开普勒定律与万有引力定律 | 自在学

第5章　开普勒定律与万有引力定律

抬头看夜空时，行星不像流星那样一闪而过，却也不是钉在天幕上的。它们日复一日地挪动位置，有时还会出现看似“倒着走”的视运动。更奇怪的是：地面上的苹果会落下，月球却没有砸向地球；太阳明明一直拉着地球，地球为什么没有被直接拉过去？

这一章要做的事，就是把这些看起来彼此无关的现象接成一条线：先从长期观测中读出行星运动的规律，再追问“究竟是什么力让天体彼此牵引”，最后利用这种力去估算一个根本放不上天平的天体质量。本章先把“天体为什么这样运动、怎样由运动反推质量”讲明白；人造卫星的轨道、发射和宇宙速度，留到下一章专门处理。

本章有两类公式，别混用。开普勒定律描述的是同一中心天体周围的轨道运动规律；万有引力定律描述的是任意两个物体间的相互吸引。把它们接起来，才可以从周期、轨道半径等观测量估算中心天体的质量。

第一步：制造困境——行星为什么不是绕着太阳画一个完美圆？

如果只凭直觉画太阳系，大多数人会画太阳在圆心、行星沿圆周匀速转动。这个图很整齐，可是第谷留下的长期观测数据偏偏不肯完全听话：有些位置总有一点对不上。你可能会想，“一点点误差而已，画圆差不多就行了吧？”可科学最怕的就是把反复出现的偏差当成噪声。开普勒没有把它抹掉，而是追着这点偏差问下去，结果改写了人们对行星运动的想象。

行星绕太阳运动的椭圆轨道；太阳位于椭圆的一个焦点，近日点和远日点到太阳的距离不同。

圆的每一点到圆心距离相等；椭圆可理解为被“压扁”的圆，它有两个焦点。行星轨道不是随意弯曲的曲线，而近似是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。于是行星到太阳的距离本来就在变化：离太阳最近的位置叫近日点，最远的位置叫远日点。这已经解释了为什么“行星到太阳的距离总相同”的设想不成立。

第二步：引出概念——三条定律怎样把不规则的天象变成可计算的规律？

1. 轨道定律：先别把太阳放到椭圆中心

开普勒第一定律（轨道定律）说：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。这里最值得停一下的是“一个焦点”。太阳不在椭圆中心；若把太阳画在中心，后面判断距离、速度和受力都会从第一笔就偏掉。

在许多定量题里，行星轨道的偏心程度很小，可以把椭圆近似看作圆，把太阳近似放在圆心。这是为计算作的近似，不是把第一定律改成“轨道本来就是圆”。题目若明确给出近日点、远日点或椭圆轨道，就应把椭圆信息保留下来。

2. 面积定律：同样一段时间，为什么近日点附近“走得更快”？

把太阳和行星连成一条线。行星运动一段时间，这条连线就会扫过一块扇形样的面积。开普勒第二定律（面积定律）说：对同一个行星，太阳和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等。

这句话没有直接说“速度怎样变”，却暗含了很强的限制。远日点处，行星离太阳远；要在同样时间内扫出同样面积，转过的角度可以小一些。近日点处距离短，连线必须转过更大的角度才能补齐同样面积，因此行星运动更快。对于椭圆轨道，近日点速率最大，远日点速率最小。

相同时间内，行星在近日点附近扫过的扇形较窄却转角较大；在远日点附近扫过的扇形较宽但转角较小，面积相等。

3. 周期定律：轨道大一点，周期为什么不只是“长一点”？

最后一条规律把不同轨道放在一起比较。开普勒第三定律（周期定律）说：围绕同一中心天体运动的各个天体，其轨道半长轴 $a$ 的三次方跟公转周期 $T$ 的二次方的比值相等：

\frac{a^3}{T^2}=k

这里的 $k$ 不是宇宙通用的一把尺子，而只与中心天体有关。地球绕太阳、月球绕地球，中心天体不同， $k$ 就不同；比较时不能把两套系统硬塞进同一个比值。若轨道近似为圆，半长轴 $a$ 就等于圆轨道半径 $r$ 。

在同一中心天体周围，轨道半长轴增大时公转周期也增大；T^2/a^3 保持不变。

第三步：标关键点/易错点——别把“面积相等”翻译成“速度不变”

你可能会这样想：相等时间扫过相等面积，听起来很平均，行星速度应该不变吧？注意，这是个陷阱。面积平均，不等于弧长平均，更不等于速度平均。椭圆轨道上，行星到太阳的距离在变，等面积所需的转角也在变，所以速率也在变。

还有一个容易被口诀带偏的细节：第二定律严格描述的是面积速度不变。若取很短的时间间隔，扫过面积近似为 $\frac12 r\,v_\perp\Delta t$ ，其中 $v_\perp$ 是速度垂直于太阳—行星连线的分量。因此真正稳定的是，不是任何位置都能不加条件地写成不变。只有在近日点、远日点这些速度恰好与连线垂直的位置，才可直接比较。

第三定律同样有边界：它比较的是同一中心天体周围的轨道，且椭圆轨道要用半长轴，不是随手拿某一时刻到中心天体的距离代替。题目里若只给圆轨道半径，才可以放心令 $a=r$ 。

第四步：抛个小问题——两颗行星谁离太阳更远，周期一定怎样变？

设甲、乙都绕太阳运动，且它们的轨道可近似看成圆。已知甲的轨道半径是乙的 $4$ 倍。先别急着代数：甲绕的路更大，周期肯定更长；但会不会正好是 $4$ 倍？再想一步，第三定律里半径是三次方、周期是二次方，比例不会这么直接。

再问一个：若某颗行星从远日点向近日点运动，它受到太阳的万有引力是变大还是变小？它的速率又会怎样变？把“距离”这条线索和刚才的面积定律放在一起，你应该能给出方向判断。

第五步：公布答案并复盘——规律不是三张孤立的公式卡片

第一问中， $r_\text{甲}=4r_\text{乙}$ ，同绕太阳可用第三定律：

\frac{T_\text{甲}}{T_\text{乙}}=\left(\frac{r_\text{甲}}{r_\text{乙}}\right)^{3/2}=4^{3/2}=8

甲的周期是乙的 $8$ 倍。第二问中，行星靠近太阳时距离减小，后面将学到的万有引力大小增大；同时按面积定律，行星速率逐渐增大。这里最容易出错的地方有两个：一是把 $T^2\propto r^3$ 误读成 $T\propto r^3$ ，二是忘了第三定律必须锁定同一中心天体。

放回复习视角，开普勒题先圈出“中心天体是否相同”“轨道是圆还是椭圆”“要求的是周期、距离还是速度”。计算题写比值时，先写 $a^3/T^2=k$ ，再消去共同的 $k$ ，能避免把 $T$ 与 $T^2$ 、与对错位。涉及近日点、远日点时，先由面积定律判断快慢，不要看到“椭圆”就误以为速度恒定。

第六步：埋下钩子——规律已经看见了，究竟是谁在持续改变运动？

开普勒从观测中总结出“天体确实这样走”，但没有回答“为什么这样走”。月球总在朝地球所在方向偏转，却又一直向前；苹果下落和月球绕行，会不会受同一种力支配？把这个问题想通，我们就能从天体的运动规律走到一个更大胆的结论。

第一步：制造困境——苹果会落下，月球为什么没有落到地球上？

把一颗石子水平扔出去，石子一边向前、一边下落；扔得越快，落点越远。把这个想象推到极端：如果地面本身也向下弯曲，石子每前进一点就下落一点，恰好始终落不到地面，它就会不断绕着地球运动。这个思想实验不是说月球不受地球吸引，恰恰相反：月球一直在被地球“拉向下方”，只是它同时具有很大的切向运动。

牛顿进一步追问：让苹果落向地面、让月球轨迹不断弯向地球的力，能否是同一种力？若是，那么这种力不能只在地球表面有效，而应当存在于任何两个有质量的物体之间。

第二步：引出概念——任意两个物体都会相互吸引

万有引力定律给出：宇宙间任意两个物体都存在相互吸引的力，力的大小与两个物体质量的乘积成正比，与它们中心间距离的二次方成反比：

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

其中 $G=6.67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ 是引力常量； $m_1$ 、是两物体的质量，是它们质心间的距离。两个物体相互吸引，受到的引力大小相等、方向相反，且都沿两者的连线。

两个有质量物体沿连心线相互吸引；质量增大使引力增大，距离增大使引力按平方迅速减小。

这条公式不是“看见两个物体就无条件套”。对可视为质点的物体适用；若物体间距离远大于它们自身尺寸，常可把物体视为质点。质量分布均匀的球体，或球对称天体外部的引力问题，也可把质量集中在球心处理，此时 $r$ 必须量球心到球心的距离，不能量表面间隙。

第三步：标关键点/易错点——“距离加倍”不是“力减半”

公式中的 $r^2$ 常常被眼睛滑过去。若两物体距离变成原来 $2$ 倍，分母变成原来 $4$ 倍，引力只剩原来的 $\frac14$ ；距离变成 $3$ 倍，引力变为原来的。反过来，两个质量中任意一个变为原来倍，引力才变为原来倍。比例题不必急着代，先盯住哪一项被平方，往往更快。

另一个陷阱是把“距离越远，引力越小”说成“距离一大，引力就消失”。在这个模型里，引力会随距离增大迅速减小，但不会因为距离有限就突然变成零；实际计算中是否忽略它，要看相对其他力是否足够小。更不能让 $r$ 取零：两个物体已经重合到不能视为质点时，模型的适用条件先失效了，不能据此宣称真实引力无穷大。

第四步：抛个小问题——地球质量翻倍，你受到的引力会怎样？

假设你的质量和你到地心的距离不变，地球质量突然变为原来的 $2$ 倍。你会选“引力变为 $2$ 倍”“变为 $4$ 倍”还是“完全不变”？再把条件换成：地球质量不变、你到地心的距离变为原来的 $2$ 倍，答案又会怎样？

第五步：公布答案并复盘——先找变化量，再看它在公式的哪个位置

第一种情况中， $m_2$ 变为 $2m_2$ ，所以 $F$ 变为 $2F$ ；第二种情况中， $r$ 变为，所以变为。最容易错的是把“质量乘积”误算成“两个质量都变了”，或者把反平方关系看成简单反比。

在复习题里，除了比例变化，还常要求画受力方向。要写清“两个物体相互吸引、沿连线、方向相反”，不能只写一个没有对象的 $F$ 。当题目给的是高度 $h$ ，而地球半径为 $R$ 时，地球中心到物体的距离应是 $R+h$ ；把 $h$ 直接代进 $r$ ，会让看似规范的计算从物理量含义上出错。

第六步：埋下钩子——地面上称出来的重力，和万有引力是同一个力吗？

在日常近地问题中，我们常写 $G M m/R^2=mg$ 。这当然很有用，但“常写”不等于“永远严格相等”。地球在自转，赤道和两极的情况并不完全相同。下一段就把这层近似拆开，同时让 $g$ 随高度变化这件事变得可计算。

第一步：制造困境——同一个人为什么在赤道和两极称得不完全一样？

站在赤道上的人会随地球自转做圆周运动，需要一个指向地轴的向心力；站在两极的人到地轴的距离近似为零，不需要这种向心力。地球对人的万有引力仍指向地心，可弹簧秤读到的“重力”为什么会略有不同？这提醒我们：日常说的重力，不能在所有精度要求下都和万有引力画上等号。

第二步：引出概念——近地时可近似相等，严格看还要扣掉自转效应

忽略地球自转时，地球质量为 $M$ 、半径为 $R$ ，地表质量为 $m$ 的物体满足

G\frac{Mm}{R^2}=mg

从而得到

g=G\frac{M}{R^2}

它告诉我们：星体表面附近的重力加速度由星体的质量和半径共同决定。若物体在离地高度 $h$ 处，地心距离变为 $R+h$ ，忽略自转时

g_h=G\frac{M}{(R+h)^2}=g\left(\frac{R}{R+h}\right)^2

从地表到离地高度 h，研究点到地心的距离由 R 变为 R+h，重力加速度按距离平方反比减小。

严格考虑地球自转时，万有引力的一部分提供随地球自转所需的向心力，其余才表现为秤的重力。在两极，向心力为零， $F_\text{万}=mg$ ；在赤道附近，可用矢量关系理解为

\vec F_\text{万}=\vec F_\text{重}+\vec F_\text{向}

因此赤道处的有效重力略小于两极处。由于地球自转所需向心力相对较小，高中大多数近地计算会明确或默认忽略自转，此时才把万有引力近似视为重力。

第三步：标关键点/易错点——高度 h 不是万有引力公式里的 r

“离地高度”从地面量起，“万有引力公式里的距离”从地心量起。只有地面附近的高度远小于地球半径时， $R+h$ 与 $R$ 才非常接近， $g$ 才可近似看作不变。高度若达到可与地球半径比较的量级，仍套 $g=9.8\ \text{m/s}^2$ 就不合适了。

还要分清质量和重力。一个物体上到高空，质量并没有随 $g$ 变小；变小的是它受到的万有引力，以及忽略自转条件下的重力大小 $mg$ 。质量是物体本身的属性，单位是千克；力的单位才是牛顿。

第四步：抛个小问题——离地高度等于地球半径时，g 变成多少？

设地球表面的重力加速度为 $g$ ，某处离地高度恰好为 $R$ 。不要用“高度翻倍所以 $g$ 减半”的直觉回答。此时研究点到地心的距离究竟是多少？它出现在分母的几次方？

第五步：公布答案并复盘——先把距离画完整，再做比例

高度为 $R$ 时，地心距离是 $R+h=2R$ ，故

g_h=g\left(\frac{R}{2R}\right)^2=\frac14g

关键不在繁琐计算，而在两次翻译：先把“离地 $R$ ”翻译为“离地心 $2R$ ”，再把“距离变 $2$ 倍”翻译为“反平方后变 $1/4$ ”。这是高度题最常见的漏项位置。若题目特意给出纬度或地球自转，再不能直接写 $F_\text{万}=mg$ ，应先判断向心力是否需要保留。

第六步：埋下钩子——既然 g 和天体质量相连，能不能反过来称量一颗天体？

地球质量没有办法放上天平，但公式已经给出两条线索：一条是表面附近的 $g$ ，另一条是围绕它运动的天体周期。后一条尤其有趣——观察很远处的一个“小伙伴”怎样绕行，就能反推出中心天体有多重。

第一步：制造困境——看不见天体的内部，怎样知道它有多重？

天文学家无法把一颗行星搬进实验室，也不能直接称太阳。可他们能观察到环绕天体的周期，测得轨道半径，还能由成像或掩星等资料估计天体半径。一个看似“只会绕圈”的伴随天体，反而成了中心天体质量的信使：中心天体越重，给出的引力越强，维持同样半径的绕行所需周期就会不同。

第二步：引出概念——用圆周运动的条件把看得见的量换成看不见的质量

若质量为 $m$ 的环绕天体以半径 $r$ 做近似匀速圆周运动，中心天体质量为 $M$ ，可把万有引力视为向心力：

G\frac{Mm}{r^2}=m\cdot\frac{4\pi^2r}{T^2}

两边都有环绕天体质量 $m$ ，它会约掉，得到

M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}

这很有力量：只要测到 $r$ 和 $T$ ，并知道引力常量 $G$ ，就能估算中心天体质量。这里的 $r$ 仍然是轨道到天体中心的距离；若给的是离表高度 $h$ ，还要写成 $r=R+h$ 。

环绕天体在近圆轨道上运行时，中心天体的万有引力就是维持圆周运动所需的向心力；测得 r 和 T 可反求中心天体质量。

由环绕天体的周期 T 和轨道半径 r 先求中心天体质量 M，再结合天体半径 R 求平均密度 ρ 的测算流程。

若还能知道中心天体半径 $R$ ，把天体近似看成球体，平均密度为

\rho=\frac{M}{\frac43\pi R^3}

将前面的质量式代入，可得

\rho=\frac{3\pi r^3}{GT^2R^3}

环绕天体若非常贴近表面， $r\approx R$ ，才可进一步近似为 $\rho\approx3\pi/(GT^2)$ 。这不是任何环绕天体都能直接用的式子；轨道半径明显大于天体半径时， $r$ 和 $R$ 必须分别保留。

第三步：标关键点/易错点——求质量时谁能约，求密度时还缺什么？

环绕天体的质量 $m$ 会在质量公式中约掉，这不是漏写，而是说明在相同轨道半径上，绕行周期不取决于环绕物自身质量。但中心天体的半径 $R$ 不会凭空约掉；只观测到一个较高轨道的 $r$ 和 $T$ ，通常能求出质量 $M$ ，却还不能单独求出平均密度，除非另有半径资料。

另一个常见误区是把“万有引力提供向心力”写成两个互相对抗的力。向心力不是额外增加的一支力，而是指向圆心方向的合力名称；在这个近似模型中，恰好由万有引力承担这一角色，所以才令两者大小相等。

第四步：抛个小问题——只凭一颗近圆轨道伴星，能算出什么？

某中心天体半径约为 $6.0\times10^6\ \text{m}$ 。观测到一颗小天体绕它做近似圆周运动，轨道半径 $r=1.0\times10^7\ \text{m}$ ，周期 $T=1.0\times10^4\ \text{s}$ 。取。你先预测一下：质量公式里需要环绕天体质量吗？要算平均密度，哪一个半径应放进球体体积？

第五步：公布答案并复盘——先写模型条件，再让观测量逐一落位

这是一道“已知环绕天体近似匀速圆周运动”的测算题。环绕天体质量会约掉，中心天体质量为

先列万有引力提供向心力： $G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2r}{T^2}$ 。这里已给为轨道半径，正是到中心天体中心的距离。

从复习角度看，这类题的给分关键是把“圆周运动条件”“中心距”和“球体体积半径”写在各自的位置。题目若没说近似圆周运动，就不能直接照搬这一条推导；若问密度又没给天体半径，也应明确说明信息不足，而不是把轨道半径偷偷当作天体半径。

第六步：埋下钩子——质量一旦知道，天体运动还会打开哪些问题？

现在我们已经能用万有引力解释天体相互牵引，并由周期和轨道尺度估算中心天体质量。再往前一步，若改变环绕高度、改变运动速度，轨道会怎样变化？飞行器怎样进入预定轨道、为什么还会有不同的宇宙速度？这些都需要把万有引力和圆周运动、能量观点进一步合在一起，下一章继续展开。

本章小结

开普勒三定律先从观测层面告诉我们：轨道通常是椭圆、等时间扫过等面积、同一中心天体周围有 $a^3/T^2$ 为定值。万有引力定律再把这种运动统一到 $F=Gm_1m_2/r^2$ ：质量决定引力强弱，中心距按反平方起作用。近地问题中常用，但要记得这是忽略自转时的近似；高度变化时，距离应从地心量起。最后，利用，可以把可观测的周期和轨道半径换成中心天体质量，并在已知天体半径时继续求平均密度。

课后练习

关于开普勒第一定律，下列说法正确的是？

一颗行星沿椭圆轨道绕太阳运动。从远日点向近日点运动的过程中，它的速率怎样变化？

围绕同一中心天体运动的两颗行星，若轨道可近似为圆，则它们的____与公转周期的二次方之比相等。

关于万有引力 F=Gm₁m₂/r² 的理解，正确的是？

两个真实物体的表面已经接触时，仍可直接令 r=0 并用万有引力公式推出引力无穷大。

忽略地球自转，某物体处于离地高度等于地球半径 R 的位置。该处重力加速度大小为地表的多少？

考虑地球自转时，关于万有引力与重力的关系，正确的是？

两个可视为质点的物体质量分别为 $m$ 和 $2m$ ，相距 $r$ 时相互吸引力为 $F$ 。若两物体质量均不变、距离变为 $3r$ ，引力变为多少？

甲、乙绕同一中心天体做近似圆周运动，甲的轨道半径为乙的 $9$ 倍。求甲、乙的周期之比 $T_\text{甲}:T_\text{乙}$ 。

某星球半径为 $R$ ，忽略自转，表面重力加速度为 $g$ 。用引力常量 $G$ 表示该星球质量 $M$ 和平均密度 $\rho$ 。

一颗环绕天体以半径 $r$ 做近似匀速圆周运动，周期为 $T$ 。写出中心天体质量表达式，并说明它为什么不含环绕天体质量。

已知某环绕天体轨道半径为 $r$ 、周期为 $T$ ，中心天体半径为 $R$ 。写出其平均密度表达式，并说明何时可以把 $r$ 近似换成 $R$ 。

2

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M=4\pi^2r^3/(GT^2)

第5章 开普勒定律与万有引力定律