动能定理及其应用
一辆空购物车推起来很轻松，装满货后就“沉”了；同一辆车如果已经滑得很快，想把它停住，又比慢慢挪动时费劲得多。你当然知道它在运动，可“运动得多厉害”究竟该用什么量来记？只看速度不够，因为货物多少会改变结果；只看质量也不够，因为慢吞吞的大车未必比飞驰的自行车更难停下。
这一章要建立的，不是一张新公式清单，而是一套很省事的账本：先把物体在起点和终点的“运动储备”记下来，再把这段路上所有力做的功逐项记账。账目相等时，复杂的加速、减速、转弯、变力甚至多段路程，都会变得可以追踪。
本章只处理“动能怎样变化、哪些力做了多少功”这一条线。重力势能、弹性势能怎样和动能合并成更大的能量账本，留到下一章再建立；现在先把眼前这一本账算准确。
先把“跑得快”这句话说完整：动能从哪里来
困境：同样是 10 m/s，谁更难停
想象两辆小车都以 10 m/s 滑来，一辆载着 10 kg 器材，另一辆载着 100 kg 器材。若用同样的刹车装置去让它们停下，直觉已经告诉你：后者需要“拿走”的运动效果更多。再换一个比较：同一辆车把速率从 5 m/s 提到 10 m/s，刹车距离和撞击效果的变化，显然不像“刚好多一倍”那么简单。
你可能会想：那就用质量乘速度，记成 mv 吧。这个猜测抓住了两个因素，却还没有抓住正确的变化规律。因为力推动物体走过一段路时，真正自然出现的是速度的平方差。先把这个疑问留住，下一节我们会从做功一步步把它逼出来。
引出概念：用一个状态量记录运动的“可改变程度”
物体由于运动而具有的能量叫作动能，记为 Eₖ。对质量为 m、速率为 v 的物体，Eₖ = ½mv²。
它的国际单位是焦耳，符号 J；1 J = 1 kg·m²/s²。这个单位和功的单位完全相同，并不是巧合：后面我们会看到，力做的功正是动能改变的量度。
公式里有三个值得慢慢看清的地方。
- 质量 m 增大，动能按相同比例增大。
- 速率 v 出现平方：速率变为原来的 2 倍，动能变为原来的 4 倍；速率变为原来的 3 倍，动能变为原来的 9 倍。
- 公式用的是速率 v 的平方，而不是带方向的速度本身。因此动能是标量，只有零或正值，没有“向东的动能”和“向西的动能”。
这里的“状态量”也很重要。某一时刻的质量和速率一经确定，这一时刻的动能就确定了；至于物体此前绕了多远、怎样加速到这个速率，并不写进 Eₖ 里。它像账户余额，只记此刻有多少，不逐条记以前每一笔交易。
标关键点：动能不带方向，但它不是“绝对数”
“动能没有方向”很容易被误听成“动能和运动方向毫无关系”。严谨地说，动能只由所选参考系中速度的大小决定。通常取地面或相对地面静止的物体为参考系；如果换了参考系，同一物体测得的速率可能不同，动能也可能不同。
注意，这里有个常见陷阱：小球撞墙后以相同速率反弹，速度变了，因为方向反了；但初、末动能相同，因为速率没有变。反过来，物体绕圆周做匀速运动时，速度方向不断改变，动能却保持不变。把“速度变了”直接翻译成“动能变了”，很容易把两个概念搅在一起。
比较两个物体的动能，必须在同一参考系中比较质量和速率。公式中的 v 是速率，不是速度的代数值；即使速度取负值，v² 仍为正。
先想一想
甲、乙质量相同，甲以 6 m/s 向东运动，乙以 6 m/s 向西运动。它们的动能是否相同？如果让甲把速率从 6 m/s 增至 12 m/s，它的动能增加到原来的几倍？
……
公布答案并复盘
两车动能相同：质量相同，速率都为 6 m/s，方向不进入动能公式。甲速率翻倍后，动能变为原来的 4 倍，而不是 2 倍。你若只凭“速度是原来的两倍”就写成动能两倍，漏掉的正是平方关系。
放到复习中看，这类判断首先要分清题目问的是速度、速率还是动能：速度是矢量，动能是标量；“方向反向”会让速度改变，却未必让动能改变。计算时先写出初、末两次 ½mv²，比口算“快了几倍”更稳。
下一步的问题是：动能为什么恰好是 ½mv²？这不是人为挑出的漂亮式子，而是力让物体改变运动状态时必然出现的结果。
从推车的一段路出发：动能定理怎样被推出来
困境：推力做的功到底跑到哪里去了
在光滑水平面上推一个静止木块，手持续向前推，木块越滑越快。你会说“手做了功”，也会说“木块速度变大了”。可是这两句话之间还缺一座桥：做了多少功，为什么能准确对应到速度的哪一种变化？
先把情形收窄到最容易看清的版本：质量为 m 的木块，在与运动方向相同的恒力 F 作用下，沿直线移动距离 s，速率从 v₁ 变为 v₂。这个版本不是全部现实，但它能把关系的骨架露出来。
引出概念：把功、加速度和速度平方差接起来
恒力同向做的功为 W = Fs。又因为 F = ma，匀变速直线运动满足 v₂² − v₁² = 2as，于是 W = Fs = mas = ½mv₂² − ½mv₁²。
右边正好是末动能减初动能，即 Eₖ₂ − Eₖ₁。于是得到动能定理：
合外力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量。
写成式子就是 W合 = ΔEₖ = Eₖ₂ − Eₖ₁。
刚才的推导只用了“恒力、直线、同向”这种简单场景。动能定理本身却不被这三个限制绑住：它适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力，也适用于大小或方向变化的力；几个力同时或先后作用，也都可以把各力在所研究过程中的功相加。简单情形负责把式子引出来，普遍规律负责处理更真实的过程。
标关键点：式子里的 W合 是一张总账
W合 不是“拉力做的功”，也不是“除重力外的功”，而是所有外力对研究对象做功的代数和。如果物体受拉力、重力、支持力和摩擦力，就要把这几项都算进来：W合 = W拉 + W重 + W支 + W摩 + ……。
其中正功、负功和零功都是真实账目。合外力做正功，ΔEₖ 大于零，速率增大；合外力做负功，ΔEₖ 小于零，速率减小；合外力做功为零，动能不变，速率不变。
最后一句别急着延伸成“合力为零”。一股力即使不为零，只要在每一瞬间都与位移方向垂直，它也可以不做功。匀速圆周运动中的向心力就是熟悉的画面：速度方向持续改变，速率和动能却不变。
先想一想
一颗小球沿光滑圆轨道做匀速圆周运动。它明明一直受到指向圆心的合力，为什么不能据此说“合力不为零，所以动能一定改变”？
……
公布答案并复盘
向心力始终与小球瞬时位移方向垂直，合力做功为零，所以 ΔEₖ = 0，动能不变。它改变的是速度方向，不是速度大小。
复盘时可以把这句话拆成两问：合力是否为零，决定运动状态会不会改变；合力做功是否为零，决定动能会不会改变。二者在直线加减速里常常一起出现，到了曲线运动就会分开。高考选择题常用“受力不为零”诱你直接判断“动能变化”，这一步必须先看力和位移的夹角。
既然总账由一项项功组成，下一节就要练习：面对一堆力，怎样不漏项、不乱判符号。
给每个力记一笔账：正功、负功和零功
困境：斜面上有四个力，哪一个真正改变了速率
一个物块被拉着沿粗糙斜面向上滑。它受到拉力、重力、支持力和摩擦力。刚接触这类情形时，很多人会盯着最大的那一个力，或者看见支持力就顺手写零，看见摩擦力就只写一个负号。这样做太快了：功由力和该力作用点的位移共同决定，力的名字不能替你判账。
引出概念：先定过程，再判每一笔功
在高中阶段常见的固定轨道问题中，可以用下面的顺序。
- 先圈定过程的起点和终点，画出物体在这段过程中的位移方向或轨迹。
- 列出研究对象受到的力，逐项判断力与位移的夹角。
- 同向成分做正功，反向成分做负功，垂直成分做零功；把各项代数相加。
- 最后才把总功放进 W合 = Eₖ₂ − Eₖ₁。
例如，物块沿固定粗糙斜面上滑距离 s，斜面倾角为 θ，拉力沿斜面向上且大小恒为 F。若滑动摩擦力大小为 f，则 W拉 = Fs，W重 = −mgsinθ·s，W摩 = −fs，W支 = 0。
支持力为零功，不是因为“支持力永远不做功”，而是因为在这个固定斜面模型中支持力始终垂直于物块沿面的位移。若接触面会移动、形变，或研究对象换了，仍要重新按“力与位移”判断。
重力做功有一个方便之处：在匀强重力场中，它只看高度差。上升高度 h 时 W重 = −mgh；下降高度 h 时 W重 = mgh。这里 h 是竖直高度变化，不是斜面路程。
标关键点：零功不等于“不受力”，负功也不是“动能为负”
一股力做零功，可能是力为零，也可能是力不为零但垂直位移；所以“支持力存在”与“支持力做功”是两道不同的问题。摩擦力在滑动时通常阻碍相对运动，在许多固定粗糙面模型中对物块做负功；但仍应先确认研究对象和实际位移，别把“有摩擦”机械翻译成某个固定结论。
另一个陷阱藏在 ΔEₖ 里：它是“末动能减初动能”。物块从快到慢时，ΔEₖ 为负，表示动能减少；不是说动能本身成了负数。动能 Eₖ 仍然不小于零。
先想一想
电梯向上加速时，地板上的箱子随电梯上升。对箱子而言，支持力和重力各做什么功？为什么只写“箱子受到支持力”还不足以判断它的动能怎样变？
……
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箱子上升时，支持力方向向上、位移向上，支持力做正功；重力方向向下、位移向上，重力做负功。它的动能是否增加，要看两项功的代数和：上升加速说明支持力做的正功大于重力做的负功。
这正是解题时最常丢的“总”字。不能只因拉力或支持力做正功，就宣布动能增加；也不能只看重力做负功，就宣布动能减少。列出全部做功项后再合并，才是动能定理的语法。
固定力已经可以逐项求功了。可弹簧、空气阻力、绳子方向变化时，力不再恒定，W = Fs 还能直接套吗？
变力来了：不硬算它，仍然能求它做的功
困境：弹簧越压越紧，F 该取哪个值
小车撞上弹簧后，弹簧从原长开始被压缩。刚接触时弹力很小，后来越来越大；你若写 W弹 = F·x，立刻会卡住：这里的 F 是刚接触时的力、压到一半时的力，还是最大压缩时的力？随便挑一个都没有理由。
引出概念：变力功可以从总账里反求
对恒力，力的大小和方向在所取过程中不变，才可用 W = Fs cosα。变力一般不能这样直接代一个 F；若横轴是相应位移 x、纵轴是该力沿位移方向的有符号分量 Fₓ，则 Fₓ-x 图像 与横轴围成的带符号面积等于该力做的功。若图上画的是力的大小，或该力不沿位移方向却没有先取分量，就不能直接把面积当作功。更常用也更稳的办法，是把难算的变力功暂记为 W变，再用动能定理：
W变 + W其余 = ΔEₖ。
于是 W变 = ΔEₖ − W其余。这不是逃避计算，而是利用了总账必定平衡。你只要能确定初、末速率，并能算出重力、摩擦力等其余各项的功，就能得到变力做功，而不必知道过程每一瞬间的力究竟多大。
举一个完整的算账场景：质量为 1 kg 的小车在水平粗糙轨道上以 6 m/s 的初速前进，先滑行 3 m 后接触弹簧，又压缩弹簧 0.5 m 后瞬时静止。全过程滑动摩擦力大小为 2 N，重力和支持力做功均为零。取从开始到最大压缩处为研究过程：
- 初动能为 Eₖ₁ = ½×1×6² = 18 J，末动能为零，故 ΔEₖ = −18 J。
- 摩擦力在总路程 3.5 m 上做功：W摩 = −2×3.5 = −7 J。
- 设弹簧对小车做功为 W弹，则 W弹 − 7 = −18，所以 W弹 = −11 J。
负号告诉我们：弹簧在压缩过程中阻碍小车前进，拿走了小车的动能。这里没有把弹簧的力当作恒力，也没有提前调用更大的能量关系；只用动能定理就把它的功算出来了。
标关键点：过程边界一换，账目范围也跟着换
上面的摩擦力算了 3.5 m，是因为研究的是“开始滑行到最大压缩”的全过程。若只研究接触弹簧后的 0.5 m，摩擦力功就只能写 −2×0.5 J，初动能也必须改成刚接触弹簧那一刻的动能。公式没有变，过程变了，所有起末状态和功的范围都必须一起变。
还有一个易错点：变力不等于“不能用动能定理”。恰好相反，遇到变力、曲线运动或不想逐时刻追加速度的问题，动能定理往往更有用；但它要求你把所取过程内全部外力做功列完整。
先想一想
一颗小球从静止下落，在空气中受到大小随速率变化的阻力，下降高度为 h 后速率为 v。若空气阻力对小球做功为 W阻，应怎样由动能定理写出 W阻？它应该是正还是负？
……
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取向下为位移方向，重力做功为 mgh，初动能为零，末动能为 ½mv²，因此 mgh + W阻 = ½mv²，所以 W阻 = ½mv² − mgh。
阻力方向与位移反向，故 W阻 应为负；这也给了一个自检：若代入数据后得到正值，应回头查过程、符号或已知量是否理解错了。复习中看到“阻力随速度变”“拉力方向转动”“弹簧形变量变”，先不要执着于给变力找一个平均值；先问初、末状态和其余功能否确定，常能直接把未知功反求出来。
单段账会算了，真正让人头疼的是一段路里既上坡又过粗糙面，还可能压到弹簧。这样的过程到底一口气算，还是拆开算？
一整段算还是拆成几段：过程建模的选择
困境：路线很曲折，公式却只要一个起点和一个终点
小车从 A 点冲上光滑斜面，到 B 点后进入粗糙水平面，最后到 C 点。若你把每一小段都单独列牛顿第二定律、算加速度和时间，纸面会很快塞满；可如果中途某处的速度恰好又是问题所求，只写一个全过程式又不够。
动能定理给你的不是“永远全程”或“永远分段”的口令，而是一个选择标准：只问最后状态、且所有总功容易相加时，优先全过程；要求中间状态，或某力的功必须先靠中间量确定时，优先分段。
引出概念：同一条路有两种合法账法
质量 1 kg 的小车在 A 点速率为 2 m/s，沿长 2 m 的光滑斜面上升 1 m 到 B，再在长 2 m 的粗糙水平面上到 C。全程有一个沿运动方向、大小 5 N 的拉力；水平段摩擦力大小为 2 N；取 g 为 10 m/s²。
如果只问 C 点速率，可以一口气记总账：
- 拉力在总路程 4 m 上做功 W拉 = 5×4 = 20 J。
- 上升 1 m，重力做功 W重 = −10 J。
- 只有水平段粗糙，摩擦力做功 W摩 = −2×2 = −4 J。
- 支持力做功为零。
于是 W合 = 20 − 10 − 4 = 6 J。A 点动能为 ½×1×2² = 2 J，所以 C 点动能为 8 J，C 点速率为 4 m/s。
若问题改为“B 点速率是多少”，就必须先取 A 到 B：拉力做功 10 J，重力做功 −10 J，合功为零，因此 B 点动能仍为 2 J，速率仍为 2 m/s。接着再取 B 到 C，拉力做功 10 J、摩擦力做功 −4 J，动能增加 6 J，仍能得到 C 点速率 4 m/s。两种账法结果一致，因为它们记的是同一段真实运动；区别只在题目要不要中间信息。
标关键点：分段不是把同一笔钱记两次
分段时，相邻两段的交界状态必须接上：前一段的末动能，就是后一段的初动能。全过程时，每个力做功的路程也必须与该力实际作用的路程一致。比如上例的摩擦力只在水平段作用，绝不能写成 −2×4 J；重力只由高度差决定，也不能把斜面长 2 m 直接塞进 mgh。
往返或反向运动时尤其要小心。物体相对固定粗糙面滑动时，滑动摩擦力每一段都与物体瞬时运动方向反向，所以对该物体做负功；它的作用路程要把每一段实际路程相加，位移可能抵消，路程不会因此抵消。在传送带等运动接触面中，仍要按力和该物体作用点的位移逐段判功，不能直接套“摩擦力做负功”。若中途发生碰撞、绳子松弛或接触状态改变，应把改变前后分开研究，不能让一条公式跨过条件已经变掉的边界。
先想一想
某物块从斜面顶端滑到底端后，又在粗糙水平面上停下。问题只问它最终停止位置。你已经能算出重力在全程的功和摩擦力在两段路上的总功，还需要先求它到斜面底端的速度吗？
……
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不一定需要。既然目标只在最终停止位置，且各项总功都能用总路程和高度差表示，可以把“顶端到最终停下”作为一个过程直接列动能定理，避开中间速度。若题目改问“它到达斜面底端时的速度”或“底端的支持力”，才需要把斜面段单独取出来。
这类选择在综合题里很关键：公式多并不等于过程拆得细。高考解答中，先在草稿上圈出“所求量在哪个状态”，再决定全程还是分段；写出的每一项功要能说清它对应哪一段路，这比一上来堆方程更不容易丢分。
多过程的文字信息可以整理成总账，图像信息也能整理成总账。接下来看看一条 Eₖ-x 图线怎样把“合力做功”直接画在纸上。
从动能—位移图像读出合力：别把两种“面积”混了
困境：曲线在上升，究竟是在说什么
横轴是位移 x，纵轴是动能 Eₖ 的图像上，一段直线向上，随后变平，再向下。你可能一眼就想说“上升表示加速、下降表示减速”，这没有错；但如果再问“斜率是什么”“图线下面的面积是什么”，就不能只凭图形感觉回答了。
引出概念：斜率来自动能定理
在沿 x 轴的一维运动中，从 x₁ 到 x₂，动能定理给出 ΔEₖ = W合。若这一小段内合外力恒定且沿 x 方向，W合 = F合·Δx，于是 ΔEₖ / Δx = F合。
所以在 Eₖ-x 图像 中，一段直线的斜率等于这段内的合外力：斜率为正，合力沿正方向，动能随 x 增大而增加；斜率为负，合力沿负方向，动能随 x 增大而减少；斜率为零，合力为零，动能不变。已知质量后，还可由 a = F合/m 得到加速度。
标关键点：Eₖ-x 图的面积没有这一层直接含义
请把两个图像分开：
- 在 Fₓ-x 图像 中，纵轴为力沿位移方向的有符号分量 Fₓ、横轴为相应位移 x 时，图线与横轴所围的带符号面积表示该力做的功；若纵轴只是力的大小，或力不沿位移方向却未取分量，则不能直接这样读面积。
- 在 Eₖ-x 图像 中，纵轴本身已经是动能，纵轴变化量就是动能变化；斜率才对应合外力。图线下的面积单位是 J·m，并不直接表示某个常用的功学量。
还有一个边界：动能不可能小于零。若 Eₖ-x 图像降到零，表示该位置速率为零；物体会不会立刻反向，要结合该处受力和接触条件重新判断，不能把图线不加判断地延伸到负动能区域。
先想一想
质量为 2 kg 的物块沿正方向运动，它的 Eₖ-x 图像在某一段是直线：x 每增加 2 m，Eₖ 从 4 J 增至 12 J。这段中的合外力大小和方向怎样？物块速率是变大还是变小？
……
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斜率为 (12 − 4) / 2 = 4 J/m = 4 N，所以合外力为 4 N，方向沿 x 正方向。动能增加，速率变大。这里 J/m 恰好等于 N，是对“斜率等于力”的单位检验。
复盘图像题时，先写清横、纵轴各是谁，再用动能定理把纵轴变化与横轴变化连接起来。不要看到“面积”就条件反射地求功，也不要把 Eₖ-x 图的斜率错当加速度；质量还没参与时，斜率首先给出的就是合外力。
到这里，动能定理已经能处理不少问题。最后把它压缩成一套可重复执行的建模动作，让你面对新情境时知道第一步该做什么。
一张动能账本的使用顺序
遇到一个看起来很长的运动过程，可以按下面六个动作落笔。
- 定对象。 问谁的速度或哪一个力对谁做功，就先把那个物体当作研究对象。
- 定过程和参考系。 标出起点、终点，并让初末速度、位移都相对于同一参考系。
- 列初末动能。 写 Eₖ₁ = ½mv₁²、Eₖ₂ = ½mv₂²，已知静止就明确写零。
- 列全力功账。 对每一项力问：在这段过程里是否作用？实际作用路程是多少？与位移夹角怎样？正、负还是零？
- 列总式。 ΣW = Eₖ₂ − Eₖ₁；若某一项是变力功，可先保留为未知量。
- 回到现实检查。 单位是否都是 J；速度平方后是否取了正值；结果给出的速率、路程和功的符号是否和运动现象相容。
动能定理最有价值的地方，不是让你多背一条公式，而是把“力怎样作用的过程”翻译成“起末状态差多少动能”。只要过程边界和功账范围一致，直线、曲线、恒力、变力、单段和多段都能放进同一本账。
下一章会问一个更进一步的问题：当物体上升、下降或形变时，那些看不见却能在状态间转移的“储备”怎样记账？先把动能定理的总账习惯带过去，势能和机械能的关系就不会显得突兀。
课后练习：把账本用到新情境
练习 1：方向变了，动能一定变吗
质量相同的两个小球在同一地面参考系中以相同速率分别向东、向西运动。比较它们的动能。若其中一个小球在光滑水平面上改变方向但速率保持不变，它的动能变化量是多少？
练习 2：总功和动能变化
质量为 2 kg 的物体在水平面上速率由 3 m/s 增至 5 m/s。求合外力在这一过程做的功。
练习 3：粗糙斜面上的逐项记账
质量为 1 kg 的物块从静止沿斜面下滑，下降高度为 2 m，沿斜面路程为 4 m，滑动摩擦力大小为 3 N。取 g 为 10 m/s²，求物块到达斜面底端时的速率。
练习 4：支持力到底做不做功
一小球沿固定光滑圆轨道做匀速圆周运动。说明轨道支持力对小球做功是否为零，并说明这不代表什么。
练习 5：反求变力功
质量为 0.5 kg 的物块在水平面上由 4 m/s 减速到 2 m/s，过程中摩擦力做功为 −2 J，重力和支持力做功均为零。求另一个变力对物块做的功。
练习 6：全过程还是分段
物块从斜面顶端滑下，经水平面后最终停止。若只问最终停止位置，且已知重力做功和两段摩擦力的总功，说明为什么可以优先取全过程；若改问物块刚到斜面底端的速率，又为什么需要分段？
练习 7：读 Eₖ-x 图像
质量为 1 kg 的物块沿 x 正方向运动，某段 Eₖ-x 图像的斜率为 −3 J/m。该段合外力多大、方向怎样？物块的速率如何变化？
练习 8：检查过程边界
小车先在光滑面上滑行 2 m，再进入粗糙面滑行 1 m 后停下。某同学取全过程，却把摩擦力功写成 −f×3 m；另一个同学把摩擦力功写成 −f×1 m。谁的写法正确？理由是什么？
1
一物体以相同速率先后沿两个相反方向运动，质量不变。下列说法正确的是：
2
关于动能定理，下列说法正确的是：
3
在固定光滑斜面上运动的物块，支持力一定不做功，因此任何情形下支持力都不做功。
4
在一维运动的 Eₖ-x 图像中，若某段为直线，则该段图线的斜率表示____。
本章收束
动能用 ½mv² 记录物体某一状态下的运动能量；它是标量，取决于同一参考系中的质量和速率。动能定理把过程压缩成一句总账：所有外力做功的代数和，等于末动能减初动能。碰到复杂过程，先定对象、定起末状态、定过程边界，再逐力记功；变力功可以从总账反求，图像要分清斜率和面积的物理意义。把这套账本握稳，下一章讨论势能与机械能时，你会发现它们并不是另起炉灶，而是在同一套“状态与变化”语言上继续扩展。