平均数不总是平均：中心与离散

上一节我们学会了先画图，看分布是对称还是偏斜、数据挤在哪里、尾巴伸向哪边。现在该回答图上最自然的两个问题了：这组数据大致以哪里为中心？它们又散得有多开？

先看 6 个人的年收入，单位是万元：

如果公司只公布“平均年收入约 16.7 万元”，数字当然没有算错。可你若据此想象出 6 个人都拿着十几万元，就被这个平均数带偏了：5 个人集中在 7 到 10 万元，只有 1 个人拿到 58 万元。

这正是描述统计最容易让人放松警惕的地方。一个统计量可以计算完全正确，却没有回答你真正想问的问题。所以我们不会只背“均值等于总和除以个数”，而要弄清每个统计量到底在看数据的哪一部分、会被什么影响，以及什么时候应该换一种说法。

三种中心在回答三种问题

平均数、中位数和众数都能描述“中心”，但这个“中心”并不是同一个意思。平均数像把总量重新均分，中位数看排队后的中间位置，众数找最常出现的值或最突出的峰。

平均数：如果重新均分，每份是多少

设一份样本里有 $n$ 个观测值 $x_1,x_2,\ldots,x_n$，样本平均数记作 $\bar{x}$：

收入数据的总和是 $100$ 万元，所以：

你可以把平均数想成一次“抹平”。把 6 个人的收入全收进一个池子，再平均发回去，每人会拿到约 16.7 万元。这个解释也说明了平均数的强项：它保留了总量信息。只要知道平均数和人数，就能找回总量：

它也可以看成数轴上的平衡点。低于平均数的点把天平往左拉，高于平均数的点往右拉；离平均数越远，拉力越大。正因为 $58$ 离其他收入很远，它会明显地把平衡点拖向右边。

样本平均数和总体平均数不是一回事

如果表里记录的是我们实际观察到的一个样本，平均数用 $\bar{x}$ 表示，样本量用 $n$ 表示。如果我们真的掌握了总体中每一个对象的数值，总体平均数通常写成 $\mu$，总体大小写成 $N$：

计算动作几乎一样，身份却不一样。例如抽查 60 名学生得到的平均睡眠时间是 $\bar{x}$；全校每名学生的真实平均睡眠时间才是 $\mu$。现实里总体往往太大、太难完整测量，所以我们常用样本的 $\bar{x}$ 去估计未知的 $\mu$。后面学习统计推断时，这个“用看得见的一部分猜看不见的整体”会成为主线。

加权平均数：每一项的分量不一样

“把几个数相加再除以个数”有一个隐藏前提：每个数的分量相同。课程总评里，作业、小测和期末考试通常不等重，此时要算加权平均数：

假设作业占 $20\%$、小测占 $30\%$、期末考试占 $50\%$，某同学三项成绩分别是 $84$、$76$、$90$。总评不是 $(84+76+90)/3$，而是：

这里权重已经加起来等于 $1$，所以不必再除一次。若权重写成 $2,3,5$，结果仍然相同，但要除以权重之和 $10$。

中位数：排好队后站在中间

中位数只看位置，所以第一步必须排序。收入已经从小到大排好：

数据有偶数个，中间是第 3 个和第 4 个位置，中位数取这两个值的平均：

如果有 7 个数，中位数就是第 4 个数。它的核心意思是：至少一半数据不高于它，也至少一半数据不低于它。

注意，中位数里的“平均”只是处理偶数个数据时，用两个中间值确定一个切点。它并不会像平均数那样把所有数据都纳入运算。把 $58$ 改成 $580$，只要它仍在最右边，中间两个位置就没变，中位数仍是 $8.5$。

众数：最常见的值或最突出的峰

这组收入里 $8$ 出现两次，其他值只出现一次，所以众数是 $8$。众数还有几个容易漏掉的情况：

• 如果每个值出现次数都一样，通常说没有明显众数。
• 如果 $6$ 和 $8$ 都出现最多次，这组数据有两个众数。
• 众数也适用于类别变量，例如最常见的交通方式、鞋码或故障类型；这些对象根本不能算平均数。

在大样本的直方图里，我们还会把明显的高峰称为众数附近。连续数据可能几乎没有完全相同的观测值，此时机械地数“哪个精确值重复最多”反而没有多大意义，观察突出的峰更实用。

把三种中心放回收入案例

如果问题是“6 人的工资总预算平均摊到每人是多少”，平均数正合适。如果问题是“普通成员大致拿多少”，中位数更贴近多数人。如果问题是“最常出现的工资档位”，众数才直接回答。

异常值为什么会拉动平均数

先做一个小实验。把收入中的 $58$ 增加到 $88$，其他 5 人完全不变。总和增加 $30$，6 人的平均数就增加：

新平均数从约 $16.7$ 变成约 $21.7$，中位数却仍是 $8.5$。更一般地说，只改动一个观测值，若它增加了 $\Delta$，平均数会增加 $\Delta/n$。这不是平均数“失灵”，而是它忠实地把每一个数值的大小都算进去了。

下面的交互固定 7 位普通收入者，只拖动第 8 位收入者。观察两条中心线：最高收入越来越大时，平均数持续右移，中位数却几乎不动。

抗极端值不等于忽略极端值

中位数对少数极端值不敏感，我们说它具有抗极端值性，或称它是较稳健的统计量。平均数没有这种稳健性，标准差也没有。

但“稳健”绝不是“看见异常值就删掉”。一个特别高的收入可能是真实的管理层收入；一次 $150$ 分的考试成绩可能是录入错误，因为满分只有 $100$；医院里异常高的指标也可能正是最需要关注的病人。正确顺序是先查原因：

1. 数值是否超出可能范围？
2. 单位是否写错，例如元和万元混在一起？
3. 它是否来自同一个研究总体？
4. 如果数值真实，它对结论有什么影响？

只有确认是记录或测量错误时，才有依据修正。真实但特殊的数据应该保留，并在解释中说明。

偏态分布里，平均数会向长尾方向移动

收入、房价和财富常常右偏：多数数据挤在较低区域，少数很大的值形成长长的右尾。平均数会被这些大值拉向右边，通常高于中位数。

左偏分布则相反。例如一份较容易的考试，大多数学生接近满分，少数低分把左尾拖长，平均数常低于中位数。

“平均数和中位数谁大”能给形状提供线索，但不能单独定案。分布可能有多个峰，也可能由不同人群混合而成。最稳妥的做法仍然是先看图，再比较两个中心。

例题：团队收入该报哪个中心

某团队 7 名成员月收入（千元）为：

求平均数、中位数和众数，并判断哪个值更适合描述普通成员。

中心相同，数据也可能散得完全不同

下面两组考试成绩的平均数都是 $82$ 分：

A 组围在 $82$ 附近，B 组从 $68$ 一直铺到 $96$。只报“平均分都是 82”，会把两组最明显的差别抹掉。我们还需要一个量来描述点离中心有多远，这就是离散程度。

极差：最快看到总跨度

极差等于最大值减最小值：

A 组极差是 $86-78=8$，B 组极差是 $96-68=28$。它计算快、解释直观，很适合第一眼看跨度。

它的弱点也非常明显：只看两个端点。把 B 组中间三个数改得乱七八糟，只要最小值仍是 $68$、最大值仍是 $96$，极差就完全不变。反过来，一个录入错误也足以让极差暴涨。

四分位数把排好队的数据切成四段

四分位数关注位置，不太受最远端数值影响。把数据从小到大排列后：

• $Q_1$ 是第一四分位数，约有 $25\%$ 的数据在它以下。
• $Q_2$ 是第二四分位数，也就是中位数。
• $Q_3$ 是第三四分位数，约有 的数据在它以下。

$Q_1$ 到 $Q_3$ 包住中间约一半数据，这段长度叫四分位距：

IQR 越小，中间一半数据挤得越紧；IQR 越大，中间一半铺得越开。由于它不直接使用两端的具体距离，所以比极差稳健。

一套适合手算的四分位数规则

不同软件对四分位数可能采用略有差异的插值规则，小数据集上结果偶尔会差一点。本教程手算时统一使用下面的方法：

1. 先求整组数据的中位数 $Q_2$。
2. 数据个数为奇数时，把正中间那个数排除，再看左右两半；数据个数为偶数时，直接分成等长两半。
3. 左半边的中位数是 $Q_1$，右半边的中位数是 $Q_3$。

只要在同一道题里始终使用同一规则，解释就不会自相矛盾。实际分析时如果软件结果和手算差一点，先查它采用了哪一种四分位数定义，不要急着判断谁算错了。

分步计算：等待时间的四分位数

某窗口 11 位顾客的等待时间已经排好，单位是分钟：

五数概括：五个位置先搭出骨架

一组数据的五数概括是：

上面等待时间的五数概括为：

这 5 个数压缩了分布的整体跨度、中间位置和中间一半的跨度。它丢失了很多细节，却给箱线图搭好了骨架。

1.5IQR 规则：把“看起来很远”变成可复核的边界

常用的异常值围栏是：

代入等待时间：

$60>45.5$，所以 $60$ 会被标为高端异常值；$45<45.5$，所以 $45$ 仍在围栏内。

箱线图怎么把五数概括画出来

箱线图的结构可以按下面顺序读：

1. 箱子左端或下端是 $Q_1$，右端或上端是 $Q_3$，箱子的长度就是 $IQR$。
2. 箱内的线是中位数。
3. 两条“须”延伸到异常值边界内实际存在的最小值和最大值。
4. 超出须的观测单独画成点，提示可能的异常值。

对等待时间来说，上界是 $45.5$，所以右须停在实际观测值 $45$，不是停在 $45.5$；$60$ 单独画点。下须停在最小观测值 $12$，也不是画到理论下界 $1.5$。

这里有一个常见混淆：五数概括中的最小值和最大值仍然是原始数据的 $12$ 和 $60$；但采用 1.5IQR 规则的箱线图，须端可能不是原始最大值或最小值。只要存在异常点，五数概括的两端和箱须端就要分开说。

下面的工作台可以切换成绩、房价和等待时间。工作台里的“等待时间”预设使用的是另一组数据，专门留给你继续练习，不要和刚才的例题混成同一组；点击数据点时，重点核对它处于箱体、须内还是围栏外。

从箱线图读出形状和离散

箱线图不是一个“装数据的盒子”，每一段都对应大约四分之一的数据。如果 $Q_1$ 到中位数这一段很短，说明那四分之一的数据挤得比较密；某一条须很长，说明那一侧的数据拉得比较开。

如果中位数偏向箱子一端，而且另一侧的箱体和须更长，分布可能向较长的一侧偏斜。单独的远点也能提醒我们查异常值。

不过箱线图看不出所有东西。它不会直接告诉你分布有几个峰，也不会显示同一区间内的数据到底怎样堆积；普通箱线图的箱宽还不能自动代表样本量。比较两个分布时，最好把箱线图和点图、直方图或样本量一起看。

方差和标准差：把所有点到均值的距离算进去

极差只看两端，IQR 主要看中间一半。标准差走的是另一条路：它让每个观测值都参与，并描述数据到平均数的典型偏离大小。

为什么不能直接平均“偏差”

每个观测值与平均数的差叫偏差：

低于平均数的偏差为负，高于平均数的偏差为正。平均数恰好是平衡点，所以所有偏差相加一定等于 $0$：

这就是第一个反直觉处：哪怕数据散得很开，直接把带正负号的偏差平均，结果也永远是 $0$。它无法衡量离散，因为左右两边恰好抵消了。

为什么要平方

统计学采用偏差平方来解决抵消问题：

平方做了两件事。第一，正负偏差都会变成非负数，不再互相抵消。第二，离均值特别远的点会得到更大的权重：偏差从 $2$ 变成 $4$ 时，平方会从 $4$ 变成 $16$。

绝对值也能消除正负号，确实存在“平均绝对偏差”这样的统计量。方差选择平方，不是因为绝对值毫无道理，而是平方在后续的概率模型、代数分解和推断计算中有一整套非常顺手的性质。代价是它对异常值较敏感。

方差为什么还要开平方

偏差本来和原数据单位相同，平方后单位也跟着平方。成绩以“分”为单位，方差就成了“平方分”；身高以厘米为单位，方差就是平方厘米。这个单位不容易直观解释。

所以在方差外再开平方，得到标准差，让单位回到原来的尺度：

标准差可以粗略理解成“观测值离平均数通常有多远”。它不是所有距离的普通平均，也不保证每个点都落在一个标准差以内，但它给出了一个可比较的典型尺度。

总体方差和总体标准差

如果手里是整个总体，共有 $N$ 个值，总体均值、方差和标准差分别写成 $\mu$、$\sigma^2$ 和 $\sigma$：

这里除以 $N$，因为总体里的每个对象都已经被观察到，我们只是在描述它们本身。

样本方差为什么除以 n-1

如果数据只是从更大总体抽出的样本，样本方差和样本标准差写成 $s^2$ 和 $s$：

为什么不是除以 $n$？先抓住两个直觉。

第一，$\bar{x}$ 是用这份样本自己算出来的，它天生比未知的总体均值 $\mu$ 更贴近这批样本。若直接围绕 $\bar{x}$ 计算并除以 $n$，长期来看会把总体的离散程度估得偏小。

第二，一旦前 $n-1$ 个偏差确定，最后一个偏差就被“偏差和必须为 0”强行确定了，真正能自由变化的只有 $n-1$ 个。我们说这时有 $n-1$ 个自由度。除以 $n-1$ 相当于补偿样本均值带来的低估。

分步计算：同样平均分，不同标准差

回到 A、B 两组成绩。我们把它们看成从更大范围抽出的样本，因此使用样本标准差。

标准差不能脱离情境读

标准差的单位与原数据相同：成绩标准差是“分”，等待时间标准差是“分钟”，收入标准差是“万元”。方差的单位则是原单位的平方。

标准差大不自动等于“数据差”，标准差小也不自动等于“数据好”。生产误差的标准差小通常意味着稳定；学生成绩的标准差小，可能是水平接近，也可能只是试题太容易、大家都接近满分。统计量给出结构，评价仍要回到问题。

还有一个常见误区：不能对所有分布都硬套“约多少数据在一个标准差以内”。这个比例取决于分布形状。接近钟形的分布有后面会学到的经验规律，明显偏斜、多峰或有异常值时，先看图比背比例可靠。

z 分数把位置换成“几个标准差”

原始分数常常不能直接跨尺度比较。甲考试平均分 $80$、标准差 $5$，某同学得 $88$；乙考试平均分 $70$、标准差 $10$，另一位同学得 $82$。谁在各自考试中的相对位置更靠前？

z 分数把“高出平均数多少”除以标准差，换成统一尺度。若均值和标准差来自总体：

若是在一份样本中描述某个观测值，也常写成：

甲考试的相对位置是：

乙考试的相对位置是：

所以甲考试中的 $88$ 分位于平均数上方 $1.6$ 个标准差，乙考试中的 $82$ 分位于平均数上方 $1.2$ 个标准差。按各自考试的离散尺度看，前者相对位置更高。

正负号和绝对值各说一件事

• $z>0$：观测值高于平均数。
• $z=0$：观测值正好等于平均数。
• $z<0$：观测值低于平均数。
• $|z|$ 越大：观测值离平均数越远。

如果一个学生的 $z=-1.5$，意思是他的成绩比平均数低 $1.5$ 个标准差，不是“成绩为负”，也不是“答错了 1.5 道题”。z 分数没有原始单位，它描述的是相对位置。

z 分数能做什么，不能做什么

z 分数适合比较不同量表下的相对位置，也能帮助发现离中心很远的观测值。但它不会凭空告诉你百分位数。相同的 $z=2$ 放在钟形分布、右偏分布和双峰分布里，对应的实际稀有程度可能不同。

它还继承了均值和标准差对异常值的敏感性。如果分布强烈偏斜，均值和标准差本身已经被长尾拉动，z 分数的直觉也要谨慎解释。先看分布形状，再谈“这个 z 很不寻常”，会更稳。

该选均值加标准差，还是中位数加 IQR

中心和离散应该成对选择，因为每一对看待数据的方式一致：

这不是死规定。如果你研究的是极端损失，异常值本身就是重点，即使分布右偏也可能必须同时报告平均损失；如果要描述普通家庭的住房成本，中位数和 IQR 通常更贴近主体。

一个完整的报告常会把两套都列出来，再根据问题解释哪一套更有代表性。真正要避免的是只挑一个“看起来最好看”的数字。

同中心，不同离散

前面的 A、B 两组成绩都有平均数 $82$，但样本标准差分别约为 $3.2$ 和 $11.1$。中心相同不代表表现相似；B 组内部差异明显更大。

同中心、同标准差，形状仍可能不同

再看两组以 $80$ 为中心的数据：

两组平均数都为 $80$。相对平均数的偏差平方和也都为 $28$，所以样本标准差完全相同：

可形状明显不同。C 组左右对称、逐级铺开；D 组有 4 个值堆在 $81$，左侧还有一个较远的 $76$。D 组中位数是 $81$，众数也是 $81$，C 组中位数是 $80$ 且没有重复值。

这说明均值和标准差再有用，也只是压缩后的摘要。两个摘要完全相同，原始分布仍可能长得不一样。图形、中心、离散和异常值要互相补充，不能彼此替代。

练一练

练习一：三种中心和异常收入

某小组 8 人年收入（万元）是：

求平均数、中位数、众数。若要描述多数成员的大致收入，你会选哪个？如果把 $65$ 改成 $105$，哪个中心会变，怎么变？

练习二：加权平均数

一门课的平时作业、小测和期末考试权重分别是 $25\%$、$25\%$、$50\%$。某同学三项成绩为 $92$、$80$、$86$。总评是多少？为什么不能直接除以 3？

练习三：四分位数、箱须和异常值

一组配送时长（分钟）为：

按本节分半规则求 $Q_1$、中位数、$Q_3$ 和 $IQR$，再判断 $55$ 是否为高端异常值，并说明上须应停在哪里。

练习四：总体标准差和样本标准差

数据 $2,4,6$ 的平均数是 $4$，偏差平方和是 $8$。若这 3 个数就是整个总体，标准差是多少？若它们只是样本，样本标准差是多少？

练习五：用 z 分数比较相对位置

某次语文考试平均分 $72$、标准差 $8$，小林得 $84$；数学考试平均分 $65$、标准差 $5$，小周得 $75$。谁在各自考试中的相对位置更高？

练习六：选择合适的一对摘要

某城市住房成交价明显右偏，并有少数千万级豪宅。若要描述普通购房者面对的典型价格和中间一半房价的跨度，应该选哪一对统计量？若要估算 1000 套房的总成交金额，又更依赖哪个中心？

练习七：摘要相同就代表分布相同吗

如果两组数据的平均数和标准差都相同，能否断定它们的直方图、众数和异常值情况也相同？

从一个变量走向两个变量

这一节始终在描述一个变量：一组收入、一次考试成绩、一批等待时间。我们用平均数、中位数和众数找中心，用极差、IQR 和标准差看离散，再用 z 分数描述单个观测的相对位置。

下一步自然会出现一个新问题：如果同时记录两个变量，它们会不会一起变化？例如学习时间较长的人，成绩通常是否也较高？温度升高时，冰淇淋销量和水边救援记录为什么都会增加？这时单变量的中心和离散不够了，我们要把两个变量放进散点图，讨论相关方向和强弱，还要警惕一个更容易误导人的跳跃：相关并不等于因果。

上界为：

$55>46$，所以它按规则被标为高端异常值。上须不画到理论边界 $46$，而应停在边界内最大的实际观测值 $34$。

把它们当样本时除以 $n-1=2$：

两个答案不同不是计算矛盾，而是数据身份不同。总体标准差只描述这 3 个值；样本标准差还承担估计更大总体离散程度的任务。

小周的原始分数更低，但他高出本次数学考试平均数 2 个标准差；小林高出语文平均数 1.5 个标准差。因此按各自考试的尺度，小周的相对位置更高。