第4章 圆周运动的临界问题与生活模型

把一只装着水的桶在竖直面内抡起来，抡到最高处时，水为什么没有立刻倒下来？汽车驶入弯道，驾驶员为什么总要在雨天提前减速？这些场景看上去一个在空中、一个在地面，其实都在问同一件事：负责把物体“拽向圆心”的那股实际力，还够不够用？

第3章已经说明，圆周运动在某一时刻需要指向圆心的加速度。本章不再重复推导向心加速度，而是专盯最容易变脸的瞬间：绳子刚好松、支持力刚好消失、静摩擦力刚好到极限、两个物体刚好分开。把这些“刚好”抓住，许多圆周题就不再像猜谜。

一、先把“临界”翻译成力的边界

先制造一个小困境：把钥匙系在细线末端，在水平面内越转越快。你可能会说，线一断，钥匙就会因为“离心力”飞出去。注意，这是个容易把人带偏的说法。线断以前，钥匙确实沿圆周转动；线断以后，拉力突然没有了，钥匙会沿断线瞬间的切线方向飞出。它并不是被一股向外的新力推走，而是保留了原来的运动趋势。

所谓临界，正是系统准备从一种约束状态换到另一种状态的边界。细线只能拉，不能推，所以拉力降到零时，原来的绳模型就到边了；普通接触面只能推，不能拉，所以支持力降到零时，物体可能脱离接触面；静摩擦力能随需要改变，但不能无限增大，达到最大静摩擦力时，物体就到了将要滑动的边界。

圆周运动的临界题，先别急着往公式里代数。请把下面这套动作练成习惯：

你自己先想一想：若计算得细线的拉力是负值，能不能把负号原样留下，继续说小球仍被细线“拉着”做圆周运动？

不能。负拉力的物理含义是“需要细线向相反方向推小球”，可细线没有推力。此时不是算式出错，而是原先假设的受力模型失效了：绳会松，运动要转入新的阶段。类似地，若算得单侧轨道的支持力为负，说明物体早已离开轨道。临界题的核心不是多背一条式子，而是让数学结果服从器材真实能做什么。

放回高考复习的语境，这里有一个很明确的得分点：方程左边写的是实际力的向心分量之和，右边才是 $mv^2/R$。把 $mv^2/R$ 同时当作一股力再加进去，或算出负的绳拉力、负的支持力还不改模型，都会让后面的推理失去依据。下面先从最典型的竖直圆周开始，看看同样是“最高点”，约束不同会带来多大差别。

二、竖直圆周：最高点不是只有一个答案

游乐设施翻到最高处、拱桥顶端的汽车、用细线甩动的小球，都会让人本能地担心“会不会掉下来”。最高点确实很特别：重力正好指向圆心，速度又常常比低处小。可别急着背“最低速度是 $\sqrt{gR}$”，先问一句更关键的话：是谁在约束物体沿圆周走？

1. 细线或单侧轨道：只能把物体往圆心拉

设质量为 $m$ 的小球在竖直圆周最高点，圆周半径为 $R$。取竖直向下、也就是指向圆心的方向为正。若小球由细线拉着，或贴着内侧的单层光滑圆轨道运动，重力和约束力都可能指向圆心：

这里的 $T$ 可以代表细线拉力；对内侧单层轨道，它对应指向圆心的支持力。关键限制是 $T\geq0$。当 $T=0$ 时，重力恰好独自提供向心力：

这不是一句“任何竖直圆周的最低速度”，而是有前提的结论：在最高点，约束只能向圆心作用，且恰好不需要约束力。若此处 $v<\sqrt{gR}$，重力提供的向心作用已经超过维持该圆周所需的量，细线会松、单层轨道也无法把球往圆外拉回来，小球就不会按原圆周继续走。

2. 细管或轻杆：能够从两侧约束，答案就变了

把细线换成轻杆，或者把单层轨道换成管状轨道，情况立刻不同。它们既可能沿半径向内作用，也可能沿半径向外作用。仍取向心方向为正，把约束力的向心分量记为 $F$：

当 $v=0$ 时，右边为零，因此 $F=-mg$。负号不再表示“模型崩了”，而是表示轻杆或管壁给小球一个背离圆心的向上作用力，恰好平衡重力。随着速度增大，约束力的方向会改变；当 $v=\sqrt{gR}$ 时，；速度再大，约束力才转为指向圆心。

注意，这是一个很容易混淆的地方：决定临界速度的不是“圆周在竖直面内”这一句，而是约束能否提供推力。细线、内侧单轨不能推，所以最高点有 $\sqrt{gR}$ 这一边界；轻杆、细管能从两侧限制小球，所以小球在最高点速度可以为零。

3. 最低点与拱桥顶：别把“最高点公式”搬错位置

小球位于最低点时，向心方向向上。若由细线或轨道提供向上的约束力，则有

这里重力反而在阻碍向心加速。速度越大，拉力或支持力越大；这解释了为什么竖直圆周装置的最低点常是受力较大的位置。它与最高点的“能否保持接触”不是同一个问题，方向不能照搬。

汽车驶过凸形拱桥顶端也是同样的受力结构。道路对车的支持力 $N$ 向上，圆心在下方，于是

当 $N=0$ 时，车刚好不再压着桥面，临界速度也是 $\sqrt{gR}$。速度若再大，桥面不可能把车向下拉住，汽车会离开桥面而做抛体运动。你可能会问：质量大的车会不会更容易“飞”？从上式看，质量同时出现在两边，临界速度与质量无关；真正重要的是桥顶曲率半径和重力加速度。

现在复盘一下：最高点和最低点都能写出 $mv^2/R$，但向心方向不同，实际力在这个方向上的正负也不同。高考中最常见的失分并不是不会算，而是没先写“圆心在哪边”，把 $mg+T$ 和 $T-mg$ 混用。把圆心点出来再列式，符号就不会靠猜。

从竖直圆周出来，约束力的边界已经见过两种：拉力或支持力变为零。接下来换到地面上，负责向心的角色常常变成静摩擦力，它也有自己的上限。

三、汽车过弯：不是向外有力，而是向内不够力

在水平路面转弯时，汽车的瞬时速度沿切线方向，真正让运动方向不断转向圆心的是轮胎和路面之间的静摩擦力。车没有相对路面滑动时，摩擦力并非总是最大，它只需要恰好满足

可是静摩擦力有上限：

把两式合起来，水平弯道不侧滑的速度应满足

这就把生活经验说清了：雨天或结冰时，$\mu$ 变小；弯道半径变小时，所需向心作用变大；因此都应减速。若速度过大，汽车并不是被某股“离心力”推到外侧，而是路面对车的最大静摩擦力已不足以把速度方向掰向圆心，汽车会保持原有运动趋势，相对弯道向外侧滑。

有些道路在弯道处做成外高内低的倾斜面。这不是为了好看，而是在设计速度附近，让支持力本身的水平分量就能提供向心作用。若恰好不需要摩擦力，设路面与水平面的夹角为 $\theta$，则

相除可得

这个结论告诉我们：倾角对应一个设计速度。速度正好合适时，轮胎主要承担支撑，转弯所需的向心作用由支持力的水平分量提供；速度偏离设计值时，摩擦力才需要参与补足或抵消一部分作用。

倾斜弯道展示了支持力也能参与转弯；接下来先回到最基本的水平弯道模型，专门观察静摩擦力何时达到上限。

停一下想想：水平弯道中，若把车的质量改成两倍，最高安全速度会减半吗？不会。所需向心力和最大静摩擦力都随质量成正比，质量约掉了。可别因此得出“重车和轻车一样安全”的结论：真实路况还受轮胎、载荷分配和制动等因素影响；在本模型里，我们只讨论水平圆周运动和最大静摩擦力这一组条件。

复习时要特别防一个文字陷阱：“摩擦力方向总与运动方向相反”是把滑动摩擦的经验硬套到了这里。汽车纯转弯且没有打滑时，静摩擦力指向圆心，与瞬时速度垂直。判定摩擦方向，应先看它要阻止哪一种相对滑动趋势，而不是盯着车正在往哪里开。

四、水平转盘：摩擦力先“够用”，才会“到顶”

把小物块放在匀速转动的水平转盘上，开始时它能和转盘保持相对静止。你可能会以为静摩擦力一出现就是 $\mu mg$，其实不是。转得不快时，物块只需要较小的向心作用，静摩擦力便按需要取值：

这里 $r$ 是物块到转轴的距离。随着角速度 $\omega$ 增大，所需摩擦力按 $\omega^2$ 增大；只有达到最大静摩擦力时，才进入临界：

所以

半径更大的物块需要更大的向心力，因此在其他条件相同的情况下会更早到达摩擦上限。请留意两个不同结论：最大角速度随 $r$ 增大而减小，而最大线速度随 $r$ 增大而增大；混淆 $v=\omega r$ 中哪个量保持不变，常会把比例判断做反。

若转盘上沿同一半径放着两个用轻绳相连的物块，判断会多一步，但逻辑不变。先让两个物块各自的静摩擦力承担所需向心作用；离轴更远的物块先需要更大的向心力，它的摩擦力先碰到上限。再继续增大转速，轻绳才可能从“拉直但无拉力”变成有拉力。这个转折点的条件不是“绳子一定有力”，而是绳的拉力恰好为零。

这里的易错点是把两块物体当成一个整体后就不再分别受力。绳的拉力对整体是内力，研究整体时确实会抵消；但题目若问某一块的摩擦力或绳的张力，就必须把它单独拿出来列向心方向的方程。高考题常把“整体法能用”和“局部量仍要隔离”放在同一题里考查，少画一张单独受力图就容易漏掉方向。

五、圆锥摆：拉力不是全都用来“转弯”

手拎绳子让小球在水平面内转圈，小球的轨迹像一个圆，细线扫过的面却像圆锥，因此叫圆锥摆。很多同学刚见到它会把整条拉力直接写成向心力。可小球高度没有变化，竖直方向必须平衡；真正负责转弯的只是拉力的水平分量。

设摆线长为 $L$，与竖直方向夹角为 $\theta$，轨迹半径为 $r=L\sin\theta$。对小球分解拉力：

两式相除，再代入 $r=L\sin\theta$，得到

也可以把 $L\cos\theta$ 看成小球运动平面到悬点的竖直距离 $h$，于是 $\omega^2=g/h$。这给了一个很漂亮的判断：在理想圆锥摆中，只要小球到悬点的竖直距离相同，角速度就相同；不是线越长就必然转得越慢，还要看它摆开的角度。

现在给自己一个小问题：如果转得更快，夹角会怎样变化？从 $\omega^2=g/(L\cos\theta)$ 看，在 $L$ 不变时，$\omega$ 增大意味着 $\cos\theta$ 变小，夹角 $$ 变大；同时 也变大。绳子并不是“越斜越省力”，恰好相反，转得越快，绳越紧。

复盘时请记住圆锥摆的两条线：竖直方向先平衡，水平方向再提供向心作用。若漏掉竖直平衡，直接写 $T=m\omega^2r$，会把拉力和它的水平分量混为一谈。这种错误在多力圆周运动中尤其隐蔽，因为最后的单位仍然是牛顿，看上去很像正确答案。

六、传动模型：相同的是哪一个速度？

自行车链条带动前后齿轮，皮带轮带动机器，都是圆周运动的另一种生活面孔。无打滑的传送带或链条在接触处移动得一样快，因此两轮边缘的线速度大小相同：

所以大轮带小轮时，小轮的角速度更大；小轮带大轮时，大轮转得更慢。这里相同的是边缘的线速度，不是角速度。反过来，若两个轮固定在同一根转轴上，它们的角速度相同，边缘线速度则与半径成正比。题目只要换一种连接方式，保持不变的量就变了。

注意“无打滑”是使用 $\omega_1r_1=\omega_2r_2$ 的前提。若皮带明显打滑，接触处就不再满足等线速度，不能硬套传动比。至此，圆周运动的生活模型虽然换了外衣，判断主线仍没变：找向心方向，找实际力，再看约束能不能满足。

下一章会把这个问题带到更大的尺度：如果没有绳、轨道、轮胎或传送带，是什么作用让天体的运动方向持续改变？那时我们会认识万有引力，但本章建立的“先找实际力、再判边界”仍然是最可靠的起点。

课后练习

5. 最高点的细线临界

一根长 $0.80\ \text{m}$ 的轻绳拴着小球做竖直圆周运动，取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$。求小球在最高点恰好保持绳不松弛时的最小速度。

6. 平弯道的安全速度

一辆车在半径 $50\ \text{m}$ 的水平弯道行驶，$\mu=0.50$，取 $g=10\ \text{m/s}^2$。不考虑其他因素，求不侧滑的最大车速。

10. 两物块与轻绳

两个相同小物块放在同一水平转盘的同一半径上，外侧物块离圆心更远，它们之间用一根原本拉直但无拉力的轻绳连接。转盘以不同角速度匀速转动，每次调到新的转速后都稳定比较。说明哪一个物块的静摩擦力更早达到最大值，以及随后轻绳为何会出现拉力。

11. 拱桥顶端的接触边界

质量为 $m$ 的汽车以 $10\ \text{m/s}$ 的速度通过半径 $20\ \text{m}$ 的凸形拱桥顶端，取 $g=10\ \text{m/s}^2$。求桥面对汽车的支持力，并判断汽车是否会离开桥面。

这只是最高点的临界速度；若题目问最低点至少多快，还需结合从低点到高点的运动过程另行分析。

约为 $15.8\ \text{m/s}$。质量在方程两边约掉，但这不代表真实驾驶可以忽略载重、轮胎和制动等条件。

所以 $N=5m\ \text{N}$。支持力仍为正，汽车没有离开桥面。若计算得到 $N=0$，才是刚好离开桥面的临界；若按“仍接触”假设算出 $N<0$，就应改判为已经离开桥面。