动力学图像、临界与极值

前一章已经把牛顿运动定律搭成了桥：知道合力，就能追到加速度；知道加速度和初始状态，就能追到运动。可一到图像、临界和“最大最小”，很多人会突然觉得桥断了——线条怎么会告诉我受力？一句“恰好”又为什么能决定整个过程？

这一章只讨论单个物体或关系很简单的两个物体。我们要把四类图像读成同一种语言，并学会在静摩擦、弹簧、接触和轻绳的边界处停下来检查。复杂连接体、传送带和滑块—木板的多阶段模型，留到下一章专门处理。

本章所有图像都先约定正方向。图线在横轴上方不自动等于“速度变大”，它只表示相应物理量为正；到底在变快还是变慢，要把速度和加速度的方向放在一起判断。

第一步：先让你卡住——车还向前，合力为什么能向后？

想象一辆推车正沿走廊向右滑行。你松开手后，它仍在向右走，可越走越慢。若只盯着“它正在向右运动”，你很容易说合力也向右；可这样一来，车应该越走越快，和眼前的现象正好相反。

真正决定合力方向的不是速度，而是速度改变的方向。推车向右但变慢，说明速度的正值在减小；如果取向右为正，那么加速度为负，合力也应向左。这正是动力学图像最常见、也最值得先拧正的直觉：

\vec F_{\text{合}}=m\vec a

质量为正，因此合力和加速度总是同向；速度却可以和它们同向，也可以反向。刹车时，速度向前、合力向后；物体向下抛出后上升的一段，速度向上、重力和加速度向下。运动方向与受力方向并不要求一致。

一辆向右滑行但速度逐渐减小的小车，配合速度方向、加速度方向和合力方向箭头，说明合力不必与速度同向

先给自己一个小小的停顿：如果某物体的速度为负、加速度也为负，它是在变慢吗？先别急着用“负”判断。速度和加速度同向，速度的绝对值正在增大；所以它是在沿负方向加速。方向符号只是我们约定的坐标语言，不能替你省掉物理判断。

第二步：图像为什么能把受力和运动连起来

传感器每隔很短时间记录一次推车的合力、加速度、速度和位置，就能得到 $F-t$ 、 $a-t$ 、 $v-t$ 、 $x-t$ 图像。它们并不是四份互不相干的“画线题”，而是同一段运动的四种记录方式。

对质量不变的物体，合力和加速度只差一个固定倍数：

a=\frac{F_{\text{合}}}{m}

所以 $F-t$ 图像的每一段形状，会按纵轴比例缩放成 $a-t$ 图像。接着，加速度描述“每秒速度改多少”，于是 $a-t$ 图像与时间轴围出的有向面积就是速度的改变量：

\Delta v=\int a\,\mathrm dt

速度又描述“每秒位置改多少”，因此 $v-t$ 图像与时间轴围出的有向面积就是位移：

\Delta x=\int v\,\mathrm dt

这里的“有向面积”很重要。图线在时间轴上方记正、下方记负；它给的是位移而不是路程。只有速度始终不变号时，面积的绝对值才等于路程。

举一个能一口气串起四张图的例子。质量为 $2\,\mathrm{kg}$ 的小车，初速度为 $1\,\mathrm{m/s}$ ，先在 $0\sim3\,\mathrm{s}$ 内受向右合力 $4\,\mathrm N$ ，再在 $3\sim7\,\mathrm{s}$ 内受向左合力 $2\,\mathrm N$ 。取向右为正：前一段 $a=2\,\mathrm{m/s^2}$ ，后一段 $a=-1\,\mathrm{m/s^2}$ ；速度先由 $1\,\mathrm{m/s}$ 增至 $7\,\mathrm{m/s}$ ，再降至 $3\,\mathrm{m/s}$ 。两段的位移分别是 $12\,\mathrm m$ 和 $20\,\mathrm m$ 。你看到的每一个数，都能从前一张图“传”到后一张图。

以同一辆小车为对象并列展示合力—时间、加速度—时间、速度—时间和位置—时间图像，标出斜率与面积的传递关系

下面的联动图把这种传递关系摆在眼前。先改变一种运动状态，再观察四张图到底是谁改变了谁。

第三步：把关键点圈出来——斜率、面积和图像的语法

图像真正难的地方，不是记住四个名字，而是每次都先问：纵轴是谁？横轴是谁？这条线的斜率和面积在这个坐标里有没有物理意义？ 同一条倾斜直线，放在不同坐标中，意思完全不同。

图像	先读什么	可以直接得到什么	容易踩的坑
$F-t$	合力的正负、突变和分段	对质量不变物体， $F/m$ 给出加速度；合力图的面积等于冲量 $m\Delta v$	题图若画的是某一个力而非合力，不能直接把它当加速度
$a-t$	加速度的方向和大小	面积给 $\Delta v$ ；图线过零或变号往往提示速度极值的候选时刻	$a=0$ 只说明速度暂时不变，不等于 $v=0$
$v-t$	速度正负、斜率和与轴围成的面积	斜率给 $a$ ，面积给位移	在轴下方仍可能“加速”，要看 $v$ 与 $a$ 是否同向
$x-t$	斜率的正负和陡缓	斜率给速度；切线水平表示该时刻 $v=0$	$x-t$ 图像下凹或上凹不能脱离坐标和连续性机械套结论

把 $x-t$ 图像再讲细一点。图线向上倾，表示 $v>0$ ；向下倾，表示 $v<0$ ；越陡，速度的绝对值越大。若图线先越来越陡再越来越缓，速度可能先增大后减小；若要严谨判断加速度方向，应看斜率如何变化，而不是只凭图形“弯向哪里”的视觉印象。

“合力为零”与“物体静止”不是同一句话。 $F_{\text{合}}=0$ 只能推出 $a=0$ ，物体既可能静止，也可能做匀速直线运动。把静止当成唯一结果，会把牛顿第一定律悄悄改错。

还有一个小细节常被忽略：状态切换时，速度通常不能凭空跳变。比如外力突然撤去、静摩擦转为滑动摩擦时，受力和加速度可以突变，但若没有碰撞或冲量很大的短时作用，速度图像应连续。弹簧的形变量也不能在一瞬间跳变；在胡克定律适用范围内，弹簧力会随形变量连续变化。轻绳拉力、支持力和摩擦力却可能在约束改变时突变。

先自己读两张不带文字提示的图，再让反馈告诉你是哪个量把你带偏了。

从一张图走到下一张图，要补上初始条件

图像之间有关联，并不表示看见一张就能无条件画出其余三张。已知 $a-t$ 图像，只能由面积得到速度的变化量；要画出完整的 $v-t$ 图像，还得知道初速度。已知 $v-t$ 图像，只能由面积得到位置的变化量；要画出完整的 $x-t$ 图像，还得知道初位置。就像你知道今天走了几步，却不知道自己从哪栋楼出发，仍无法在地图上标出终点。

同样地， $F-t$ 图像只有在纵轴表示合力且质量保持不变时，才能直接按 $a=F_{\text{合}}/m$ 转成 $a-t$ 图像。若图上画的是拉力、摩擦力或重力中的某一个，先要把同一方向上的其他力合进去。比如水平面上向右拉木块，拉力恒为 $6\,\mathrm N$ ，摩擦力恒为 $2\,\mathrm N$ ，那么合力是 $4\,\mathrm N$ ，不是 $6\,\mathrm N$ ；把拉力图直接当成加速度图，等于把摩擦力从现实中抹掉。

你还可以用三个问题给图像“翻译”：

此刻朝哪边动？ 看 $v$ 的正负；在 $x-t$ 图像中看斜率正负。
此刻是变快还是变慢？ 比较 $v$ 和 $a$ 的方向：同向则速率增大，反向则速率减小。
接下来会怎样？ 看 $a$ 的大小和方向；在 $v-t$ 图像中就是看斜率，在 $F-t$ 图像中还要先除以质量。

例如，某段 $v-t$ 图像是一条从 $(0,4)$ 连到 $(4,-4)$ 的直线。斜率是 $-2\,\mathrm{m/s^2}$ ，所以加速度和合力都沿负方向； $t=2\,\mathrm s$ 时速度为零，物体不是“没加速度了”，而是正在改变运动方向。 $0\sim2\,\mathrm s$ 的位移为 $4\,\mathrm m$ ， $2\sim4\,\mathrm s$ 的位移为 $-4\,\mathrm m$ ，总位移为零，但总路程是 $8\,\mathrm m$ 。一条直线里同时藏着方向、加速度、位移和路程四层信息，必须逐层读，不能只抓住“最后回来了”。

第四步：把“恰好”拆开想——临界点到底在等什么

“刚好不滑”“恰好离开”“绳子刚好松掉”“速度最大”听起来像四类题，其实它们都在做同一件事：某个原来必须满足的不等式，走到了边界。不要急着背一句临界条件，先问清楚哪个相互作用还能不能存在。

1. 静摩擦：它会配合，但不是无限配合

水平面上的木块受到逐渐增大的拉力。尚未滑动时，静摩擦力会反向抵消拉力，使合力可以仍为零。它的大小不是一个固定公式，而是在允许范围内“需要多少给多少”：

0\leq f_{\mathrm s}\leq f_{\mathrm{s,max}}

拉力继续增大，直到 $f_{\mathrm s}=f_{\mathrm{s,max}}$ ，这才是刚要相对滑动的临界点。再想让它保持相对静止，摩擦力就得超过自己的上限，做不到；之后应改用滑动摩擦力模型。若题目给出 $f_{\mathrm{s,max}}=\mu_sN$ ，也要注意 $N$ 是该时刻的支持力，不一定总等于 $mg$ 。

水平木块受到逐渐增大的拉力，静摩擦力大小同步增加直到最大静摩擦力，之后进入滑动状态的示意图

2. 弹簧：先分清“形变量还在不在”

弹簧的弹力来自形变。在弹性限度内，大小满足 $F_\text{弹}=kx$ ，其中 $x$ 是相对原长的伸长或压缩量，而不是弹簧的总长度。若弹簧被压着一个物体但两者没有固定，压缩量减小到零时，弹簧对物体的作用力也恰好为零；它不能隔着空气继续“推”。若物体和弹簧相连，瞬间剪断别的绳子时，弹簧形变量来不及改变，弹簧力在该瞬间仍由原来的 $x$ 决定。

竖直弹簧悬挂或顶住小物体，标出原长、形变量和弹力方向，强调弹力由形变决定

你可能会这样想：“弹簧力等于重力时，是不是弹簧到了极限？”不是。那只说明该时刻弹簧力和重力平衡，或在竖直方向上恰好使加速度为零；弹簧是否到达材料允许的形变量，要看另一个条件。物理题里的“临界”必须跟题目问的约束对应，不能见到两个力相等就自动宣布临界。

3. 接触与脱离：支持力不能变成负数

把小球放在托盘上，取竖直向上为正。只要小球仍贴着托盘，就有

N-mg=ma

若计算得到 $N>0$ ，接触假设可以成立； $N=0$ 是刚好脱离的边界；若算出 $N<0$ ，不是“托盘给了小球向下的拉力”，而是原先的接触假设失效了。小球已经离开托盘，随后应删去 $N$ ，只按实际存在的力重新分析。

小球随托盘竖直运动，支持力逐渐减小到零后小球离开托盘的过程示意图

4. 轻绳：能拉，不能推

一根轻且不可伸长的绳子绷紧时，才能把两端物体的运动联系起来；绳的拉力只能满足 $T\geq0$ 。当计算恰好得到 $T=0$ ，绳子处于刚要松弛的临界状态；若按“绷紧”算出 $T<0$ ，那意味着你在要求绳子去推物体，这不可能。正确做法是让绳松弛，撤去绳的约束，各物体按照各自受力继续运动。

两物体由轻绳连接，左侧绷紧有拉力、右侧松弛拉力为零的对比图

5. 极值：先找候选点，再和端点比

若研究速度的最大或最小，连续变化的一段中要盯住加速度由正变负、或由负变正的位置； $a=0$ 是重要候选条件，但还要看前后符号。若研究位置的最远、最高或最低，应盯住 $v=0$ 且速度变号的位置。分段运动还多两个不能漏的候选点：每一段的端点和状态刚切换的时刻。有时加速度会在切换点从正跳到负，虽然那个瞬间未必存在一个平滑的 $a=0$ ，速度仍可能在那里取极大值。

用分段速度图标出端点、加速度变号点和速度为零点，提示寻找速度与位置极值的候选点

分段时别怕麻烦：每一段都先问“谁还在作用”

临界题之所以看起来步骤多，是因为过程的规则真的变了。最稳妥的做法不是试图一条方程管到底，而是给每一段贴上清楚的标签。例如“仍接触、静摩擦、绳绷紧”是一套约束；“脱离、滑动、绳松弛”已经是另一套约束。标签一换，受力图、牛顿第二定律和物体之间的运动关系都可能要重写。

可以把常见边界整理成下面四句“能不能”的问题：

看到的现象	先问什么	边界条件	越过边界后
两物体会不会相对滑动	静摩擦够不够维持共同状态	$f_s=f_{\mathrm{s,max}}$	改为滑动摩擦，并重新求加速度
小球会不会离开面或托盘	面还能不能推住它	$N=0$	删去支持力，物体独立运动
绳会不会松	绳是否仍需拉住物体	$T=0$	删去拉力，绳长约束失效
某量会不会取最大或最小	变化趋势是否掉头	变号点与各段端点	比较所有候选状态的数值

注意，表中的等号只出现在“刚好”的那一瞬。临界前，静摩擦可能小于最大值，支持力和拉力通常大于零；临界后，模型不应继续沿用。如果你先算出一个临界参数，再要讨论它略大或略小时的运动，就要重新检查摩擦方向、接触状态或绳是否绷紧。物理过程不是在等号两边自动复制的。

再看弹簧的一个容易绕晕的瞬间。竖直轻弹簧下端连着小球，小球下方另有一根竖直细线系在固定处，将小球暂时向下牵住；系统静止时，弹簧有确定的伸长量 $x_0$ ，因而弹簧拉力为 $kx_0$ 。若突然剪断这根细线，细线的拉力会立即消失；但弹簧长度在这个瞬间还没来得及改变，所以弹簧拉力仍是原来的 $kx_0$ ，不能凭空改成另一个数。于是剪断“刚后”要用原来的弹簧形变量重新画受力图，再由合力求加速度。这里不是说所有力都连续，而是要按力的来源判断：形变连续的弹簧力通常连续；约束突然撤去时的绳力或支持力可以突变。

最后给极值补一条保险。若某量由公式写成分段函数，除了在每一段内部找变化趋势的转折点，还必须把每段的起点和终点代入。比如物体先加速后受反向恒力减速，最大速度可能出现在撤力的一刻、反向力开始的一刻，或速度斜率改变的一刻；若只在某一段内机械地令 $a=0$ ，恰好会漏掉这种“折角上的最大值”。图像把这些候选时刻标得很直观：看端点、看拐点、看穿过横轴的位置，再回到受力条件核对。

还有一个很实用的自检办法：算完某段加速度后，反过来问它与假设是否相容。假设“物体与斜面保持相对静止”，就检查所需静摩擦力有没有超过上限；假设“物体仍在托盘上”，就检查支持力是否非负；假设“轻绳仍绷紧”，就检查拉力是否非负。三项都通过，原先的过程可以继续；任意一项不通过，答案不是把结果修成正数，而是把该时刻当作真正的分段点。这种用结果回头检验假设的习惯，能把许多看似突然的转折提前看见。

现在停下来想一想：一个物体在水平面上被拉着向右加速，随后拉力减小。什么时候才算“刚要滑动”？什么时候又可能出现最大速度？你会发现，它们不是靠同一条式子判断：前者检查静摩擦是否达到上限，后者检查合力是否使加速度变号。把“边界是哪一个”说清，题目就不再像一团乱线。

第五步：公布答案——把图像、临界和极值放回复习视角

上面的小问题的答案是：先画受力图、定正方向，再写出每个阶段真正存在的力；临界不是额外添加的公式，而是把某个边界条件代入方程。高考中最常见的失分，并非算不出 $ma$ ，而是把一个已经失效的约束硬留在式子里：脱离后仍写支持力、绳松后仍把两物体当作同加速度、滑动后还把摩擦力写成“等于外力”。

可以把这一类题压缩成一张执行清单：

先给研究对象选正方向，并把过程按“受力或约束是否改变”分段。图像的拐点、外力撤去、达到最大静摩擦力、支持力为零和绳拉力为零，都是需要检查的分界信号。

每一段都重新画受力图，只保留真实存在的力。接触时 $N\geq0$ ，绷紧时 $T\geq0$ ，相对静止时 $f_s\leq f_{\mathrm{s,max}}$ ；这些不等式先写出来，比最后补救可靠得多。

用 $F_{\text{合}}=ma$ 把受力变成加速度，再用图像的斜率、面积或运动学关系连接速度和位移。不要把“物体正在向右”直接翻译成“合力向右”。

遇到最大、最小、至少、至多或恰好，先列候选状态：临界点、变号点和各段端点。代入边界条件求出候选值后，再比较并检验原先假设是否仍成立。

临界计算得到负支持力或负拉力时，不能只把数值取绝对值交卷。负号是在提醒你：接触或绳约束已经不存在，必须换模型。这个“换模型”的理由本身，就是过程题中很关键的得分点。

再复盘两个最容易写反的结论。第一， $v-t$ 图像的斜率是加速度，图像和时间轴所围面积是位移；第二，静摩擦力的大小由维持相对静止的需要决定，最大静摩擦力只是上限。前者错在把“斜率”和“面积”对调，后者错在把“上限”当“恒等式”。它们都不是粗心的小错，而是没有把图像与受力条件放回同一个过程。

第六步：把钩子埋到下一章——约束一多，为什么必须分角色？

现在你已经能在单物体或简单两物体里识别边界：静摩擦不能无限增大，支持力和绳拉力不能为负，极值要检查变号和端点。下一章会把这些规则放进更复杂的场景：两个物体连接、传送带带着物块、滑块在木板上相对运动。那时不仅受力会分段，两个物体的速度和加速度也可能不再相同；我们需要学会什么时候用整体法，什么时候必须把每个物体拆开。

课后练习

取向右为正。一物体的 v-t 图像在某段时间内位于时间轴上方且斜率为负。关于这段运动，正确的是？

对质量保持不变的物体，下列关于图像的说法正确的是？

物体所受合力为零时，物体一定静止。

质量为 2 kg 的物体受到 6 N 的合力，其加速度大小为 ____ m/s²。

质量为 $1\,\mathrm{kg}$ 的物体从静止开始， $0\sim2\,\mathrm{s}$ 内所受合力为 $4\,\mathrm N$ ， $2\sim5\,\mathrm{s}$ 内所受合力为 $-2\,\mathrm N$ 。求 $5\,\mathrm{s}$ 末的速度和这 $5\,\mathrm{s}$ 内的位移。

前两秒 $a_1=4\,\mathrm{m/s^2}$ ，所以 $v_2=8\,\mathrm{m/s}$ ，位移 $x_1=\tfrac12a_1t_1^2=8\,\mathrm m$ 。后三秒 $a_2=-2\,\mathrm{m/s^2}$ ，末速度 $v_5=8-2\times3=2\,\mathrm{m/s}$ ；位移为平均速度乘时间： $x_2=\tfrac{8+2}{2}\times3=15\,\mathrm m$ 。总位移为 $23\,\mathrm m$ 。速度始终为正，故路程也为 $23\,\mathrm m$ 。

水平桌面上的木块初始静止，向右拉力 $F$ 从零开始缓慢增大，最大静摩擦力为 $5\,\mathrm N$ 。当 $F$ 分别增至 $2\,\mathrm N$ 、 $5\,\mathrm N$ 、 $6\,\mathrm N$ 时，摩擦力分别取多大？第三种情形还应继续按静摩擦力处理吗？

前两种情形中，静摩擦力分别为 $2\,\mathrm N$ 、 $5\,\mathrm N$ ，方向都向左； $F=5\,\mathrm N$ 是刚要滑动的临界。 $F=6\,\mathrm N$ 时，维持静止需要 $6\,\mathrm N$ 的静摩擦力，超过上限，因此木块会滑动，不能再按静摩擦力求解。题目没有给出滑动摩擦力或动摩擦因数，故这一时刻滑动摩擦力的数值不能由已知条件确定。

托盘以大小为 $6\,\mathrm{m/s^2}$ 的加速度竖直向下运动，托盘上的小物块与托盘保持接触。取竖直向上为正， $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ 。求物块所受支持力与重力的比值，并判断是否脱离。

一个小球与托盘接触的假设下计算得支持力 $N=-0.3mg$ 。请说明这不是一个可接受的物理解，并写出下一步应怎样处理。

两个小球由轻绳相连。按“绳始终绷紧”的方程求出 $T=-1\,\mathrm N$ 。这说明了什么？此后两球的加速度还必须相同吗？

某物体的 $a-t$ 图像在 $t_0$ 前为正、在 $t_0$ 后为负，且速度连续。 $t_0$ 时速度一定最大吗？还需要检查什么？

在给定时间范围 $0\leq t\leq T$ 内，某物体的 $v-t$ 图像从正值线性下降，在 $t_0$ 时刻穿过时间轴后继续向下。判断它离出发点最远的时刻，应比较哪些候选时刻？若问速度大小最大，又应怎样判断？

速度由正变负的 $t_0$ 是位置的极大值候选点，因为此前位置增加、此后位置减小；但“离出发点最远”问的是 $|x-x_0|$ 。因此必须比较 $t=0$ 、 $t=t_0$ 和 $t=T$ 三处的 $|x-x_0|$ ，其中位移可由相应 $v-t$ 图像的有向面积求得，不能只选 $v=0$ 。若问速度大小最大，则比较区间端点的 $|v(0)|$ 和 $|v(T)|$ ； $t_0$ 处速度为零，不可能是最大速度大小。

一段分段运动中，外力在 $t_1$ 突然撤去，物体未发生碰撞。说明 $t_1$ 前后速度图像和加速度图像各自可能有什么特点，并解释原因。