检查。

练习八：识别选择偏差

一家餐厅根据网上 800 条自愿评价发现，60% 的评价给了五星，于是宣布“60% 的所有顾客都非常满意”。这一步哪里有问题？

练习九：改写过强的因果句

把这句话改得与证据相配：“使用学习 App 的学生平均分更高，所以安装这个 App 会提高每个人的成绩。”已知数据来自一次普通问卷，没有随机分派。

练习十：分组后方向反转

某学校比较两个辅导班的总体及格率，乙班高于甲班；但按基础水平分成“基础较弱”和“基础较强”后，两个层级中都是甲班及格率更高。应该只报告哪个结果？

从数据关系走向不确定性

这一节最核心的习惯，是在“相关”后面多停一步。先看散点图的方向、形状、强弱和异常情况，再用 $r$ 概括线性关系；遇到曲线、远点或分组时，回到图和背景；想说因果时，检查时间顺序、混杂、反向因果、偶然性、选择偏差和研究设计。

而这里其实已经露出了下一部分的主题。为什么随机抽样能帮助推广？为什么随机分派能让组间差异更可信？为什么毫无关系的变量在小样本里也可能碰巧排出趋势？这些问题都在问同一件事：随机机制会产生怎样的结果，我们该怎样衡量这种不确定性。

下一节开始，我们把“随机”本身放到桌面上，从样本空间、事件和概率说起。

2	62	62.91	-0.91
3	70	67.66	2.34
5	73	77.15	-4.15
6	85	81.89	3.11
8	91	91.39	-0.39