第7章　功、功率与机车启动

推购物车、拎书包上楼、列车从站台起步，看起来是三件很不相干的事。可物理想问的始终是同一个问题：一个力究竟有没有通过位移产生“效果”，这种效果快不快，发动机又为什么不能又快又有劲地一直拉下去？

本章只处理功的正负与恒力做功、功率及额定功率、机车的恒牵引力和恒功率启动，以及相应的 $v-t$ 图像。动能定理、势能和机械能守恒会在后续章节专门展开；这里先把它们常常要调用的“语言”说准确。

一、先别急着套公式：力“使劲”了，为什么未必做功？

第一步：制造困境

你拎着一只装满书的书包，在走廊里匀速走了很远。手臂明明酸得不行，书包也一直受到你向上的拉力。照日常语言说，你当然“做了很多事”。可若只研究你对书包的拉力，它在这段水平路程中做的功却是零。

这很反直觉：有力、有位移，怎么会没有功？再想想推一辆卡住的车——你推得满头汗，车却纹丝不动；这一次又有力，却没有位移。看来，“用了力”不是物理里判断做功的充分条件。

第二步：引出概念——功盯住的是力在位移方向上的分量

对一个物体而言，某个力做功，要同时看两件事：物体有没有位移，以及这个力在位移方向上有没有分量。若力 $F$ 的大小和方向都不变，物体位移大小为 $s$，力和位移的夹角为 $\alpha$，这个恒力所做的功是

$W=Fs\cos\alpha$

也可以先把力沿位移方向分解：$F_{\parallel}=F\cos\alpha$，再写 $W=F_{\parallel}s$。两种写法说的是同一件事：真正“负责做功”的，是平行于位移的那一部分力。

功的国际单位是焦耳，符号是 J，$1\ \text{J}=1\ \text{N}\cdot\text{m}$。功是标量，没有方向；式子前的正负号不是“功有朝左朝右的方向”，而是在记录这个力沿位移方向的分量与位移是同向还是反向。

功还是描述能量转化和转移的一种量度。不过这句话不能被简化成“正功就一定让物体变快”。一个力对物体做正功，说明这个力有沿位移方向的正向作用；物体最后是否变快，还要把其他力的功一起看。比如人推箱子做正功、摩擦力同时做负功，箱子完全可能保持匀速。先把单个力的功判清，再讨论总效果，逻辑才不会倒过来。

第三步：标关键点和易错点

注意，这是个很常见的陷阱：力与位移垂直，不等于没有力；只是这个力在那一瞬间没有沿位移方向推动或阻碍物体。 书包受到的拉力和重力都不小，但书包的水平位移与它们垂直，所以它们在这段水平路程中都不做功。

另一个容易混淆的地方是“负功”。负功不是“做的功比较少”，也不是力的大小为负；它说明该力沿位移方向的分量与运动方向相反。刹车时的阻力、上滑时的重力，常常就是这样。反过来，摩擦力也不必然做负功：传送带带动静止箱子向前加速时，箱子受到的静摩擦力向前，它对箱子做正功。先画出受力和位移，再谈正负，最稳妥。

还有一个更细的提醒：公式里的 $s$ 是力的作用点相对所选参考系的位移。研究对象可看作质点，或可看作刚体且作用点位移与物体位移相同时，$s$ 可以取物体的位移；对可形变物体，重心位移不一定等于作用点位移。地面静止时，地面对人向上的支持力作用点没有随人移动，它对人不做功；不要把“人整体的重心上升”不加分析地塞给每一个力。

第四步：先暂停十秒

一名同学用水平拉力拉着木箱向右匀速移动。木箱还受到向左的滑动摩擦力、向上的支持力和向下的重力。四个力里，哪些做正功，哪些做负功，哪些不做功？别急着用“匀速”给每个力贴标签；只盯住每个力和位移的夹角。

第五步：公布答案并复盘

水平拉力与位移同向，做正功；滑动摩擦力与位移反向，做负功；支持力、重力都与水平位移垂直，分别不做功。匀速只告诉我们这些功的代数和为零，并不意味着每个力都不做功。

放到复习题里，最容易失分的是把“匀速”误译成“所有力不做功”，或者一看到摩擦力就机械地写负功。判断单个力的功，先找该力方向与该物体位移方向；判断合力功，才可以把所有力的功相加。步骤错了，后面的符号通常会整串出错。

第六步：把“有没有功”变成可操作的计算

只会判正负还不够。比如拉力斜着拉箱子时，为什么不能直接写 $W=Fs$？因为 $F$ 并没有全部沿着位移方向。下一段就用斜面上的滑块，把这个余弦到底在筛掉什么看清楚。

二、恒力做功：先选位移，再选角度

第一步：制造困境

把一个质量为 $m$ 的滑块从斜面顶端放下，它沿斜面下滑，下降的高度为 $h$，斜面长度为 $l$。重力大小是 $mg$，摩擦力大小是 $f$。有人很快写下“重力做功 $mgl$”，听着似乎合理：重力有多大，滑了多远，就乘起来。可这里的 $l$ 是斜面长度，重力却竖直向下；这两个方向并不相同。

第二步：引出概念——同一个过程可以从不同投影看

对重力，重力在斜面方向上的分量是 $mg\sin\theta$，所以

$W_G=(mg\sin\theta)l=mgh$

其中 $h=l\sin\theta$ 是下降的竖直高度。这个结果很重要：在重力大小近似不变的近地面问题中，重力做功只与初、末位置的高度差有关。物体下降 $h$，重力做正功 $mgh$；物体上升 $h$，重力做负功 $-mgh$。

若滑块沿斜面下滑，摩擦力与位移反向，$W_f=-fl$；支持力始终垂直于斜面，因此 $W_N=0$。这并不要求滑块匀速。每个力做多少功，由自己的方向和受力对象的位移决定；运动是否加速，是后面把这些功合起来才要研究的事。

对于多个恒力共同作用，合力做功有两条等价路线：

• 分别计算：$W_{\text{合}}=W_1+W_2+\cdots$；
• 先求合力，再用 。

只有在某一段内力的大小和方向保持不变时，才直接使用 $W=Fs\cos\alpha$。本章不把变力问题硬塞进这一公式；遇到力随位置或方向显著变化的情形，要先看题目给出的图像、平均力条件或后续章节的方法，不能凭一个“代表性力”随意相乘。

再看一个很短的算例：水平地面上，$50\ \text{N}$ 的恒定拉力与位移成 $60^\circ$ 角，箱子移动 $5\ \text{m}$。沿位移方向的分力是 $50\cos60^\circ=25\ \text{N}$，所以拉力做功 。若改用原式， 仍是 。这两行不是两次做功，而是同一件事的两种计算视角。

有几类力值得形成快速判断，但不必背成绝对口号。重力在近地面做功只看高度变化；理想轻绳的拉力要看拉力方向与连接点位移的夹角；弹簧弹力、空气阻力这类大小或方向可能变化的力，先确认题目给出的条件再算。支持力也不是永远零功：光滑轨道上它常与瞬时位移垂直，但斜面、传送带、可动支承中的受力对象不同，结论不能只凭“它叫支持力”作出。名称从来不是判据，夹角和位移才是。

第三步：标关键点和易错点

角 $\alpha$ 必须是所求的那个力与该物体位移的夹角，不是题图里最显眼的斜面倾角。若用重力的分量法，夹角已经被分解掉；若直接用 $W=Fs\cos\alpha$，就必须把 $\alpha$ 取成重力与斜面位移的夹角。两条路各走一条，别把 $mg\sin\theta$ 又乘一次 $\sin\theta$。

“合力做功”和“某个力做功”也不能互相替代。斜面上支持力做零功，不代表合力做零功；匀速下滑时合力做零功，也不代表重力和摩擦力没有功。它们说的对象不一样。

第四步：自己试一试

质量 $2\ \text{kg}$ 的滑块沿 $30^\circ$ 斜面向下移动 $5\ \text{m}$，受到沿斜面向上的恒定摩擦力 $4\ \text{N}$，取 $g=10\ \text{m/s}^2$。先不求合力：重力、摩擦力、支持力各做多少功？把每一项的符号写出来，再相加。

第五步：公布答案并复盘

下降高度 $h=5\sin30^\circ=2.5\ \text{m}$，所以 $W_G=mgh=50\ \text{J}$；摩擦力反向，；支持力垂直于位移，。合力功为 。

复习时，这类题的给分点往往不在算术，而在三处：位移该取斜面长还是高度、负功的负号有没有写上、支持力的夹角有没有判成 $90^\circ$。把“力—位移—夹角—符号”按顺序写出来，式子会非常短，也更不容易漏条件。

第六步：从“做了多少”追问“做得多快”

两台起重机把同样的货物升到同样高度，做功可以相同；一台用半分钟，另一台用一分钟。谁更“有劲”？这里的“有劲”不是指力一定更大，而是指完成同样功所用时间更短。于是，功率登场。

三、功率：不是功的多少，而是完成功的快慢

第一步：制造困境

同学甲和乙都把 $20\ \text{kg}$ 的器材搬上 $3\ \text{m}$ 高的平台。两人对器材克服重力所做的功一样；甲用 $10\ \text{s}$，乙用 $20\ \text{s}$。如果只看功，二人完全打平；可现实里，电梯、抽水机、汽车发动机偏偏要标一个“功率”。它在比较什么？

第二步：引出概念——同样的功，谁用的时间更短

一段时间内，做功 $W$ 所用时间为 $t$，平均功率定义为

$P_{\text{平均}}=\frac{W}{t}$

功率单位是瓦特，符号 W，$1\ \text{W}=1\ \text{J}/\text{s}$。搬货的例子中，两人做功相同，甲时间更短，所以甲的平均功率更大。

若一段过程中恒力与位移的夹角始终不变，还可把平均功率写成 $P_{\text{平均}}=Fv_{\text{平均}}\cos\alpha$，这里的 $v_{\text{平均}}=s/t$。它并不是无条件的通用替换：力或夹角在变化时，不能把某个瞬间的 、某个瞬间的速度随手乘起来当整段平均功率。最保险的路线仍是先算这一段的总功，再除以总时间。

若某一时刻力 $F$ 与速度 $v$ 的夹角为 $\alpha$，把极短时间内的位移看作 $\Delta s=v\Delta t$，就得到瞬时功率

$P=Fv\cos\alpha$

它仍然只取力沿速度方向的分量。力与速度同向时，$P=Fv$；反向时，该力的瞬时功率为负；垂直时为零。不要把平均速度塞进瞬时功率式，也不要用瞬时速度去冒充整段过程的平均功率。

第三步：标关键点和易错点

功率大不等于力一定大。力相同，速度越大，瞬时功率越大；功率相同，速度变大时，沿运动方向的力反而要变小。$P=Fv$ 只有在力和速度同向时才能直接写；角度没有交代，就保留 $\cos\alpha$，或先判断哪个分量平行于速度。

额定功率是设备在规定条件下可以长期正常工作的最大输出功率。实际功率是设备此刻实际输出的功率，正常使用时不应超过额定值。额定功率不是“设备永远以这个功率工作”，也不是“力最大时的功率”；低速起步、空载运行、调节输出时，实际功率都可能小于它。

第四步：先想后算

一台发动机的输出功率保持 $60\ \text{kW}$，它牵引汽车时速度从 $10\ \text{m/s}$ 增到 $20\ \text{m/s}$。假定牵引力始终与速度同向，牵引力会怎样变化？有人说“车越快发动机越用力”，这句话在恒功率条件下站得住吗？

第五步：公布答案并复盘

由 $P=Fv$ 得 $F=P/v$。功率不变时，速度加倍，牵引力减半：从 $6.0\times10^3\ \text{N}$ 变为 $3.0\times {10}^3$。这里最容易漏掉的条件是“功率保持不变”和“力、速度同向”；少了任一个，反比关系都不能直接套用。

在复习题中，平均功率常由 $W/t$ 得到；瞬时功率常由某时刻的 $Fv\cos\alpha$ 得到。题目问“在第几秒末”“经过某点时”，通常要的是瞬时量；题目问“全过程”“这段时间内”，才要警惕平均量。单位也要随手核对：$\text{N}\cdot\text{m/s}=\text{W}$。

第六步：把发动机放进真实的启动过程

汽车要从静止起步。若一开始就把有限的额定功率全部写成 $F=P/v$，当 $v=0$ 会得到无穷大的牵引力，这显然不可能。这个矛盾不是公式坏了，而是在提醒我们：发动机还有最大牵引力的限制。机车启动正是把这两种限制接起来的模型。

人工审查：该交互已完成一轮 390px 窄屏响应式修复并重新渲染；复核时仍疑似存在局部裁切，需人工在实际移动端确认。

四、机车启动：先看限制是什么，再看 $v-t$ 图像

下面都讨论水平直轨道，机车质量为 $m$，阻力大小近似恒为 $f$，牵引力与速度同向。沿运动方向有

$F-f=ma$

这条关系只是在逐时刻比较力和加速度；功率关系则是 $P=Fv$。把两条式子放在一起，启动过程就不再神秘。

第一步：制造困境

列车刚起步时，车速几乎为零，司机希望牵引力足够大，列车才容易加速；列车跑快后，发动机又不能长期超出额定功率。若始终保持同一个大牵引力，速度越高，$P=Fv$ 越大，总会碰到额定功率的上限。若从头到尾硬保持额定功率，低速时又会要求不现实的巨大牵引力。

所以常见的简化模型不是“只恒力”或“只恒功率”二选一，而是：开始阶段受最大牵引力限制，随后达到额定功率并维持额定功率，最后逐渐接近匀速。

第二步：引出两段模型

设最大可用牵引力为 $F_0$，额定功率为 $P_{\text{额}}$，并且 $F_0>f$。

起步的恒牵引力阶段，$F=F_0$，所以

$a_0=\frac{F_0-f}{m}$

加速度不变，若从静止开始，$v-t$ 图像是一条斜率为 $a_0$ 的直线；与此同时 $P=F_0v$ 随速度线性增大。达到额定功率的切换速度为

$v_0=\frac{P_{\text{额}}}{F_0}$

若从静止起步，到切换的时间为 $t_0=v_0/a_0$。

之后进入恒功率阶段，$F=P_{\text{额}}/v$。速度越大，牵引力越小，因而

$a=\frac{P_{\text{额}}/v-f}{m}$

加速度仍为正，却越来越小。当牵引力降到恰好等于阻力时，加速度为零，速度达到可维持的最大值

$v_m=\frac{P_{\text{额}}}{f}$

严格说，恒功率公式不能从静止时直接外推，因为 $v=0$ 会令 $P/v$ 没有意义。题目若把“恒功率启动”作为理想模型，应把它理解为机车已经有非零初速度后的恒功率加速过程；实际的起步通常先受最大牵引力约束。图中的“恒功率加速”和“牵引力减小、加速度减小”不是两个互相独立的物理阶段，而是同一恒功率阶段从控制量和运动结果看到的两个侧面。

第三步：标关键点和易错点

恒功率阶段的 $F=P_{\text{额}}/v$ 说明的是牵引力随速度增大而减小，绝不是“速度越大牵引力越大”。但牵引力减小也不意味着立刻减速：只要 $F>f$，合力仍向前，加速度仍为正，只是越来越小。

$v_m=P_{\text{额}}/f$ 来自最后匀速时 $F=f$，因此必须有恒定额定功率、牵引力与速度同向、阻力可近似为常量这些条件。若阻力不恒定，或者道路有坡度，就要把实际阻力重新写进受力方程，不能照搬这个式子。

“恒牵引力启动”也有两种读法：若题目明确全程牵引力恒定且不考虑额定功率上限，$v-t$ 是一直的直线；若题目说先匀加速到额定功率、以后以额定功率运行，它是先直线、后弯曲的组合。先把题意中的控制量圈出来，比记图像更可靠。

从 $v-t$ 图像反推过程也很实用。图像的纵坐标是速度，某时刻切线的斜率才是该时刻的加速度；直线越陡，恒定加速度越大。恒功率阶段的曲线向下弯，不是速度在下降，而是速度仍在增加、每单位时间增加得越来越少。若最后出现水平线，表示速度不再变化，此时合力为零、牵引力恰等于阻力；它不是说发动机停止做功，而是发动机仍在用功率持续补偿阻力造成的影响。

第四步：读图前先作预测

设 $m=2.0\times10^5\ \text{kg}$，$f=2.0\times10^4\ \text{N}$，$$，。不计算也先判断：从起步到额定功率前， 是直线还是曲线？之后图线会越陡还是越平？最高速度出现在切换瞬间，还是在更后面？

第五步：公布答案并复盘

恒牵引力阶段 $a_0=(1.0\times10^5-2.0\times10^4)/(2.0\times10^5)=0.40\ \text{m/s}^2$，所以图像先是直线。切换速度 ，切换时间 。最大速度 ，显然大于 ；在恒功率阶段图线仍上升，但斜率逐渐减小，越来越平，最后逼近水平。

复习中常见的错误是把“达到额定功率”误当成“达到最大速度”。达到额定功率只标志着控制方式切换；只要 $F>f$，车还会继续加速。另一个错误是把恒功率阶段画成斜率恒定的直线，那等于把加速度误画成常量。读 $v-t$ 图像时，斜率就是加速度：直线对应恒定加速度，向下弯但仍上升对应加速度逐渐减小。

第六步：留一条通用的解题路线

以后遇到机车题，不妨按这个顺序停一下：先画运动方向并写 $F-f=ma$；再确认是恒牵引力还是恒功率；恒牵引力时用 $a=(F-f)/m$，恒功率时用 $F=P/v$ 代入；最后把 的正负和变化翻译成 图像的斜率。动能定理会给这类过程提供另一条处理位移和速度的路径，那是下一章的任务。

课后练习

1. 功的正负

1

物块在水平地面上向右滑动，受到一个竖直向上的拉力。这个拉力对物块做的功是？

A.正功B.负功C.零功D.无法判断

2. 恒力做功公式

2

大小为 F 的恒力与位移 s 的夹角为 α，它所做的功 W=____。

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3. 斜面上的重力功

3

质量为 m 的物体从高 h 的斜面顶端下滑到低端，重力对它做的功为？

A.mghB.-mghC.mgLD.0

4. 关于功的判断

4

下列说法正确的是？

A.只要物体受力并发生位移，该力一定做功B.力对物体做负功时，该力沿位移方向的分量与位移反向C.匀速运动时，每个力做的功都为零D.传送带带动箱子加速时，静摩擦力可能对箱子做正功

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5. 斜拉箱子

5

用大小为 20 N、与水平位移夹角为 60° 的恒力拉箱子，箱子水平移动 4 m，拉力做功为 ____ J。

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6. 平均功率

6

某力在 6 s 内做功 120 J，这段时间内该力的平均功率为？

A.20 WB.60 WC.126 WD.720 W

7. 瞬时功率

7

一个 100 N 的力与物体瞬时速度的夹角为 60°，该瞬时速度大小为 3 m/s。该力的瞬时功率为？

A.0 WB.150 WC.300 WD.600 W

8. 额定功率

8

一台发动机的额定功率为 80 kW，说明它在任何工作状态下的实际输出功率都等于 80 kW。

正确错误

9. 启动时的切换速度和最大速度

某机车最大牵引力为 $1.0\times10^5\ \text{N}$，额定功率为 $1.2\times10^6\ \text{W}$，阻力恒为 $2.0\times10^4\ \text{N}$。求达到额定功率时的速度，以及最后的最大速度。

查看第 9 题解析

开始的恒牵引力阶段达到额定功率时，$v_0=P_{\text{额}}/F_0=1.2\times10^6/(1.0\times10^5)=12\ \text{m/s}$。最后匀速时牵引力等于阻力，。二者不相等：达到额定功率后，机车仍会继续加速。

10. $v-t$ 图像辨析

10

机车在水平路面上先以恒牵引力匀加速，达到额定功率后保持额定功率，阻力大小恒定。关于 v-t 图像，正确的是？

A.开始阶段是斜率恒定的直线B.恒功率阶段仍上升，但斜率逐渐减小C.达到额定功率时速度立即达到最大D.最后速度趋于稳定时，牵引力等于阻力

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