力的合成、分解与共点力平衡

两个人从不同方向拽住同一个行李箱，箱子到底更愿意往哪儿走？一盏吊灯被两根绳子挂住，每根绳究竟承担多少拉力？这类问题表面上是在“算力”，真正困难的地方却是：力有方向，不能像苹果一样只把数字相加。力的合成和分解用于整理同一物体在任意受力状态下的共点力；本章再聚焦于静止或匀速直线运动时，怎样用共点力平衡条件把杂乱的受力关系整理成可计算的图形和式子。

第一步：先让问题卡住——两个力，能不能当作一个力

想象两个孩子分别拉住连接在同一提环上的两根绳子，水桶被稳稳提起；换成一个成年人从提环正上方单独向上提，水桶也能保持同样的状态。你可能会说：“那当然，都是把桶提起来。”可这句话还不够。两个孩子的拉力方向不同，为什么能被一个方向不同的力替代？替代后又该怎样确定这个力的大小和方向？

两个斜向拉力与一个竖直合力具有相同作用效果的示意图

这里先锁定研究对象：是水桶及其提环形成的同一受力系统。几个力若作用在同一点，或它们的作用线相交于一点，就称为共点力。一个力的作用效果与几个共点力共同作用的效果相同，这一个力叫作那几个力的合力；反过来，那几个力是这个力的分力。

合力与分力说的是“等效替代”，不是说物体真的同时多受了一遍力。画受力图时，已经用合力替代了原来的几个力，就不能再把那些分力一并当作实际受力画进去。

先别急着记公式。假如两根绳的拉力都为 $10\ \mathrm N$ ，夹角从 $0°$ 慢慢张到 $180°$ ，合力会一直等于 $20\ \mathrm N$ 吗？你已经感觉到不对劲了：两股同向拉力会合作，反向时却会互相抵消。方向，正是这道题里不能忽略的角色。

还有一个细节值得先想清楚：合力不是“藏在物体里面的第三股力”。它只是把原来几股力对研究对象的共同效果，用一根箭头概括出来。比如吊灯同时受两根绳的拉力和重力；若把两根绳的拉力合成为一根竖直向上的合力，受力图就变简单了，但两根绳并没有因此消失。换回原来的两根绳时，也要把那根合力从图上撤掉。受力图里每根箭头都要能说清谁施加、作用在哪个对象上，这个习惯会替你挡住许多“凭感觉补力”的错误。

第二步：给“合作”画一张图——平行四边形与分解

对两个互成角度的共点力 $F_1$ 、 $F_2$ ，从同一点画出表示它们的有向线段，并以它们为邻边作平行四边形；从共同起点引出的对角线，就表示合力 $F$ 。这就是平行四边形定则。把其中一条边首尾接到另一条边末端，起点连到终点，得到的同一结果又叫三角形法则。

两个分力按平行四边形定则合成为一个合力的示意图

若两力夹角为 $\theta$ ，由图中的余弦关系可得

F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta}。

因此 $|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2$ ：同向时合力最大，反向时合力最小。两力大小固定时，夹角越大，合力越小。这个结论并不是额外背诵项，它就是上式中 $\cos\theta$ 随夹角增大而减小的图形语言。

力的分解是反过来的事：已知一个力，求与它等效的几个分力。这里有个很容易踩到的坑：只知道合力，通常可以画出无数组分力；必须再知道分力的方向、作用效果或其他约束，分解才会确定。实际题目里，先看力“要解决什么效果”，再定分力方向，最后才用平行四边形或三角函数求大小，顺序不要倒过来。

例如，静止在斜面上的物块，重力可以沿斜面和垂直斜面两个方向分解： $G_{\parallel}=G\sin\theta$ ， $G_{\perp}=G\cos\theta$ 。这两个分量帮助我们分别观察“沿面会不会滑”和“压着斜面多紧”，但物块实际受到的仍是一个重力，而不是又多出两股神秘的力。

换一个生活场景会更直观：把行李箱沿坡道向上推时，手的推力若恰好沿坡道，几乎全部用于改变沿坡方向的受力；若你斜着向下压，推力还会产生垂直坡面的分量，接触会更紧。所谓“按效果分解”，不是随意把箭头切成两截，而是先问每个方向上的实际约束和作用效果是什么。确定了两条分力方向后，大小才由几何关系唯一给出。

斜面上物块的重力按沿斜面和垂直斜面方向分解

第三步：把容易混淆的地方亮出来——“分量”不是新受力

注意，这里有三个常见陷阱。

合成只合成同一物体上的力。 甲拉乙、乙拉甲虽然大小相等方向相反，却作用在不同物体上，不能合成。
分解方向由题意决定。 在斜面题里沿斜面、垂直斜面分解很方便；换成两根绳子托住物体，往往应沿绳方向分解。看着顺眼的水平、竖直方向不一定最省事。
正交分解不是把所有箭头画得越多越好。 选两条互相垂直的坐标轴，让尽量多的力正好落在轴上，或让剩下的力容易分解。随后分别处理两个方向： $\sum F_x=0$ 、 $\sum F_y=0$ 。

当三个以上的力一起出现，正交分解尤其可靠。先画研究对象和实际受力；再定坐标轴与正方向；把不在轴上的力投影到两个轴；最后在每个轴上把带正负号的分量相加。若题目已经给出三个力的清楚夹角，直接画力三角形往往更快；若力多、角度杂，正交分解更稳。方法是为图形服务的，不是看到“平衡”就机械套同一种式子。

“共点”也别望文生义成“所有力的箭头起点必须画在同一个小点”。研究一个大小可忽略的物体时，常把力都画在同一点；研究有大小的物体时，只要各力的作用线相交于同一点，或可合理地用这种模型近似，它们仍可按共点力处理。轻绳的拉力沿绳，光滑接触面的支持力垂直接触面，这些方向判断应先完成，再谈合成或分解。若一开始把力的方向画错，后面的三角函数再熟也救不回来。

“静止”不等于“没有力”，而是各力的合力为零；“速度为零”也不保证始终平衡，例如物体恰好停在转向前的一瞬间，还要看随后是否仍能保持静止或匀速直线运动。

第四步：先由你来判断——三根绳到底怎样分担

一个小环被两根轻绳斜向上拉住，下方挂着重物。现在把两根绳逐渐拉得更平一些，而重物和位置都保持不变。你先不要代数：每根绳的竖直分量必须共同托住重物；绳越平，同样大小的拉力能提供的竖直分量越少。那每根绳的拉力该变大还是变小？

再想一个更细的问题：若物体只受三个共点力并保持平衡，把三根力的箭头按大小、方向首尾相接，它们能否刚好围成一个三角形？如果最后一支箭头回不到起点，说明缺了什么？

不妨拿一本书放在倾斜书架上想一想。书静止时，重力、书架的支持力和可能存在的摩擦力共同出现；你若把其中任意两个力先合成，它们的合力一定要恰好抵消第三个力。换句话说，三力平衡不是“任意三根箭头都能围三角形”，而是三根箭头按正确方向首尾相接后必须闭合。闭合不了，说明这三个力的矢量和还不为零，书就不可能在这些受力条件下保持原状。

吊环受两根绳拉力和重力时，三力构成闭合力三角形

第五步：公布答案并复盘——把直觉落到平衡条件上

答案是：绳越平，每根绳的拉力越大。若两根绳完全对称，每根绳与竖直方向夹角为 $\alpha$ ，重物重力为 $G$ ，竖直方向平衡给出 $2T\cos\alpha=G$ ，所以 $T=G/(2\cos\alpha)$ 。 $\alpha$ 增大时， $\cos\alpha$ 变小， $T$ 变大。三力问题的答案也一样明确：平衡时三力的矢量首尾相接必形成闭合力三角形；原受力图上的三力仍从同一点出发，别把两张图混成一张。

共点力平衡的条件是 $\sum\vec F=0$ 。在平面内，它等价于 $\sum F_x=0$ 且 $\sum F_y=0$ 。三力时可用三角形法；三个以上的力常用正交分解法。下面把一个常见模型走完。

做题时可以把流程压成四句话：定对象，画真实受力；判状态，确认平衡；选方法，列两个方向或画力三角形；回到物理，检查方向、单位和约束。 这里“真实受力”尤其关键：绳子只能拉，弹簧可拉也可压，接触面是否有摩擦要由接触和相对运动趋势判断。若某根绳已经松弛，却仍把它画成有拉力，列出的方程再整齐也对应不上实际情境。

质量为 $10\ \mathrm{kg}$ 的物体由两根对称轻绳悬挂，每根绳与竖直方向成 $60°$ ，取 $g=10\ \mathrm{N/kg}$ ，求每根绳拉力。

先把物体单独取出。它受重力 $G=mg=100\ \mathrm N$ 和两根绳的拉力，三力共点且处于平衡。

两根绳的水平分量大小相等、方向相反，已经抵消；只需在竖直方向列平衡式 $2T\cos60°-100=0$ 。

解得 $T=100\ \mathrm N$ 。别把 $60°$ 错当成与水平方向的夹角；角是相对哪条轴给出的，决定了该用正弦还是余弦。

这正是复习中常见的失分点：把分力当实际受力重复画、只写一个方向的平衡式却漏掉另一个方向、把“匀速转弯”误判成平衡，或在三力题中把受力图误画成首尾相接的力三角形。阅卷时，受力图、坐标正方向、平衡方程和结果方向应彼此一致；一个箭头的对象或方向错了，后面的数字即使漂亮也站不住。

动态平衡并不神秘：外界条件缓慢改变且物体始终静止，或变化足够慢、惯性效应可忽略时，才可把改变过程的每一个瞬间视为新的平衡状态。上面的双绳模型就是例子。临界平衡则要找到“刚好”的边界：物体刚要滑动时 $f=f_{\max}$ ；刚离开接触面时 $N=0$ ；绳刚松弛时 $T=0$ 。这些等号不是凭感觉补上去的，而是约束恰好失效时的物理翻译。

两根悬绳夹角由小变大时的动态平衡对比

第六步：把规律交给实验，并把门推向下一章

“探究两个互成角度的力的合成规律”实验，验证的不是某次读数恰好好看，而是等效替代是否成立。把橡皮条的一端固定，另一端接小圆环。先用两个弹簧测力计通过细绳把圆环拉到标记点 $O$ ，记下两条细绳方向和两个读数；再改用一个测力计，仍把圆环拉到同一个 $O$ ，记录这个力的大小和方向。两次橡皮条伸长相同，作用效果才可比较。按同一标度画出两个力，作平行四边形得到理论合力 $F'$ ，再与单独拉出的实际合力 $F$ 比较；在误差允许范围内二者大小相等、方向相同，就支持平行四边形定则。

探究两个互成角度力的合成规律实验装置与记录要点

实验里最常见的偏差也很朴素：两次没有把圆环拉回同一点 $O$ ，等效条件就丢了；只记读数不记方向，力便不能完整表示；测力计没有调零、视线斜读、作图标度太小，都会把误差放大。两力夹角也不宜太大或太小，细绳和测力计应尽量与木板平行。复盘时先查“效果是否相同”和“大小、方向是否都记录”，比急着改最后一位数字更有效。

实验结果不会要求画出的 $F$ 与 $F'$ 每次都严丝合缝。测力计读数、结点定位、细绳方向标记和尺规作图都会带来误差；合理的判断是二者在误差允许范围内足够接近。为了让比较更可信，可以改变两个拉力的大小和夹角重复多组实验，而不是只保留一次“看起来最漂亮”的图。这样做是在检验规律是否经得起条件变化，而不是挑一张图来迎合预设结论。

收起本章前，给自己做一次快速自检：看到多力问题，能否先说清研究对象；看到合力或分力，能否说明它替代了什么；看到“缓慢”“刚好”“不滑动”等词，能否把它翻译成平衡条件或临界条件。能把这三件事说清，图和式子才是在表达你的判断，而不是替你猜答案。

到这里，你已经能把“几股力一起拉”压缩为合力，也能把一股力按需要拆开；更重要的是，你能判断它们是否恰好平衡。下一章把绳子或推力稍微改大，合力不再为零，物体的运动状态会怎样改变？我们将从这种“不平衡”出发，进入牛顿运动定律。

课后练习

两个共点力大小分别为 3 N 和 4 N，且相互垂直，它们的合力大小为：

两个大小不变的共点力的夹角由 60° 增大到 120°，它们的合力大小将：

把重力分解为沿斜面和垂直斜面的两个分力后，物体实际受到的力数目增加了两个。

两个大小分别为 $F_1$、$F_2$ 的共点力合力 $F$ 的取值范围是 ____。

质量为 $m$ 的物块静止在倾角为 $\theta$ 的粗糙斜面上。把重力按沿斜面、垂直斜面方向分解，沿斜面向下的分量大小是：

关于共点力平衡，下列说法正确的是：

两根相同轻绳对称悬挂重物，保持重物静止。若两绳与竖直方向的夹角都缓慢增大，则每根绳的拉力：

物体在接触面上由静止到即将滑动的临界状态，若已达到最大静摩擦力，则摩擦力大小应写为 ____。

在探究两个互成角度力的合成规律实验中，两次拉橡皮条都必须使圆环到达同一标记点 O，主要是为了：

一盏质量为 $6\ \mathrm{kg}$ 的吊灯由两根完全相同的轻绳对称悬挂，每根绳与竖直方向夹角为 $60°$ ，取 $g=10\ \mathrm{N/kg}$ 。求每根绳的拉力；若允许最大拉力为 $70\ \mathrm N$ ，此状态是否安全？

吊灯重力为 $G=mg=60\ \mathrm N$ 。设每根绳张力为 $T$ ，竖直方向平衡： $2T\cos60°=60\ \mathrm N$ ，得 $T=60\ \mathrm N$ 。 $60\ \mathrm N<70\ \mathrm N$ ，因此在给定允许最大拉力下安全。注意两根绳的水平分量互相抵消，不能把两根绳张力直接相加后等同于重力。