第 8 章　光电效应与波粒二象性

一块金属、一束光、一个灵敏电流表，看起来像是很普通的实验。可真正动手后，经典直觉会连续碰壁：光照得再亮，电子有时就是不出来；换成频率更高却不太亮的光，电流反而立刻出现；电子一旦出来，其最大初动能又主要由光的频率决定，而不是由光有多亮决定。

如果把光只理解成连续铺开的波，就很难同时解释这些现象。本章要做的，是顺着实验留下的线索，建立“光子”的能量账，再把同样的思路推向电子等实物粒子。先别急着背结论，我们从金属表面到底发生了什么开始。

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一、为什么把灯调得更亮，电子仍可能不出来

1. 电流表动了，说明金属里真的有电子逸出

把金属板作为光电管的阴极 K，用单色光照射它；另一电极作为阳极 A，两极经微安表和可调电源组成电路。若有电子从金属表面逸出并到达阳极，电路中就会出现光电流。在光的照射下，电子从物质表面逸出的现象叫作光电效应，逸出的电子叫作光电子。光电子仍是电子，不是“由光变成的新粒子”。

这里有个容易被电路图遮住的事实：电源不是用来“制造”光电子的。入射光负责使电子逸出，外加电压主要负责改变已经逸出的光电子到达阳极的难易程度。即使两极间外加电压为零，一些具有初动能且方向合适的光电子也可能到达阳极，所以电流不一定为零。

若把阳极接高电势，光电子受到有利于到达阳极的电场作用，这种电压通常称为正向电压或加速电压；若极性反过来，电场会阻碍光电子到达阳极，称为反向电压。判断时别只看电源符号，先问一句：电子带负电，它受到的电场力指向哪里？

2. 四条实验线索，把“亮”和“频率”分开

对同一种金属反复改变入射光，实验会给出四条关键线索。

第一，存在一个由材料决定的极限频率 $\nu_0$，也常叫截止频率。只有入射光频率满足 $\nu\geqslant\nu_0$，才可能发生光电效应。频率低于 $\nu_0$ 时，单纯增大光强仍不能使电子逸出。

第二，只要频率已经超过极限频率，光电效应几乎立即发生，不需要让金属先“积攒一会儿能量”。

第三，在入射光频率和阴极材料不变时，增大光强会使单位时间内到达金属表面的光子增多，通常也使单位时间内逸出的光电子增多，于是饱和电流增大。

第四，光电子的初动能并不都相同，但存在最大值 $E_{k\mathrm m}$。对同一种金属，$E_{k\mathrm m}$ 随入射光频率增大而增大，却不因光强增大而增大。

这四条规律都有控制变量的前提。比较频率影响时要使用同一种阴极材料；比较光强影响时还要保持频率不变；测饱和电流时必须给出足够的正向电压；测最大初动能则不能挑任意一个光电子，而要用遏止电压找到“最快的那批”。若实验更换了金属表面、改变了光斑面积，或尚未到达饱和区，电流变化就不能简单归因于光强。

你可能会这样想：波的强度越大，传来的能量越多，难道不该把每个电子都推得更快吗？问题正在这里。实验显示，光强更像是在改变“单位时间送来多少份能量”，频率则改变“每一份能量有多大”。一大袋面值很小的硬币，不能替代一次必须投入的足额硬币；这个比喻只帮助建立直觉，严谨表述要等光子模型来完成。

现在先判断一个小问题：某束红光照射金属时没有光电子逸出，把红光强度提高到原来的十倍，是否一定能产生光电子？

不一定。原实验可能是红光频率低于该金属的极限频率。提高光强只增加单位时间到达的光子数，并未提高单个光子的能量。这里是复习题里常见的失分点：把“能否逸出”交给频率判断，把“逸出多少”在给定条件下交给光强判断，不要把两个控制量混成一个。

下面的实验台把频率、光强和外加电压分开放在三个控制器上。先故意选一个低于极限频率的频率，再把光强调到最大；随后只提高频率，观察电流何时出现。

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二、怎样用电压问出光电子的最大初动能

1. 正向电压增大，光电流为什么最后不再增大

刚从阴极逸出的光电子速度方向各不相同。正向电压较小时，有些光电子没有到达阳极；逐渐增大正向电压，更多光电子被收集，光电流随之增大。当单位时间内逸出的光电子几乎都能到达阳极后，再提高电压也没有更多电子可供收集，光电流趋于稳定，这个稳定值叫饱和电流。

因此，“正向电压越大，光电流越大”只在尚未达到饱和时成立。达到饱和后，电压继续增大，光电子到达阳极时可以具有更大的动能，但单位时间到达的电子数不再增加，电流也就不再增加。

反过来看，饱和电流测的是一段时间内被收集的电荷量。若饱和电流为 $I_s$，时间 $t$ 内到达阳极的电子数在理想计数模型中为 $N=I_st/e$。这条关系数的是电子，不直接给出每个电子的速度；两个实验的饱和电流相同，只能说明相同时间内收集的总电荷量相同，不能据此断言光电子最大初动能相同。

保持入射光频率和阴极材料不变，增强光照，单位时间内产生的光电子通常更多，饱和电流随之增大；但两条曲线对应的遏止电压相同，因为它们的最大初动能相同。

2. 反向电压像一道越来越高的“电坡”

把电源极性反接，光电子向阳极运动时要克服电场力做功。反向电压逐渐增大，能够到达阳极的电子越来越少，光电流逐渐减小。当反向电压增大到某个值，连初动能最大的光电子也恰好不能到达阳极，光电流降为零。这个反向电压的大小叫遏止电压 $U_c$。

对电荷量大小为 $e$ 的电子，由动能定理可得

$$E_{k\mathrm m}=eU_c.$$

注意，$U_c$ 在这里取反向电压的大小。画伏安特性曲线时，有的坐标把反向电压记为负值，曲线与横轴交点可能写成 $-U_c$；代入能量关系的仍是正的大小 $U_c$。只看交点的符号而不看电源极性，很容易把最大初动能算成负数。

不同频率曲线的饱和平台是否相同，不能只凭“光强相同”武断下结论。因为光子能量不同，相同功率对应的光子数并不相同，材料对不同频率光的响应也可能不同。若示意图把平台画成相同，只表示该图另行控制了单位时间逸出的光电子数相同；判频率最可靠的量是遏止电压。

现在想一想：保持材料和入射光频率不变，只把光强减半，$U_c$ 会不会减半？答案是不会。饱和电流会随光电子发射率减小，$U_c$ 却由最快光电子的最大初动能决定。复习题常把“电流大小”和“电子最大初动能”放在同一张图里考，先分清纵轴是在数电子，还是在量单个电子的能量。

在下面的曲线判读器中，分别切换“同频率不同光强”和“同光强不同频率”。先找横轴交点，再看平台高度，会比背图像更牢靠。

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三、光的能量为什么要按“一份一份”来结账

1. 炉口颜色为什么会变——普朗克黑体辐射理论

烧热的铁块先呈暗红，温度继续升高后会变得橙黄甚至白亮。你可能会说，这只是“越热越亮”，可光谱仪还能看到更细的变化：物体因自身温度而发出的电磁辐射叫作热辐射；温度升高时，总体辐射强度增强，辐射强度的峰值还会向波长较短的方向移动。物体即使没有亮到肉眼可见，也仍可能主要以红外线形式向外辐射。

为了排除材料表面对吸收、反射的复杂影响，物理学家设想一种能完全吸收入射电磁波而不反射的理想物体，叫作黑体。黑体不一定看起来漆黑；当它温度很高时，同样会强烈发光。黑体辐射的光谱分布只由温度决定，因此成了检验辐射理论的一把“标准尺”。

经典理论无法正确解释黑体在短波区域的实验曲线。普朗克由此提出：振动着的带电微粒的能量只能是某个最小能量单位的整数倍，这个最小单位叫能量子，大小为

$$\varepsilon=h\nu.$$

物质辐射或吸收频率为 $\nu$ 的电磁波时，交换的能量不是任意连续值，而是 $\varepsilon$ 的整数倍，即 $\Delta E=n\varepsilon=nh\nu$，其中 $n$ 为正整数。现在想一想：频率变为原来的2倍，一个能量子的能量怎样变化？它也变为2倍，改变频率是在改变每一份能量的大小。

普朗克先让能量交换有了“一份一份”的刻度，爱因斯坦随后把这条线索推进到光本身，于是光电效应中那些不肯服从经典直觉的现象终于能记清能量账。

2. 一个光子只和一个电子进行一次能量交换

实验线索逼着我们换一种眼光看光。爱因斯坦在能量量子化思想的基础上提出：光本身由一个个不可分割的能量子组成，后来称为光子。频率为 $\nu$ 的光，每个光子的能量为

$$\varepsilon=h\nu=\frac{hc}{\lambda},$$

其中 $h=6.626\times10^{-34}\ \text{J·s}$ 是普朗克常量，$c$ 为真空光速，真空中 $c=\lambda\nu$。

在光电效应的基本模型中，一个电子一次吸收一个光子的全部能量。电子若要离开金属，至少要付出一笔克服束缚的能量，这笔最小能量叫金属的逸出功 $W_0$。逸出功由金属材料及其表面状态决定，不由入射光的频率或强度决定。表面电子所需能量最少，且没有额外损失时，剩余能量形成最大初动能，于是有爱因斯坦光电效应方程

$$h\nu=W_0+E_{k\mathrm m},$$

也就是

$$E_{k\mathrm m}=h\nu-W_0.$$

这张“能量账本”同时解释了前面的三处困惑。频率太低时，单个光子的能量小于逸出功，再多低能光子也不能在高中单光子模型中凑给同一个电子；频率超过门槛后，电子一次吸收就能逸出，所以几乎无需等待；提高频率增加每个光子的能量，才会提高最大初动能。

为什么方程写的是“最大”初动能？金属内不同电子的状态并不完全相同，有些电子从更深处运动到表面时还会发生能量损失。$W_0$ 表示最有利情况下逸出所需的最小能量，因此只有损失最少的电子能取得 $h\nu-W_0$；其他光电子的初动能可以更小。题目给出 $E_{k\mathrm m}$，并不意味着所有光电子都以同一速率飞出。

令电子刚好能够逸出，即 $E_{k\mathrm m}=0$，得到

$$W_0=h\nu_0.$$

极限频率越大，表示逸出功越大，电子越难从表面逸出。同一金属换不同入射光，$W_0$ 不变；换了金属，才需要重新判断 $W_0$ 和 $\nu_0$。

3. 电子伏特让数值关系一眼可见

微观能量常用电子伏特作单位：

$$1\ \text{eV}=1.602\times10^{-19}\ \text{J}.$$

一个电子经过 $1\ \text{V}$ 电势差获得的动能是 $1\ \text{eV}$。因此，当 $E_{k\mathrm m}$ 用 eV 表示、$U_c$ 用 V 表示时，二者数值相同。例如某金属逸出功为 ，用波长 的光照射。取 ，光子能量为

$$\varepsilon=\frac{1240}{400}\ \text{eV}=3.1\ \text{eV},$$

所以 $E_{k\mathrm m}=1.1\ \text{eV}$，遏止电压 $U_c=1.1\ \text{V}$。

注意，这是一个很实用也很危险的简写。若能量用焦耳，就必须使用 $E_{k\mathrm m}=eU_c$ 并带入元电荷；不能看见“数值相同”就把 eV 和 V 当成同一种单位。

下面的能量账本允许你改变材料参数和光的频率。建议先把频率调到门槛附近，观察能量刚够支付逸出功时，最大初动能为何接近零。

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四、一条直线里藏着哪些实验结论

1. 最大初动能—频率图像

把同一种金属在不同频率光照下测得的 $E_{k\mathrm m}$ 画在纵轴、$\nu$ 画在横轴。由

$$E_{k\mathrm m}=h\nu-W_0$$

可知图像是一条斜率为 $h$ 的直线。它与频率轴的交点是 $\nu_0=W_0/h$；把直线向低频方向延长，与纵轴交点的纵坐标是 $-W_0$。实际发生光电效应的数据只位于 的区域，低频一侧的虚线只是数学延长，不能说电子在那里具有“负动能”。

若比较不同金属，它们的 $E_{k\mathrm m}-\nu$ 图线斜率都应是普朗克常量，因而彼此平行；不同的是截距。某金属逸出功较大，图线整体更低，极限频率更大。若题图斜率不同，要先检查坐标单位是否作了缩放，不能立刻断言“材料改变了普朗克常量”。

图像题还有一个常被忽略的方向判断。对同一种金属提高频率，图线上的点沿直线向右上方移动；提高光强，则该点在 $E_{k\mathrm m}-\nu$ 图中根本不移动，因为横坐标频率和纵坐标最大初动能都没变。光强的信息应去伏安曲线的饱和平台中寻找，不能强行塞进这张能量图。

2. 遏止电压—频率图像

把 $E_{k\mathrm m}=eU_c$ 代入光电方程，得到

$$U_c=\frac{h}{e}\nu-\frac{W_0}{e}.$$

所以 $U_c-\nu$ 图线的斜率是 $h/e$，不是 $h$；图线斜率乘以 $e$ 才得到普朗克常量。横截距仍为 $\nu_0$，纵截距则为 。纵轴若用 V， 若用 eV，二者数值的绝对值相同，但物理量和单位仍不同。

例如实验测得频率增加 $2.0\times10^{14}\ \text{Hz}$ 时，遏止电压增加 $0.83\ \text{V}$，则

$$h=e\frac{\Delta U_c}{\Delta\nu} \approx1.60\times10^{-19}\times\frac{0.83}{2.0\times10^{14}} \approx6.6\times10^{-34}\ \text{J·s}.$$

解数据题时优先用差分求斜率，因为两点作差会消去逸出功。得到 $h$ 后，再任选一点代回求 $W_0$。若先从延长线“目测截距”，图像读数误差往往更大。

下面的数据分析器把横截距、纵截距和斜率分开显示。做题时可以先遮住文字解释，只凭单位判断：斜率的单位若是 $\text{V·s}$，它就不可能直接等于单位为 $\text{J·s}$ 的 $h$。

复习到这里，光电效应题可以形成一条稳定判断链：先用 $h\nu$ 与 $W_0$ 判断能否逸出，再用 $E_{k\mathrm m}=h\nu-W_0$ 求最大初动能，最后用 接到电路和图像。最常见的扣分不是公式没背，而是把光强塞进最大初动能，或把 图线斜率直接写成 。

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五、光子没有静质量，为什么还能传递动量

光电效应说明能量交换具有“一份一份”的特征，康普顿效应等实验又表明，光子在相互作用中还会交换动量。频率为 $\nu$、波长为 $\lambda$ 的光子满足

$$E=h\nu=\frac{hc}{\lambda},\qquad p=\frac{h}{\lambda}=\frac{E}{c}.$$

光子的静质量为零，但不能据此说它没有动量。波长越短，单个光子的能量和动量越大。光照到物体表面被吸收或反射时，光子的动量发生改变，物体就会受到力；单位时间内大量光子的微小作用积累起来，表现为光压。

在垂直入射的理想模型中，若光子被完全吸收，单个光子传给物体的动量大小为 $p$；若沿原方向反射回去，光子动量改变量大小为 $2p$，传给物体的冲量相应更大。真实表面可能同时存在吸收、反射和散射，应按题目给出的模型处理，不能不加条件地把光压都按两倍计算。

如果功率为 $P$ 的单色光在时间 $t$ 内发出 $N$ 个光子，则

$$Pt=Nh\nu,\qquad N=\frac{Pt}{h\nu}.$$

这也进一步解释“同功率、不同频率”的区别：频率越高，单个光子能量越大，相同总能量包含的光子数越少。光强描述的是单位时间、单位面积输送的总能量，光子数率还要除以单个光子的能量。

在下方探索器中把波长减半，先猜能量和动量各变成几倍，再观察结果。两个量都与 $1/\lambda$ 成正比，不要把“波长越短，频率越高”只用在能量公式上。

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六、电子明明是粒子，为什么会形成衍射图样

一束电子打在屏上，每次留下的是一个局部亮点，看起来粒子性再明显不过。可让电子通过晶体薄片，并把许多电子的落点积累起来，屏上却会出现有规律的衍射环。衍射是波动性的典型证据：实物粒子也具有波动性。

德布罗意提出，动量为 $p$ 的运动粒子对应的波长为

$$\lambda=\frac{h}{p},$$

称为德布罗意波长。与粒子能量相联系的频率满足 $E=h\nu$。这里的“波”不是说电子沿着一条上下起伏的经典轨迹前进，也不是把一个电子切成一半粒子、一半波；它描述的是微观粒子呈现出的波动规律。

为什么足球、课桌也有动量，却看不出衍射？因为宏观物体的动量很大，$h/p$ 小得难以观测。微观粒子的动量较小时，德布罗意波长可以接近晶格间距，衍射便容易显现。波动性不是微观粒子的专利，但宏观物体的波动性通常弱到无法察觉。

对初速度可忽略、经电压 $U$ 加速的电子，在非相对论范围内有

$$eU=\frac{p^2}{2m_e},$$

因而

$$p=\sqrt{2m_e eU},\qquad \lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_e eU}}.$$

这说明 $\lambda\propto1/\sqrt U$。加速电压变为原来的 $100$ 倍，电子的动量变为原来的 $10$ 倍，德布罗意波长变为原来的 $1/10$，不是 。以 加速电子为例，德布罗意波长约为 ，正好进入原子间距的尺度，所以晶体可充当天然衍射光栅。

现在把两个看似相反的观察放在一起：单个电子到达屏幕时留下一个点，显示相互作用的粒子性；许多同样条件下的电子积累成衍射图样，显示分布规律的波动性。即使把电子一个一个发射，积累足够多仍可形成图样，不能解释成“电子彼此碰撞才产生波纹”。

光的干涉、衍射突出波动性，光电效应、康普顿效应突出粒子性；电子的局部探测结果突出粒子性，电子衍射又突出波动性。所谓波粒二象性，不是同一时刻非要看见两个经典图景叠在一起，而是说光和实物粒子的完整行为不能只用经典粒子或经典波中的一种来概括，具体实验会突出其中不同侧面。

这也提醒我们，不能把“波动性”误写成电子真的在空间中摊成一团经典物质，更不能把“粒子性”误写成电子必定沿一条可预先确定的经典轨迹穿过装置。高中阶段不要求建立完整量子力学形式，但要尊重实验事实：探测是局域的，重复实验的统计分布却能出现干涉或衍射结构。选择题若出现“只有波动性”“只有粒子性”或“波粒二象性是两类粒子混合”的绝对表述，通常正是在偷换概念。

到这里，本章的逻辑闭环已经形成：光电效应迫使我们用光子的离散能量解释光，光子又具有由波长决定的动量；德布罗意反过来把波长赋予运动粒子，电子衍射提供实验支持。下一章进入原子核后，能量和动量守恒仍会继续工作，但研究对象将从原子外的电子深入到原子核内部。

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章末练习：把“能否发生、逸出多少、跑得多快”分开

1

用某单色光照射金属时没有光电子逸出。下列措施能够保证直接改变这一结果的是

A.增大原光的强度B.延长照射时间C.换用频率高于该金属极限频率的光D.增大光电管正向电压

2

同一金属在频率高于极限频率的单色光照射下发生光电效应。保持频率不变而增大光强，下列说法正确的是

A.单位时间到达金属表面的光子数增多B.光电子最大初动能增大C.饱和电流通常增大D.遏止电压保持不变

提交

3

在最大初动能—频率图像中，把直线延长到极限频率以下得到的负纵坐标，表示光电子具有负动能。

正确错误

4. 某金属的逸出功为 $2.20\ \text{eV}$，用能量为 $3.50\ \text{eV}$ 的单色光照射。求光电子最大初动能和遏止电压。

显示答案

由 $E_{k\mathrm m}=h\nu-W_0$ 得 $E_{k\mathrm m}=3.50-2.20=1.30\ \text{eV}$。对电子有 ，当能量用 eV 表示时，遏止电压的数值为 。

5. 用波长 $500\ \text{nm}$ 的单色光照射逸出功为 $2.00\ \text{eV}$ 的金属。取 $hc=1240\ \text{eV·nm}$，判断能否发生光电效应；若能，求最大初动能。

显示答案

光子能量 $E=hc/\lambda=1240/500\ \text{eV}=2.48\ \text{eV}$，大于逸出功，所以能发生光电效应。最大初动能为 $2.48-2.00=0.48\ \text{eV}$。

6. 某金属的极限频率为 $5.0\times10^{14}\ \text{Hz}$。取 $h=6.63\times10^{-34}\ \text{J·s}$，求其逸出功，结果用 J 和 eV 表示。

显示答案

$W_0=h\nu_0=6.63\times10^{-34}\times5.0\times10^{14}\ \text{J}=3.315\times10^{-19}\ \text{J}$。除以 ，得 。

7. 在同一种金属的实验中，入射光频率从 $6.0\times10^{14}\ \text{Hz}$ 增至 $8.0\times10^{14}\ \text{Hz}$，遏止电压从 $0.50\ \text{V}$ 增至 。取 ，估算普朗克常量。

显示答案

$U_c-\nu$ 图线斜率为 $h/e$，故 $h=e\Delta U_c/\Delta\nu=1.60\times10^{-19}\times0.83/(2.0\times10^{14})\ \text{J·s}\approx6.64\times10^{-34}\ \text{J·s}$。

8. 两种金属甲、乙的 $E_{k\mathrm m}-\nu$ 图线平行，甲图线的横截距小于乙。比较两种金属的逸出功，并说明用同一束高于两者极限频率的光照射时，哪种金属产生的光电子最大初动能较大。

显示答案

横截距是极限频率，$W_0=h\nu_0$，所以甲的逸出功较小。同一入射频率下 $E_{k\mathrm m}=h\nu-W_0$，甲产生的光电子最大初动能较大。

9. 某光电管在零外加电压时电流不为零，这是否说明电路违反了能量守恒？若要测遏止电压，应怎样接电源极性？

显示答案

不违反。光电子从入射光子获得能量，部分电子逸出后方向合适，可在零外加电压时到达阳极形成电流。测遏止电压时，应使外加电场阻碍电子从阴极到阳极运动，即阳极相对阴极接低电势，并逐渐增大反向电压直至光电流为零。

10. 功率为 $3.0\ \text{mW}$、频率为 $5.0\times10^{14}\ \text{Hz}$ 的单色光持续发光 $2.0\ \text{s}$。取 $h=6.63\times10^{-34}\ \text{J·s}$，估算发出的光子数。

显示答案

总能量 $Pt=3.0\times10^{-3}\times2.0\ \text{J}=6.0\times10^{-3}\ \text{J}$。单个光子能量 ，所以 。

11. 光子波长由 $600\ \text{nm}$ 变为 $300\ \text{nm}$，单个光子的能量和动量分别怎样变化？

显示答案

$E=hc/\lambda$、$p=h/\lambda$，波长减半时，能量和动量都变为原来的2倍。

12. 一束光垂直照射物体表面。比较单个光子被完全吸收和沿入射方向反射回去时，传给物体的冲量大小。

显示答案

完全吸收时光子动量由 $p$ 变为0，传给物体的冲量大小为 $p$；沿原方向反射回去时，光子动量由 $p$ 变为 $-p$，改变量大小为 $2p$，传给物体的冲量大小为 $2p$。结论以垂直入射和理想吸收、反射为条件。

13. 电子由静止经电压 $U$ 加速，忽略相对论效应。若加速电压变为 $9U$，电子的德布罗意波长变为原来的多少？

显示答案

由 $eU=p^2/(2m_e)$ 和 $\lambda=h/p$ 得 $\lambda\propto1/\sqrt U$。电压变为9倍，动量变为3倍，德布罗意波长变为原来的 。

14. 有人说：“电子衍射图样是许多电子彼此碰撞形成的，所以单个电子没有波动性。”请指出问题。

显示答案

即使把电子一个一个发射，使装置中任一时刻只有一个电子，单次探测虽留下局部落点，许多次事件积累后仍可形成衍射分布。这说明电子本身具有由德布罗意关系描述的波动性，图样不需要用电子之间的碰撞解释。

15. 关于黑体辐射和能量子，下列说法是否正确：“黑体温度升高时，总体辐射强度增强，辐射强度峰值向短波方向移动；若物质一次吸收频率为 $\nu$ 的3个能量子，吸收能量为 $3h\nu$。”

显示答案

正确。黑体辐射随温度升高而增强，峰值向较短波长移动；一个频率为 $\nu$ 的能量子能量为 $h\nu$，吸收3个能量子时交换的总能量为 $3h\nu$。黑体是理想的完全吸收体，不等于任何温度下都只能呈黑色。