数是怎样一步步长出来的

我想先请你做一件小事：数一数桌上有几支笔。你可能会边指边念“一、二、三……”，也可能把笔两支一组地数。方法不同，最后都要回答同一个问题：这里究竟有多少支？

如果换成六盒笔，每盒四支，答案又该是六还是二十四？这次，光会数还不够。我们得先说明，正在数的是盒，还是盒子里的笔。

这门课就从这些看起来简单、却很容易被跳过的问题开始。我们先认识单位、位值和数轴，再看负数、分数怎样把数的世界扩大。第一次读时，请优先学稳“数的大小、位置与距离”；无理数和数集符号可以当作提前展开的地图，不必一口气背下所有名字。

数之前，先问“一个什么”

桌上有六盒苹果，每盒四个。以盒为单位，我们数到六；以苹果为单位，我们数到二十四。这不是两个答案打架，而是在回答不同的问题。

单位，是我们选定的计数或测量标准。 说“长五”不够，我们还得说五厘米、五米，或五根同样长的小木条。同一个量换了单位，前面的数也会跟着换。

计数是在建立一一对应

数一组有限的物品时，我们让一个数词对应一个对象，不重复，也不遗漏。最后念到的数表示总数量。

再想象八位同学与八把椅子，一人对应一把，恰好配完。人和椅子不是同一类物品，却有相同的数量。一一对应让我们可以比较“同样多”，而不必要求对象长得相同。

数还可以表示次序。“有七支笔”的七回答数量；“跑到第七名”的七指出顺序中的一个位置。读题时，先分清它在回答哪一个问题。

数与带单位的量要分开看

“五”是数，“五千克大米”是带单位的量。比较或相加前，我会先问：两边谈的是同一种量吗？单位统一了吗？

长度与质量不能直接相加；米与厘米虽然写法不同，却能换成同一单位：

不能因为三小于八十，就断定三米小于八十厘米。

例题：同一批积木，两种计数单位

三十块积木，每五块装一袋，分别用“块”和“袋”描述这批积木。

数为什么需要不同的类别

我们按学习需要，先看几种问题。这是理解数的一条路线，不要求你现在就熟练使用所有集合符号。

自然数：记录有几个

本课程约定自然数包括零：

篮子空着，可以记零个苹果；有一个、两个、三个，也都用自然数记录。这里的省略号表示继续写下去，没有最后一个自然数。

自然数适合计数，但不是所有运算都能留在自然数里。$8+5$ 与 $8\times5$ 仍是自然数，$5-8$ 和 $2\div3$ 却需要更大的数的范围。

零不只是“没有”

在 $507$ 中，零占住十位，表示五个百、零个十和七个一。删掉它变成 $57$，数值就变了。这里零的作用是占位。

零也可以作为比较基准。数轴从零区分左右，海拔采用共同的零米基准，账户余额为零则表示当前净余额为零。注意，单凭当前余额，不能判断过去一段时间的收入是否恰好等于支出，还需要知道期初余额。

看这部分时，请把“基准”和“包含关系”分开：零是数轴上的基准点；自然数、整数、有理数与实数是逐层包含的类别，并不是彼此完全分离的几段数。

零既不是正数，也不是负数。零可以作被除数，例如 $0\div5=0$，却不能作除数；$5\div0$ 与 $0\div0$ 在通常的实数运算中都没有定义。下一章我们用乘法解释为什么。

整数：走到零的另一边

气温从二度再下降五度，整数需要能表示零下三度；原有五元却还要付八元，也需要记录差的三元。

在零的另一边加入负整数，得到

正整数、零、负整数共同组成整数。若约定向东为正，向东四千米的位移记作 $+4$，向西四千米记作 $-4$。这里负号表达相反方向，不是说实际走过的路程为负。

正方向可以由问题约定。重要的是前后一致，不要算到中途换方向。

有理数：一个单位还可以继续分

三个人平均分两张同样大的饼，每人不足一张，却不是零张。每人分到 $\frac{2}{3}$ 张，分数让我们把这个结果准确写下来。

能写成两个整数之比、分母又不为零的数，叫有理数：

第一次读这个式子，可以只读成一句话：“分子、分母都是整数，分母不能为零。”分饼时，我们用正分母表示等分份数。定义里的负分母则通过符号规则理解，例如 $\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$，不能解释成分成负两份。

整数也都是有理数，因为

有限小数同样可以写成分数，例如

无限循环小数也属于有理数。无限，不等于无理。

无理数：有些数不能写成整数之比

先认识记号。$a^2$ 表示 $a\times a$；当 $a\ge0$ 时，$\sqrt{a}$ 表示平方等于 $a$ 的非负数。例如 $\sqrt{9}=3$。

边长为一的正方形，对角线长 $\sqrt{2}$。这个长度可以精确定义，但普通尺子的有限读数只能给出近似值：

$\sqrt{2}$ 不能写成两个整数之比，属于无理数。无理数的十进制展开无限且不最终循环；有理数的十进制展开则可以终止，或最终进入固定循环。

这里不能靠计算器显示的几位小数作判断：前几位不重复，不代表后面永远不循环。带根号也不自动等于无理，例如 $\sqrt{4}=2$ 就是整数。

实数：有理数与无理数合在一起

有理数和无理数共同组成实数，记作 $\mathbb{R}$。普通实数数轴上的点与实数一一对应。

这些类别的关系可以写成

$\subsetneq$ 表示左边所有成员都在右边，右边还另有其他成员。无理数是实数中不属于有理数的部分，也可写为 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$。

四是自然数，也是整数、有理数和实数；负三不是自然数，却是整数、有理数和实数。同一个数可以有几种身份，不是变成了几个不同的数。

例题：给几个数分类

在本章介绍的类别里，给 $0,-12,\frac{7}{5},0.333\dots,\sqrt{5}$ 找到最具体的类别。

“最具体”只针对这道题提供的类别。要列出所有所属类别时，再把包含它的外层类别补齐。

十个数字，怎样写出越来越大的整数

只用零到九这十个数字，为什么可以写出五百、五千、五百万？关键在位置。

每十个一组成一个十，每十个十组成一个百。继续往左，计数单位始终按十倍增长。同样的数字五，个位上表示五，十位上表示五十，百位上表示五百。

十位的零不能省，它把五留在百位，告诉我们中间没有整十的部分。

个位右边也沿用十进关系

把一个一十等分，每份是十分之一；再把十分之一十等分，每份是百分之一。于是小数点右边依次是十分位、百分位、千分位。

小数部分是四个百分之一加七个千分之一，也就是四十七个千分之一，不是整数四十七。十分位没有十分之一，仍要用零占住位置。

因此比较 $4.9$ 与 $4.09$，可以先补齐末尾零：

九个十分之一大于九个百分之一。小数位数多，不代表数值大。

乘十与除十，变化的是位值

乘十后，各数字代表的量都放大十倍，进入左边高一级的数位；除十则进入右边低一级。书写上常说移动小数点，我更希望你先理解这层位值变化。

算之前可以估一下：$4.83$ 接近五，乘十应接近五十，不可能变成不到一的数。

例题：按数位拼出一个数

一个数由七个千、四个十、六个十分之一和两个千分之一组成，写出这个数。

数轴把数变成位置

要画一条数轴，先确定原点、正方向与单位长度。通常规定向右为正，把零标在原点，再用相等间隔标出相邻整数。

若零到一是一厘米，一到二也必须是一厘米。只有统一比例，才能把图上的距离与数的差对应起来。只表示顺序的草图可以帮助判断左右，但不能拿来精确量距离。

$\frac{1}{2}$ 在零与一正中间，$-1.5$ 在负二与负一正中间。非整数也有自己的位置，不会因为没有落在整刻度上就消失。

右边的数更大

负四的绝对值虽然比负一大，但它更靠左，所以数值更小。负号不是可以先放一边不看的装饰。

数轴两端的箭头表示继续延伸。对任何实数 $a$，$a+1$ 都比它大，$a-1$ 都比它小，因此实数没有最大值，也没有最小值。

平方根也可以先找范围

因为 $1^2<2<2^2$，而非负数越大，平方也越大，所以 $1<\sqrt{2}<2$。我们不用把所有小数位算出来，就能知道它在两个整数之间。

同样，$3^2=9<10<16=4^2$，得到 $3<\sqrt{10}<4$。取相反数，相当于关于原点翻转，顺序也反转：

这里先用熟悉的整数把陌生的数夹住。估算与比较，并不总要求先求出很长的小数。

相反数与绝对值：方向和距离分开看

相反数是关于原点的镜像

三与负三离原点同样远，分处两边，互为相反数。一般地，$a$ 的相反数写作 $-a$，满足

$-a$ 不一定为负。若 $a=-5$，则 $-a=-(-5)=5$。零的相反数还是零，它关于原点翻转后没有移动。

绝对值只保留到原点的距离

绝对值不会为负。更一般地，

分段式只是把两句话放在一起：原数非负就不变，原数为负就取相反数。如果这张写法看起来陌生，先记住“量到原点的距离”也可以。

“去掉负号”不是适用于所有表达式的做法。遇到 $|3-8|$，先算内部，得到 $|-5|=5$；不能只把减号划掉变成十一。

两点间的距离

数轴上 $a$ 与 $b$ 的距离为 $|a-b|$，从哪一端开始量都一样：

例如负二点五与负一相距一点五：

现在不熟悉减负数，也可以直接从负二点五向右走一点五到负一。下一章我们会把这个动作写成统一的运算规则。

例题：求海拔差，不是求行走路程

两处海拔分别为一千二百米与负四千五百米，海拔相差多少？

不同写法比大小，先统一表达

负数小于零，正数大于零。所以 $-100<0.001$ 不需要计算。

两个正数中，绝对值大的一方更大；两个负数中，绝对值大的一方反而更小，例如 $-8<-3$。

分数与小数混在一起时，可以换成同一种写法：

以后学会通分，也可以都写成分数来比较。方法可以不同，前提是改写前后数值不变。

比较正的平方根时，可以利用平方。例如 $2.3^2=5.29>5$，两边对应的数又都非负，所以 $2.3>\sqrt{5}$。非负条件不能省：任意两个带正负号的数平方后，并不总保留原来的大小顺序。

例题：把四种写法排成一队

把 $-\frac{5}{4},-1.2,|{-0.8}|,\frac{3}{4}$ 从小到大排列。

估算不是猜，是先给答案一个范围

精算回答到底是多少，估算先帮我们判断结果在哪里。我通常会先看正负和数量级，再计算，这样看到一个很长的答案，也不会因为它显得精确就立刻相信。

用邻近的好算数作粗略估计

原乘积应在一万附近。若得到一千或十万左右，就值得检查。这里一个因数上估，一个下估，得到的是粗略估计，不能直接当成有保证的上界或下界。

四舍五入，要先指定保留哪一位

本章先处理非负数，采用下一位小于五舍去、大于等于五进一的规则。$3764$ 保留到百位，看十位的六，得到 $3800$；$8.746$ 保留到十分位，看百分位的四，得到 $8.7$。

近似值与原数不同时，写约等号。第五章会再细说舍入边界、负数和中间结果的处理，不必现在同时记住所有情况。

上界与下界，各自能回答什么

一件文具十九点八元，买六件，总价小于 $20\times6=120$ 元。但仅凭“小于一百二十”，不能判断一百元够不够。

再看下界：每件超过十九元，总价就超过 $19\times6=114$ 元，足以判断一百元不够。

估算要与问题配合：证明预算肯定够，合适的总价上界就可能足够；证明肯定不够，合适的下界可能更有用。

例题：预算够不够，结余是多少

四十八个小组，每组材料费十九点六元，没有额外费用。预算一千元够吗？

自测：把数字重新讲成一句话

先自己做，再展开答案。第一次学习时优先做单位、位值、数轴与距离；涉及根号的题可以作为进阶自测。

1. 单位与数量

一箱十二瓶水，现有五箱，分别按箱与瓶描述。

2. 数的类别

给 $0,-9,\frac{11}{4},\sqrt{7}$ 找到本章类别中最具体的一类。

3. 无限就无理吗

“所有无限小数都是无理数。”这句话对吗？

4. 按位值写数

三个百、五个一、八个百分之一组成什么数？

5. 负数比大小

$-2.7,-2.07,0,-3$ 中，最大和最小的分别是什么？

6. 相反数与绝对值

若 $a=-6$，求 $-a,|a|,|a-4|$。

7. 数轴上的距离

负三点五与二之间相距多少？

8. 不做竖式，先发现错误

有人算 $49.8\times201=1000.98$，可信吗？

9. 混合写法排序

把 $-\sqrt{4},-1.9,\frac{1}{2},|{-0.4}|$ 从小到大排列。

下一章：让数在数轴上动起来

这一章，我们先选单位，用位值记录数，再把数放到数轴上。左右关系告诉我们大小，相反数帮助我们翻转方向，绝对值帮助我们只看距离。

下一章，数不再只是停在一个位置。气温会升降，余额会变化，我们要理解整数的加减乘除。为什么减去负数相当于加正数？为什么负数乘负数得到正数？刚学到的方向、相反数与距离，正好是解释这些规则的起点。

先不急着背符号表，我们把动作看清，再把它写成算式。