第 10 章　功能关系、能量守恒与综合模型

一只滑块从斜面顶端滑下来，速度越来越大；随后它冲上粗糙水平面，终于停住。你会很自然地说：重力势能变成了动能。可它已经停住了，动能也变成零了，滑块和木板却摸起来微微发热——刚才那一大笔能量，到底跑到哪里去了？

这不是把几个公式凑在一起就能解决的问题。真正的难点在于：同一个过程，换一个研究对象，式子里的“功”和“能量”会改头换面；但无论账本怎样记，能量的总账不能对不上。本章要练的，就是把每一笔能量的来处、去处和归属说清楚。

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一、制造困境：明明没有“消失”，为什么机械能却少了

1. 先别急着写守恒，看看滑块到底留下了什么

把一块冰冷的金属滑块从粗糙斜面上端轻轻放开。刚开始，它越滑越快；离开斜面后又在粗糙水平面上滑出一段距离，最后静止。若忽略空气阻力，滑块从高处下来时，重力势能确实在减小；可若你从初态到末态只写

$$mgh=0,$$

这显然荒唐。高度降低了，末态动能为零，难道重力势能凭空没了吗？摸一摸接触面附近的材料，或者想想刹车片，答案其实已经藏在现象里：相互摩擦的表面温度升高了。机械能没有无故消失，只是有一部分不再以“看得见的宏观运动”出现，而转化成了系统的内能。

你可能会说：“那功不就是能量吗？”注意，这是个容易混在一起的词。能量是系统的状态量；功记录能量因力和位移而发生转化或转移的大小。下滑时重力做功对应重力势能减少，相对滑动时一部分机械能转化成内能。功像账本上的流动记录，能量像账户余额，二者不能互相顶替。

把已经学过的三条关系放在一起看，会发现它们都在说同一件事：

$$W_{\text{合}}=\Delta E_k,\qquad W_G=-\Delta E_p,\qquad W_{\text{弹}}=-\Delta E_{\text{弹}}。$$

第一式说合外力做的功决定动能怎样变化；第二式说重力做正功时重力势能减少；第三式对理想弹簧的弹力也成立，弹力做正功时弹性势能减少。符号里的“负”不是在故意为难人，它只是在提醒：某种势能的减少，正是相应力能够对外做正功的能量来源。

2. 机械能减少，不等于动能一定减少

再看滑块沿粗糙斜面下滑的前半段。它速度增大，动能增加；高度降低，重力势能减少；摩擦又让系统产生内能。因此“机械能减少”与“动能增加”可以同时发生。机械能是动能、重力势能和弹性势能的合称：

$$E_{\text{机}}=E_k+E_p+E_{\text{弹}}。$$

一个总量减少，只说明其中减少的部分多于增加的部分，并不规定每一项同向变化。

现在先停一下。质量为 $m$ 的滑块从高度差为 $h$ 的粗糙斜面由静止下滑到低处，末速度为 $v$。若空气阻力忽略不计，你觉得摩擦产生的内能应该比 $mgh$ 大，还是小？

它小于 $mgh$，具体为

$$Q=mgh-\frac12mv^2。$$

原因不是“摩擦偷走了全部重力势能”，而是势能的减少分成了两份：一份进入滑块的动能，另一份转化为内能。若末速度恰好为零，才有 $Q=mgh$。先把能量的去处分开，困境就不再神秘了。

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二、引出概念：账本先写谁的名字，系统边界就画在哪里

1. 选系统不是形式步骤，而是在决定哪些账记在“内部”

同一段运动里，重力有时写成做功，有时又写成重力势能变化；摩擦有时写成外力做功，有时又写成系统内部产生的内能。到底该听谁的？答案并不在某条更“高级”的公式里，而在你先画出的系统边界里。

系统就是我们选定来研究的一组物体。边界以内的物体相互作用，叫系统内相互作用；边界以外的物体对系统的作用，叫外界作用。系统边界一变，同一对相互作用的归属也可能改变：

• 只取滑块，重力、支持力、摩擦力都在系统外，以做功出现。
• 取“滑块和地球”，重力变成内力，重力势能记入账户。
• 再把弹簧和接触面圈进来，弹性势能和摩擦产生的内能也可记在内部。

系统要大到能量账能合上，又不必把无关物体全拖进来。研究滑块从斜面顶端到水平面停下，选“滑块+斜面+地球”很自然：重力势能、滑块动能和摩擦内能都在同一账户中。

2. 系统能量的总规则：进多少，账户就变多少

在本章的力学模型中，若忽略系统与外界间的热传递等其他交换，能量只通过外界做功跨过边界，便有

$$\Delta E_{\text{系统}}=W_{\text{外}}。$$

这里 $E_{\text{系统}}$ 指系统内所有需要计入的能量总和，$W_{\text{外}}$ 是外界对系统做功的代数和。外界做正功，能量从外部流入；外界做负功，能量从系统流出。若系统与外界没有能量交换，便有 $W_{\text{外}}=0$，从而得到

$$\Delta E_{\text{系统}}=0。$$

这就是能量守恒在具体系统上的说法：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失；它只能在不同形式间转化，或者在不同物体间转移，转化和转移过程中总量保持不变。

把摩擦放在系统内，并不是把摩擦过程删掉。只研究滑块时，摩擦力对滑块做负功；把滑块和接触面一起圈入系统时，机械能的损失表现为内能增加。两种账法应算出同一个速度和末态。

3. 把“功能关系”说精确：不是什么力都能直接改写成势能

当重力和理想弹簧弹力所对应的势能已经记入系统后，其他力做功与机械能变化的关系可以概括为

$$W_{\text{除重力和系统内弹力外}}=\Delta E_{\text{机}}。$$

这句话有三个限定：机械能要包含题中涉及的动能、重力势能和弹性势能；重力、理想弹簧弹力按相应势能处理；“其他力”可以是推力、阻力或摩擦力，并不自动等于某一种势能变化。机械能减少后还要追问：它转为内能，还是传给了系统外。

轻绳连接的两个物体也说明了边界的作用。只研究一个物体时，张力通常做功；把两个物体和理想轻绳一起纳入系统，张力成为内力。绳不可伸长、滑轮理想时，两端张力功互相抵消，只需追踪两物体动能与重力势能的变化。

现在轮到你自己画边界：一人用手沿水平面推着箱子匀速前进，地面粗糙。若只研究箱子，推力和摩擦力各写在哪一栏？若研究“人、箱子和地面”整体，又该怎样理解摩擦？

前一种选法中，推力对箱子做正功，摩擦力对箱子做负功，二者代数和为零，所以箱子动能不变。后一种选法里，人对箱子的推力成了内部作用。人正常站稳或行走时，人—地接触通常是静摩擦，不能笼统地把它说成产生摩擦热；这里的内能增加来自箱子相对地面滑动的箱—地接触，而人的体内储能减少需作为另一项能量变化说明。两个系统都没有矛盾，只是问题问的账户不同。下一步要专门处理最会“制造两本账”的摩擦。

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三、标关键点和易错点：摩擦的账，千万别把三段路写成一段

1. 摩擦力可以做正功、负功，也可以不做功

“摩擦力总是阻碍运动，所以一定做负功”这句话听起来很顺，实际上少了一个关键对象：摩擦力阻碍的是接触面之间的相对运动或相对运动趋势，它对某个物体做功的正负，要看该物体相对地面的位移方向。

水平传送带向右运动，静止木块刚放上去时，木块相对带面向左滑，因此带面对木块的滑动摩擦力向右。木块也向右移动，摩擦力对木块做正功，木块动能增加；木块对传送带的摩擦力向左，而传送带对地向右移动，摩擦力对传送带做负功。若木块已经和带同速，在合适条件下静摩擦力可以为零；即使静摩擦力不为零，它对某个物体也可能做正功、负功或零功。

对标准的刚性接触模型，一对静摩擦力在无相对滑动时对整体做功的代数和为零，它只在物体间转移机械能；一对滑动摩擦力做功的代数和为负，其绝对值对应机械能转化为内能的部分。于是出现一个特别重要的量：

$$Q=f_k s_{\text{相对}}。$$

$f_k$ 是滑动摩擦力大小，$s_{\text{相对}}$ 是两接触面间的相对路程。若先向左相对滑了 $0.4\ \text{m}$，又向右相对滑了 $0.3\ \text{m}$，这里应取 ，不能让它们相减成 。内能增加不会因为后来反向滑动就倒流回来。

2. 同一对摩擦力，为什么会同时出现三个位移

设木块对地位移为 $s_1$，传送带或木板对地位移为 $s_2$。计算摩擦力对木块做功时，必须用木块的位移 $s_1$；计算摩擦力对木板做功时，必须用木板的位移 $s_2$；计算摩擦生热时，才使用它们的相对路程 。在始终同向相对滑动的一段内，；多次变向时，要逐段把相对路程的绝对值累加。

这三种距离不是“同一个 $s$ 换了三个名字”，而是三个不同问题各自需要的量。比如木块在光滑桌面上的木板上向右滑，木块位移大于木板位移。摩擦力对木块做负功，大小为 $f_ks_1$；摩擦力对木板做正功，大小为 $f_ks_2$；两功相加为

$$W_{f,\text{总}}=-f_k(s_1-s_2)=-f_ks_{\text{相对}}=-Q。$$

负号清楚地表示：这对滑动摩擦力没有把机械能凭空抹去，而是把相同数值转成了内能。

3. 用一段粗糙斜面把两种账法对上

质量为 $m$ 的滑块从斜面上高为 $h$ 的位置由静止下滑，沿斜面路程为 $s$，动摩擦因数为 $\mu$，斜面倾角为 $\theta$。若取滑块为系统，支持力不做功，重力和摩擦力做功，由动能定理有

$$mgh-\mu mg\cos\theta\,s=\frac12mv^2。$$

若改取“滑块、斜面和地球”为系统，重力势能、动能与摩擦产生的内能都放在内部，则同一过程写成

$$mgh=\frac12mv^2+Q,\qquad Q=\mu mg\cos\theta\,s。$$

两式逐项代入后完全相同。你不必背两套互相竞争的公式；先问“我把谁圈进来了”，再决定把重力和摩擦记成做功还是能量变化。只要边界没有在同一条式子里悄悄变更，账就一定能对上。

请你先判断一句话：“摩擦力对物体做负功，所以该物体的动能一定减少。”它成立吗？

不一定。动能由合外力做功决定。粗糙斜面上向下滑的物体，摩擦力做负功，但若重力做的正功更大，合功仍为正，动能就增加。摩擦力的功只能说明它对动能变化的贡献方向，不能单独决定最终变化。把“一个力的功”偷换成“合外力的功”，正是这类判断最容易卡住的地方。

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四、抛小问题让你先想：传送带、弹簧和多过程，到底该从哪一笔开始算

1. 传送带为什么常常比木块“多花一笔能量”

设水平传送带以速度 $u$ 向右匀速运动。质量为 $m$ 的木块从静止轻放到带上，二者间动摩擦因数为 $\mu$。木块相对带面向左滑，所以木块受到向右的滑动摩擦力，大小为 $f_k=\mu mg$，加速度为 $a=\mu g$。直到木块速度也变为 ，所经历时间、木块位移和传送带位移分别是

$$t=\frac{u}{\mu g},\qquad s_{\text{木}}=\frac{u^2}{2\mu g},\qquad s_{\text{带}}=\frac{u^2}{\mu g}。$$

你会发现带子在这段时间走得比木块远，二者相对路程为

$$s_{\text{相对}}=s_{\text{带}}-s_{\text{木}}=\frac{u^2}{2\mu g}。$$

于是摩擦产生的内能为 $Q=\frac12mu^2$，恰好等于木块增加的动能。电动机为了维持传送带匀速、克服木块施加给带子的摩擦力，在这个理想模型中额外提供的能量为

$$W_{\text{驱动}}=f_ks_{\text{带}}=mu^2=\Delta E_{k,\text{木}}+Q。$$

这不是说“摩擦力有两份”。同一对摩擦力一边使木块获得动能，一边产生内能；驱动装置为维持带速所补入的能量，要同时覆盖这两笔去向。

若木块初速度比带速大，它相对带面向右滑，摩擦力便向左：木块减速，传送带有被带快的趋势。为保持带速，驱动装置可能少输入甚至吸收能量。判断顺序始终是：比较相对速度定摩擦方向，分别画对地位移，最后计算功和内能；传送带向右并不意味着摩擦力必向右。

2. 弹簧是一只会储能的“中转站”，但它不替你省掉分段

理想轻弹簧在形变量为 $x$ 时，储存的弹性势能为

$$E_{\text{弹}}=\frac12kx^2。$$

只要仍在胡克定律适用范围内，压缩 $x$ 和拉伸 $x$ 储存的弹性势能相同。弹簧推动滑块时，弹性势能减少，弹力可以对滑块做正功；滑块把弹簧压得更紧时，弹力做负功，滑块动能或外界输入的能量转入弹性势能。因为弹力随形变量变化，通常不把它当成恒力直接用 $W=Fs$；用弹性势能变化或完整的能量账会更清楚。

例如，水平光滑段上的滑块被压缩弹簧后从静止释放，离开弹簧时若弹簧恰恢复原长，有

$$\frac12kx_0^2=\frac12mv_0^2。$$

若它接着进入长度为 $L$ 的粗糙水平段，且全程相对地面滑动，穿过这段所损失的机械能是 $\mu mgL$。比较 $\frac12kx_0^2$ 与 ，便能先判断它能否通过粗糙段；若能通过，余下的能量才可继续分给末速度或后续势能。你不需要在一开始把整条路径塞进一条很长的式子，先把“离开弹簧”“进入粗糙段”“离开粗糙段”定成状态节点，反而不易漏账。

3. 多过程不是更多公式，而是更多次核对状态

经历“斜面下滑—压缩弹簧—反向—再次过粗糙面”时，不能因为能量守恒就急着从起点连到终点写一条长式子。必须先确认有无外界输入、是否接触或分离、摩擦是否往返、弹簧形变量能否在初末状态表示；任一项不清楚，长式子就会藏错。

更稳的做法是给过程画一条状态线：每到速度为零、刚接触、刚离开、共速、到达最高点、弹簧原长等关键时刻，就立一个节点；每一段只问三件事：研究系统是谁？这一段有哪些能量变化？能量是否跨过边界？如果某段发生相对滑动，就把这一段相对路程单独记下，最后再汇总内能。

现在请你先想一个判断：滑块先在粗糙面上向右滑，再被弹簧弹回向左滑。两段都存在滑动摩擦时，第二段的摩擦生热能否用负号抵消第一段的一部分？

不能。对固定粗糙面，滑块反向后滑动摩擦力也随相对运动方向反向，始终与滑块位移方向相反，所以两段摩擦力都对滑块做负功；但两段相对滑动都使内能增加。计算 $Q$ 时应把两段的相对路程相加，即 $Q=f_k(s_{\text{右}}+s_{\text{左}})$。这正是“功的正负”与“内能增量”不能混为一谈的又一个例子。

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五、公布答案并复盘：把复杂情境翻译成一张可核对的能量账

前面那些小问题的答案，其实都来自同一套操作。到了复习和解题时，题目再换成斜面、轻绳、木板、传送带或弹簧，先后顺序仍然不要乱：

从高考复习视角看，功能关系题的给分点常不在最后一行计算，而在前面的“系统与过程”是否说对。把单个滑块的摩擦功误写成摩擦热，或把传送带的对地位移直接当成相对路程，往往会让后面的代数再整齐也失去物理意义。涉及多物体时，先明确“此式是对谁列的”；涉及机械能时，先明确“重力势能和弹性势能是否已经记在系统内”。这两个说明写清楚，阅卷才能看出你的方程为什么成立。

下面用一个典型结构把这套方法走一遍。质量为 $m$ 的滑块从光滑斜面高度 $h$ 处静止下滑，进入水平粗糙面后压缩轻弹簧，压缩到最大量 $x$ 时瞬时静止。粗糙面的动摩擦因数为 $\mu$，滑块在粗糙面上从进入到最大压缩共移动距离为 $s$，弹簧劲度系数为 $k$。取“滑块、地球、弹簧和粗糙面”为系统，空气阻力忽略。初态能量是 $mgh$；末态动能为零，弹性势能为 $$；相对滑动使内能增加 。于是总账是

$$mgh=\frac12kx^2+\mu mgs。$$

若题目改问“滑块刚接触弹簧时的速度”，就只截取从释放到刚接触弹簧这一段，把粗糙面的实际路程换成那一段的路程，末态的弹性势能删去；若之后滑块被弹回，又要为回程新增一段摩擦内能。不要把“最大压缩时速度为零”误用到刚接触弹簧的时刻，也不要因为弹簧已在系统里就忘掉它的势能变化。

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六、埋钩子：把边界画大，能量观念还会继续长大

从滑块到传送带、弹簧和多物体系统，模型在变，账本逻辑不变。边界画小，更多过程表现为外力做功；边界画大，更多过程表现为内部能量转化。这是同一事实的两种观察角度。以后遇到新的能量形式，仍问三句：从哪儿进入系统？在系统内变成什么？最后到哪儿去？

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章末自检：先独立作答，再展开核对

1

质量为 m 的物体在光滑水平面上受合外力做功 W，初动能为 Ek0，则末动能为

A.Ek0−WB.Ek0+WC.W−Ek0D.无法确定

2

关于一对相互作用的滑动摩擦力，下列说法正确的是

A.它们对两个物体一定都做负功B.它们做功代数和为负C.若发生相对滑动，系统内能增加量可用 fk 乘相对路程计算D.求其中一个摩擦力的功时一定使用两物体相对路程

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3

同一物理过程里，只要最终数值相同，能量方程中可以随时更换系统边界。

正确错误

4. 质量为 $m$ 的滑块从高度差 $h$ 的粗糙斜面静止下滑到低处，末速度为 $v$，不计空气阻力。求系统产生的内能 $Q$。

显示答案

取滑块、斜面和地球为系统，重力势能减少转化为滑块动能和内能：$mgh=\frac12mv^2+Q$。故 $Q=mgh-\frac12mv^2$。若算出负值，应先检查题设数据是否允许该末速度。

5. 静止木块轻放在速度为 $u$ 的水平匀速传送带上，二者动摩擦因数为 $\mu$。求木块与传送带达到共速前的相对路程及摩擦产生的内能。

显示答案

木块加速度为 $\mu g$，共速时间 $t=u/(\mu g)$。木块位移 $s_{\text{木}}=u^2/(2\mu g)$，传送带位移 ，故相对路程为 。。

6. 水平传送带速度为 $u$，木块以 $v_0>u$ 的初速度向右滑上带面，直至共速。说明摩擦力对木块和对传送带分别做正功还是负功，并写出摩擦生热的表达式。

显示答案

木块相对带面向右滑，带面对木块的摩擦力向左，因此摩擦力对向右运动的木块做负功；木块对传送带的摩擦力向右，传送带也向右运动，因此该力对传送带做正功。相对路程为 $(v_0-u)^2/(2\mu g)$，故 $Q=\mu mg\cdot (v_0-u)^2/(2\mu g)=\frac12m(v_0-u)^2$。

7. 一轻弹簧劲度系数为 $k$，被压缩 $x_0$ 后释放质量为 $m$ 的滑块，滑块先经过光滑面后进入粗糙水平面。弹簧恢复原长时滑块速度多大？

显示答案

弹簧恢复原长前没有摩擦损耗时，弹性势能全部转化为动能：$\frac12kx_0^2=\frac12mv^2$，所以 。这里要求弹簧和滑块过程满足理想模型，且弹簧未超出适用范围。

8. 第 7 题中的滑块进入动摩擦因数为 $\mu$ 的粗糙水平面后，最多滑行多远才停下？

显示答案

粗糙面上仅摩擦消耗机械能，$\frac12kx_0^2=\mu mgs$，故 $s=kx_0^2/(2\mu mg)$。这里的 是滑块相对固定地面的路程，也正是相对粗糙面的路程。

9. 两物块用不可伸长轻绳跨过理想滑轮连接，取“两物块、轻绳和地球”为系统。说明为什么在这种选法中通常不必单列张力做功。

显示答案

张力成为系统内力。理想轻绳不可伸长，两端沿绳方向的位移大小相等；一端张力做正功时，另一端张力做等量负功，代数和为零。因此可直接追踪两物块动能总变化与重力势能变化。若滑轮不理想或绳会明显伸长，模型就需要补充相应能量项。

10. 如图所示，滑块从弹簧压缩状态释放，在粗糙面上先向右、后向左各滑过一段距离 $s_1$、$s_2$，动摩擦力大小恒为 $f_k$。系统因摩擦产生的内能是多少？

显示答案

两段都发生相对滑动，内能持续增加，$Q=f_k(s_1+s_2)$。不能写成 $f_k(s_1-$；后者把位移的代数关系误当成了相对路程。

11. 人用水平恒力推箱子在粗糙地面上做匀速直线运动。只取箱子为系统时，如何用功说明箱子动能不变？若取“人、箱子和地面”为系统，又应补充哪一类能量变化？

显示答案

只取箱子时，推力做正功、摩擦力做等量负功，合功为零，所以 $\Delta E_k=0$。取整体系统时，人与箱子之间的推力成为内部作用；箱子相对地面滑动的箱—地接触使内能增加。人—地接触通常是静摩擦，不能笼统计作摩擦热；人的体内储能减少应另行说明。系统变了，账目的栏目变了，匀速这一事实不变。

12. 一物体沿粗糙斜面向下加速，是否能直接得出“摩擦力做正功”？请说明。

显示答案

不能。物体沿斜面向下运动时，滑动摩擦力沿斜面向上，故摩擦力做负功；物体仍可加速，是因为重力沿斜面的分力做的正功大于摩擦力做的负功，合功为正。加速看合力，不只看摩擦力。

13. 某多过程装置中，滑块先与传送带相对滑动，后来共速并随带匀速运动。计算全过程的摩擦生热时，后一段是否还要继续累加 $f_ks$？

显示答案

若后一段已经共速且没有相对滑动，接触面之间不再产生滑动摩擦热，不能继续用 $f_ks$ 累加。此时若存在静摩擦力，应另按实际受力和各物体位移判断它做的功；“有摩擦力”与“有摩擦生热”不是同一件事。