匀变速直线运动规律

先让一段“越来越快”的运动把你难住

把一辆装着速度传感器的小车放在水平导轨上。开始几秒，它的读数依次是 2 m/s、5 m/s、8 m/s、11 m/s；与此同时，它在每一个 1 s 内前进的距离也越来越大。你可能会说：“它当然越跑越快。”可这句话还没有告诉我们两件真正有用的事：下一秒速度会是多少？从开始到某一时刻，它到底走了多远？

如果只盯着某个瞬间的速度，位移的变化就会被遮住；如果只测总位移，又看不出速度怎样改变。于是，把每一时刻的速度按时间排开，就成了一个很自然的选择。上面的读数每秒都增加 3 m/s，变化并不杂乱，像是有一条稳定的“速度增加规则”在背后工作。

先把滑块拖一拖，看看同样的一条斜线为什么既能告诉我们“速度怎样变”，又能告诉我们“位移有多少”。

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从一条斜线，长出三条运动规律

先把“匀变速”说准确

沿同一直线运动，并且加速度保持不变，这样的运动叫匀变速直线运动。注意，关键词是“加速度不变”，不是“速度均匀变大”。速度可以变大、变小，甚至先减到零再反向；只要在研究的那一段里加速度这个矢量恒定，模型就仍然成立。

设开始时的速度为 $v_0$，经过时间 $t$ 后速度为 $v$，加速度为 $a$。加速度本来就是单位时间内速度的变化量，所以有

这不是一条凭空要背的式子：它只是把“每过相同时间，速度增加相同的量”压缩成了符号。放到 $v-t$ 图像上，直线的斜率正是 $\Delta v/\Delta t$，也就是加速度。

再看位移。极短的一小段时间里，小车的位移近似等于“这小段的速度乘以时间”；把许多小段加起来，$v-t$ 图像下方的带符号面积就是位移。匀变速时图像是直线，面积恰好由一个矩形和一个三角形组成：

这里的 $x$ 是位移，不是默认取正的路程。最后把 $t$ 从前两式中消去，就得到不含时间的关系：

从静止出发时，比例为什么会突然变整齐

当 $v_0=0$、加速度在全过程中恒定且不为零时，$v=at$，所以末速度与时间成正比，即 $v\propto t$；又有 $x=\frac12at^2$，所以从起点到第 $n$ 个等时段末的总位移与 $n^2$ 成正比。把相邻总位移相减，第 $1$、第 $2$、第 $3$ 个连续等时段内的位移便成 $1:3:5$，后面依次是 $7:9:\cdots$。

这组比例不是“只要匀变速就能用”的快捷标签。它要求从静止出发、从启动时刻开始划分连续且等长的时间段，并且加速度在这些时间段内恒定且不为零；若物体本来已有初速度，或从运动中途才开始计时，比例就不能直接照搬。

下面把“从静止开始”和“中途才开始计时”放到同一张数据表里比较。先切换条件，再判断哪些比例还能保留；这样比把 $1:3:5$ 当成孤立结论更不容易误用。

为什么“面积”不会只是一个画图技巧

先把速度暂时看成在很短的 $\Delta t$ 内不变。此时小车的位移近似是 $v\Delta t$，这正是 $v-t$ 图像下一条窄长方形的面积。把全过程切成很多很窄的小段并相加，近似会越来越好；于是，图像下的面积就把每一小段位移累加成了总位移。它不是因为“图上碰巧像面积”才有用，而是速度乘时间本来就在描述位移。

匀变速时，这个累加还能直接看成几何图形：底边为 $t$、高为 $v_0$ 的矩形给出 $v_0t$；底边为 $t$、高为 $v-v_0=at$ 的三角形给出 $\frac12at^2$。若图线的一部分在时间轴下方，那一部分的面积对应负位移。这样处理，图像和代数式说的是同一件事，只是一个更直观，一个更便于计算。

你可能会担心：四个公式摆在一起，题目一变就不知道从哪里下手。其实先数一数本过程里哪些量已知、哪个量要找；选择一个不含多余未知量的式子，往往比硬记“哪类题用哪条公式”可靠得多。

把四个量放回同一段过程里

例如，小车以 $4\ \mathrm{m/s}$ 向右通过某标记点，随后在 $4\ \mathrm{s}$ 内保持 $1.5\ \mathrm{m/s^2}$ 的向右加速度。不要一上来就把所有式子都写一遍。先把“从通过标记点到四秒后”框成同一段过程：$v_0=4\ \mathrm{m/s}$、$a=1.5\ \mathrm{m/s^2}$、$t=4\ \mathrm{s}$ 已知，要求末速度和位移。

如果小车在这四秒中改成了先加速、后匀速，或者加速度从正变负，上面的三步就不能把整段当作一个匀变速过程。公式本身没有“看出变化”的本领，过程边界必须由我们先根据题意画出来。

图像不是插图，而是一套可计算的语言

对 $v-t$ 图像来说，斜率给加速度，图线与时间轴围成的面积给位移。图线在时间轴上方，速度为正；在下方，速度为负。若图线从时间轴一侧穿到另一侧，速度由正变负或由负变正，物体必在这一刻调头；若图线只是与时间轴相切或有一段与轴重合，不能单凭图形断定是否换向，还要看两侧速度的正负。面积也要连同正负一起算，不能把轴下的面积不加判断地当作正位移。

而在 $x-t$ 图像里，图线某处切线的斜率才表示这一时刻的速度。匀变速运动的 $x-t$ 图像通常是一条曲线：速度逐渐增大时，它会越走越陡；速度逐渐减小时，它会越来越平。把 $x-t$ 图像误当成直线，或把 $v-t$ 图像的纵坐标当成位移，都是把两种语言混在了一起。

如果画 $a-t$ 图像，匀变速直线运动会对应一条平行于时间轴的直线。它的纵坐标就是恒定的加速度；图像下的带符号面积为 $at$，恰好等于速度变化量 $\Delta v$。三个图像各有分工：$x-t$ 看位置如何变化，$v-t$ 看速度如何变化并计算位移，$a-t$ 看加速度是否保持恒定并计算速度变化量。读图前先问“纵轴是谁”，能避开很多误判。

关键点：先定方向，公式才会开口说话

在直线运动中，先任意规定一个正方向。例如取向右为正，那么向右的速度、位移和加速度取正，向左的取负。方向一旦规定，整个过程都不随意改。这样一来，“加速”这个日常词就要小心：$a>0$ 只说明加速度指向正方向，并不自动说明速率变大；速率是否变大，要看速度和加速度是否同向。

“停下”也不能替你自动改写模型：只有题意明确物体刹停后保持静止，或制动力在停止时终止，才把后面改为 $v=0、a=0$ 的静止阶段；若题意仍给定恒定的负加速度，速度可以穿过零而反向，仍应按这一定加速度的模型判断。

再补一条细小但关键的边界：式中的 $t$ 是这一段过程经历的时间，$x$ 是从这一段开始位置算起的位移。若题目问“第 $3\ \mathrm{s}$ 内”的位移，它不是把 $t=3\ \mathrm{s}$ 直接塞进位移公式，而应算前 $3\ \mathrm{s}$ 的位移减去前 $2\ \mathrm{s}$ 的位移。把“前几秒”和“第几秒”区分开，许多看似奇怪的负号或数值才会变得合理。

还有一个容易藏在 $v^2-v_0^2=2ax$ 里的陷阱：平方会暂时抹掉速度的正负。算出 $v^2$ 后，$v$ 取正还是取负，要回到实际运动方向判断；在加速度全程恒定时，物体即使穿过零速度而调头，也仍可在同一正方向下用一套带符号的量描述。

现在先别往下看，自己想一想：取向右为正，一辆小车开始时 $v_0=-4\ \mathrm{m/s}$，加速度 $a=+2\ \mathrm{m/s^2}$。经过 $1\ \mathrm{s}$、$2\ \mathrm{s}$、$3\ \mathrm{s}$，它分别朝哪边运动？它在什么时候停下？

再补一个小问题：某车在一段直路上刹车，已知刹车开始时速度为正、加速度为负。若你算得 $v^2=16\ \mathrm{m^2/s^2}$，能立刻写 $v=+4\ \mathrm{m/s}$ 吗？先想想这句话少了什么条件。

两个“中点”看着像，实际上不是同一个位置

一段匀变速直线运动的平均速度为

因为速度随时间均匀变化，整个过程的平均速度恰好等于中间时刻的瞬时速度。这里的“中间”是时间的一半，不是路程的一半。

这里的平均速度仍是“位移除以时间”，带方向。若物体先向右又向左，平均速度可能很小甚至为零，并不代表它没有运动；它走过的总长度应另用路程描述。为了把中点关系说得清楚，本节后面的比较默认研究的是不掉头的一段运动。

换句话说，平均速度回答“最终位置相对起点怎样变化”，平均速率才回答“实际跑得有多快”。名称只差一个字，研究对象却不同；看到题目问的是位移、路程还是速度，先把这层意思分开。

若物体在全过程内不掉头，讨论速度大小时，走到位移中点的速度满足

它通常不等于中间时刻速度。只要全过程同向且确有速度变化，位移中点速度大小会大于时间中点速度大小；这可看成“均方根不小于算术平均”的具体表现。对同向匀加速，前半时间走得较少，抵达位移中点要晚于时间中点；对同向匀减速，前半时间走得较多，抵达位移中点早于时间中点，但两种情况下该处的速度大小都大于平均速度。只有匀速时两者才相等。要是中途停下再反向，“全程位移的一半”可能落在一个完全不同的运动阶段，直接套这个式子就不稳妥了。

让纸带替小车留下“速度在变”的证据

肉眼很难盯准某一个瞬间，小车却能在纸带上留下按相等时间间隔排列的点。若相等时间内的位移相等，小车做匀速直线运动；若这些位移依次增大或减小，并且相邻位移之差近似相等，就支持它在做匀变速直线运动。

设相邻计数点的时间间隔为 $T$，相邻两个时间段内的位移分别为 $x_1、x_2$。在匀变速条件下：

为了少受某一段测量误差影响，常取多组相隔相同的位移差后求平均。也可以先用纸带相邻点两侧的一小段位移估算该点的瞬时速度，例如位置为 $X_{n-1}$、$X_n$、$X_{n+1}$ 的连续计数点满足

再作 $v-t$ 图像，用最佳拟合直线的斜率求加速度。两种方法都在问同一件事：速度是否随时间按稳定的规律变化。

这里的“中间点速度”并不是把相邻两个速度随便取平均。它利用的是一个前提：在 $n$ 点前后各取同样长的时间窗，匀变速运动在这整个对称时间窗内的平均速度，正好等于 $n$ 点的瞬时速度。若两侧时间间隔不相等，或纸带对应的运动并不接近匀变速，这个近似就要重新审视。

操作顺序也不是仪器说明书里的小细节。通常应先让计时器开始工作，再释放小车；否则纸带刚开始运动的一段可能没有可靠的时间标记。纸带、细绳与木板应尽量平行，是为了不让额外的侧向摩擦把本来应当平稳变化的运动搅乱。小车的加速度也不宜过小：点距挤得太密时，刻度尺读数的相对误差会被放大；但加速度过大又可能使可用纸带太短。实验不是为了凑出“完全相等”的差值，而是用一串可复查的数据判断模型是否合适。

若题意明确某一时刻加速度改变，前后就不属于同一匀变速过程，应以改变处为边界分别判断；完整的多过程处理会在第 5 章展开。

公布答案：把判断过程放回复习现场

刚才那辆小车的速度依次是 $-2\ \mathrm{m/s}$、$0$、$+2\ \mathrm{m/s}$。所以它在前 $1\ \mathrm{s}$ 仍向左运动但速率变小，$2\ \mathrm{s}$ 时停下，第三秒末已向右运动。你可能原先会把“$a>0$”直接翻译成“越跑越快”；注意，这正是个陷阱：速度为负而加速度为正时，前一段其实在减速。

放到高考复习中，这一章的给分点往往不在公式记得多不多，而在过程是否交代完整：先规定正方向；把 $v_0、v、a、x$ 都按同一方向写成带符号的量；确认加速度在所列时间内确实恒定；加速度改变时要另分段，题意明确停下后保持静止时才另列静止阶段。图像题还要写清“斜率对应什么、面积对应什么”，纸带实验则要写出计数点间隔和单位。把路程当位移、把时间中点当位移中点、把停止后的时间不分条件地仍塞进减速公式，都会使后续计算失去依据。

上面第二个小问题的答案也在这里：仅由 $v^2=16\ \mathrm{m^2/s^2}$ 只能得到 $v=\pm4\ \mathrm{m/s}$。刹车还没有停下时，车仍沿原正方向运动，应取正根；若题干明确它已经停下后又在相反方向进入新的匀加速阶段，才可能取负根。高考解答中若只写平方根的数值而不核对方向，往往会把一个本该由物理情境决定的分支漏掉。

下一章会专门处理自由落体和竖直上抛。它们仍然常可看作匀变速直线运动，但重力加速度的方向、上升与下降的分段，以及“落到哪里”的实际条件，会让刚才这些判断变得更具体。

课后练习

5. 取向东为正。一辆电动小车 $v_0=6\ \mathrm{m/s}$、$a=-1.5\ \mathrm{m/s^2}$，求 $2\ \mathrm{s}$ 内的位移和末速度，并说明它此时是否已经调头。

6. 某物体从 $v_0=2\ \mathrm{m/s}$ 匀加速到 $v=10\ \mathrm{m/s}$，历时 $4\ \mathrm{s}$。求平均速度和位移，并写出中间时刻的瞬时速度。

7. 一个做同向匀加速直线运动的物体，初、末速度分别为 $4\ \mathrm{m/s}$ 和 $10\ \mathrm{m/s}$。求位移中点的速度大小，并与时间中点速度比较。

8. 纸带相邻计数点时间间隔为 $0.10\ \mathrm{s}$，连续三个时间段内的位移为 $2.0\ \mathrm{cm}$、$2.6\ \mathrm{cm}$、$3.2\ \mathrm{cm}$。判断运动性质，并求加速度大小。

9. 实验中实际交流电频率略高于计算时采用的频率，纸带上相邻两点的真实时间间隔比计算时取值更小。若仍使用较大的计算时间间隔求 $a=\Delta x/T^2$，加速度测量值偏大还是偏小？

10. 物体从静止出发，连续三个等长时间段内加速度恒定且不为零。有人直接写出三个时间段内的位移比为 $1:3:5$。这个结论需要哪些条件？若从运动开始后第 $2\ \mathrm{s}$ 才把时间重新计为零，还能直接写这个比例吗？

11. 取向右为正，物体 $v_0=-2\ \mathrm{m/s}$、$a=+1\ \mathrm{m/s^2}$。求它在前 $3\ \mathrm{s}$ 的位移，并说明这 $3\ \mathrm{s}$ 内的路程是否等于位移大小。