第 3 章　气体实验定律与理想气体状态方程

给自行车打气时，筒身会发热；把瘪了一点的乒乓球放进热水，它又可能鼓起来；没开封的塑料瓶从高山带到山脚，瓶身也会发生变化。看上去是三件小事，背后却在追问同一个问题：一团看不见的气体，究竟怎样把“压强、体积和温度”绑在一起？

你可能想直接找一条万能公式。先别急。气体的规律都带着条件：有时温度不变，有时体积不变，有时压强不变；若气体还发生了泄漏，连研究对象都换了。最容易出错的地方往往不是不会算，而是公式写得很熟，却没看见它只对“同一份气体”有效。

本章就从一个活塞筒开始。先认清描述气体状态的三个参量，再让它依次经历等温、等容、等压变化，最后把三条规律收进理想气体状态方程。等这些基础站稳，我们再处理打气、漏气以及两个气室互相牵制的问题。

一团气体的“身份证”写了什么

把一定量气体封在带活塞的圆筒里。你看不见每个分子的位置和速度，却可以读出压力表、活塞刻度和温度计的示数。大量分子的微观运动虽然杂乱，整体状态却能用几个宏观量描述。

• 压强 $p$ 描述气体对器壁单位面积的作用效果，国际单位是帕斯卡，$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$。
• 体积 $V$ 是气体占据的空间。气体没有固定形状，平衡时会充满所能到达的容器空间。
• 温度 $T$ 表征系统的冷热程度。气体规律中的温度必须用热力学温度，换算为

$T=t+273.15$

其中 $T$ 的单位是开尔文（K），$t$ 的单位是摄氏度（℃）。高中估算常取 $T=t+273$。

“气温升高一倍”是很危险的一句话。若从 $20\ ^\circ\text{C}$ 升到 $40\ ^\circ\text{C}$，摄氏温度数值确实变成两倍，但热力学温度只从约 $293\ \text{K}$ 变为 $313\ \text{K}$，远没有加倍。只要公式中出现温度比值，就必须先换成开尔文。

压强也有一层常被忽略的包装。气体规律中的 $p$ 是绝对压强。许多压力表显示的是相对于大气压的表压：

$p_{\text{表}}=p_{\text{绝对}}-p_0$

所以压力表显示 $200\ \text{kPa}$，若当地大气压为 $100\ \text{kPa}$，容器内绝对压强应是 $300\ \text{kPa}$。把表压直接代入状态方程，会把最开始的一步就带偏。

下面的工作台允许你同时观察三种状态参量。先锁住其中一个量，再改变另一个量，看看第三个量怎样响应。这里的“锁住”不是屏幕上的装饰，它正对应每条实验定律最重要的前提。

温度不变：压得越小，顶得越狠

把注射器出口封住，缓慢推动活塞。体积变小，压强表读数升高。你可能会说：“因为分子被挤得更用力了。”这句话不够准确。等温时分子的平均动能基本不变，主要变化是单位体积内分子数增多，分子撞击器壁更频繁，于是压强增大。

对一定质量的某种气体，在温度不变且气体比较稀薄时，压强 $p$ 与体积 $V$ 成反比，这就是玻意耳定律：

$pV=C$

同一等温过程的两个状态满足

$p_1V_1=p_2V_2$

注意，“成反比”不等于“图像是一条向下倾斜的直线”。在 $p-V$ 坐标中，$p=C/V$ 是一条双曲线；若改用 $p-1/V$ 坐标，才得到过原点的直线，斜率就是常量 $C$。同一张 $p-V$ 图上，温度较高的等温线位置更高，因为在相同体积下，温度较高时压强较大。

现在先心算一下：密闭气体在 $300\ \text{K}$ 时体积为 $4.0\ \text{L}$、压强为 $100\ \text{kPa}$，保持温度不变，把体积缓慢压到 $2.5\ \text{L}$，压强是多少？

由 $p_1V_1=p_2V_2$ 得 $$。如果你算成 ，多半是把“体积变小、压强应变大”的方向忘了检查。代数之后补一句趋势判断，能拦住不少颠倒分子分母的错误。

为什么实验要“慢慢推”

探究等温情况下气体压强与体积的关系，常用注射器密封一段空气，再连接压强传感器。横截面积均匀时，空气柱长度 $L$ 与体积 $V=SL$ 成正比，所以比较规律时可以用 $L$ 代替 $V$；但若软管里还有一段气体，真实体积应是注射器读数与软管“死体积”之和。

实验的难处不是多读几组数，而是守住两个不变量：质量不变、温度不变。

若压缩太快，气体来不及向外散热，温度会上升，同一体积下测得的压强偏大，$p-1/V$ 图像后段可能向上偏。若实验中漏气，气体物质的量减少，斜率可能变小。高考实验题真正关注的，往往正是这些“为什么不直”的证据链，而不只是背出 $pV=C$。

还有一种装置不用压力传感器，而是在竖直活塞上逐次增加砝码。设活塞和托盘总质量为 $M$、砝码质量为 $m$、活塞横截面积为 $S$，忽略摩擦，平衡时封闭气体的绝对压强为

$p=p_0+\frac{(M+m)g}{S}$

这里的 $p_0$ 不能丢，因为活塞上方还有大气压力。活塞摩擦若不可忽略，向下压和向上拉时的摩擦方向相反，同一位置可能测出不同压强，数据会出现“迟滞”。规范实验通常通过润滑、缓慢移动并从多组数据拟合来减小影响，而不是挑一组最顺眼的数据证明结论。

若实验记录的是注射器刻度体积 $V_{\text{读}}$，连接软管另有固定体积 $V_d$，实际气体体积为 $V=V_{\text{读}}+V_d$。等温时

$pV_{\text{读}}=C-pV_d$

因此简单计算 $pV_{\text{读}}$ 不再恒定。换一种整理方式，$V_{\text{读}}=C/p-V_d$，作 图像时，纵轴截距为 。这说明“图线不过原点”未必代表规律错误，也可能是在提醒你遗漏了一段气体体积。

体积不变：查理定律盯住压力表

把气体装进刚性密闭容器，容器几乎不能膨胀。加热后分子运动更剧烈，单位时间内撞击器壁的次数和每次碰撞的平均作用都增强，于是压强升高。此时体积不变，变化集中到了 $p$ 与 $T$ 上。

对一定质量的某种气体，在体积不变且气体比较稀薄时，压强与热力学温度成正比，这就是查理定律：

$\frac{p}{T}=C,\qquad \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$

在 $p-T$ 图中，同一份气体的等容线是延长后通过原点的直线。若横轴改为摄氏温度 $t$，直线延长后与温度轴交于约 $-273.15\ ^\circ\text{C}$，却不能据此断言真实气体一定能冷却到那里并保持气态。低温下真实气体可能液化，原有模型和外推条件已经改变。

一只刚性密闭罐在 $27\ ^\circ\text{C}$ 时绝对压强为 $1.20\times10^5\ \text{Pa}$。加热到 $127\ ^\circ\text{C}$，忽略容器热膨胀，压强是多少？先把温度换成 和 ，于是 。

注意，这是一个常见陷阱：若直接写 $p_2/p_1=127/27$，不但数值离谱，也违反了“温度比值只能用热力学温度”的要求。阅卷时，温标转换和绝对压强通常都是独立检查点。

压强不变：活塞为什么会自己上升

换成可以无摩擦移动的轻活塞，活塞上方大气压和所加砝码都不变。缓慢加热时，气体若只提高压强，活塞就失去平衡；它会向上移动，让气体体积增大，直到内部压强重新等于外部约束所决定的压强。因此，平衡变化过程中保持不变的是压强。

对一定质量的某种气体，在压强不变且气体比较稀薄时，体积与热力学温度成正比，这就是盖—吕萨克定律：

$\frac{V}{T}=C,\qquad \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

例如气体在 $27\ ^\circ\text{C}$ 时体积为 $600\ \text{mL}$，等压加热到 $77\ ^\circ\text{C}$。热力学温度由 $300\ \text{K}$ 变为 $350\ \text{K}$，所以

$V_2=600\times\frac{350}{300}\ \text{mL}=700\ \text{mL}$

“等压”并不意味着装置上必须写着恒压二字。轻活塞缓慢移动、外界大气压不变、活塞质量和外加砝码不变，就能由力的平衡推出封闭气体压强不变。反过来，若活塞碰到卡口，体积不再改变，后续加热就从等压过程切换成等容过程，不能拿同一条比例式算到底。

三条规律别按名字背，按“不变量”找

三个外国人名很容易串台，更可靠的办法是盯住题目中保持不变的量。

现在想一想：某气体的 $p-T$ 图像是一条过原点的直线，能否只凭图像断定它经历等容变化？还差一句条件。由 $pV/T=nR$ 可知，$p/T$ 不变也可能是 $n/V$ 不变；只有确定是同一份气体，即物质的量 $n$ 不变，才可推出 不变。图像永远要和研究对象、过程条件一起读。

斜率也在悄悄传递状态信息

图像不只是认形状。对同一份理想气体，等容线满足 $p=(nR/V)T$，所以 $p-T$ 直线斜率越大，体积越小；等压线满足 $V=(nR/p)T$，所以 $$ 直线斜率越大，压强越小。两条线若对应的物质的量不同，就不能只靠斜率比较体积或压强，因为 也藏在斜率里。

在 $p-V$ 图中，同一条等温线上两个矩形的面积 $pV$ 相等；不同温度的等温线则满足 $pV=nRT$，同一体积处位置越高的曲线温度越高。注意“曲线下的面积”与“矩形面积 $pV$”不是一回事：本章用的是状态量乘积，下一章讨论气体做功时才会研究过程曲线与横轴围成的面积。提前把这两个面积混用，会让状态关系和过程功一起出错。

若横轴使用摄氏温度，$p-t$ 或 $V-t$ 图线一般不通过坐标原点。它们在理想模型中的延长线趋向 $-273.15\ ^\circ\text{C}$，只能帮助理解热力学温标的零点，不能把负体积或负绝对压强当成真实物理状态。图像外推越远，越要检查气体是否仍保持原物态、模型是否仍适用。

把三条规律收进一条状态方程

实际问题很少恰好只变一个量。密闭气球上升时，外界压强、体积和温度都可能改变。能不能把这样的变化拆成两步：先等温改变压强和体积，再等容改变压强和温度？中间状态可以是想象出来的，只要首末状态和每一步规律成立，便能消去中间量。

对一定质量的某种理想气体，有

$\frac{pV}{T}=C$

首末两状态满足

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$

若用物质的量 $n$ 表示气体多少，则理想气体状态方程写成

$pV=nRT$

其中摩尔气体常量 $R\approx8.31\ \text{J/(mol·K)}$。使用这条式子时，$p、V、T$ 通常分别采用 Pa、$\text{m}^3$、K；使用两状态比例式时，压强单位前后一致、体积单位前后一致即可约去，但温度仍必须是 K。

理想气体不是某种装在特殊钢瓶里的气体，而是一个模型：忽略分子自身大小以及除碰撞瞬间外的分子间相互作用。真实气体在温度不太低、压强不太高，也就是密度较小时，通常可以近似看作理想气体。接近液化条件时，分子体积和分子力不能再忽略，实验定律的近似程度会变差。

一个量都没保持不变，照样可以算

一个密闭软袋在山脚时，绝对压强为 $1.00\times10^5\ \text{Pa}$、体积为 $3.0\ \text{L}$、温度为 $300\ \text{K}$。带到高处后，绝对压强变为 $8.0\times10^4\ \text{Pa}$，温度为 。软袋不漏气，求末态体积。

规范解答通常要把“气体质量不变”“温度换算为热力学温度”“压强取绝对压强”交代清楚。公式本身只有一行，失分往往发生在公式之前。

分段变化先找真正的分界点

装置中只要出现“活塞刚好到达卡口”“阀门恰好打开”“液柱刚好到管口”之类的词，就意味着过程规律在这一刻发生切换。解题时应把分界状态同时当作前一段的末态和后一段的初态，分别列式，再用同一组 $p、V、T$ 把两段接起来。

例如气体先推动活塞等压膨胀，活塞到达卡口后继续加热。第一段有 $V/T=C$，第二段有 $p/T=C$。若跳过卡口状态，直接用初态和终态套某一条特殊规律，就会暗中假设整个过程始终等压或始终等容。理想气体状态方程当然可以直接联系总过程的初末状态，但只有在终态还缺一个量、且分段条件能提供它时，卡口状态才是把方程组闭合的桥梁。

遇到活塞和液柱，先问边界在做什么

气体题经常把状态方程藏在力学装置里。活塞或液柱是两类信息的翻译器：它的位置给出体积关系，它的平衡给出压强关系。

水平放置、无摩擦、质量可忽略的活塞静止时，两侧气体压强相等；若活塞有质量但运动方向仍水平，质量不影响沿轴方向的平衡。竖直活塞则不同，若下方是封闭气体、上方受大气压，平衡时

$pS=p_0S+Mg$

即 $p=p_0+Mg/S$。若再加砝码，砝码质量也要计入。活塞缓慢移动时可近似认为每个时刻都处于力学平衡；若突然释放并明显加速，就不能把全过程都写成平衡。

液柱同样负责传递压强。静止液体内部，同种液体同一水平面压强相等；竖直高度差为 $h$ 时，两端压强差的大小为

$\Delta p=\rho gh$

开口端还要从大气压 $p_0$ 起算。判断加号还是减号，不要背“左高右低”的图形口诀，而应从已知液面沿液体向下压强增加、向上压强减小，一步一步走到未知端。

两个气室由活塞隔开时，一般要分别对 A、B 两团气体写状态方程，再补两类约束：机械平衡关系和几何关系。例如刚性总容器内活塞移动但容器总体积不变，就有 $V_A+V_B=V_{\text{总}}$。它们共享一个边界，并不意味着可以把两边随手合成一团；若气体不能穿过活塞，两边的物质的量分别守恒。

边界一旦加速，平衡式就要让位

“活塞缓慢移动”暗示每个时刻都可近似平衡；若题目明确活塞、液柱或气缸有加速度，就要先选边界物体为研究对象，再写 $\sum F=ma$。压力产生的力总是垂直作用面，方向指向被研究物体的内部；重力、拉力、支持力等外力则按实际方向画出，不能只凭压强大小猜加速度方向。

以竖直活塞为例，活塞质量为 $M$、面积为 $S$，下方气体压强为 $p$，上方气体或大气压强为 $p_0$。若规定向上为正，活塞以加速度 $a$ 向上运动，则

$pS-p_0S-Mg=Ma$

所以 $p=p_0+M(g+a)/S$。只有 $a=0$ 时，它才退化为前面的平衡关系。液柱加速时，应把整段液柱作为研究对象，分别标出两端压力、液柱重力和其他外力；气缸整体加速时，则应改选气缸壳体，画出气体对端盖的压力以及外界拉力、支持力，不能把“活塞受力式”原样搬过去。选谁研究，就只在受力图上画谁受到的力，这是动态边界最可靠的起点。

打气和漏气：不是公式坏了，是气体换了

给篮球打气时，容器内气体越来越多。若直接把打气前后的篮球内气体代入

$p_1V_1=p_2V_2$

就等于声称篮球里的气体质量没变，显然与“打进去一些空气”矛盾。处理变质量问题有两条路：用 $pV=nRT$ 明确比较物质的量，或者重新选择一份首末状态质量相同的气体。

设篮球容积 $V$ 不变，初态压强为 $p_1$；打气筒每次从大气中吸入体积 $V_0$、压强 $p_0$ 的空气，并全部压入篮球。若全过程温度相同，打了 次后达到 。把“篮球原有气体和 筒待打入气体”作为初态整体，把“篮球内全部气体”作为末态，就得到

$p_1V+Np_0V_0=p_2V$

这里把变质量容器问题转成了定质量整体问题。注意每一筒气体的量由它吸气时的 $p_0、V_0、T_0$ 决定，不是由压进篮球后的体积决定。

漏气也可以选“始终留在容器内的那部分气体”为研究对象。对同种理想气体，由 $n=pV/(RT)$ 可得首末物质的量或质量之比

$\frac{m_2}{m_1}=\frac{p_2V_2T_1}{p_1V_1T_2}$

漏出的质量是 $m_1-m_2$，题目若问“漏出质量与剩余质量之比”，则是 $(m_1-m_2)/m_2$，不能把 当作最终答案。

反复抽气：每一轮都重新圈定同一份气体

设刚性容器体积为 $V$，抽气筒一次能形成的最大体积为 $V_0$。每轮开始时抽气筒内近似没有残余气体；打开与容器相连的阀门后，容器中的气体等温膨胀到总体积 $V+V_0$。这一小轮里，要把“连通后分布在容器和抽气筒中的气体”选作定质量研究对象。若抽气前容器压强为 $p_{k-1}$，连通平衡后的压强为

$p_k=p_{k-1}\frac{V}{V+V_0}$

关闭容器阀门，再把抽气筒中的气体排到外界，容器就以 $p_k$ 进入下一轮。理想阀门、等温且每轮抽气筒都排空时，连续抽 $n$ 次得到

$p_n=p_0\left(\frac{V}{V+V_0}\right)^n$

注意指数来自“每轮都保留相同比例”，不是把抽气筒体积简单写成 $nV_0$。若抽气筒有残余体积、温度变化或阀门关闭时机不同，递推因子也会改变。

灌气和分装采用同一守恒思想。把气源容器、所有接收容器以及尚未转移的气体合起来看，气体总质量或总物质的量守恒；同温理想气体可把各部分的 $pV$ 相加记账。若每装满一个小瓶就断开，气源压强会逐次下降，应按每次连接前后分别列状态，不能假定所有小瓶都与气源的初始压强相同。

把长题拆成四张清单

气体综合题图很复杂时，不妨在草稿上列四张清单。

这套方法的关键不是多写步骤，而是避免把不同气室、不同阶段的量混在同一个等式里。接下来学习热力学第一定律时，我们还会在这张状态清单旁边增加“做功、传热和内能”的账本；本章先把状态变化本身算稳。

课后练习

练习 1：压力表到底读了什么

某轮胎压力表显示 $2.5\times10^5\ \text{Pa}$，当地大气压为 $1.0\times10^5\ \text{Pa}$。求轮胎内气体的绝对压强。若气体温度为 $27\ ^\circ\text{C}$，写出对应热力学温度。

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压力表读数是表压，故绝对压强 $p=p_{\text{表}}+p_0=3.5\times10^5\ \text{Pa}$。热力学温度 。状态方程中应使用这两个转换后的量。

练习 2：等温压缩

一定质量气体在温度不变时，压强为 $1.2\times10^5\ \text{Pa}$、体积为 $5.0\ \text{L}$。将体积缓慢压缩到 $3.0\ \text{L}$，求末态压强。

显示答案

由玻意耳定律 $p_1V_1=p_2V_2$，得 $$。体积减小，压强增大，趋势检查一致。

练习 3：玻意耳定律实验辨析

3

用注射器和压强传感器探究气体等温变化，下列做法或判断正确的是：

A.快速推拉活塞可缩短实验时间并保证等温B.应保持装置密封并在示数稳定后读数C.用手长时间握住封闭气体部分不会影响结果D.作p-1/V图像比直接用p-V图像更便于检验反比关系

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练习 4：等容升温

刚性密闭容器内气体在 $17\ ^\circ\text{C}$ 时绝对压强为 $2.9\times10^5\ \text{Pa}$。加热到 $307\ ^\circ\text{C}$，容器体积变化忽略不计，求末态压强。

显示答案

初末热力学温度分别为 $290\ \text{K}$、$580\ \text{K}$。由查理定律 $p_1/T_1=p_2/T_2$，得 。温度加倍，等容条件下绝对压强也加倍。

练习 5：等压膨胀

可自由移动的活塞封闭一定质量气体，外界约束保持压强不变。气体在 $27\ ^\circ\text{C}$ 时体积为 $2.4\ \text{L}$，加热到 $177\ ^\circ\text{C}$，求末态体积。

显示答案

$T_1=300\ \text{K}$，$T_2=450\ \text{K}$。由盖—吕萨克定律 $V_1\mathrm{/}{T}_1=V_2\mathrm{/}{}_{}$，得 。不能用摄氏温度直接作比值。

练习 6：图像中的不变量

一定质量理想气体的某过程在 $p-T$ 图上是一条延长后通过原点的直线。该过程是什么特殊过程？若直线斜率增大，在同一温度下对应的气体体积怎样变化？

显示答案

由 $p/T=nR/V$，一定质量时 $p/T$ 恒定说明体积不变，因此是等容过程。斜率 $nR/V$ 增大表示体积减小。比较斜率时必须保证是同一种、同样物质的量的气体。

练习 7：三个量同时改变

密闭气体初态为 $p_1=1.0\times10^5\ \text{Pa}$、$V_1=6.0\ \text{L}$、，末态体积为 、温度为 。求末态压强。

显示答案

气体质量不变，由 $p_1V_1/T_1=p_2V_2/T_2$，得 。这里没有单独保持不变的状态参量，应直接使用两状态方程。

练习 8：活塞碰到卡口

气缸内气体初温为 $300\ \text{K}$，活塞可无摩擦移动，初态体积为 $V_0$。等压加热到 $450\ \text{K}$ 时，活塞恰好碰到卡口；随后继续加热到 $600\ \text{K}$。求碰卡口时体积以及末态压强与初态压强之比。

显示答案

第一段等压，$V_2/V_0=T_2/T_1=450/300=1.5$，故碰卡口时体积为 。第二段等容，；又 ，所以 。分界前后不能使用同一条特殊过程规律。

练习 9：每次打入一筒空气

篮球容积为 $6.0\ \text{L}$，初始绝对压强为 $1.0\times10^5\ \text{Pa}$。打气筒每次吸入 $0.20\ \text{L}$、压强为 $1.0\times10^5\ \text{Pa}$ 的空气，并全部打入篮球。忽略篮球容积变化，温度始终相同。要使球内绝对压强达到 ，需打多少次？

显示答案

把篮球原有气体和各次吸入气体作为同一整体，有 $p_1V+Np_0V_0=p_2V$。代入得 次。每次气体的量要按吸气状态计算。

练习 10：缓慢漏气后的质量

刚性容器内理想气体初态压强为 $4.0\times10^5\ \text{Pa}$、温度为 $400\ \text{K}$。缓慢漏气并冷却后，压强变为 $2.0\times10^5\ \text{Pa}$、温度变为 $$。求剩余气体质量与初始气体质量之比，以及漏出质量与剩余质量之比。

显示答案

同种气体且容积不变，$m\propto p/T$，故 $m_2/m_1=(p_2T_1)/(p_1T_2)=2/3$。漏出质量为 ，所以漏出质量与剩余质量之比为 。

练习 11：竖直活塞的压强

横截面积为 $S$ 的竖直气缸中，质量为 $M$ 的活塞无摩擦地封闭下方气体，活塞上方为大气，压强为 $p_0$。活塞缓慢升降时，求下方气体压强。若再在活塞上放质量为 $m$ 的砝码，压强变为多少？

显示答案

活塞平衡时，下方气体向上的作用力平衡大气压力和重力：$pS=p_0S+Mg$，故 $p=p_0+Mg/S$。加砝码后 。这里得到的是绝对压强，因为式中已经包含大气压。

练习 12：两个气室共同加热

绝热性可忽略的刚性圆筒被无摩擦轻活塞分成 A、B 两个气室，活塞不漏气。初态两边温度相同、压强相同、体积相等。只给 A 室缓慢加热，最终活塞重新静止，且两室温度分别为 $2T_0$ 和 $T_0$。求最终 $V_A:V_B$。

显示答案

轻活塞重新平衡时两侧压强相等，记为 $p$；两团气体的物质的量分别保持不变。初态条件完全相同，故两边物质的量相等。由 $pV=nRT$，在相同末态压强下 $V\propto T$，所以 $V_A:V_B=2:1$。同时满足 ，可进一步得到两边分别占总体积的 和 。

练习 13：加速活塞的压强

质量为 $2.0\ \text{kg}$、横截面积为 $2.0\times10^{-2}\ \text{m}^2$ 的活塞在竖直气缸中无摩擦地向上加速，加速度为 $2.0\ \text{m/s}^2$。活塞上方大气压为 ，取 。求下方气体压强。

显示答案

选活塞为研究对象并规定向上为正。活塞受下方气体向上的压力 $pS$，受大气向下的压力 $p_0S$ 和重力 $Mg$，由 $pS-p_0S-Mg=Ma$ 得 。若误用平衡式，就会漏掉产生加速度所需的合力。

练习 14：抽气三次后的压强

体积为 $4.0\ \text{L}$ 的刚性容器内气体初始压强为 $1.0\times10^5\ \text{Pa}$。用最大抽气体积为 $1.0\ \text{L}$ 的抽气筒反复抽气，每轮均等温、连通后充分平衡，随后关闭容器阀门并把抽气筒排空。求抽气三次后容器内压强。

显示答案

每轮容器保留的压强比例为 $V/(V+V_0)=4/5$。因此 $p_3=p_0(4/5)^3=5.12\times10^4\ \text{Pa}$。不能把三次抽气等效成气体一次膨胀到 ，因为每一轮排出的都是当轮连通后气体的一部分。

本章收束

气体题的公式不多，真正需要守住的是条件。温度不变用 $pV=C$，体积不变用 $p/T=C$，压强不变用 $V/T=C$；三个量同时变化，用一定质量理想气体的 $pV/T=C$。所有温度比值使用开尔文，所有气体方程使用绝对压强。

装置题再加两层判断：活塞、液柱和容器几何给出边界关系；充气、漏气和阀门动作决定研究对象是否仍是同一份气体。把对象、状态量、边界、方程分开列清，即使图里有多个气室和多个阶段，也不会把它们搅成一团。