条件概率：信息会改变概率

上一节我们用计数把样本空间里的结果数清楚，再计算一个事件占了多大比例。条件概率会在这一步上做一个看似很小、实际很关键的改动：新信息出现以后，我们不再看原来的整个样本空间，而只看仍然可能的那一部分。

掷骰子前，“掷出 6”的概率是 $1/6$。如果骰子已经落地，有人告诉你“点数大于 4”，原来六种结果里只剩 5 和 6。现在再问“点数是 6”的概率，答案变成 $1/2$。骰子没有变，6 也没有变，变化的是我们知道的信息，以及随之缩小的观察范围。

概率与统计最反直觉的地方，往往就在这里。检测对患病者很灵敏，不等于阳性者大多患病；两件事不能同时发生，不等于它们互不影响；连续抽取看起来只是把同一个动作做两遍，但不放回时第二次的概率已经变了。本节会把这些容易混在一起的问题拆开，并用频数表、树图和自然频数三种方法反复核对。

条件概率就是缩小样本空间

设 $A$ 是我们关心的事件，$B$ 是已经知道发生的事件。知道 $B$ 以后，落在 $B$ 外面的结果都被排除了；在剩下的 $B$ 中，只有 $A\cap B$ 同时满足我们的目标。因此，只要 $P(B)>0$，就有：

$P(A\mid B)$ 读作“在 $B$ 发生的条件下，$A$ 发生的概率”。竖线右边是条件，也就是已经知道的信息；竖线左边才是要问的结果。

公式里最该盯住的是分母 $P(B)$。无条件概率 $P(A)$ 以整个样本空间为分母；条件概率 $P(A\mid B)$ 以事件 $B$ 为分母。它不是在原概率上随便加一条信息，而是换了一批比较对象。

条件发生以后，条件之外的对象不再进入分母。右侧真正患病者所占的范围，才对应“患病给定阳性”。

一个六面骰子的最小例子

掷一枚公平六面骰子，设：

• $A$：点数是 6；
• $B$：点数大于 4。

原样本空间是 $\{1,2,3,4,5,6\}$。知道 $B$ 发生后，新范围只剩 $\{5,6\}$，其中符合 $A$ 的只有 6，所以：

也可以从定义核对：

于是：

这里有一个很有用的检查：条件发生后，所有仍然可能的结果，其条件概率加起来必须是 1。5 和 6 各占 $1/2$，正好合计为 1。

从二维频数表直接读分母

假设某校调查了 200 名学生是否经常骑车上学，以及是否参加体育社团，结果如下。

如果随机选一名学生，无条件地问“他经常骑车上学吗”，分母是全体 200 人：

如果已经知道他参加体育社团，分母就换成参加社团的 80 人，其中 42 人经常骑车：

反过来问“已知经常骑车，他参加体育社团的概率”，分母又换成经常骑车的 60 人：

两个问题都用到了同一个交叉格 42，但分母一个是 80，一个是 60，所以答案不同。这正是 $P(A\mid B)$ 和 $P(B\mid A)$ 不能随意互换的最直观原因。

乘法公式：一条路径上的概率要相乘

把条件概率定义移项，就得到一般乘法公式：

同一个交集也可以换一种先后顺序：

这两个式子没有说 $A$ 一定先在时间上发生。它们表达的是两种计算路线：先走到 $B$，再从 $B$ 中走到 $A$；或者先走到 $A$，再从 $A$ 中走到 $B$。无论从哪一边进入，最后落到的都是 $A\cap B$。

例题：两次不放回抽球

袋中有 5 个红球、3 个蓝球和 2 个橙球，共 10 个球。连续抽两次，每次随机抽 1 个，第一次抽出的球不放回。求两次都是蓝球的概率。

如果第一次抽完放回，第二次的蓝球比例仍是 $3/10$，两次都蓝的概率会变成：

不放回时答案是 $1/15\approx 0.0667$，放回时答案是 $0.09$。差别不是计算技巧造成的，而是抽样机制变了：不放回会改变袋中组成，放回则让每一次面对相同的概率。

多步路径的链式乘法

如果要同时发生三个事件，思路不变：

继续扩展到更多步，就是“第一步概率 × 已知前面都发生后的第二步概率 × 已知前面都发生后的第三步概率……”。树图上的一条完整路径，正是这条规则的图形版本。

医学检测：为什么 95% 不是你以为的 95%

现在回到最容易让人产生错觉的例子。

某病在人群中的患病率是 $1\%$。一种检测的敏感度是 $95\%$，特异度也是 $95\%$。某人检测为阳性，他真正患病的概率是多少？

很多人第一反应是 $95\%$。这个回答很自然，却答错了方向。

• 敏感度 $95\%$ 表示 $P(\text{阳性}\mid\text{患病})=0.95$：在已经患病的人中，检测能找出多少。
• 题目问的是 $P(\text{患病}\mid\text{阳性})$：在已经测出阳性的人中，真正患病的有多少。

这两个条件概率共享“患病且阳性”这批人，但观察范围完全不同。一个以患病者为分母，一个以阳性者为分母。

先把四种检测结果说清楚

敏感度关心患病者这一行：

特异度关心未患病者这一行：

而阳性预测值关心阳性这一列：

所以，敏感度和特异度描述的是“已知真实状态，检测表现如何”；阳性预测值描述的是“已知检测结果，真实状态如何”。它们回答的不是同一个问题。

方法一：自然频数，把百分比变成人数

概率一旦绕口，最稳妥的办法常常不是继续盯着小数，而是假想检查 10000 人。

结果确实反直觉：一项敏感度和特异度都达到 $95\%$ 的检测，阳性预测值却只有约 $16.1\%$。原因不在检测失灵，而在基础率很低。未患病者有 9900 人，人数太多；即使只误伤其中 $5\%$，也会产生 495 个假阳性，远多于 95 个真阳性。

方法二：用频数表锁定行和列

同样的 10000 人可以整理成二维表：

从表里读敏感度，要固定“患病”这一行：

读特异度，要固定“未患病”这一行：

读阳性预测值，要改看“检测阳性”这一列：

频数表特别适合防止方向读反。看到条件，就找到对应的行或列；那个合计数就是分母。

方法三：用树图看见路径

把随机抽到的人先分为“患病”和“未患病”，再分别分出阳性与阴性。树上的两条阳性路径是：

两条阳性路径汇合，所以阳性的总概率是：

现在只在阳性路径里看“患病且阳性”占多少：

三种方法得到同一个答案。自然频数最容易建立直觉，频数表最方便查分母，树图最适合展示先分组、后观察结果的多阶段过程。它们不是三套互不相关的技巧，而是同一个概率结构的三种画法。

拖动上面的患病率、敏感度和特异度，可以观察阳性预测值怎样变化。尤其可以试试保持检测性能不变，只提高患病率：同一个阳性结果在高风险人群中通常更可信，因为真阳性路径在阳性人群里的占比提高了。

阳性不等于确诊，阴性也不等于绝对安全

在这个例子中，阳性把患病概率从 $1\%$ 提高到约 $16.1\%$，足足提高了十多倍。它当然提供了重要信息，只是还不足以单独当作确诊。现实判断往往会结合症状、风险因素和复检结果。

同理，阴性预测值回答的是 $P(\text{未患病}\mid\text{阴性})$，它也不是特异度。用表中的数据可得：

这里阴性结果非常令人安心，主要也是因为这种病本来就少见。换到患病率更高的人群，即使检测性能不变，阳性预测值和阴性预测值都会改变。

全概率：把所有可能来源加起来

一个结果常常可以从多条互不重叠的路径到达。医学检测中的阳性，既可能来自患病者，也可能来自未患病者；下午下雨，既可能发生在多云的早晨之后，也可能发生在晴朗的早晨之后。

如果 $B_1,B_2,\ldots,B_n$ 互不重叠，而且合起来覆盖整个样本空间，那么任何事件 $A$ 都可以按这些来源拆开：

只有两种来源 $B$ 和 $B^c$ 时，公式会变得很直观：

先沿每条路径相乘，算出各来源与目标事件同时发生的概率；再把通往目标事件的路径相加。这就是全概率公式。

例题：早晨天气与下午下雨

某地早晨多云的概率是 $60\%$，早晨晴朗的概率是 $40\%$。多云后下午下雨的概率是 $65\%$，晴朗后下午下雨的概率是 $20\%$。求下午下雨的总概率。

这类题里，“多云后下雨的 $65\%$”只是某一段分支；“多云且下雨的 $39\%$”才是一条完整路径；“下午下雨的 $47\%$”则是所有下雨路径的总和。三个数各自回答不同的问题。

贝叶斯公式：看到结果后反推来源

全概率从“来源”走向“结果”；贝叶斯公式把问题转回来：已经看到结果 $A$，它最可能来自哪一条 $B_i$ 路径？

对于来源 $B_j$，有：

这个长公式可以压缩成一句话：用某条解释路径的概率，除以所有解释路径的总概率。

分子 $P(A\mid B_j)P(B_j)$ 是“来源 $B_j$ 且观察到 ”的联合概率；分母就是 ，由全概率公式算出。

把天气问题反过来

沿用刚才的天气数据。现在已经知道下午下雨，求早晨多云的概率。

我们已经算出：

所以：

下午下雨这一证据把“早晨多云”的概率从先验的 $60\%$ 推到了约 $83.0\%$。原因并不神秘：多云路径比晴朗路径更容易产生下雨，看到雨以后，多云这条解释在所有解释中的占比自然上升。

贝叶斯更新的四步检查

独立：知道一件事，不改变另一件事的概率

如果知道 $B$ 发生以后，$A$ 的概率完全没变，就说 $A$ 与 $B$ 独立：

当相关概率为正时，下面几个判断彼此等价：

也就是说，独立是对称的。$B$ 没有改变 $A$，那么 $A$ 也不会改变 $B$。实际验算时只要选一条最方便的等式即可。

例题：用乘法判断是否独立

某活动中，随机选一名参与者。设 $A$ 表示“报名摄影”，$B$ 表示“报名写作”。已知：

如果独立，应满足：

它恰好等于 $P(A\cap B)$，所以在这组数据下，报名摄影和报名写作是独立事件。

注意，独立不表示两件事之间在语言上毫无关系，也不要求它们不能同时发生。这里恰恰有 $12\%$ 的人同时报名两项。独立只是在说：知道一个报名结果，不会改变另一个报名结果的概率。

独立时的乘法规则

一般乘法公式是：

如果 $A$ 与 $B$ 独立，条件概率 $P(B\mid A)$ 就等于 $P(B)$，于是简化为：

对相互独立的多个事件，也可以继续相乘：

例如公平硬币连续抛 5 次，每次结果互不影响，连续 5 次正面的概率是：

但别把“连续 5 次正面很少见”误读成“下一次更该出现反面”。已经发生的前 5 次不会改变第 6 次，下一次正面和反面仍各有 $1/2$。把长期平衡误套到下一次试验上，就是常见的赌徒谬误。

互斥与独立：最容易混淆的一对概念

这两个词都在描述事件之间的关系，但问的根本不是同一件事。

• 互斥问的是：两件事能不能同时发生？如果不能，就有 $A\cap B=\varnothing$，从而 $P(A\cap B)=0$。
• 独立问的是：知道一件事发生后，另一件事的概率有没有改变？

掷一次骰子，设 $A$ 为“点数是 1”，$B$ 为“点数是 2”。它们互斥，因为一次不可能既掷出 1 又掷出 2。

可是它们绝不独立。原来 $P(B)=1/6$；一旦知道 $A$ 已发生，$B$ 就不可能发生：

从 $1/6$ 直接降到 0，说明信息造成了最大的影响之一。

再看独立事件。连续抛两枚公平硬币，$A$ 表示第一枚正面，$B$ 表示第二枚正面。两件事可以同时发生，而且：

所以它们独立。独立事件完全可以同时发生；互斥事件恰恰不能同时发生。用一句话记忆：互斥看交集是否为空，独立看条件是否改概率。

不放回抽样为什么通常不独立

从一个小总体中不放回抽样，每抽走一个对象，剩余总体都会改变。这个改变也许很小，也许大到不能忽略。

还是看 10 个球的袋子。第一次抽到蓝球前，蓝球概率是 $3/10$。如果第一次确实抽走一个蓝球，第二次蓝球概率变成 $2/9$；如果第一次抽走的是橙球，第二次蓝球概率反而变成 $3/9$。第一步结果明确改变了第二步概率，所以两次抽取不独立。

小班点名例子

一个班有 15 名学生，老师要随机点 3 名不同的学生回答问题。你一次都不被点到的概率是多少？

如果老师每次点名后都允许再次点到同一个人，三次抽取相当于放回抽样，每次没点到你的概率都保持 $14/15$：

两个结果很接近，但不是同一个模型。不放回时你最多被点一次；允许重复时你可能一次不被点，也可能被点多次。

什么时候可以近似当作独立

如果总体很大，而抽出的比例很小，不放回造成的比例变化可能微乎其微。统计入门里常用一个经验判断：样本量不超过总体的大约 $10\%$ 时，很多计算可以把不放回抽样近似看作独立。

这只是近似规则，不是突然恢复了严格独立。总体有 100000 人时抽走 1 人，下一次概率的变化通常很小；总体只有 10 人时抽走 1 人，组成变化就很明显。是否能近似，要看抽样比例和问题对误差的敏感程度。

一套不容易乱的解题顺序

条件概率题的符号很多，但解题过程可以稳定在下面几步。

四个常见误区

把条件方向读反

$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 一般不相等。把句子完整读出来，并标出“在谁当中”，比背符号更可靠。

看到“准确率高”就忽略基础率

罕见事件面对庞大的非事件人群时，少量假阳性也可能压过真阳性。先验概率不能省略。

看到连续步骤就直接乘边缘概率

只有独立时才能直接乘 $P(A)P(B)$。一般情形应该乘 $P(A)P(B\mid A)$，不放回抽样尤其要更新第二步。

把互斥当成独立

互斥事件一旦知道一个发生，另一个的概率就变成 0；对于正概率事件，这正好说明它们不独立。

练习

练习一：从频数表读条件概率

某班 50 名学生中，20 人参加志愿服务，其中 14 人喜欢统计；30 人不参加志愿服务，其中 9 人喜欢统计。随机选一名学生，求：

1. $P(\text{喜欢统计}\mid\text{参加志愿服务})$；
2. $P(\text{参加志愿服务}\mid\text{喜欢统计})$。

练习二：一般乘法公式

某网站有 $40\%$ 的访问来自手机端。在手机端访问中，有 $30\%$ 的用户完成注册。随机抽取一次访问，求“来自手机端且完成注册”的概率。

练习三：全概率

某城市工作日堵车的概率是 $0.35$，不堵车的概率是 $0.65$。堵车时一名学生迟到的概率是 $0.50$，不堵车时迟到的概率是 $0.08$。求他当天迟到的总概率。

练习四：贝叶斯反推

接着练习三。如果已经知道这名学生迟到了，求当天堵车的概率。

练习五：医学检测

某病患病率为 $2\%$。检测敏感度为 $90\%$，特异度为 $95\%$。如果某人检测阳性，估计他真正患病的概率。

练习六：判断独立

已知 $P(A)=0.50$，$P(B)=0.20$，$P(A\cap B)=0.08$。判断 $A$ 与 是否独立。

练习七：互斥还是独立

从一副标准扑克牌中随机抽 1 张。设 $A$ 为“抽到红桃”，$B$ 为“抽到黑桃”。判断两事件是否互斥、是否独立。

练习八：不放回抽样

袋中有 4 个白球和 6 个黑球。不放回连续抽 3 个球，求三个都是白球的概率。

从事件走向随机变量

这一节一直在追踪“患病或未患病”“阳性或阴性”“下雨或不下雨”这样的事件。条件概率让我们知道：信息出现后，事件的概率怎样更新；独立性让我们知道：什么时候新信息不会改变概率；不放回抽样则提醒我们：重复动作不一定是独立重复。

下一节会把这些结果进一步翻译成数字。例如把阳性记为 1、阴性记为 0，把三次抽样中的成功次数记成 $X$。一旦随机结果被映射成数值，我们就能讨论随机变量的分布、期望和方差。这里学到的独立性与乘法规则，也会成为判断伯努利试验和二项分布是否适用的前提。

对每个来源计算它产生该证据的路径概率，即“来源概率 × 该来源下证据出现的条件概率”。

两个概率使用同一个交叉人数 14，但条件不同，分母分别是 20 和 23。

已知迟到后，当天堵车的概率约为 $77.1\%$。

阳性后的患病概率约为 $26.9\%$。敏感度 $90\%$ 不是这道题的直接答案，因为它的条件方向相反。

它与 $P(B)=0.20$ 不同，同样说明知道 $A$ 后，$B$ 的概率发生了变化。

交集概率不等于边缘概率的乘积，因此它们不独立。知道抽到了红桃后，抽到黑桃的条件概率变成 0。

不能写成 $(4/10)^3$，因为题目是不放回抽样，三次抽取不独立。