比例与比率：两个量怎样一起变化

上一章结尾，我们遇到了“水与浓缩液按 $4:1$ 混合”。如果一份配方用400毫升水与100毫升浓缩液，做两份时，两种材料都应加倍，而不是只把水加倍。

我们要保持的是体积配比，不是某一个固定用量。沿着这个想法，再看不同包装的单价、固定路程下的行驶时间、图纸与实物尺寸，就会发现许多问题在问同一件事：数量改变时，哪一种关系没有改变？

我会先陪你认清比较顺序与单位，再寻找固定的比值、乘积或总量。上一章的方程，负责在关系写对以后找到未知数；这一章先把关系本身看清。

比从顺序开始：先写谁与谁相比

水与浓缩液的体积比是 $4:1$，反过来浓缩液与水就是 $1:4$。如果另一个配方规定浓缩液与水为 $2:3$，我们便写

比的前项为2，后项为3，比值是 $2/3$。本章把 $a:b$ 看成商的写法，要求 $b\ne0$；配方中的两种用量通常都为正。

倒过来，基准就变了

$2:3$ 与 $3:2$ 的比值分别是 $2/3$ 与 $3/2$，互为倒数。但这个倒数关系要求原来的前后项都非零。

$0:5$ 有比值0，倒成 $5:0$ 就不能作为本章定义的比值来计算。不能只记住“交换就是倒数”而忘记零的条件。

部分比部分，与部分占整体不同

一个班30人，每人只参加合唱或绘画其中一种活动：合唱12人、绘画18人。于是

能把12与18相加作为全班人数，依赖两组不重叠、没有遗漏。如果有人同时参加两种活动，或者还有其他活动，先算 $12+18$ 就未必是总人数。

我会先写量名，再写比。这样不会写完一个孤零零的 $2:3$，过一会儿又忘记它是在比较谁。

同类量比较，先统一单位

蓝带1.5米，黄带90厘米。先把蓝带写成150厘米，再求

同一种长度使用相同单位后相除，单位约掉，比值为 $5/3$。直接把1.5与90当作没有单位的数来比较，会丢掉原来的长度关系。

等值比：同比放大，保留配比

浓缩液与水为 $2:3$，两项都加倍成为 $4:6$，配比相同：

这只断言比例不变，不是在数学上保证所有感官或制作条件都相同。材料种类、温度或加工过程改变，可能另有影响。

在比值有定义时，前后项同乘非零数 $k$，保持比值：

物理用量的放大缩小使用正因子；纯数运算也允许非零负因子，但那不表示真的倒入负体积。

整数、小数、分数的比怎样化简

第一组同除以最大公因数6；第二组同乘100清掉小数，再约公因数；第三组同乘分母的最小公倍数6。

这些都是分数等值性质的延续。只乘前项、只除后项，或者两项同加一个数，都不是普遍保持比值的方法。

最简整数比与比值，答案形式不同

$8:5$ 保留比的前后结构，比值则为 $8/5=1.6$。题目问最简整数比，写 $8:5$；问比值，写 $8/5$ 或1.6。

例如 $0.84:1.26=84:126=2:3$，比值为 $2/3$。用0.67代替，不但不是所要求的比的形式，也丢掉精确值。

比、分数与百分数，先认清各自的分母

一盒彩笔只有红蓝两色，红4支、蓝6支。红与蓝之比是 $2:3$，红占全部的比例为

不能把红蓝 $2:3$ 直接读作红色占全部三分之二。两种颜色合计五份，红占两份。

反过来，若红色占全部40%，其余全是蓝色，就知道蓝色占60%，红蓝之比 $40:60=2:3$。如果其余还含第三种颜色，则不能从红色40%直接推出蓝色60%。

“是几倍”与“多百分之几”再对照一次

甲、乙为正数量，甲乙之比 $5:4$，则甲是乙的1.25倍，也就是乙的125%；甲比乙多的部分，是乙的 $1/4=25\%$。

新老成员之比 $3:7$，新成员占合计的30%，老成员比新成员多 $4/3$，即约133.3%。差量超过较小的比较基准，百分比超过100%并不矛盾。

我们没有新增百分数规则，只是在比的前后项之间，再一次找准谁被当作完整基准。

率：保留“每”的意义和复合单位

本章通常用比比较同类量，用率描述路程与时间、金额与质量等不同种类量的对应。不同领域的术语会更广，读题时仍以明确的分子、分母为准。

210千米路程用3小时，总路程除以总时间为

单位不能消掉，因为千米不是小时。这里得到平均每小时走多少路，不代表每一个小时实际都恰好走70千米。

为避免与物理里的方向概念混淆，本章把“总路程除以总时间”称为平均速率。物理中的平均速度使用位移除以时间。走出去再回到原地，路程不是零，但位移为零，两种平均量不能混用。

先化到一个分母单位，就是单位率

甲店36元买9千克苹果，乙店25元买6.25千克：

两店都是每千克4元。比较单位价格时，不能只看36与25；若比较一次购买的总支出，则总金额当然仍有意义。先知道自己在比较什么。

交换相除顺序，指标含义改变

15千米/升表示每升油能走多远；其倒数 $1/15$ 升/千米表示每千米耗多少油。前者大通常表示更省油，后者小通常表示更省油，不能把两个方向混着比。

单价是元/千克，密度可写克/立方厘米，打印率可写页/分钟。把单位带完整，常能看出哪一个量该在分母。

例题：换算速度单位

两个换算因子的上下分别是相等的长度、相等的时间，所以带单位的比等于一。原速率没有改变，数字随单位改变。

反过来，$15$ 米/秒乘 $3600/1000$，得到54千米/小时。求时间时，路程除以速率的单位为小时；若留下别的单位，要回头检查除法顺序。

平均率：先合并总量，不要急着平均两个数

去程60千米、速率60千米/小时，返程同样60千米、速率40千米/小时，途中不停留。两段时间分别为1小时与1.5小时，往返平均速率是

不是把60与40直接平均成50，因为慢的那一段持续更久。若整个旅程回到原点，平均速度的位移算法会给出零，但这不是本题问的平均速率。

简单平均什么时候碰巧正确

两段持续时间相同，平均速率可以直接平均两个速率；两个速率本来相同，即使时间不同，直接平均也会得到同一数。

一般地，两个率为 $r_1,r_2$，对应的正分母量为 $w_1,w_2$，合并率为

权重是分母量。速率按时间加权，单位成本按质量加权，人口密度按互不重叠区域的面积加权。两组权重相等或两率相等时，才与两率的简单平均一致。

对正权重，这个加权平均位于两率之间。检验范围时，必须把讨论过程的全部部分计入，而不是漏掉停留等环节。

停留时间是否包含，要明确过程

若题目问从出发到到达的全程平均速率，途中休息时间也计入总时间。停留这部分的路程为零、速率为零，因此可能把平均拉低到两段运动速率之下；这并不违反包含零速率后的范围界限。

如果题目明确只统计移动时段，则剔除停留时间。公式没变，统计的分子与分母范围要一致。

例题：不等时段合并

前30分钟骑9千米，后45分钟骑12千米，无其他时段。总路程21千米，总时间75分钟，即1.25小时：

两段速率18与16，不能简单平均成17。16.8更靠近持续时间较长的16，与加权关系一致。

比例式：把相同关系写在等号两边

浓缩液与水的比为 $2:3$，另一壶为 $10:15$，写成

表示两个比或率相等的等式，叫比例式。一般形式为

每一边的对应顺序必须一致。左边是浓缩液除以水，右边也同样安排；不能一边总价除以质量，一边质量除以总价。

交叉相乘，就是两边同乘非零的 bd

在 $b,d\ne0$ 的条件下，也能同除以 $bd$ 反向恢复比例式，所以这是等价变形。它正是上一章的等式性质，不是见到四个数就可以画叉。

$14:21$ 与 $10:15$ 的交叉乘积都为210，所以成比例。若量的对应关系一开始就写错，乘积算对也救不了错误模型。

例题：按相同单价购买

4千克面粉30元，无折扣与附加费，单价固定。7.5千克多少钱？

解 $(x-1)/6=5/8$ 也是同一方法：$8(x-1)=30$，所以 $x=19/4$，代回左边仍为 $5/8$。

比例表与双数轴：先把对应关系摆好

浓缩液与水按体积 $2:3$，同一种杯子的容量相同：

每列是一份完整配方，每行是一种材料。横向看，两行乘相同的倍数；竖向看，每杯浓缩液始终对应1.5杯水。

14杯浓缩液用多少水？横向看，从2到14乘7，水 $3\times7=21$ 杯；纵向看，$14\times1.5=21$ 杯。两种方法寻找的是同一个对应关系。

双数轴使用共同的对齐位置

画两条数轴，上方浓缩液的0、2、4、6，分别对齐下方水的0、3、6、9。上方1对应下方1.5，上方5对应下方7.5。

每条数轴内部要使用一致刻度，但上下两条的数字单位间隔可以不同。对齐表示对应，不表示两行相同位置的数值必须相等。

合并配方可以用加法，判断比例仍看比值

两列相加得到新的有效配方，例如2杯浓缩液加4杯浓缩液，配水3加6，得到6与9。这是把两份同配比的混合物合起来。

它不意味着两项各加同一个数字也保持比例。$2:3$ 两项各加1变成 $3:4$，比值已改变。区分“加入一份完整配方”与“两个数字同加1”。

我不会要求每题都列比例式。整倍变化用缩放，比较单价用单位率，容易混对应关系时先列表，都能把同一个问题讲清。

按比例分配：总量属于全部份数

360元按 $2:3:4$ 分配，共9份，每份40元，三部分是80、120、160元。

也可以写成 $360\times2/9$、$360\times3/9$、$360\times4/9$。分完检查两件事：总和恢复360，三部分的比恢复 $2:3:4$。

总量540时，同样9份，每份60，分得120、180、240。比只给相对结构，还需要总量或某一部分，才能确定实际数量。

连比先对齐公共项

已知 $a:b=2:3$，$b:c=4:5$，不能直接拼成 $2:3:5$，因为同一个 $b$ 的份额标记不同。

第一比乘4得 $8:12$，第二比乘3得 $12:15$，于是

这是把公共项的刻度统一，与通分的想法相似。

稀释时说明比例采用哪一种量

浓缩液与水的体积比为 $1:4$，准备750毫升饮料，并明确假设混合体积可相加、没有损耗。共5份，浓缩液150毫升、水600毫升。

若给的是质量比，就按质量分配；如果混合前后体积并不简单相加，也不能把总毫升数直接按同一模型切分。量的种类与可加性是列式的前提。

混合成本，不是给市场售价作保证

2千克原料单价30元/千克，3千克单价50元/千克。假设无损耗、无加工附加费，合计采购成本210元、质量5千克，平均采购成本为

这个结果在30与50之间，较高单价对应更多质量，所以更靠近50。它是成本平均，不表示混合后市场一定愿意按42元购买，更不依靠“售价自动守恒”的假设。

4千克单价12元与6千克单价17元，在同样假设下，平均采购成本 $(48+102)/10=15$ 元/千克。

正比例：比值保持不变

单价6元的一支笔，买 $x$ 支花 $y$ 元，没有固定费与折扣，则

数量加倍，费用也加倍。$x\ne0$ 时，比值 $y/x=6$ 不变；$x=0$ 时，比值不能计算，但公式仍给出 $y=0$。

本课程把正比例写成

$k$ 为固定比例常数。数量与费用等正数量情境通常 $k>0$；纯数学也可以使用负的 $k$，这时两变量的增减方向不同，但仍满足同一个固定比值关系。

为了统一数字运算，$x,y$ 常表示指定单位下的数值；若把 $k$ 解释为实际单位率，则要连同元/支等单位理解。两种写法不应在同一句推导里混乱切换。

坐标图把每对对应数放在一起

先用横轴表示 $x$，纵轴表示 $y$，一对数写成点 $(x,y)$。整个实数定义域上的 $y=kx$ 画成过原点的直线。

笔的支数只能取非负整数，因此实际允许的是直线上的点 $(0,0),(1,6),(2,12)$ 等，而不是整条连续直线。连线可展示数学关系，不表示可以购买2.37支普通笔。

同时变大，不足以判断正比例

假设某服务固定费10元，另外每单位2.5元，则 $y=2.5x+10$。$x$ 增大时 $y$ 也增大，但 $y/x=2.5+10/x$ 并不固定，所以不是正比例。

它的数学图像也是直线，却不经过原点。反过来，只有几个数据点同增，甚至不能先断言整条关系是直线。

离散产量不能无条件画成连续产量

题目说设备每分钟加工24件，并明确从开始起每2.5秒恰好完成一件、无启动延迟，则7.5分钟完成180件。

$n=24t$ 可以表示该均匀过程的产出量趋势，并在完整件完成时刻给出件数；任意时刻的已完成整件数要向下取整，不能把0.4件当成已经完成的一件。若只给每分钟的长期平均产能，短时实际完成数还需要更多条件。

反比例：乘积保持不变

固定路程120千米，以恒定正速率 $v$ 行驶，不计停留，时间为 $t$：

速率20、30、40、60千米/小时，分别需要6、4、3、2小时。速率乘2，时间除以2，乘积仍是同一路程。

本课程反比例的一般形式是

乘积为非零常数是关键，不能遗漏 $k\ne0$。在正量情境下，$k>0$ 且 $x,y>0$。

反比例图为什么不是直线

$k>0,x>0$ 时，$y=k/x$ 随 $x$ 增加而减小，形成第一象限中的曲线。它不会碰到坐标轴：$x=0$ 无定义，$y=0$ 又不能使乘积等于非零 $k$。

若只讨论正量，画对应的正数部分；完整实数关系还会有另一支，不能把应用范围与整个数学定义域混为一谈。

人数与工期，依赖可并行的固定效率

12人10天完成工作，若每人每日效率固定且相同、任务可并行拆分、没有设备瓶颈或协调损耗，则总需求相当于120人天。15人所需时间 $120/15=8$ 天。

只说明“每个人效率相同”还不够。若任务必须等待上一环节完成，或者大家共用一台机器，增加人手未必让总产能同比增加。

水泵也是同一种条件检查

8台泵15小时排空一池水。要断定12台泵10小时完成，还需假设水量相同、无进水、每台有效排水率恒定且可相加、没有共用管道瓶颈等。

在这些条件下，$8\times15=12t$，得到10小时。水泵正常运行本身，并不能代替所有模型条件。

使用实验时，正比例重点看 $y/x$ 是否固定，反比例重点看 $xy$ 是否固定；涉及分配则检查各部分是否保持约定份额、总和是否等于总量。比只盯着一个数字变大变小更容易看见关系。

从数据找关系：先知道题目给了什么前提

已知正比例，一个非零输入可确定常数

若已知 $y$ 与 $x$ 成正比例，经过点 $(4,18)$，则 $k=18/4=4.5$，关系为 $y=4.5x$。点 $(10,45)$ 可以再次核对同一比值。

这个常数也描述横向增加1时，纵向变化4.5，后面学习直线时会叫它斜率。现在先看对应变化，不需要额外背一个没有含义的名称。

读坐标要看刻度。横轴一格代表2、纵轴一格代表5时，不能把格子数直接当坐标数值。

已知反比例，一组数据确定乘积

$x=8,y=15$，固定乘积120，所以 $y=120/x$。$x=12$ 时 $y=10$；若 $x$ 可连续取值，$x=9.6$ 时 $y=12.5$ 也满足。

但 $x$ 若表示实际人数，9.6就不在允许范围内。表格之间能否取中间值，要看变量的含义。

两个点不是一种模型的全部证明

$(2,6)$、$(4,12)$ 符合 $y=3x$，但很多别的曲线也能经过这两点。若题目没有固定单位率等前提，只能说正比例模型与已给数据相容，不能断言其他输入也必然服从它。

遇到数据表，我先看表头、单位、范围，再检查比值或乘积。若实际测量只近似一致，还要考虑测量误差，不能把近似趋势冒充精确等式。

固定的量一变，比例关系就可能改变

固定速率的基本关系为 $s=vt$。速率固定，路程与时间成正比例；时间固定为正数，路程与速率成正比例；正路程固定，速率与时间成反比例。

总价 $C=pq$ 同理。单价固定，总价与数量成正比例；固定正预算且全部花完、购买量可连续变化时，数量为 $q=C/p$，与单价成反比例。

如果只能买整件商品，最多件数要取不超过 $C/p$ 的最大整数，关系会呈现跳变，不再是精确的连续反比例。预算是“至多”，也不能自动改成“恰好全部花完”。这正好接上上一章的边界问题。

密度例子也要看条件

假设某均匀材料在给定条件下密度固定为2.7克/立方厘米，40立方厘米质量为108克，60立方厘米为162克，质量随体积成正比例。

若改成固定质量，体积与密度是反比例关系。密度会不会随温度、材料状态改变，是模型使用前要检查的背景，而不是只看材料名字相同就断言永远固定。

多个量变化，先写总量关系

10人每天6小时、12天完成一项任务。现在15人每天8小时，假设每人每小时有效产出 $e>0$ 相同，工作可以并行、无额外损耗，求天数 $d$。

约去非零 $e$，得到 $720=120d$，所以6天。人数乘1.5、日工时乘 $4/3$，每日产能合计乘2，天数减半，也能核对结果。

不需要把好几组比一次堆进一张难读的式子。先把总工作量写出来，每个因子在做什么就看得清楚。

比例尺：长度、面积、体积不能用同一个倍数

比例尺 $1:50000$ 表示图上长度与对应实际长度之比，比较前统一单位。图上1厘米对应50000厘米，即500米。

图上3.6厘米，按这个固定比例尺，对应实际长度

这里采用平面图在所讨论范围内按统一比例表示长度的模型。两点图上直线距离，不能直接当作沿山路或曲折道路行走的里程；道路距离要沿相应路径计算。

放大与缩小都要保持所有方向一致

模型与实物长度比 $3:1$ 是放大，$1:50$ 是缩小。若长乘2而宽不变，那是形状被拉伸，不是相似的同比缩放。

长度因子 k，面积因子 k²

长与宽都乘正数 $k$，面积乘 $k^2$。比例尺 $1:500$ 的图上长方形2厘米乘3厘米，对应10米乘15米，面积150平方米。

不能把图上6平方厘米只乘500。若直接按比例算面积，需要乘 $500^2$，再转换面积单位。

三维相似模型所有长度都乘 $k$，体积乘 $k^3$。平方与立方来自需要同时缩放的方向数，下一章会用单位小方格和小立方体解释。

例题：正方形的实际面积

比例尺 $1:2000$，图上正方形边长4厘米。实际边长8000厘米，即80米；面积 $80^2=6400$ 平方米。

先求实际边长再算面积，通常比在混合单位里直接处理巨大的平方因子更容易检查。

同一道题的几条路线，都在守住同一关系

8个同样大小的面包需要300克面粉，配方与每个大小不变，不另计损耗。22个需要多少？

单位率法，先算每个 $300/8=37.5$ 克，再乘22，得到825克。

缩放法，数量乘 $22/8=2.75$，面粉同乘2.75，仍得825克。

比例式法，设用量 $m$ 克，写 $300/8=m/22$，交叉相乘得到 $m=825$。

若以后要多次计算，就直接记录通用式 $m=37.5n$，其中 $n$ 为面包个数。

我希望你看见这些方法彼此相通，再按数字和任务选最顺手的一种。没有必要每次写四遍，但换一种思路核对一次很有价值。

理论用量与购买量再分开

6升涂料可覆盖45平方米。题设涂料、墙面状态、涂层厚度相同，覆盖率固定，忽略损耗。76平方米理论需要

只卖每罐1升、要够用，至少买11罐。这里先保留精确分数，再决定包装数量，不把约10.13当作无限精确。

若另外要求预留10%，先对理论用量乘1.1，再按整罐取整；若条件没给，不能自作主张把预留当成原题的一部分。实际覆盖率变化时，原模型也要重新检查。

模型选择：方向只是线索，不是充分条件

$y=3x+8$ 在 $x$ 增加时增加，但不是正比例；$y=100-x$ 一增一减，却不保持乘积，所以不是反比例。

幼苗在题设时间范围里每周增加3厘米、初始12厘米，可用 $h=12+3t$，不是 $h=3t$，也不能把这个短期假设外推为无限期生长规律。

固定费、阶梯收费、封顶价和数量折扣，都可能破坏总价与数量的正比例。配料同比放大，也不意味着烘烤时间跟着同比变化。一个场景里的某两个量成比例，不代表所有量都服从同一倍数。

综合自测：关系、条件和答案一起核对

1. 比的顺序

8颗红珠、12颗蓝珠，只有这两种珠子。红比蓝、蓝比红、红比全部各是多少？

2. 单位与最简比

2.4米与90厘米，第一根绳与第二根的最简整数比是多少？

3. 化简小数比

将 $0.84:1.26$ 化成最简整数比并求比值。

4. 单位价格

甲750克售18元，乙1.2千克售27.6元，质量与其他条件相同，哪种每千克更便宜？

5. 两种求价方法

2.5千克大米17.5元，同单价无附加费，6千克多少钱？

6. 配方求未知量

面粉与水质量比 $5:3$，面粉450克，用多少克水？

7. 正比例常数

已知 $y$ 与 $x$ 成正比例，$x=8,y=20$，求关系式及 $x=14$ 时的值。

8. 反比例常数

已知反比例，$x=6,y=14$，求 $x=21$ 时的 $y$。

9. 根据点检查曲线

反比例图经过 $(5,12)$，$(8,7.5)$ 在图上吗？

10. 按比分配

540按 $2:3:4$ 分成三部分；已知 $a:b=2:3,b:c=4:5$，求三项连比。

11. 混合成本

4千克原料每千克12元，与6千克原料每千克17元混合，无损耗与加工费，平均采购成本多少？

12. 平均速率

前30分钟9千米、后45分钟12千米，无其他时间，全程平均速率多少？

13. 加工与耗油

耗油率稳定，15升油运转6小时，14小时需要多少？

14. 工作量固定

10人每天6小时，12天完成；15人每天8小时，同样效率且可并行无干扰，需要几天？

15. 密度固定

题设密度2.7克/立方厘米，体积40与60立方厘米时，质量分别多少？

16. 比例尺与面积

模型与实物边长比 $1:25$，实物面积是模型多少倍？比例尺 $1:2000$ 的图上正方形边长4厘米，实际面积多少？

17. 固定费用

题设每次固定服务费12元，另外对全部路程每千米收2元。5千米与10千米的费用会翻倍吗？

18. 理论用量与包装

6升覆盖45平方米，覆盖率固定且无损耗，76平方米至少买多少个1升罐？

下一章：把单位铺成面积，堆成体积

比先确定比较对象，单位率说明每一份有多少，比例式表达两次关系相同；正比例保留比值，反比例保留非零乘积。没有固定条件，单看增减方向不足以选模型。

现在我们已经知道：相似图形的所有长度乘同一因子，周长随长度改变，面积随平方改变，体积随立方改变。下一章会把这些关系落到可以测量的图形上。

遇到一块地、一面墙或一个水箱，我仍会先问：现在数的是一段边、一块小方格，还是一个小立方体？单位选对，周长、面积与体积就不再是一张需要硬背的公式清单。