第 1 章 曲线运动与运动的合成、分解
你在雨天坐过车吗？车窗外的雨丝明明大致竖直落下，车一开起来，它们却像被风吹斜了一样掠过玻璃。雨真的改变了下落方向吗？再想想河里的船：船头已经朝向对岸，最后靠岸的位置却常常在下游。它们都在提醒我们一件事：看见一条弯的、斜的轨迹，并不等于已经看懂了运动。
这一章先把“曲线为什么会出现”讲清，再把一个复杂运动拆成几个便于处理的分运动，最后把它们严谨地合回来。这里不讨论平抛实验的具体规律，也不讨论圆周运动；我们只准备好后面要用的语言和方法。
本章抓住三根主线：速度在每一点沿轨迹的切线方向；合外力（或加速度）改变速度，从而使轨迹转弯；对同一时段内的位移、速度、加速度，可以按矢量规则合成或分解。
一、轨迹一弯，先问速度指向哪里
1. 一辆车在弯道上，究竟是“朝哪里跑”
想象一辆自行车正沿弯道行驶。你把某一瞬间按下暂停键，车轮会不会还“指向弯道里面”？不会。若这一刻突然没有任何让它转弯的作用，它会顺着当时的行进方向冲出去。这个方向就是这一点的瞬时速度方向。
把一小段很短很短的轨迹放大，它几乎可以看成一条直线；这条“贴住曲线、又不穿过去”的直线叫切线。因此，做曲线运动的物体在某一点的速度方向，沿该点轨迹的切线方向。这里的“沿”不是说速度箭头要画在曲线上，而是说箭头所指的直线与该点轨迹相切。
注意，这是第一个很隐蔽的陷阱：有的同学把“指向凹侧”也套给速度。恰好相反，速度沿切线，合外力方向或加速度方向才指向轨迹弯曲的一侧。前者告诉我们“此刻往哪儿走”，后者告诉我们“接下来怎样改方向”。从当前点向前看足够短的一小段，轨迹位于速度方向与合外力方向所张开的夹角内；它不必在角平分线上，也不意味着合外力与切线垂直。把这两支箭头混成一支，后面的判断几乎必然会乱。
在惯性参考系内，若物体所受合外力与它的速度方向不在同一直线上，合外力就有垂直于速度的分量，速度方向会改变，物体做曲线运动。反过来，既然曲线运动的速度方向在变，它就一定有加速度，也就一定受到非零合外力。若合外力始终与速度共线，速度只会在这条直线上变快、变慢或反向，轨迹不会拐到旁边去。简短地判断方向：若此刻 向东、 向北，随后极短一段轨迹便从向东偏到东北，确实落在两支箭头之间，且弯向北侧。
现在先停一下：一辆小车在光滑水平面上向东运动，随后受到一个始终向北的恒力。刚开始时，小车的速度箭头向东，合力箭头向北。它接下来的轨迹会朝北弯，还是朝南弯？
答案是朝北弯。力使速度在很短时间内多出一个向北的变化量，新的速度不再只向东，而是略偏北；连续累积，这条轨迹便向北侧弯曲。最初极短的一段轨迹因此从正东偏向东北，位于速度和合力方向之间。你不需要把它想成“力把车拖到北边去”，更准确的说法是：力先改变速度，速度再决定下一小段位移。
2. 为什么“速度变了”不一定只是在变快
直线运动中，速度变大或变小很直观；曲线运动更容易让人卡住：若速率一直不变，速度还会变吗？会。速度是矢量，既有大小又有方向。只要方向在变，速度就在变。所以曲线运动一定是变速运动；这里的“变速”指速度矢量变化，并不等同于速率一定增大或一定减小。
把合外力分成沿速度方向的部分和垂直速度方向的部分，会看得更清楚：沿速度的分量负责改变速率，垂直速度的分量负责改变方向。合外力与速度夹角为锐角时，物体此刻的速率增大；夹角为钝角时，速率减小；恰好垂直时，速率在这一瞬间不变，但方向仍会改变。这里说的是“这一瞬间”的判断，不能把它偷换成整段过程都如此。
“曲线运动一定有加速度”是对的；“曲线运动的加速度一定变化”却不对。加速度可以保持不变，只要它不总与速度共线，轨迹仍然能够弯曲。
再问一个小问题：一只小球此刻向右上方运动，合外力恰好向左上方。只凭这两个“象限”，能断定速率增大还是减小吗？不能。夹角还取决于两支矢量的具体大小，可能是锐角、直角或钝角，不能只看它们都有“向上分量”。若题目进一步给出 、，则 ，夹角为钝角，沿速度方向的力分量反向，小球此刻速率减小；同时还有垂直于速度的力分量（或加速度分量），它会改变速度方向，使轨迹转弯。
回到复习视角复盘。 方向图题最稳的顺序不是凭轨迹形状猜箭头，而是先在研究点画出切线方向作为 ，再把合外力画向凹侧，最后用两者夹角判断速率变化。常见失分不是公式不会，而是把“凹侧”画给了速度，或把“速度变化”误读为“速率必变”。题目若要求说明理由，写出“合外力不与速度共线，速度方向改变”比只写“做曲线运动”更完整。
那么，既然同一支速度既能有“沿前进方向”的效果，也能有“让方向偏转”的效果，我们能不能把一个运动拆开来分别看？可以，但拆法不能随意编。下面就来建立这套拆法。
二、一个运动能拆成几件事，但时间不能拆散
1. 雨丝为什么会斜，先把“相对谁”说完整
车内的人说雨丝斜向后，站在路边的人却可能说雨近似竖直下落。谁看错了？谁都未必错，因为他们采用的参考物不同。描述运动合成前，先把“谁相对谁”的关系说清，能省掉很多无谓争论。
用下标把关系写出来最不容易含糊。例如，雨相对汽车的速度满足
这不是新发明的一条“雨天公式”，而是速度合成的同一件事换了写法：
式中的三个参考对象必须首尾接得上。若把“雨对地”“车对地”“雨对车”混着读，正负号再熟也救不了。对固定在地面的观察者，车的速度和雨的速度共同决定雨相对车窗的划痕方向；这正是一个合速度的实际效果。
2. 合成和分解，到底是在做什么
运动的合成，是已知几个分运动，求合运动；运动的分解，是已知合运动，按实际效果或选定方向求分运动。它们不是把“走过的路”随意切成几段，而是对同一物体、同一时段的运动量作矢量处理。
在同一段时间 内，位移、速度、加速度分别满足
它们都遵守平行四边形定则。需要数值计算时，最常用的是建立相互垂直的坐标轴，把矢量投影到两个方向：
其中 必须是速度与所选轴正方向的夹角。轴一换，正负号和三角函数对应关系也可能随之变化；公式本身没有错，错的是没有先看清角从哪条轴量起。
你可能会问：既然一个矢量能画出许多平行四边形，分解岂不是有无数种答案？数学上确实如此；物理题中却要由实际约束来选方向。比如小船在水面上运动，水流对地的速度沿河岸，小船相对静水的速度沿船头方向，这两个方向已经由情境给定；又如物体沿斜面运动，常把量分到沿斜面和垂直斜面方向，因为约束和受力都在那里最简单。
小船模型里有两个容易混淆的目标。若船在静水中的速率固定，想让过河时间最短，就要让它垂直河岸的速度分量最大，也就是船头正对对岸；水流仍会造成下游位移。若想让实际位移最短，必须比较船在静水中的速率 与水流速率 。当 时，船头斜向上游，使沿河岸的船速分量恰好抵消水流，合速度垂直河岸，最短位移就是河宽 ；当 时，若要抵消水流，船速的全部分量都得沿上游，垂直河岸的分量为零，船不能渡到对岸，有限时间内没有能取到的最短位移方案；当 时，合速度不可能垂直河岸，最短位移对应船在静水中的速度与合速度垂直，此时 。你会发现，“船头方向”和“实际航迹方向”通常不是一回事。
3. 分运动独立，不是说现实里的作用互不相干
把复杂运动拆开，有三个彼此配合的事实。第一，合运动和各分运动等时，同时开始、同时进行、同时结束；所有分量式必须对应同一段时间。第二，在合适的条件下，一个方向的运动规律不因另一个方向存在运动而改变，这叫分运动的独立性。第三，各分运动按矢量规律叠加后，产生的总效果与原来的合运动完全相同，这叫等效性。它们不是允许你任何时候都把运动硬掰成两半的口号，而是有前提的：所选方向上的受力、约束和条件不能通过别的方向发生耦合。
例如忽略空气阻力时，两个从同一高度同时出发的小球，一个只放手，一个同时被水平轻推；改变后者的水平初速度，不会改变它竖直方向下落的规律。这正是“两个方向可分别研究”的直观依据。可要是空气阻力显著，或者绳、杆、轨道的几何约束把两个方向紧紧连在一起，就必须把这种联系计入模型，不能不加判断地套“独立”。
再想一想传送带上的行李箱。行李箱相对传送带向前走，传送带又相对地面向前走，地面上的人看到的行李速度是两者的矢量和；若行李反向走得恰好一样快，它相对地面甚至可以暂时静止。这里同样不是速度大小直接相加，而是先画方向、再合成。
现在做个判断：某物体在 方向匀速、在 方向静止，它的合运动是什么？答案是沿 方向的匀速直线运动。别因为听见“合成”就强行画出斜线；没有非零的 分量，根本没有向 的位移。
回到复习视角复盘。 看到渡河、雨滴、传送带这类题，第一步写清“谁相对谁”，第二步把速度箭头放在同一参考系里，第三步才列分量关系。小船题特别容易把“最短时间”误当成“最短路程”：前者只盯垂直河岸的分速度，后者看实际航迹。题目给出绳、杆等约束时，沿绳或杆方向的速度分量才受长度不变的条件限制，不能直接断言两个物体的速度大小相等。
把运动拆开后，如何从分量的变化判断合运动是直线还是曲线？这正是下一步要练熟的“合回来”的本领。
三、拆开后再合回去：别只盯着两个分运动的名字
1. 坐标轴像两把尺子，先让它们各自说话
设一个小型搬运机器人在水平地面内运动。我们选向右为 轴正方向、向上为 轴正方向。若它在 方向匀速，在 方向做加速直线运动，那么每一小段时间里，横向位移均匀增加，纵向位移却增加得越来越多。把对应时刻的位置点连起来，合轨迹自然是一条弯曲的线；曲线不是额外“加上去”的，而是两个方向不同规律叠加的结果。
例如，若某段时间内
这里 、 采用同一时刻 描述。由 消去时间，得到 。这个式子不是要你背某种特殊运动，而是在展示一个通用步骤：先分别写两个方向的规律，再由同一时间把它们联系起来，轨迹的形状就浮现了。
2. 判断合运动，盯住合速度和合加速度的关系
两条分运动都是直线运动，合运动也未必是直线。关键不在“分运动有几条”，而在合速度 与合加速度 的方向关系：
- 若 始终与 共线，速度只在原来的直线上改变大小，合运动是直线运动。
- 若 与 不共线，速度方向会改变，合运动就是曲线运动。
这三句看上去像结论堆叠，其实都在重复同一个因果链：加速度决定速度怎样变，速度决定下一小段位移怎样延伸。你可能会这样想：“两个方向都匀加速，合运动肯定弯。”不一定。若两个方向的初速度、加速度始终组合在同一直线上，合运动仍可以是一条直线；反过来，一个方向匀速、另一个方向匀加速，通常就会合成曲线。
现在请你先做判断：某物体的初速度为 ，加速度为 。它刚开始运动时速率是增大、减小，还是不变？
刚开始时 与 垂直，因此速率在这一瞬间不变；但速度方向立刻开始偏转，轨迹向 轴正方向弯曲。随着时间推移，速度已经有了 分量， 与速度不再垂直，速率也会发生变化。这个例子专门用来提醒你：判断“速率是否变化”要注明时刻，不能把初始时刻的垂直关系当成全过程。
分解时不要把一个合速度画成先走横向、再走纵向的两段真实路程。横向和纵向分运动在同一时间内同时发生；图上的平行四边形只是表达矢量关系，不是物体必须按两条边依次走。
回到复习视角复盘。 遇到分速度—时间图像或分位移—时间图像，先分别读出 、 或 、，再在同一时刻合成。需要判断轨迹时，不要仅看某一个分量变大或变小；应比较合速度与合加速度是否共线。坐标轴选定后，向左、向下的分量要带负号，绝对值正确但方向漏写，常会让轨迹判断完全反过来。
至此，你已经能用“切线速度—合力改速度—分量同时间叠加”这条线解释大多数基础曲线运动。下一章会把这套语言放进一个更具体的抛体情境，看看看似自由飞行的物体怎样留下可计算的轨迹。
章末自检：先独立作答，再展开核对
1
一质点沿一条弯曲轨迹运动，某点的瞬时速度方向应当是
2
关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是
3
两个分运动都是直线运动，合运动一定是直线运动。
- 河宽为 ，水流速度沿河岸向下游。一小船在静水中的速率为 。若只要求渡河时间最短，船头应怎样指向？此时水流会不会影响最短时间？
- 在同一惯性参考系中，甲物体相对车厢的速度为向东 ，车厢相对地面的速度为向东 。求甲相对地面的速度。
- 一物体的速度为 。它在 、 方向的速度分量分别是什么？速度大小是多少？
- 一物体此刻速度向正东，合外力向正北。判断此刻它的速率变化和随后轨迹的弯曲方向，并说明理由。
- 某机器人在 方向做速度为 的匀速直线运动，在 方向从静止开始以 的加速度运动。写出 时的 、，并判断合速度方向相对 轴的偏向。
- 一根不可伸长的轻绳把小球与拉绳装置相连。小球运动时，能否直接说“小球的速度大小等于绳端收放速度”？请说明应比较的量。