代数表达式

代数表达式不是“把数字换成字母”这么简单。它真正干的事，是把一类问题的计算规则写出来。数字负责算某一次，字母负责说这一整类。

比如百分数里我们已经会算“涨了多少”“占整体的多少”。但只要题目开始说“买 $x$ 件”“走了 $t$ 小时”“宽是 $w$ ”，就说明它不想只问一个固定数字了。

这时就轮到代数表达式上场。

字母表示数：别把字母看神秘

很多同学第一次见 $x$ ，会觉得数学突然变抽象了。

其实 $x$ 只是一个占位符。它在说：这里先空着，之后可以放不同的数。

写 $12x$ ，人话就是“每件 $12$ 元，买 $x$ 件，一共多少钱”。这里 $12$ 是当前题目里固定的数， $x$ 是会变的件数。

所以动笔前先问一句：这个字母表示什么？单位是什么？

这一步很朴素，但能挡住很多后面的错误。因为 $x$ 如果表示件数，就不能突然拿它去和“元”直接相加。

没有等号的一串运算结构，就叫代数表达式。

比如 $3x^2-5x+2$ ，它像一张说明书：给我一个 $x$ ，我按这个流程算出一个数。

如果写成 $3x^2-5x+2=0$ ，那就变成方程了，问题也变成“哪些 $x$ 能让等式成立”。这一章先不急，我们先把表达式本身读稳、化简稳、代入稳。

左右对照：左侧写「这一次」具体数字运算，右侧同一关系用含字母 x 的式子表示，中间箭头标注「一类规则 ↔ 一次代入」

项与系数：先学会把式子拆开

代数表达式看起来乱，第一步不是算，而是拆。

按加减号分段，每一段叫一项。注意，项前面的正负号属于这一项。

比如 $4x-3y+2$ 有三项：

$4x$ 、 $-3y$ 、 $2$ 。

不是 $3y$ ，而是 $-3y$ 。这一点很关键。

系数就是这一项里的数字因数，并且包含符号。 $4x$ 的系数是 $4$ ， $-3y$ 的系数是 $-3$ 。

单独一个 $x$ ，其实是 $1x$ ，系数是 $1$ 。写成 $-x$ ，其实是 $-1x$ ，系数是 $-1$ 。

不含字母的项叫常数项。上面的 $2$ 就是常数项。

一个实用写法是：把减号看成“加一个负项”。例如

4x-3y=4x+(-3y).

这样你在圈项的时候，负号就不容易丢。

同类项：能合并的前提是什么

经常有人问：为什么 $2x+3x=5x$ ，但 $2x+3x^2$ 不能变成 $5x^3$ ？

答案很简单：加法是在合并同一种东西。

同类项要求两件事同时成立：

字母相同；相同字母的指数也相同。

所以 $4x^2$ 和 $-5x^2$ 是同类项，因为字母部分都是 $x^2$ 。

$3xy$ 和 $yx$ 也是同类项，因为乘法可以交换顺序，字母部分都是 $xy$ 。

但 $3x$ 和 $3x^2$ 不是同类项，指数不同。

常数项之间都算同类项，比如 $7$ 和 $-2$ 可以合并。

同一行式子中，用浅色底纹标出「字母部分相同」的项，旁注 x^2、xy、常数三类，示意合并时只对系数加减

下面这个小工具适合边看边拖一拖。重点不是背答案，而是看清“谁和谁是一类”。

合并同类项：只动系数，字母照抄

合并同类项的口诀可以背，但最好先理解：

ax+bx=(a+b)x.

这就是分配律反过来用。

比如

3a-5a=(3-5)a=-2a.

你看，变化的是系数 $3$ 和 $-5$ 。字母部分 $a$ 没有变。

所以合并时请在草稿上做两步：

先把同类项圈出来，再把系数拿出来加减。

别把 $x$ 和 $x^2$ 合并，也别把 $xy$ 和 $x$ 合并。它们不是同一种量。

合并同类项不会凭空改变字母和指数。若化简后 $x$ 突然变成 $x^2$ ，通常说明你把加法规则和乘法规则混在一起了。

去括号：括号前面的东西要乘进去

括号不是装饰，它表示一个整体。

括号前有系数，就要把这个系数分配给括号里的每一项：

a(b+c)=ab+ac.

同样，

a(b-c)=ab-ac.

如果括号前是负号，可以把它看成乘以 $-1$ ：

-(b+c)=-b-c,\qquad -(b-c)=-b+c.

最常见的坑是：只乘了第一项，漏掉第二项。

比如 $4(2x-1)$ 不是 $8x-1$ ，而是

4(2x-1)=8x-4.

建议每去一层括号就单独写一行。多写一行不丢人，少写一项才真的麻烦。

代入求值：把一般规则放回具体数字

表达式写出来后，给变量一个具体值，就能算具体结果。

这叫代入求值。

代入时最容易出事的地方，是负数和乘方。

当 $x=-2$ 时， $x^2$ 应该写成

(-2)^2=4.

而 $-2^2$ 按常见运算顺序是先算平方，再取负，所以等于 $-4$ 。

这两个长得很像，但意思不同。

分数也建议加括号。例如 $x=\dfrac{1}{2}$ 时， $3x^2$ 应写作

3\left(\frac{1}{2}\right)^2.

先化简再代入，通常会少算很多东西。不过如果题目明确要求“先展开再代入”，那就按题目展示过程。

代入负数或分数时，先给替换进去的数加括号。尤其要分清 $(-a)^2$ 和 $-a^2$ 。

例题（读项与系数）

题：对于表达式 $5x^2y-3xy+2y^2-7x+4$ ，指出各项；写出项 $-3xy$ 的系数；指出常数项；判断 $5x^2y$ 与 $3x^2y$ 是否为同类项。

按加减分段，并把符号带上。各项是 $5x^2y$ 、 $-3xy$ 、 $2y^2$ 、 $-7x$ 、 $4$ 。

项 $-3xy$ 的系数是 $-3$ ；常数项是 $4$ 。

$5x^2y$ 与 $3x^2y$ 的字母部分都是 $x^2y$ ，所以它们是同类项。系数不同，不影响“同类”的判断。

例题（合并同类项）

题：化简 $3a+2b-a+5b-4$ 。

先分组：含 $a$ 的项是 $3a$ 和 $-a$ ；含 $b$ 的项是 $2b$ 和 $5b$ ；常数项是 $-4$ 。

合并： $3a-a=2a$ ， $2b+5b=7b$ 。

所以原式化简为 $2a+7b-4$ 。

例题（去括号并化简）

题：化简 $4(2x-1)-3(x+2)$ 。

先分配： $4(2x-1)=8x-4$ ， $3(x+2)=3x+6$ 。

注意原式中第二个括号前是减号，所以原式变成 $8x-4-(3x+6)$ 。

去掉最后一层括号： $8x-4-3x-6$ 。合并同类项，得到 $5x-10$ 。

也可以写成 $5(x-2)$ 。这一章里，展开式和提取公因式后的形式都能看懂即可，按题目要求选择。

例题（代入求值）

题：当 $x=-2$ 时，求 $x^2-3x+4$ 的值；当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时，求 $3x^2-2x+1$ 的值。

当 $x=-2$ 时， $x^2-3x+4=(-2)^2-3(-2)+4=4+6+4=14$ 。

当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时， $3x^2-2x+1=3\left(\frac{1}{2}\right)^2-2\left(\frac{1}{2}\right)+1=\frac{3}{4}$ 。

复盘重点：负数代入乘方要加括号；分数平方后再和系数相乘。

整式：先认清它的骨架

初中阶段常说的单项式，可以理解成“数和字母乘在一起”的式子。单独一个数或一个字母，也算单项式。

几个单项式相加，就组成多项式。

单项式和多项式合起来，叫整式。

比如 $x^3+2x^2-x+5$ 是一个多项式。它有四项，所以可以叫四项式。

最高次项是 $x^3$ ，它的次数是 $3$ 。

这里先提醒一句： $\dfrac{1}{x}$ 的分母里有字母，不属于我们今天讨论的整式范围。不要把它硬拉进“合并同类项”的练习里。

把多项式按某个字母的指数从高到低写，叫降幂排列；从低到高写，叫升幂排列。

例如对 $x$ 降幂，常写成

x^2+7x-1.

这不是玄学，只是为了让式子更好读，也更方便检查。

别抢着列式

文字题最怕一看到字就慌。

你可以先盯关键词：

“和、差、积、商”对应加减乘除。

“倍”通常对应乘法。

“比……多”是加，“比……少”是减。

比如“比 $x$ 的 $3$ 倍少 $7$ ”，先读成“ $3x$ 再少 $7$ ”，所以写成

3x-7.

再比如“比 $x$ 多 $5$ 的数的一半”，先算 $x+5$ ，再取一半，所以是

\frac{x+5}{2}.

括号位置非常重要。括号错了，意思就变了。

连续三个整数也很典型。

如果设中间那个数为 $n$ ，三个数就是 $n-1,n,n+1$ ，和是 $3n$ 。

如果设最小的数为 $n$ ，三个数就是 $n,n+1,n+2$ ，和是 $3n+3$ 。

两种设法都可以，但同一道题里必须自洽。

几何里的表达式：别忘了单位

设长方形的宽为 $w$ ，长比宽多 $3$ ，那么长就是 $w+3$ 。

周长为

2\bigl(w+(w+3)\bigr)=2(2w+3)=4w+6.

面积为

w(w+3)=w^2+3w.

这里有个很朴素的检查方法：长度和长度可以相加，面积和长度不能相加。

所以如果你在面积公式里算出了 $w^2+3$ 这种结果，就要回头看看是不是少乘了一个 $w$ 。

长方形示意图：宽标 w，长标 w+3，旁注周长与面积公式各一行

多层括号：一层一层来

来看一个容易把人绕晕的式子：

-[-2(x-1)+3].

别急着一口气变完。先处理最里面：

-2(x-1)=-2x+2.

所以中括号里是

-2x+2+3=-2x+5.

最后外面还有一个负号：

-(-2x+5)=2x-5.

每次只动一层括号。这样慢一点，但很稳。

例题（先化简再求值）

题：当 $a=-1$ 时，求 $2a^2-3a(a^2-1)$ 的值。

先展开： $2a^2-3a(a^2-1)=2a^2-3a^3+3a$ 。

按次数整理： $-3a^3+2a^2+3a$ 。

代入 $a=-1$ ： $-3(-1)^3+2(-1)^2+3(-1)=3+2-3=2$ 。

也可以一开始就代入，但如果表达式较长，先化简通常更省心。

加法和乘法：两套规则别混

再说一个高频误区。

$2x+3x=5x$ ，这是同类项合并。

但

2x\cdot 3x=6x^2.

这里是乘法，规则不一样。

加法：同类项相加，只动系数，字母部分照抄。

乘法：系数相乘，同底数幂相乘时指数相加。

用 $x=2$ 检验一下：

2x+3x=4+6=10,\qquad 5x=10.

再看乘法：

2x\cdot 3x=4\cdot 6=24,\qquad 6x^2=24.

所以不是“看到两个 $x$ 就凑”，而是先判断运算类型。

建模：固定费加按量计费

打印店规定：不管印多少，先收设计费 $80$ 元；每印一张，再收 $2.5$ 元。

如果印 $x$ 张，总费用可以写成

C = 80 + 2.5x.

这里 $80$ 是固定费，印不印很多都要收一次。

$2.5x$ 是按张计费，张数越多，这部分越大。

如果 $x=10$ ，就代入：

C=80+2.5\times 10=105.

以后遇到“最多花 $120$ ，能印多少张”这种问题，就会进入不等式。现在先把表达式写对。

小结

这一章的核心不是“背几个术语”，而是帮助我们建立一个稳定习惯：

先看字母表示什么。
再把式子拆成项。
然后判断同类项。
最后去括号、合并、代入检查。

只要这条线稳，后面学方程、不等式、函数，都会轻很多。

习题

建议先自己做，再点开答案核对。别只看结果，重点看符号有没有带对。

习题（文字与求值）

题：用含 $x$ 的式子表示“比 $x$ 的 $3$ 倍少 $7$ 的数”，并求当 $x=5$ 时该式的值。

习题（化简与检验）

题：化简 $5x-2(3x-1)+4(x-2)$ ，并任选 $x=0$ 与 $x=1$ 代入检验化简前后是否一致。

$-2(3x-1)=-6x+2$ ， $4(x-2)=4x-8$ 。原式为 $5x-6x+2+4x-8=(5-6+4)x+(2-8)=3x-6$ 。当 $x=0$ 时，原式 $0-2(-1)+4(-2)=2-8=-6$ ，化简式为 $-6$ ，一致。当 $x=1$ 时，原式 $5-4-4=-3$ ，化简式 $3-6=-3$ ，一致。