第 5 章　热力学第一定律与能量守恒

冬天给自行车轮胎打气，打气筒用不了几下就会发热。你可能会说：“活塞摩擦，所以热了。”可如果换成密封良好、摩擦很小的打气筒，快速压缩后筒内空气仍会明显升温。热量没有先从火炉跑进来，空气为什么会变热？

这个现象提醒我们：物体的内能不只会通过传热改变。推活塞时，你把机械能送进了气体，气体分子的运动因此变得更剧烈。要把这笔能量说清楚，第一步不是急着套公式，而是先问：我们把谁当作研究对象？能量从哪一侧穿过边界？

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一、先划边界，再记能量账

1. 系统、外界和状态量

热学问题中，被研究的一部分物质叫作热力学系统，系统以外与它发生相互作用的部分统称外界。研究打气筒时，可以只把筒内气体当作系统，活塞、筒壁和你的手都属于外界；也可以把“气体和电热丝”一起作为系统。边界一变，账本中某一笔能量是“内部转化”还是“跨界传递”也会变，但整个世界的能量守恒不会变。

系统在某个确定状态下具有内能 $U$。从状态 1 变到状态 2，内能的变化量为

$$\Delta U=U_2-U_1。$$

$U$ 是状态量：只要初、末状态相同，$\Delta U$ 就相同，与中间绕了哪条过程路径无关。功和热量则不同，它们描述的是能量跨越系统边界的过程。同一团气体从同一初态到同一末态，可以沿不同路径变化，做功和传递的热量可能不同。

你先判断一下：一个保温杯里的热水静置不动，它“含有很多热量”这句话严谨吗？不严谨。热水具有内能；当它与外界有温差并发生传热时，才有热量从热水传向外界。把内能、热量混成一个词，后面的符号一定会乱。

2. 改变内能的两条通道

一条通道是做功。摩擦双手，机械能转化为手的内能；迅速压缩气体，外界通过活塞对气体做功，气体内能通常增加。另一条通道是传热。把冷金属块放进热水，能量由于温度差从热水传给金属块，金属块的内能增加。

两种方式都能改变内能，却不能说它们的微观过程完全相同。做功往往把宏观有序运动的能量转入分子无规则运动，传热则是能量在温度不同的物体或系统之间传递。最后反映到能量账本上，它们都可以让 $U$ 改变。

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二、一条公式，先把正负号统一

1. 本章统一采用 $\Delta U=Q+W$

规定 $Q$ 为系统从外界获得的热量，$W$ 为外界对系统做的功，热力学第一定律写成

$$\boxed{\Delta U=Q+W}。$$

它说的是：系统内能的增加量，等于通过传热进入系统的能量与通过做功进入系统的能量之和。正负号不靠背四句话，而看能量箭头是否指向系统：

• 系统吸热，$Q>0$；系统放热，$Q<0$；
• 外界对系统做功，$W>0$；系统对外界做功，$W<0$；
• 内能增加，$\Delta U>0$；内能减少，。

有些资料把“气体对外做的功”记为 $W_{\text{气}}$，那就会写成 $\Delta U=Q-W_{\text{气}}$。两套写法都能守恒，关键是不能算到一半换约定。本章始终使用 $W$ 表示，因而

$$W=-W_{\text{气}}。$$

2. 算之前，先画三支箭头

例：一团气体吸收 $600\ \text{J}$ 热量，同时推动活塞对外做功 $250\ \text{J}$。求内能变化量。

你可能会直接把两个正数相加，得到 $850\ \text{J}$。注意，这是个符号陷阱：题目说的是气体对外做功，因此对我们统一的 $W$ 来说应取负值。

现在反过来想：外界压缩气体做功 $200\ \text{J}$，气体同时放出 $200\ \text{J}$ 热量，内能一定增加吗？答案是不增加也不减少，因为 $W=+200\ \text{J}$、$Q=-200\ \text{J}$，两笔正好抵消。看到“被压缩”就断言内能必增，往往是漏看了另一条能量通道。

在复习题里，写对公式通常不难，最常见的失分是把“气体做功”直接当成公式里的正 $W$。稳妥做法是先在草稿上写一句“$W$ 为外界对气体做功”，再逐项定正负。

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三、气体做功为什么能从 $p-V$ 图读出来

1. 等压过程：活塞走多远，气体就推出多大空间

气缸横截面积为 $S$，气体缓慢推动活塞移动 $x$。若外界压强保持为 $p$，活塞平衡移动时气体推力大小为 $pS$，气体对外做功为

$$W_{\text{气}}=pSx=p\Delta V。$$

所以本章符号约定下，膨胀时

$$W=-p\Delta V<0；$$

压缩时 $\Delta V<0$，于是 $W=-p\Delta V>0$。由于 $1\ \text{Pa}\cdot\text{m}^3=1\ \text{J}$，用帕和立方米相乘会自然得到焦耳。

若压强在过程中改变，可以把体积变化切成许多小段，每小段近似用 $p\Delta V$，再把各段相加。在 $p-V$ 图中，这正对应过程图线与横轴之间的面积；膨胀时面积表示气体对外做功的大小，压缩时表示外界对气体做功的大小。严格地说，缓慢过程应使用气体压强；一般边界功则由外界作用于边界的压强决定。高中常见的准静态过程里二者近似相等。

2. 变压过程的面积账

例：一定量气体从 $V_1=2.0\times10^{-2}\ \text{m}^3$ 膨胀到 $V_2=5.0\times10^{-2}\ \text{m}^3$，压强随体积线性地由 降到 。过程中气体吸热 ，求内能变化。

图线下方是梯形，气体对外做功为

$$W_{\text{气}}=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1) =7.50\times10^3\ \text{J}。$$

因此 $W=-7.50\times10^3\ \text{J}$，而 $Q=+1.00\times10^4\ \text{J}$，所以

$$\Delta U=Q+W=2.50\times10^3\ \text{J}。$$

这道题最容易出现两个错误：把梯形面积算成 $p_1\Delta V$，或算出气体对外功后仍以正号代入 $\Delta U=Q+W$。面积先告诉你“功的大小”，系统与能量流向再决定代数符号。

3. 活塞题里，压强不是看见 $p_0$ 就照抄

气缸上方与大气相通，并不意味着缸内气体压强必定等于大气压。若竖直活塞质量为 $m$、横截面积为 $S$，活塞无摩擦且缓慢上升，对活塞受力平衡可得

$$pS=p_0S+mg，\qquad p=p_0+\frac{mg}{S}。$$

若活塞上还有砝码，砝码重力也要计入；若气缸倾斜，只取重力沿活塞运动方向的分量；若存在恒定摩擦力，活塞上升和下降时摩擦方向不同，两个过程对应的气体压强也可能不同。先分析活塞受力，再计算边界功，不能把大气压当成万能答案。

例如，竖直气缸内封闭气体推动活塞缓慢上升。已知 $p_0=1.0\times10^5\ \text{Pa}$，活塞质量 $m=10\ \text{kg}$，横截面积 $S=2.0\times {10}^{}$，上升 ，取 。缸内压强为

$$p=p_0+\frac{mg}{S}=1.05\times10^5\ \text{Pa}，$$

体积增加量 $\Delta V=Sh=2.0\times10^{-3}\ \text{m}^3$，气体对外做功

$$W_{\text{气}}=p\Delta V=210\ \text{J}。$$

假如气体内能同时增加 $90\ \text{J}$，那么 $W=-210\ \text{J}$，由 $Q=\Delta U-W$ 得 $Q=300\ \text{J}$。这 并没有全部留在气体内： 进入内能， 通过活塞传给外界。若只写“吸热所以内能增加 ”，就把做功出口漏掉了。

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四、四种典型过程，不要背成四句口号

1. 等容过程：活塞不动，体积功为零

若气体体积保持不变，并且只考虑气体推动边界的机械功，则 $W=0$，第一定律化为

$$\Delta U=Q。$$

给刚性密闭容器内的气体加热，气体吸收的热量全部表现为内能增加。这里的限定“只考虑体积功”很重要：若容器内有电热丝，而把气体和电热丝分开选作系统，电流做功也可能跨越系统边界。题目怎样划系统，决定账本怎样写。

2. 等温过程：理想气体内能不变

一定质量理想气体的内能只与温度有关。等温变化中温度不变，因此 $\Delta U=0$，有

$$Q=-W。$$

若气体等温膨胀，$W<0$，于是 $Q>0$：气体一边从外界吸热，一边把同样多的能量以做功方式送出去。若气体等温压缩，外界做的功最终以热量形式从气体放出。注意，只有在“一定质量理想气体”的条件下，才能仅凭温度不变直接判定内能不变。

3. 绝热过程：没有热交换，不等于温度不变

绝热过程满足 $Q=0$，于是

$$\Delta U=W。$$

快速压缩打气筒时，气体来不及与外界充分传热，可近似看作绝热过程。外界对气体做正功，内能增加，温度升高；气体绝热膨胀并推动外界时，$W<0$，内能减少，温度下降。“绝热”只表示没有通过传热通道交换能量，并不表示内能或温度不变。

还有一个看似反例的情形：理想气体在绝热容器中向真空自由膨胀。此时 $Q=0$，外界压强又为零，所以 $W=0$，从而 $\Delta U=0$，理想气体温度不变。可见“绝热膨胀温度一定下降”少了“气体对外做功”这个条件。

4. 等压过程：三个量通常都不能先判零

一定质量理想气体等压膨胀时，由 $V/T$ 为常量可知温度升高，故 $\Delta U>0$；膨胀又使 $W<0$。要同时满足 $\Delta U=Q+W$，必有 ，并且吸收的热量大于气体对外做的功。等压压缩时则需根据温度变化和功的方向逐项判断。

现在试着判断：理想气体等温膨胀、绝热压缩、等容冷却中，哪一个过程的 $Q$ 一定为零？只有绝热压缩。等温膨胀的 $\Delta U$ 为零却必须吸热，等容冷却的 $W$ 为零却要放热。把“某量为零”的原因说出来，比背结论可靠得多。

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五、状态变化图像：先找温度，再找功，最后找热量

遇到 $p-V$、$p-T$ 或 $V-T$ 图像，最稳的顺序不是三条规律同时往上堆，而是分三步：

1. 对一定质量理想气体，用 $pV/T=C$ 比较温度，由温度变化判断 $\Delta U$；
2. 只有对 $p-V$ 图中的准静态过程，才能用过程线与 $V$ 轴之间的面积求气体做功；若给的是 $p-T$ 或 图，图线下面积没有做功意义，必须先由状态方程和过程条件求出体积变化、压强或另作 分析；

例：一定质量理想气体从 A 到 B 做等容升压变化，再从 B 到 C 做等温膨胀。A 到 B 体积不变，所以 $W_{AB}=0$；压强升高意味着温度升高，故 $\Delta U_{AB}>0$，于是 $Q_{AB}$。B 到 C 温度不变，所以 ；气体膨胀，，于是 。两段都吸热，却因为不同原因：前一段热量增加内能，后一段热量转化为气体对外做功。

如果一个过程经过若干段，$Q$、$W$ 和 $\Delta U$ 都可以分段相加。但只有 $\Delta U$ 只由总过程的初、末状态决定。不同路径连接同样的初、末状态，$\Delta U$ 相同，$Q$ 与 $W$ 则会配合着改变。

同样的初末态，不同路径怎样“对账”

设一定质量理想气体从状态 A 到状态 C。路径甲先等容升压，再等压膨胀；路径乙沿另一条曲线直接到达 C。由于 A、C 两个状态已经确定，两条路径的 $\Delta U$ 必然相同。但在 $p-V$ 图上，两条过程线下的面积通常不同，说明气体对外做功不同。为了让 $\Delta U=Q+W$ 对两条路径都成立，它们交换的热量也必须不同。

这里有个很实用的推理：若两条路径都从 A 到 C，且路径甲的气体对外功更大，那么本章约定下 $W_{甲}$ 更小。因为 $\Delta U$ 相同，路径甲就必须吸收更多热量，也就是 $Q_{甲}$ 更大。这个结论不必知道每条曲线的精确函数，只要能比较 $p-V$ 图面积就够了。

你可能会问：“既然内能只看初末态，能不能先求 $\Delta U$，再随便选一条容易算的路径求实际过程的热量？”不能。你可以借辅助路径求状态量变化，但功和热量属于实际过程，必须沿题目给出的真实路径计算。把过程量也当成状态量，是综合图像题中最隐蔽的一类错误。

若题目给出的是一条折线路径，可以逐段列账。例如 A 到 B 等容，有 $W_{AB}=0$；B 到 C 等压膨胀，有 $W_{BC}=-p(V_C-V_B)$。总功为各段代数和，总热量也为各段代数和，而总内能变化既等于各段 之和，也可由 A、C 的温度直接判断。这种“双路线核对”很适合检查符号或漏项。

循环过程：回到原状态，内能账归零

气体经历一系列过程又回到初态，称为一个循环。由于内能是状态量，一个完整循环必有

$$\Delta U_{\text{总}}=0。$$

因此

$$Q_{\text{净}}+W_{\text{外界,净}}=0。$$

若 $p-V$ 图中的循环沿顺时针方向，膨胀阶段平均压强较大，气体一周对外做的净功为正，大小等于闭合图线围成的面积；按照本章符号，外界对气体做的净功为负，气体的净吸热量等于它的净对外功。逆时针循环则相反。

循环题的高频失分点，是把“回到原状态”误写成“整个过程没有吸热、没有做功”。归零的是状态量的总改变量，过程量完全可以不为零；恰恰因为净吸热与净做功相互转化，热机才能持续输出机械功。

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六、从第一定律走向普遍的能量守恒

1. 热力学第一定律是能量守恒在热现象中的表达

焦耳等人的研究逐渐表明，机械功与热量能够定量地相互转化。于是，人们不再把“热”看作一种不会消失的特殊物质，而把做功和传热都理解为能量转移或转化的方式。热力学第一定律没有创造一条脱离其他物理规律的新账本，它是能量守恒定律在包含内能变化的热学过程中的具体表达。

能量守恒定律可以表述为：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体；在转化和转移过程中，能量总量保持不变。

这个认识并不是从一个漂亮公式里突然跳出来的。早期的“热质说”把热看作一种可以流动、却不能由机械运动产生的特殊物质。伦福德在炮筒镗削过程中观察到：只要机械摩擦持续，热就会不断产生。这一现象让“热只是某种物质从别处流来”的解释陷入困境，但它还只能说明机械运动和发热有关，没有给出两者之间稳定的数量关系。

焦耳接着追问：同样多的机械功，每次能不能对应同样的热效应？在他的桨叶实验中，重物下降，通过绳和转轴带动浸在水中的桨叶转动。重物减少的重力势能可以用 $mgh$ 计算，水和量热器的升温则可由质量、比热容和温度变化估算。若两种量的比值在不同实验中保持稳定，就说明机械功和热量不是两套互不相干的“货币”，而是可以用同一能量尺度核算的两种传递方式。

可真正测起来并不顺利。桨叶搅水造成的温升很小，容器又会与环境交换热量，转轴等部件也会带来额外影响；若直接把一次未经修正的温度读数当成结论，所得比值会波动，早期结果也因精度是否足够而受到质疑。为了处理这些困难，焦耳改进温度测量，控制环境条件，对额外热交换作修正，并换用电流发热、机械搅拌等不同途径反复比较。随着装置和修正方法改进，各种途径得到的结果逐渐趋于同一当量关系。

这一段“测不准—找原因—改装置—换途径复核”的过程很关键：阶段性的失败暴露出系统边界和能量漏项还没有处理干净，因而推动研究者把水、量热器和有关部件的能量变化重新纳入账本。修正后，不同途径的数据才逐渐一致。焦耳的定量结果与同时代其他研究共同推动了能量守恒观念和热力学第一定律的建立。在国际单位制中，功、热量和内能都用焦耳作单位，也体现了这种统一性。

注意，能量守恒说的是封闭账本的总量，不是说每一种形式的能量都各自保持不变。汽车制动时，机械能减少，轮胎、刹车片和周围空气的内能增加；电热水壶工作时，电能减少，水和容器的内能增加，还会有一部分能量传给空气。若只盯着研究对象的一种能量，就容易误以为能量“不见了”。扩大系统边界，把有关物体和相互作用纳入，缺失的能量通常会在另一种形式或另一个物体中找到。

还有一个易错点：能量守恒并不保证某个装置有用的输出等于输入。照明灯输入的电能一部分转化为可见光，还会转化为内能；电动机工作时也会发热。把所有形式都计入，总能量守恒；只比较“有用能量”时，两者往往不相等。至于这种转化为什么存在方向和品质差别，将由下一章继续讨论。

图中的闭合箭头只表示能量形式之间可以连续发生转化，不能理解为某台装置能把每一步都无损完成并永远循环。实际装置还会把一部分能量分散到环境的内能中；把环境也纳入系统，总能量仍然守恒，但可直接利用的那部分会发生变化。

分析综合装置时，先确定系统边界，再列出所有能量入口、出口和储存量变化。例如电热丝加热活塞下的气体：若只选气体为系统，电热丝传给气体的是热量，气体又通过活塞向外做功；若把电源、电热丝、气体和重物全选入系统，电能减少、气体内能增加、重物重力势能增加，许多原先跨边界的项目变成系统内部的能量转化。

2. 第一类永动机为什么从账本上就过不了关

设想有一台机器，不需要任何能量输入，却能持续对外做功。若把机器和内部物质一起作为系统，它每循环一次都回到原状态，储存的总能量没有减少，却向外输出了能量。这意味着能量凭空产生，直接违反能量守恒定律。这样的装置称为第一类永动机，不可能制成。

“暂时看不见能量来源”不等于“没有能量来源”。上紧的发条、升高的重物、化学电池、温差和高速转动部件都可能储存能量。判断一个装置是否真能无限工作，要把观察时间拉长，检查所有储能部分能否回到初始状态。

3. 热机的单循环能量流

热机在一次完整循环后，工作物质回到原状态，因而 $\Delta U_{\text{总}}=0$。它从高温部分获得能量，其中一部分转化为对外机械功，其余能量传向外界。只看第一定律，这些输出的总量必须等于输入量。

不过，能量数目对得上，并不代表这个过程在现实中一定会自行发生。为什么热量会自发从高温物体传到低温物体，却不会无条件反向流动？为什么“从一个热源吸热并全部变成功”的账面方案虽然不违反能量守恒，实际机器仍做不到？这些关于方向的问题，第一定律没有回答，下一章的热力学第二定律会继续补上。

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七、章末整理：把复杂题压成一张能量账

面对热力学第一定律综合题，可以按下面顺序处理：

1. 选系统：明确研究哪一团气体或哪一组物体；
2. 定状态：若为理想气体，用温度变化判断 $\Delta U$；若题目直接给内能变化，则不必重复推断；
3. 算做功：等压过程用 $p\Delta V$，变压过程看 $p-V$ 图面积，注意自由膨胀例外；
4. 统一符号：吸热 $Q>0$，外界对系统做功 $W>0$；

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课后练习

1

温度较高的物体内部储存着较多的热量。

正确错误

2

本章规定W为外界对系统做功。某气体被压缩，同时向外放热。下列判断正确的是哪些？

A.W>0B.Q<0C.ΔU一定大于0D.ΔU的正负要比较W与|Q|

提交

3

气体吸收500 J热量，同时对外做功180 J，则气体内能的变化量为多少？

A.增加680 JB.增加320 JC.减少320 JD.减少680 J

4

刚性密闭容器内一定质量的气体被加热，只考虑体积功。正确关系是？

A.W=0，ΔU=QB.Q=0，ΔU=WC.ΔU=0，Q=-WD.W<0，ΔU>Q

5

一定质量理想气体绝热压缩时，内能增加、温度升高。

正确错误

6

一定质量理想气体缓慢等温膨胀时，下列说法正确的是哪些？

A.ΔU=0B.气体对外做功C.气体放热D.吸收的热量等于气体对外做功的大小

提交

7

气体在2.0×10^5 Pa恒压下由2.0×10^-3 m³膨胀到5.0×10^-3 m³，气体对外做功为多少？

A.300 JB.600 JC.1000 JD.1400 J

8

某气体线性膨胀，压强由3.0×10^5 Pa降至1.0×10^5 Pa，体积增加2.0×10^-3 m³，同时吸热650 J。内能增加多少？

A.50 JB.250 JC.400 JD.1050 J

9

一定质量理想气体在绝热容器中向真空自由膨胀，体积增大，所以气体一定对外做功并降温。

正确错误

10

某气体完成一个循环后净吸热1.2 kJ，则该循环中外界对气体的净功为多少？

A.+1.2 kJB.-1.2 kJC.0D.条件不足

11

关于能量守恒和第一类永动机，下列说法正确的是哪些？

A.能量可以在不同物体间转移B.能量可以从一种形式转化为另一种形式C.循环机器可在无输入且自身状态不变时持续输出能量D.第一类永动机因违反能量守恒而不可能实现

提交

12

气体在恒定外界压强1.0×10^5 Pa下缓慢膨胀，体积增加4.0×10^-3 m³，内能增加300 J。气体吸收的热量为多少？

A.100 JB.300 JC.400 JD.700 J