自由落体与竖直运动

把一枚硬币和一张摊开的纸同时从窗边松手，纸通常慢悠悠地飘，硬币却很快落地。于是很容易冒出一个念头：重的东西是不是天生落得更快？可把纸揉成团再试，结果又会变。真正左右这件事的，到底是质量，还是别的因素？这一章不急着背公式，先把这份“看起来很像常识”的困惑拆开。

一、制造困境：为什么纸片和硬币不像在做同一种运动？

如果两样物体都从静止开始下落，纸片与硬币的差别并不说明“重力只偏爱重物”。纸片面积大，空气很容易托住它；硬币面积小，受到的空气阻力相对不显眼。把纸片揉紧后，空气阻力的影响减弱，它就会落得快得多。

这给我们一个很重要的做法：先把不想研究的干扰暂时按下去。设想空气阻力远小于重力，或者在真空环境里释放物体，不同物体的下落就呈现出同一种越来越快的规律。物理并不是假装现实里没有空气，而是先抓住主要因素，再判断这个简化在什么条件下可用。

二、引出概念：先把“自由”说准确

自由落体运动指物体从静止开始、只在重力作用下竖直下落的运动。它有两个缺一不可的条件：初速度为零；除重力以外的作用可以忽略。石块从手中静止释放，通常可近似这样处理；飘落的羽毛则不行。一个物体虽然由静止开始下落，但若绳子还拉着它、气流推着它，也不能叫自由落体。

在同一地点的近地面，物体做自由落体运动的加速度近似相同，称为重力加速度，记作 $g$。它的方向竖直向下，常取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$；题目明确要求估算时也常取 $10\ \mathrm{m/s^2}$。单位读作“米每二次方秒”，意思是速度每经过 $1\ \mathrm{s}$ 就沿向下方向增加约 $9.8\ \mathrm{m/s}$。

你可能会问：没有人能肉眼追着一个很快的落体量速度，伽利略怎么研究它？他把陡直下落换成沿斜面滚下，让“越来越快”的过程放慢，便于比较等时刻的位置；再用实验事实和理想推理把规律推回竖直下落。这里值得学的不是复述故事，而是这个思路：测不准的快过程，可以先研究规律相同而变化较慢的过程。

当我们取竖直向下为正方向，且物体由静止释放时，自由落体就是初速度为零、加速度为 $g$ 的匀加速直线运动。因此前一章的规律可以直接落到这里：

$$v=gt,\qquad h=\frac12gt^2,\qquad v^2=2gh$$

其中 $t$ 是从释放到所研究时刻的时间，$h$ 是向下的位移大小，$v$ 是该时刻向下的速度大小。三条式子不是三件孤立的工具：前两条分别告诉你“速度怎样长”“位置怎样变”，消去时间便得到第三条。

若题目问“下落多高后速度达到某值”，时间往往不是已知量，这时 $v^2=2gh$ 最省事；若给出了下落时间，就优先从 $v=gt$ 或 $h=\frac12gt^2$ 出发。可别把“选择方便的式子”误会成“可以不看条件”：这三式都默认从静止释放、阻力可忽略，并且 指从释放点到该时刻的竖直位移。比如一枚球先落地又反弹，反弹后的路程不能仍然塞进第一次自由下落的 里。

在速度—时间图像中，自由落体的 $v-t$ 图像是一条过原点的直线，斜率为 $g$；直线下方的面积对应位移。这个图像把“加速度恒定”看得很直观：每过相等的时间，速度增加相等的量；但位置的变化却越来越大，所以位置—时间图像不是直线。看图时要先问横纵坐标各是谁，再谈斜率和面积，不能把两种图像的读法混用。

三、标出关键点：公式会算，方向也不能丢

自由落体的轨迹是一条竖直直线，速度方向和加速度方向都向下；但“向下”不是自动等于负号。正负号由你选的坐标正方向决定。若仍取向下为正，自由落体可写为 $v=gt$、$y=\frac12gt^2$；若取向上为正，则同一运动写成 $$、。物理过程没有变，变的是记录它的坐标语言。

从静止下落还有两个好用的结果。第一，连续相等时间内的位移比是 $1:3:5:\cdots$；第二，相邻两个连续相等时间间隔内，后一个间隔位移与前一个间隔位移之差恒为 $gT^2$。这是匀加速直线运动中 $\Delta x=aT^2$、此处 的结论。它们来自 ，不是另一套需要死记的新定律。读频闪照片或打点记录时，这两条常能让你少列许多式子。

例如一段记录显示小球在相邻相等时间内通过的距离依次约为 $2\ \mathrm{cm}$、$6\ \mathrm{cm}$、$10\ \mathrm{cm}$，先别急着用“距离越来越大”判断。它们的差都约为 $4\ \mathrm{cm}$，正符合匀加速直线运动中相等时间位移增量相等的特征；若它又从静止开始且阻力确实可忽略，才可以进一步把它看成自由落体。规律能帮你识别模型，但不能替你把模型条件补齐。

把球竖直向上抛出，就不能再说它全程是自由落体：它起初有向上的初速度。可在空气阻力忽略时，它离手后仍只受重力，加速度始终竖直向下。因此取竖直向上为正，整段空中运动都可用同一组式子描述：

$$v=v_0-gt,\qquad y=v_0t-\frac12gt^2$$

这里 $v_0>0$。速度减到零时到达最高点，故 $t_{\text{顶}}=v_0/g$，。到达最高点不是“重力消失了”，而是速度恰好变为零；下一瞬间重力仍让它获得向下的速度。

竖直向下抛出也不需要另背一套公式。若仍取向上为正，它的初速度 $v_0<0$，加速度 $a=-g$，照样代入一般式 $v=v_0+at$、 即可。所谓“上抛”“下抛”只是初速度方向不同，重力加速度从未掉头。

从同一高度出发又回到同一高度的竖直上抛，有一组特别清楚的对称关系：上升时间等于下降时间，回到原高度时速度大小等于初速度大小、方向相反。由 $y=v_0t-\frac12gt^2=0$ 可得 或 ；前一个解是刚抛出，后一个才是返回时刻。这里的“同一高度”四个字不能省略。若球从阳台抛出后落到更低的地面，下降路程更长，落地时间当然不会恰好等于上升时间。

四、先停一下：这几个判断你会不会被符号带偏？

现在先不急着往下看答案。假设一球从原点竖直上抛，取向上为正，忽略空气阻力。

1. 回到抛出点时，速度是 $0$ 吗？
2. 若某时刻 $v<0$，能否直接断定 $y<0$？
3. 为什么从同一高度上升到最高点的时间，等于从最高点下降回该高度的时间？
4. 球已经碰到地面以后，还能把 $y=v_0t-\frac12gt^2$ 一直代下去吗？

五、公布答案并复盘：把一个过程读成两张“状态表”

第1问不对。回到原点时位移 $y=0$，但球正在向下运动，速度为 $-v_0$；位移为零不等于速度为零。第2问也不对。$v<0$ 只说明此刻向下运动，球完全可能还在原点上方，例如它刚越过最高点。第3问来自同一加速度下的运动对称：同一高度处上、下两次速度大小相等、方向相反，最高点速度为零，两个相邻过程的时间相等。第4问尤其要小心：落地前球只受重力，落地瞬间地面对球的作用会使运动规律改变，原来的空中方程只能用到接触地面的那一刻。

还有一个常被忽略的词是“同一地点”。$g$ 随地点会有很小差别，近地面题目通常把它视为常量；同一道题里若没有额外说明，就不要一会儿用 $9.8$、一会儿用 $10$。单位也要守住：把厘米换成米、把毫秒换成秒之后再代入。由于 $h$ 与 $t^2$ 成正比，时间单位漏换一千倍，位移会错到一百万倍，算式再整齐也救不回来。

这类题在高考复习中最容易失分的地方，不是公式不够，而是把速度符号、位移符号和运动方向混成一件事。建议每次列式前先写一行状态：正方向是什么？研究到哪一时刻？该时刻是否已经落地？接着再让数值进入公式。

如果题目没有明确要求分段，优先用统一的正方向写全程方程，往往比把“上升”“下降”强行拆开更不容易漏条件；如果题目明确给出碰地、接球、停住等事件，就必须在事件处截断前一段方程。高考计算题中，写清坐标原点、正方向和已知位置，既能让后续符号有据可查，也能避免把高度、位移和路程混成一个量。算出多个时刻时，应逐个代回题意检查：时间是否为正，物体是否仍在空中，位置是否符合场景。

例题：从平台上抛出的球何时落地？

某球从距地面 $20\ \mathrm{m}$ 的平台边缘以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的初速度竖直向上抛出，取向上为正，$g=10\ \mathrm{m/s^2}$。求球从抛出到落地所用时间，并说明另一根的含义。

六、埋个钩子：落体只是在“单向加速”的起点

你现在已经能把竖直运动看成一条带方向的时间线：由静止释放是初速度为零的特例，向上抛和向下抛只是初速度符号不同；最高点、回到原点和碰地则是必须分别判断的事件。下一章研究追及、相遇和多过程运动时，仍然靠这套本领：先分清每一段的运动状态，再在连接时刻把位置和速度接起来。

章节练习

1

下列运动可近似看作自由落体运动的是？

A.树叶由静止飘落B.雨滴在强风中下落C.小石块从静止释放后下落，空气阻力可忽略D.降落伞从静止开始下降

2

物体从静止开始自由下落，取g=10 m/s²，2 s末的速度大小为？

A.5 m/sB.10 m/sC.20 m/sD.40 m/s

3

关于同一地点近地面的自由落体运动，下列说法正确的是？

A.不同质量物体的g相同B.初速度为零就一定是自由落体C.连续相等时间内速度变化量相同D.取向上为正时，加速度应写为−g

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练习 1：反应时间尺

一把直尺从静止松开，某同学在直尺下落 $45\ \mathrm{cm}$ 时抓住它。取 $g=10\ \mathrm{m/s^2}$，估算其反应时间。

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把直尺看作自由下落，$h=\frac12gt^2$。代入 $h=0.45\ \mathrm{m}$，得 $0.45=5{}^{}$，所以 。这里的读数是下落位移，不是抓住时的速度。

练习 2：等时位移

一物体从静止自由下落，在第 $1\ \mathrm{s}$、第 $2\ \mathrm{s}$、第 $3\ \mathrm{s}$ 内通过的位移之比是多少？

显示答案

分别用总位移相减：$\frac12g(1^2-0^2)$、$\frac12g(2^2-1^2)$、，比为 。不要把“第2秒内”误读成“前2秒内”。

练习 3：最高点

小球以 $20\ \mathrm{m/s}$ 的初速度竖直上抛，取向上为正，$g=10\ \mathrm{m/s^2}$。求达到最高点的时间和相对抛出点的最大高度。

显示答案

最高点 $v=0$，由 $0=20-10t$ 得 $t=2\ \mathrm{s}$。再由 $y=20t-5t^2$ 得 ，也可用 。

练习 4：同一高度的两次经过

球竖直上抛后，在抛出点上方某处两次经过。两次速度、两次加速度以及从该处到最高点的时间是否相同？

显示答案

两次速度大小相同、方向相反；两次加速度都竖直向下，完全相同；从该处上升到最高点的时间，等于从最高点下降回该处的时间。这里比较的是同一高度，且全过程忽略阻力。

练习 5：向下抛的统一处理

从原点把球以 $6\ \mathrm{m/s}$ 的速度竖直向下抛出，取向上为正，$g=10\ \mathrm{m/s^2}$。写出速度与位移表达式。

显示答案

初速度 $v_0=-6\ \mathrm{m/s}$，加速度 $a=-10\ \mathrm{m/s^2}$。因此 $v=$，。负号只说明方向向下，并不代表“速度大小为负”。

练习 6：落地边界

一球从离地 $5\ \mathrm{m}$ 高处由静止释放。为什么不能在球已经撞地后，仍用 $h=\frac12gt^2$ 计算它的位置？

显示答案

该公式描述的是球在空中只受重力、从静止开始的阶段。接触地面后出现支持力和碰撞过程，球可能停止、反弹或形变，受力和加速度都已改变，必须以接触时刻为边界停止使用原方程。

练习 7：符号与位置

竖直上抛中取向上为正。某时刻 $v=-4\ \mathrm{m/s}$、$y=+3\ \mathrm{m}$，描述该球的运动状态。

显示答案

$v<0$ 表示球正向下运动；$y>0$ 表示球仍在抛出点上方。因此它已越过最高点，正在下降但尚未低于抛出点。速度符号与位置符号分别回答两个不同问题。

本章小结

自由落体是“从静止开始、只受重力”的理想模型；同一地点近地面可取加速度为 $g$。选择正方向后，匀变速直线运动公式就能统一处理自由下落、竖直上抛和竖直下抛。真正要守住的不是公式数量，而是条件、方向、时间范围和落地边界。这一步最关键。