圆周运动的基本规律

先让一滴水把你难住

雨后甩一甩雨伞，伞沿上的水滴会从边缘飞出去。它们原先明明跟着伞尖绕圈，离开的一瞬间却不会沿着半径向外直冲，也不会继续画圆，而是朝某个“斜着离开”的方向飞走。你可能会想：既然水滴一直绕着圆心转，离开时为什么不顺着圆心到水滴的连线走？

这正是圆周运动最容易被直觉带偏的地方。水滴在圆周上每一刻真正的前进方向，恰好沿该点的切线；伞面对它的约束一消失，原来不断被“拐弯”的运动就保留了这一瞬间的切向趋势。圆周不是物体天生愿意走的路，而是持续有作用效果在改变它的速度方向。

先在下面的圆周上拖动小球。别急着记公式，盯住速度箭头：无论小球转到哪里，它都不指向圆心。

把“转一圈”拆成能测量的量

线速度：先问它此刻朝哪里走

把小球在很短时间内走过的弧长记为 $\Delta s$，经历的时间记为 $\Delta t$。当时间取得很短时，

$$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$

给出的就是线速度的大小；线速度的方向沿轨迹在该点的切线方向。这里的“线”不是说它做直线运动，而是说我们用沿轨迹量出的路程来描述它有多快。单位仍是 $\mathrm{m/s}$。

若物体在半径为 $r$ 的圆周上走完一整圈，路程是 $2\pi r$。设走一圈所用时间为 $T$，并且转动均匀，那么线速度大小就是

$$v=\frac{2\pi r}{T}$$

注意，匀速圆周运动里的“匀速”只说线速度的大小不变。小球一边走，切线方向一边转，所以线速度这个矢量一直在变。把“大小没变”误听成“速度没变”，后面会连带把加速度也判断错。

周期、频率、转速：它们都在数“转圈”，但数法不同

一个物体完成一次完整圆周运动所用的时间叫周期，用 $T$ 表示，单位是秒。每秒完成的圈数叫频率，用 $f$ 表示，单位是赫兹（$\mathrm{Hz}$）。一秒转得越多，每圈所花时间当然越少，因此

$$f=\frac{1}{T},\qquad T=\frac{1}{f}$$

生活中仪器常把转速写成“每分钟多少转”。若转速 $n$ 的单位是 $\mathrm{r/min}$，先别把它直接当频率：要换成每秒转数，应该有 $f=n/60$。若题目把 $n$ 的单位明确写成 $\mathrm{r/s}$，它才与频率数值相同。单位在这里不是装饰；把分钟忘掉，结果会差整整 $60$ 倍。

角速度：每一秒转过多少角

再换一个观察方式：不盯着小球走了多长的弧，而盯着它相对圆心扫过了多少角。角位移用 $\Delta\theta$ 表示，角速度大小定义为

$$\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}$$

角度采用弧度制时，匀速转一圈扫过 $2\pi$，于是

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$$

单位是 $\mathrm{rad/s}$。由弧长 $s=r\theta$ 可知，同一段时间内 $v=r\omega$，即

$$v=r\omega=\frac{2\pi r}{T}=2\pi rf$$

这几种写法是在描述同一件事，只是已知量不同。已知周期，$2\pi r/T$ 最顺手；已知频率，$2\pi rf$ 更自然；已知角速度，直接用 $r\omega$。不要把三条式子当成三份互不相干的记忆任务。

现在停一下，自己判断：同一张刚性转盘上，靠近中心的点和靠近边缘的点，哪一个在相同时间内扫过的角更大？哪一个实际走过的弧长更长？先别急着翻答案。

“同轴”和“传动”别混成一句话

同一个刚性转盘上各点绕同一轴转动，在相同时间内扫过相同角度，所以它们的 $T、f、\omega$ 都相同；但半径越大，弧长越大，线速度 $v=r\omega$ 也越大。外圈的点跑得更快，不等于它“每秒转的圈数更多”。

皮带或链条传动则要换一个抓手。理想的不打滑传动中，皮带接触处的线速度大小相同；同轴固定的轮则角速度相同。题目一出现多个轮子，先把“谁和谁同轴”“谁和谁由同一根不打滑皮带或链条带动”画出来，再传递物理量。直接把所有点都写成“速度相同”或“角速度相同”，都容易掉进陷阱。

下面把半径和转速改一改。先用自己的判断预测哪个量会改变，再让数据说话。

速度大小没变，为什么仍然有加速度

把一辆匀速通过弯道的自行车想成一个小球。你看速度表，读数没变；可如果此刻松手让车完全不受横向约束，它会沿切线冲出去，而不是还沿原来的弯道走。说明什么？说明“快慢”虽没改，速度的方向却一直在改。

取圆周上相隔极短时间的两个位置，两个速度矢量大小同为 $v$、方向却不同。把它们首尾相接，速度变化量 $\Delta\vec v$ 指向圆心附近。时间间隔越短，这个方向越准确地指向圆心。用相似三角形比较小角度下的边长关系，可以得到向心加速度大小：

$$a_{\mathrm n}=\frac{v^2}{r}=\omega^2r=\omega v$$

它的方向始终指向圆心。若改用周期或频率表示，还可写为

$$a_{\mathrm n}=\frac{4\pi^2r}{T^2}=4\pi^2rf^2$$

这里下标 $\mathrm n$ 只是提醒我们它沿半径指向圆心。它不是“往外甩”的加速度；即使你坐在转椅上感觉身体想往外偏，从地面参考系看，速度方向实际是在不断向内转。

你可能会这样想：“既然线速度大小恒定，$a_{\mathrm n}=v^2/r$ 是不是也恒定，所以加速度矢量不变？”注意，这是第二个陷阱。匀速圆周运动中，$a_{\mathrm n}$ 的大小确实恒定，但它始终跟着圆心方向转动；圆心相对小球的位置在变，加速度的方向也就在变。

不妨先自己算一算：半径不变、线速度变为原来的 $2$ 倍时，向心加速度会变成几倍？若线速度不变、半径变为原来的 $2$ 倍，又会怎样？把 $v$ 和 $r$ 的改变分别放进式子里，别让“半径变大”四个字盖过了控制条件。

向心力不是多出的一种力

有了加速度，就一定有合力。对质量为 $m$ 的物体，在匀速圆周运动中，牛顿第二定律给出指向圆心的合力大小：

$$F_{\mathrm n}=ma_{\mathrm n}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r$$

这叫向心力。它的名字说的是合力所起的作用，不是说空间里凭空长出了一支叫“向心力”的新力。绳子拉着小球转圈时，向心力由绳的拉力提供；汽车在水平路面转弯时，常由静摩擦力提供；物体贴着圆形轨道运动时，可能由支持力、拉力、重力中的一个力或几个力的合力提供。

所以受力图里先画真实存在的力，再看它们沿半径方向的合力。若又额外画一支“向心力”并把它和拉力、摩擦力相加，就相当于把同一个作用算了两遍。

一套不会漏力的受力分析顺序

以圆心方向为正方向时，匀速圆周运动的径向关系可写成

$$\sum F_{\text{向心}}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r$$

这个式子最关键的不是右边，而是左边的“合”。可以按下面四步走：

对于速率也在改变的圆周运动，合力还可能有切线分量来改变线速度大小；本章先把注意力放在匀速圆周运动，那里合力只需负责“拐弯”。这并不是少学了一种力，而是先把最清楚的模型看透。

现在再停一下：一个小球在光滑水平桌面上被细线牵着绕固定点匀速转动。你会在受力图里画哪几支真实力？沿水平方向指向圆心的那一项来自谁？如果你第一反应是“拉力和向心力”，先把两者是否重复检查一遍。

看起来“向外甩”，外力到底在哪里

洗衣机脱水、砂轮磨削时飞出的火星、汽车拐弯时车内物品向一侧偏，这些现象常被叫作离心现象。名字很形象，却容易让人以为物体受了一支指向圆外的“离心力”。先把视角放回地面：若物体原来正在绕圈，它本有沿切线方向运动的速度；使它持续转弯的约束一旦消失，或实际的向心作用不足以维持原先那条圆轨道，它便不再继续走原圆周，而会表现出离圆心越来越远的趋势。

这不是有一支真实外力把它推向外面，而是惯性使它保持原有运动状态。水滴脱离伞沿后沿切线飞出，正是最干净的例子。若仍有一些真实力作用，轨迹可能不再是那条原圆，而会逐步偏离；判断时仍然只画重力、弹力、摩擦力等真实力，绝不在受力图中再补一支“离心力”。本章先建立这个解释，至于不同约束在什么条件下能否维持圆周轨迹，留到后续再专门讨论。

用实验把关系从猜想变成证据

公式 $F_{\mathrm n}=m\omega^2r$ 看起来像一条完整结论，但一开始并不知道向心力究竟怎样随质量、半径和转速改变。只转快一点，常常会连带让装置振动或位置变化；这时即使测得力变大，也不能断言一定是角速度造成的。要把因果关系说清楚，得把其他量尽量按住，这就是控制变量法。

向心力演示器通常让两个小球在水平槽中随转臂转动，挡板对球的压力提供向心作用，球对挡板的反作用会通过杠杆和弹簧显示出相对大小。我们不必把仪器当成神秘黑箱：它做的事情很朴素——让两组圆周运动同时发生，再比较两边的受力读数。

三次对比，每次只放开一个量

1. 选质量相同、半径相同的两个球，只改变角速度。若角速度比为 $1:2$，读数的变化应提示力不是简单地按 $1:2$ 改变，而是与 $\omega^2$ 的变化一致。

2. 选质量相同、角速度相同的两个球，只改变半径。比较读数可检验 $F_{\mathrm n}$ 是否随 成正比。

三组证据合在一起，才支持 $F_{\mathrm n}\propto m\omega^2r$。再结合向心加速度的理论关系和牛顿第二定律，就得到 $F_{\mathrm n}=m\omega^2r$。如果改作图像，固定 后画 — 图像，接近过原点的直线比“看起来一起变大”更有说服力。

实验也会留下不完美之处：装置未调平会让额外作用混进读数；皮带打滑会让以为相同的角速度并不相同；读标尺时视线不正会产生读数误差；转得太快可能带来振动。它们不意味着实验失败，而是提醒我们结论来自有条件的比较。重复测量、保持装置水平、从较低转速开始并检查传动状态，都是让证据更可靠的办法。

下面把你变成实验设计者。选择本次要固定的量，再比较其余条件；如果两组里同时变了两个量，页面会提醒你这次比较为什么不能直接下结论。

把量、方向和受力放到一题里

一张半径为 $0.50\ \mathrm m$ 的转盘每 $2.0\ \mathrm s$ 转一圈，盘上点 $P$ 固定在半径为 $0.20\ \mathrm m$ 的位置，点 $Q$ 固定在转盘边缘。先不要忙着套每一个式子，先判断：它们同在一个刚性转盘上，所以谁相同，谁不同？

再看一个受力情境：质量为 $0.50\ \mathrm{kg}$ 的小物块随水平转盘转动，轨道半径为 $0.40\ \mathrm m$，频率为 $0.50\ \mathrm{Hz}$。物块相对转盘静止。它在竖直方向受重力和支持力平衡；水平方向的静摩擦力指向圆心，提供向心作用。$\omega=2\pi f=\pi\ \mathrm{rad/s}$，所以所需向心力为

$$F_{\mathrm n}=m\omega^2r=0.50\times\pi^2\times0.40\ \mathrm N\approx1.97\ \mathrm N$$

这个 $1.97\ \mathrm N$ 不是在摩擦力之外还要再加的一支力，它就是此刻静摩擦力在径向上的合力效果。先找力的来源，再写向心条件，计算才不会把图和式子拆开。

公布答案：把刚才的停顿放回复习现场

雨伞水滴离开边缘时沿切线飞出，是因为原先让它持续改变速度方向的约束不再提供作用；同一刚性转盘上的内外两点，周期、频率和角速度相同，外点却有更大的线速度；半径不变时线速度翻倍，向心加速度按 $v^2$ 变为原来的 $4$ 倍，而线速度不变时半径翻倍，向心加速度变为原来的一半。至于细线牵引的小球，真实受力是重力、支持力（若有）和细线拉力；水平方向指向圆心的合力由拉力提供，不能再另画一支独立的“向心力”。

放到高考复习里，最常见的失分并不是 $2\pi$ 忘了写，而是模型刚开始就选错：把匀速理解成速度矢量不变，把同轴关系和传动关系混为一谈，或把向心力与某一真实力并列相加。写计算过程时，先交代研究对象和圆心方向，再明确“哪一个真实力或哪些力的合力提供向心力”，最后写 $\sum F_{\text{向心}}=mv^2/r$；若用转速，必须核对它是每秒还是每分钟多少转。实验题则要写清控制哪个量不变，以及读数、调平、打滑等误差来源。这样得到的式子才有物理根据，而不只是一个看起来像答案的数字。

接下来还会遇到约束强弱会变化的圆周运动情境。那时仍从“真实受力的径向合力”出发，只是需要更仔细地判断某些条件在什么情况下成立。

课后练习

1

同一刚性转盘上有两个点 P、Q，且 rP<rQ。转盘匀速转动时，下列说法正确的是？

A.P、Q 的线速度大小相等B.P、Q 的角速度大小相等C.P 的向心加速度一定较大D.P、Q 的周期不相等

2

关于匀速圆周运动，下列说法正确的是？

A.线速度的大小不变B.线速度矢量不变C.向心加速度始终指向圆心D.合力的切线分量为零

提交

3

向心力是一种与重力、弹力、摩擦力并列的独立性质力。

正确错误

4

一个物体做匀速圆周运动的频率为 5 Hz，则它的周期为 ____ s。

提交

5. 半径为 $0.40\ \mathrm m$ 的风扇叶尖每 $0.50\ \mathrm s$ 转一圈。求叶尖的角速度、线速度和向心加速度大小。

显示答案

$\omega=2\pi/T=4\pi\ \mathrm{rad/s}$；$v=r\omega=0.40\times4\pi=1.6\pi\ \mathrm{m/s}$；。方向判断时，线速度沿切线，向心加速度指向圆心。

6. 某转盘转速为 $120\ \mathrm{r/min}$。求它的频率和周期。

显示答案

$120\ \mathrm{r/min}$ 表示每分钟 120 圈，先换成每秒转数：$f=120/60=2\ \mathrm{Hz}$。故 $T=1/f=0.50\ \mathrm s$。不能把 120 直接当作 。

7. 两个轮 A、B 由不打滑皮带传动，半径分别为 $0.10\ \mathrm m$、$0.25\ \mathrm m$。若 A 轮边缘线速度大小为 $5.0\ \mathrm{m/s}$，求 B 轮边缘线速度大小以及两轮角速度大小之比 $\omega_A:\omega_B$。

显示答案

不打滑皮带接触处线速度大小相同，所以 B 轮边缘线速度也是 $5.0\ \mathrm{m/s}$。由 $v=r\omega$，$\omega_A:\omega_B=(v/r_A):(v/r_B)=r_B:r_A=0.25:0.10=5:2$。

8. 质量和半径均不变的物体做匀速圆周运动，频率从 $f$ 变为 $2f$。向心力变为原来的几倍？

显示答案

由 $F_{\mathrm n}=4\pi^2mrf^2$，频率加倍后 $f^2$ 变为原来的 倍，所以向心力变为原来的 倍。这里不能只看频率“加了 1 倍”就把力也误判为加 1 倍。

9. 用向心力演示器研究向心力与半径的关系时，应控制哪些量相同？若同时改变了半径和角速度，能否仅凭两组读数判断向心力与半径成正比？

显示答案

应控制小球质量和角速度相同，只改变半径。若半径和角速度同时改变，读数变化可能来自两者中的任一个或共同作用，不能据此单独判断向心力与半径的关系；需要重新按控制变量法设计比较。

10. 质量为 $0.20\ \mathrm{kg}$ 的小球用细线系住，在光滑水平面内以半径 $0.50\ \mathrm m$ 做匀速圆周运动，线速度大小为 $2.0\ \mathrm{m/s}$。求小球的向心加速度和细线拉力大小，并说明拉力方向。

显示答案

$a_{\mathrm n}=v^2/r=2.0^2/0.50=8.0\ \mathrm{m/s^2}$。水平方向只有细线拉力提供向心作用，故 。拉力沿细线指向圆心；这里的向心力就是这支拉力的作用效果，不另加一支力。