势能与机械能守恒

把一颗钢球从不同高度的轨道上松开，它们都会越滚越快。可你若追问一句：“钢球变快的那一份东西，出发前到底藏在哪里？”事情就开始不那么直观了。它明明没有装电池，也没有被人持续推着；高度一降，速度却自己冒了出来。

这一章要学的不是给运动“贴一个能量标签”，而是把这笔账记清楚：物体和地球之间怎样储存重力势能，弹簧为什么能把压缩时的“憋劲儿”还回来，什么情况下动能和势能能够放心地互相兑换，以及怎样用纸带给机械能守恒做一次实验核对。至于摩擦、电流、内能等更多形式的能量如何统一记账，留到下一章再处理；这里先把机械能这一本账读明白。

高度为什么能“存下”运动：重力势能不是离地面越远越简单

想象你把一本书从地面搬到书架顶层。书静止着，表面看没有发生任何事，可一松手它就能下落、撞击，甚至把薄纸压皱。你会说：“那是重力让它掉下来。”没错；但如果只说到这里，仍解释不了为什么同一本书放得越高，落下时越有劲。

关键在于：把书抬高的过程中，你对书做了功；这份做功没有消失，而是对应着物体与地球组成的系统所具有的重力势能。靠近地球表面、重力可以近似看作恒力时，选定一个参考平面后，物体相对该平面的重力势能写成 Eₚ=mgh。这里 h 是相对参考平面的高度，不是“离地面天然的绝对距离”。

你可能会立刻追问：参考平面要是随便选，势能岂不是随便变？对，势能的数值可以随零势能参考面的选择而改变；但真正进入物理判断的，是两位置之间的势能变化。物体从 A 到 B 时，若高度由 h_A 变为 h_B，则

ΔEₚ=EₚB-EₚA=mg(h_B-h_A)，

而重力做功为 W_G=mg(h_A-h_B)=-ΔEₚ。参考平面整体上移或下移，只会给 A、B 两处的势能都加上同一个常量，二者的差不变，重力做功当然也不变。

现在把书从书架顶层搬到桌面。你可以直接竖直放下，也可以先横着走一段、再沿斜坡下降；只要起点和终点的高度相同，重力做的功相同。横着走时，重力方向竖直向下，而位移水平，重力不做功；最后下降的那一段补足同样的高度差。这就是重力做功“只看初、末位置高度差，不看路径”的意思。

在高中常用的模型里，重力和理想弹簧的弹力都具有这种特征，通常把它们称为保守力：沿任意路径从同一初位置到同一末位置，它们做的功相同。这个词不是让你背一个新名词，而是在提醒你：路径的弯弯绕绕可以先放一边，先盯住起点和终点。摩擦力则不同，箱子绕得越远，摩擦力做的负功往往越多，所以它不能这样处理。

先停一下，自己判断：一只质量为 m 的球从高度 5 m 落到 2 m，如果把地面选作参考面，重力势能减少多少？如果把 3 m 高的桌面选作参考面，答案会变吗？

答案是两种选法下都减少 3mg。第一种选法里势能从 5mg 变到 2mg；第二种选法里则从 2mg 变到 -mg。数值不同，变化量仍是 -3mg。回头用复习视角看，这类题最常见的失手，不是公式不会，而是把“势能的值随零面而变”误写成“势能变化也随零面而变”。写出 ΔEₚ=mg(h_B-h_A)，再用 W_G=-ΔEₚ 自检一次，符号就不容易跑偏。

弹簧的“憋劲儿”放在哪儿：弹性势能要跟形变量和系统走

把一根弹簧轻轻压短，再松开，手会明显感觉到它把物体推回去；把它拉长，也会有相反方向的拉力。这里的困境和高处的书很像：物体还没飞出去，之后能做的运动却已经被“预存”了。

在弹性限度内，弹簧的形变量越大，弹性势能越大。通常把弹簧处于原长时选作弹性势能零点。若轻弹簧的劲度系数为 k，形变量的大小为 x，则

Eₚ弹=1/2 kx²。

为什么不是 kx²？注意，这是个很容易凭直觉多乘一倍的陷阱。形变量从 0 增大到 x 的过程中，弹力大小从 0 逐渐增加到 kx，平均弹力是 1/2kx；外力缓慢把弹簧压缩或拉伸时，外力所做的功为 1/2kx·x=1/2kx²，这正对应增加的弹性势能。由此也能看出，同一根弹簧拉长 x 与压缩 x，形变量大小相同，弹性势能相同；方向不同，不等于“储能的多少”不同。

弹簧弹力做功同样满足一条很干净的关系：W_弹=-ΔEₚ弹。弹簧恢复原长时，弹力对被推着走的物体可能做正功，弹性势能减小；继续压缩弹簧时，弹力对物体做负功，弹性势能增加。别把“弹力做正功”误读为“弹性势能增加”，二者的符号恰好相反。

还有一个比公式更重要的问题：谁拥有这份弹性势能？ 弹簧对木块做功时，只看木块，木块的动能会增加或减少；但弹性势能并不属于木块单独所有，更合理的研究对象是“木块和弹簧组成的系统”。把弹簧漏在系统外，却又在方程里写入弹性势能，相当于把账本里的一笔钱从别的账户拿来用，结论会乱。

小问题来了：同一弹簧的形变量由 x 增至 2x，弹性势能变成原来的几倍？很多人会顺手答 2 倍，因为“形变量翻倍了”。请先别急。

代入 Eₚ弹=1/2kx²，新旧之比是 (2x)²:x²=4:1，所以是 4 倍。复盘这类题时，要把“正比于 x²”看成完整信息；只盯 x 的变化而忘了平方，是计算题里很典型的漏项。下一步，我们就把重力势能、弹性势能和动能放到同一本账里。

动能和势能能不能自由兑换：先选系统，再问有没有别的能量出口

光滑轨道上的小球从高处滑下，越到低处越快；粗糙轨道上的小球也会加速，却没有那么快。两幅画面看起来只差一个“光滑”，结果为什么会差这么多？因为第一种情形里，重力势能主要转成动能；第二种情形里，摩擦还把一部分机械能转移成了内能，机械能这本账不再守恒。

把系统具有的动能、重力势能和弹性势能合起来，叫作系统的机械能。某一时刻实际有哪些项，就写哪些项，例如可写成 E=Eₖ+Eₚ重+Eₚ弹；不是每道题都要把三项硬塞进去。只有重力势能变化的单摆，通常没有弹性势能项；压缩弹簧推动水平木块时，若高度不变，通常没有重力势能的变化项。

机械能守恒并不是“物体速度不变”，而是对选定系统而言，动能和势能之间可以互相转化，而机械能总量保持不变。最常用的判据是：在研究过程中，系统内只有重力或弹簧弹力做功；更一般地说，除重力和弹力以外的力对系统所做功的代数和为零，并且系统没有把机械能传给外界，也没有在系统内把机械能转化成其他形式的能量。

这句话要慢一点读。固定的光滑轨道对小球的支持力虽然存在，但在每一瞬间都垂直于小球的位移，支持力不做功；它不妨碍机械能守恒。粗糙面上的滑动摩擦力却沿反方向做负功，不能忽略。匀速下降的跳伞者合力为零，却因为空气阻力持续做负功，机械能仍在减少。因此“合力为零”不是机械能守恒的判据，“加速度不为零”也不是机械能不守恒的理由。

再想一想：一个木块沿粗糙斜面匀速下滑。它的动能不变，重力势能在减小，那么机械能守恒吗？答案是否定的。势能减少的那一部分没有变成动能，而是由摩擦转化为内能。到复习阶段，这个判断的给分关键是写清“摩擦力做负功，存在机械能向内能的转化”；只写“匀速，所以不守恒”没有说明真正原因，换成别的匀速情形就会误判。

碰到一个新过程时，可以先在草稿边上完成四个小动作。第一，圈出研究系统：是一个小球，还是小球和地球，还是木块、弹簧和地球？第二，标出初态与末态，给高度、速度、弹簧形变量配上相同的符号体系。第三，逐个检查可能做功的力：重力、弹力、支持力、张力、摩擦力和外力分别在哪里做功，哪些功在系统内部抵消。第四，只有确认没有机械能流失或流入时，才把初、末状态的机械能相等。这个顺序看似多写了几句话，却能防住最隐蔽的错误：先把守恒式列出来，再倒过来假定条件成立。

特别是“物体系统”四个字，不能省略。一个摆球和地球构成的系统中，细绳拉力通常不做功，摆球上升时动能转成重力势能；若绳子突然绷紧并发生碰撞式的能量损失，就不能仍把它当作理想机械能守恒过程。一个在竖直光滑圆轨道上运动的小球，轨道支持力始终垂直于瞬时位移，支持力不做功；但这并不意味着所有接触力都不做功。判断力是否做功，要看力和位移的夹角，判断系统是否守恒，还要看这份功有没有把机械能带出系统或变成别的能量。

一道守恒式怎样落地：两个状态、同一系统、同一份能量账

机械能守恒最省力的地方，是它不必逐段追问每个时刻的加速度。可它也不能代替受力分析：是否守恒、研究哪个系统、起末状态的高度和速度分别是多少，都要先说清楚。

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例如，质量为 m 的小球从离地 0.80 m 的光滑轨道上由静止下滑，到离地 0.20 m 的 B 点，空气阻力忽略。小球和地球组成系统，轨道支持力不做功，故机械能守恒。别一上来就写一串式子，按下面顺序走更稳。

当问题出现两个物体、轻绳或弹簧时，思路仍一样，只是“系统边界”更值得画出来。轻绳跨过理想定滑轮连接两个物体时，若忽略阻力、绳和滑轮的质量，应把两个物体、轻绳和地球作为系统；固定定滑轮及其支架可视为地球的一部分。这样绳的张力是系统内力，对一物体做正功、对另一物体做负功，系统内这两份功可以抵消；两物体相对地球的重力势能总变化便可转化为两物体的总动能。含弹簧时，把弹簧也放进系统，才能把 1/2kx² 记进能量账。这里先练的是“守恒条件与列式”，更多含摩擦、外力做功和其他能量形式的统一关系，会在下一章展开。

让纸带来核对：验证的不是公式好看，而是两种能量变化是否接近

“机械能守恒”听起来像一条很整齐的定律，实验里却不会得到两列完全相同的小数。纸带与打点计时器之间有摩擦，重物还会受空气阻力；刻度尺读数和点位选择也会带来误差。所以实验的目标不是要求 ΔEₚ 和 ΔEₖ 每一位都相同，而是看它们是否在实验误差允许的范围内接近。

把打点计时器竖直固定，让纸带穿过限位孔，纸带下端夹着质量较大、体积较小的重物。先接通电源，待打点稳定后再松开纸带；这样才能从纸带上留下可靠的时间刻度。以下把 Δh 定义为重物向下运动的正下降距离。重物下落时，如果阻力足够小，重力势能的减少量 ΔEₚ=mgΔh 应与动能增加量 ΔEₖ=1/2mv_B²-1/2mv_A² 接近。

速度不能拿 v=gt 或 v²=2gh 去算——那两式本身就已经把理想下落规律放进去了，用它们来“验证”机械能守恒会绕成一个圈。应从纸带测量：若相邻点时间间隔为 T，第 n 个点附近的瞬时速度可用中间时刻法估算为 v_n=(x_{n+1}-x_{n-1})/(2T)。这里的 x 是纸带上点的位置坐标；选点前后对称，才是在用中间时刻的平均速度近似该点的瞬时速度。

实验可以用两个状态直接比较，也可以画图像。若重物从近似静止释放，令 h 表示它从释放点起向下的正下降距离，则理论上有 mgh=1/2mv²，约去质量得到 1/2v²=gh。以这个 h 为横轴、1/2v² 为纵轴作图，理想情况下应接近一条通过原点、斜率为 g 的直线；若改以 v² 为纵轴，斜率则应为 2g。别把“向上的高度坐标”和这里的正下降距离混在一起，也别把两种纵轴混在一起，斜率随之不同。

你可以先判断一下：若装置明显有阻力而其他测量无系统错误，通常是 ΔEₚ 较大还是 ΔEₖ 较大？重物的重力势能减少后，一部分转成动能，另一部分因阻力转化为内能，因此通常 ΔEₚ>ΔEₖ。复盘实验题时，别把“数据不完全相等”一概说成实验失败；更可靠的表述是说明差异方向、联系阻力和测量误差，并检查打点计时器是否竖直、是否先通电后释放、是否选择了点迹清晰且间距足够的一段纸带。

到这里，你已经能把“高处会更快”“弹簧会弹回”翻译成能量变化，也能决定何时可以放心用机械能守恒。下一章要面对的是更广的情形：如果摩擦、拉力、电流或其他能量形式加入账本，怎样用功能关系和能量守恒把账接着记下去？

练习：先把系统和变化过程说清楚

第 6 题： 质量为 m 的小球从离地 1.40 m 的光滑轨道 A 点以 2.0 m/s 的速度下滑到离地 0.50 m 的 B 点。取 g=9.8 m/s²，求 B 点速度大小。

第 7 题： 一木块在光滑水平面上压缩轻弹簧后由静止释放。分别以“木块”和“木块加弹簧”为系统，说明哪一个系统可用机械能守恒，并写出理由。

第 8 题： 两个质量不同的物体用轻绳跨过光滑定滑轮连接，释放后一个下降、另一个上升，忽略空气阻力以及绳和滑轮质量。为什么讨论机械能守恒时，通常把两个物体、轻绳和地球一起选为系统，而不是只研究下降的物体？

第 9 题： 用打点计时器和重物验证机械能守恒时，写出两项关键操作，并分别说明理由。

第 10 题： 打点频率为 50 Hz，纸带上某点前、后相邻点相对同一原点的位置分别为 0.192 m 和 0.312 m。该点从释放点起向下的下降距离为 0.460 m。求该点速度，并比较 ΔEₚ/m 和 ΔEₖ/m（取 g=9.8 m/s²），判断结果是否与机械能守恒相符。

最后得到 v_B=sqrt(2g×0.60 m)；取 g=9.8 m/s² 时，v_B≈3.43 m/s。如果算出了虚数、或低处速度反而更小，就回到高度差和正负号检查，而不是急着怀疑定律。