追及相遇与多过程运动 | 自在学

第5章　追及相遇与多过程运动

两辆车、两位跑者或两列列车，只要出现在同一条直线上，就很容易让人把问题想成一句话：“后面的能不能追上？”但真正让人卡住的，往往不是公式不够，而是把“什么时候一样快”和“什么时候在同一个位置”混成了一件事。本章只使用前两章的直线运动学，把这两件事彻底分开。

一、制造困境：明明已经一样快，为什么还没有追上？

绿灯亮起，一辆电动车从路口由静止启动；恰好一辆自行车以稳定速度从它身边经过。过一会儿，电动车的速度追到了和自行车一样快。你可能会脱口而出：“那它们并排了吧？”

先别急。速度相同只说明这一瞬间两者的位置变化得一样快；它们先前拉开的那段距离，并不会因为速度相同而自动消失。就像两个人站在相距十米的跑道上，同时以同样的速度跑，间距会保持十米，并不会变成零。

同向追及：后方较快的车辆逐步缩短初始间距。

追及、相遇研究的是两个物体在同一条时间线上如何占据位置。相遇的判据只有一个：在同一时刻到达同一位置。速度相同只是判断间距是否可能出现最大值或最小值的重要信号，不能替代相遇判据。

下面的模拟器把“先拉开、再追近”的过程放到一条路上。先让后方物体的初速度小一些，再逐步提高它的加速度，观察“速度相等时”与“位置重合时”到底是不是同一刻。

二、引出概念：先把两份运动放到同一张“时间账本”里

追及题最朴素的做法不是马上套式子，而是先约定三件事：选同一个参考系、定一条正方向、让两个物体从同一个起算时刻开始记时。之后分别写出它们的位置 $x_A(t)$ 、 $x_B(t)$ 。一旦

$x_A(t)=x_B(t)$

同一时刻同一位置就出现了，这就是相遇。

1. 同向追及：把“初始间距”放进位移关系

设 $A$ 在后、 $B$ 在前，向前为正，开始时两者相距 $d$ 。如果从各自的起点计算位移为 $s_A$ 、 $s_B$ ，相遇时后者恰好多走了这段起始距离：

$s_A=s_B+d$

这句关系比死记模板可靠。你只要在纸上画两个起点：后车到相遇点的路程，等于前车到相遇点的路程再加上中间那段空档。

如果更喜欢坐标法，也可以把后车起点定为 $x=0$ ，前车起点定为 $x=d$ 。此时后车写 $x_A(t)$ ，前车写 $x_B(t)$ ，最后直接令。两种写法实际上说的是同一件事：一种把起始间距写在等式右边，另一种把它藏在前车的初位置里。不要两边各写一次，那会凭空多出一段并不存在的路。

2. 相向相遇：两段路程合起来填满原有间距

若两物体从相距 $L$ 的两端彼此靠近，且都没有掉头，那么相遇前两者走过的路程之和正好等于 $L$ ：

$s_A+s_B=L$

相向运动时，两物体的路程之和等于起始间距。

这里的 $s$ 是路程大小，适合两者始终朝着彼此运动的情形；一旦题目出现掉头、反向或选定坐标方向，直接写位置方程 $x_A=x_B$ 更稳妥。注意，这是个陷阱：不能因为题目里有“两物体”就把位移一律相加。先看它们在靠近，还是在同向前进。

3. 把间距当作一个会变化的量

同向运动时，先把 $B$ 相对 $A$ 的有向位置差记为：

$D(t)=x_B(t)-x_A(t)$

在 $B$ 尚在 $A$ 前方、尚未被超越的阶段， $D>0$ ，它恰好等于两车的实际间距；首次相遇时 $D=0$ 。若两车已经前后易位， $D$ 会变成负数，实际间距应写成 $|x_B-x_A|$ ，不能把负的当作负距离。

有向位置差变化的快慢由速度差决定，可记为：

$v_D=v_B-v_A$

不需要把它当成新公式去背，只要读懂意思： $v_B>v_A$ ，有向位置差在增大； $v_B<v_A$ ，有向位置差在减小；，有向位置差在这一瞬间既不增也不减。在尚未超越的阶段，若速度差在此刻变号，它才对应实际间距的极大或极小处。

有时把后车相对前车的速度理解为 $v_A-v_B$ 会更直观：它为正，说明后车正在“吃掉”间距；它为零，说明这一刻吃不掉也拉不开；它为负，说明间距反而在扩大。这里不是换一套运动规律，而是把两份运动合成一份“间距的运动”。无论用哪种叙述，最后仍要回到位置关系确认是否真的相遇。

真正动笔时，可以按一个固定顺序走。第一步画草图，标清谁在前、谁在后、初始间距从哪里量；第二步统一计时并给每个物体写运动规律；第三步根据问题选择条件——问相遇就令位置相等，问最大或最小间距就先找速度相等的候选时刻；第四步把算出的时刻放回原图检查。这个顺序看起来慢，实际上能防住最常见的“方程列得很快、物理图景却画反了”的错误。

单位也值得在这里停一下。若速度单位是 $\text{km/h}$ 而加速度使用 $\text{m/s}^2$ ，先统一单位再代入；时间的单位决定了位移单位。计算完后看一眼结果的正负：负的“相遇时间”通常表示它发生在约定起算时刻之前，而不是未来真的需要等待负几秒。

三、标关键点/易错点：图像把“速度”和“位置”分家

1. 速度相等是转折点，不是会面通知

设启动的汽车做匀加速运动，自行车在前方做匀速运动。汽车一开始更慢，间距先增大；汽车后来更快，间距才开始减小。因此两车速度相等的时刻，恰好是间距最大的时刻。反过来，若后车原本更快、后来减速到与前车一样快，这一刻可能是最小间距，也可能正好擦着追上。

两条速度—时间图线相交只表示速度相等；是否相遇还要比较面积。

“速度相等”回答的是间距还会不会继续变大或变小；“位置相等”回答的是有没有相遇。先问清题目要的是极值、相遇时刻，还是能否避免碰撞，才知道该用哪一个条件。

2. 用 $v-t$ 图像记账：面积管位移，交点管速度

在速度—时间图像中，某条图线与时间轴之间的有向面积，表示该物体这段时间的位移。两条图线相交，读到的是同一时刻速度相等；两块面积相差多少，读到的是两者位移相差多少。若开始时有初始间距，还必须把它一并补入，不能只盯着两块面积“碰巧一样”。

读图时还要留心面积的正负。图线在时间轴上方，速度取正，面积对应正向位移；图线在轴下方，速度取负，面积应当作为负向位移参加相加。把所有面积都当作几何图形的正面积，会在掉头问题里悄悄改掉运动方向。若题目只给折线图，不给具体函数，也可以按三角形、梯形和矩形逐段算位移，再把每段累计起来。

速度—时间图像下的有向面积代表位移，两物体面积差对应位移差。

人工审查：在约 390 px 的极窄视口下，部分右侧控件文字可能被裁切；桌面端已通过渲染检查。

3. 用 $x-t$ 图像看相遇：交点才是同一位置

位置—时间图像里的每一个点都写着“这个时刻在哪里”。因此两条 $x-t$ 图线的交点，同时满足时间相同、位置相同，就是相遇。两条直线平行，表示位置差恒定；曲线与直线相切，表示在该点位置相同且斜率也相同。在相对位置在该点取极值、并且这个极值恰好为零的常见模型中，这种图像才表示“刚好相遇而不越过”的临界情形；不能只要看到相切，就一概断定为这种临界相遇。

别把 $x-t$ 图线的陡峭程度误读成加速度大小。它的斜率表示速度：斜率为正表示向正方向运动，斜率为负表示向反方向运动；图线弯曲的方式才反映速度在变。这样一来， $x-t$ 图像擅长回答“在哪里相遇”， $v-t$ 图像擅长回答“何时同速、位移相差多少”。两张图描述的是同一运动的不同侧面，不能把其中一个的读法搬到另一个上面。

4. 多过程运动：每一段算清楚，再把上一段的末态交给下一段

实际车辆并不总是从头到尾按同一规律运动：先反应一会儿保持原速，随后刹车，速度降到零后停在原地；或者先从静止加速，达到限速后匀速行驶。处理它们的诀窍是画一条时间线，给每一段单独编号。

启动、匀速、刹车构成分段运动；每段的末速度和累计位移必须衔接。

每段内部用自己的运动学规律，段与段之间只交接两样东西：末速度和累计位置。例如刹车段的终止时刻是

$t_{\text{停}}=\frac{v_0}{a}\quad(a\text{取减速度大小})$

停止前的位移是

$s_{\text{停}}=\frac{v_0^2}{2a}$

超过 $t_{\text{停}}$ 后，车不会按 $v=v_0-at$ 算出负速度再“倒着开”；在本题模型中，它应改为 $v=0$ 、位置保持不变。启动题也一样：若题设有最高速度，达到最高速度后应从匀加速切换为匀速。

实际模型里还常有“反应时间”。例如司机发现情况后先以原速度前进 $\tau$ ，再开始刹车。这并不是一道题多了一项麻烦条件，而是很明确地多了一段匀速过程：反应距离是 $v_0\tau$ ，随后才接上刹车距离 $v_0^2/(2a)$ 。把这两段混成一次匀减速，会低估车辆实际前进的距离。

分段题的另一个检查办法是把每个分界时刻写在时间轴上，而不是每一段都从 $t=0$ 重新记。若第二段从总时间 $t_1$ 开始，就可以用该段持续时间 $\Delta t=t-t_1$ 写公式，或者先算出第二段开始时的位置和速度，再继续累计。这样既不会漏算前一段位移，也不会把后段时间多算一遍。

还要检查“物体是否仍在按这段规律运动”。匀减速运动中的速度先减到零，之后的处理取决于题设：可能停车不动，也可能反向运动；两种情形的 $x-t$ 图像完全不同。题目只说“刹车直到停止”时，停止就是这一段的结束，不应擅自接出反向运动。相反，若题目明确写“竖直上抛后下落”或“反向返回”，就必须把方向变化也写成新的阶段。

刹车图像中，三角形面积表示停止前位移；停车后速度应保持为零。

四、抛个小问题：先别看答案，给运动过程画草图

后车在某时刻与前车速度相等，而两车仍相距 $7\ \text{m}$ 。这一刻能否叫“相遇”？若此后两车均做同速直线运动，两车间距会怎样变？
两辆车的 $v-t$ 图像在 $t=3\ \text{s}$ 相交，但从 $0$ 到 $3\ \text{s}$ ，前车图像下的面积比后车大。若开始时前车本来就在前方，时它们相距多远？

五、公布答案并复盘：先找“问的是什么”，再找条件

第1问不能叫相遇，因为位置还不同。此后两车均做同速直线运动，间距就保持 $7\ \text{m}$ 。第2问中，前车的位移还多 $9\ \text{m}$ ，再加初始领先 $4\ \text{m}$ ，所以间距为 $13\ \text{m}$ ；速度图线相交没有把这 $13\ \text{m}$ 抹掉。第3问先分段：前车 $5\ \text{s}$ 后停下，位移为；此时后车走了，还差，再用追上，所以从开始计时共。

还有一种容易让人意外的结果：位置方程可能出现两个有效时刻。想象原本更快的后车在追赶中不断减速，它可能先从后方追到前方，之后又因为变慢被前车重新赶上。方程的两个根分别对应两次位置相同；它们都要落在题设规定的运动阶段内才有物理意义。若其中一个根发生在汽车已经停下以后，不能直接接受，要把停止后的模型换成静止再算。

把这个过程放回复习视角，最常见的失分不是公式不会，而是把速度相等直接当成位置相等，或者让已经停下的车继续按匀减速公式运动。遇到多过程题，答案中的每个时间都要先注明属于哪一段；若解出的相遇时刻落在某段的结束时刻之后，就必须切换到下一段重新判断。

例如，一辆小车从静止以 $1\ \text{m/s}^2$ 加速，另一名骑行者在同一时刻从它身边以 $5\ \text{m/s}$ 匀速向前。小车的位移为 $x_1=\frac12t^2$ ，骑行者的位移为。小车追上时应令位置相等，而不是令速度相等：

先令 $\frac12t^2=5t$ 。除去出发时已经同处的 $t=0$ ，得到再次相遇时。

追及题的自检顺序可以压缩成一句话：同一时钟下写位置，先判有效运动段，再用位置相等找相遇；若问最近或最远距离，才去寻找速度相等的转折时刻。

六、埋个钩子：运动规律从哪里来？

到这里，我们只是在描述“速度怎样变、位置怎样变”，还没有追问它为什么会这样变。下一章将把目光转向重力、弹力和摩擦力：当汽车启动、刹车或牵引时，究竟是什么相互作用让加速度出现，又怎样画出可靠的受力图？

课后练习

同向运动的甲、乙两车在某时刻速度相等，但甲在乙后方 6 m。下列说法正确的是？

在 x-t 图像中，两物体图线的交点表示它们在同一时刻处于同一位置。

一辆车以 20 m/s 的初速度匀减速，减速度大小为 4 m/s²。它从刹车到停止需要 ____ s，停止前位移为 ____ m。

甲、乙相向运动，开始时相距 90 m。3 s 内甲走了 36 m，乙走了 42 m，若两者均未掉头，则它们的关系是？

关于追及问题中的 v-t 图像，下列说法正确的是？

甲车从静止做加速度为 $2\ \text{m/s}^2$ 的匀加速直线运动，乙车在甲前方 $18\ \text{m}$ 处以 $6\ \text{m/s}$ 匀速前进。求两车相距最远时刻、最大间距和甲车追上乙车的时刻。

一辆货车以 $12\ \text{m/s}$ 匀速行驶，警车在同一地点延迟 $2\ \text{s}$ 后由静止以 $3\ \text{m/s}^2$ 匀加速追赶。求警车发动后两车间的最大距离。

两物体的 $x-t$ 图像在 $t=2\ \text{s}$ 和 $t=7\ \text{s}$ 两次相交。说明它们在这两个时刻分别满足什么条件？若两者的位置函数在 $[2\ \text{s},7\ \text{s}]$ 上连续、在其内部可导，且速度始终存在，能否判断两次相遇之间至少有一个时刻两者速度相等？

两次交点都表示同一时刻位置相同，即两次相遇。可以判断至少存在一个速度相等的时刻：令 $f(t)=x_A(t)-x_B(t)$ ，则 $f(2\ \text{s})=f(7\ \text{s})=0$ 。在题设给出的连续、可导且速度存在的条件下，可用罗尔定理得到某个中间时刻满足，也就是。若只知道“连续”而不知道位置函数可导、速度是否存在，就不能作出这个推断；仅凭两个交点也不能读出的具体数值。

前车以 $16\ \text{m/s}$ 的速度开始匀减速，减速度大小为 $4\ \text{m/s}^2$ ；后车以 $8\ \text{m/s}$ 匀速前进，开始时落后 $10\ \text{m}$ 。前车停止后静止不动。求后车追上前车的总时间。

某车依次经历“反应阶段匀速 $1\ \text{s}$ —匀减速刹车至停”的过程，初速度为 $18\ \text{m/s}$ ，刹车减速度大小为 $6\ \text{m/s}^2$ 。求从发现情况到停止的总位移，并说明为什么不能把全过程直接代入同一个匀减速公式。

9 m

9\ \text{m}

27\ \text{m}

第5章 追及相遇与多过程运动