小数与运算

小数不是一套新规则，它还是十进制。

整数往左一位变成十倍，小数往右一位变成十分之一。小数点只是把“个位”和“十分位”隔开。你把这一点看懂了，后面的加减乘除就不容易乱。

比如 $0.3$ ，它其实就是 $\frac{3}{10}$ 。写成小数，是因为日常更方便：价格、身高、体温、跑步配速，都不可能每次写分数。

数位：小数点右边到底在数什么

小数点左边是个位、十位、百位。小数点右边不是“随便写几位”，它也有名字：

十分位表示几个 $\frac{1}{10}$ ，百分位表示几个 $\frac{1}{100}$ ，千分位表示几个 $\frac{1}{1000}$ 。

所以：

0.1=\frac{1}{10},\qquad 0.01=\frac{1}{100},\qquad 0.001=\frac{1}{1000}.

看数轴会更直观。 $0$ 到 $1$ 之间分成十份，每份就是 $0.1$ ；再把 $0$ 到 $0.1$ 分成十份，每份就是 $0.01$ 。

数轴从 0 到 1，在 0.1、0.2、…、0.9 处画短刻度，在 0 与 0.1 之间再细分十格标出百分位，小数点旁用文字标注「个位 · 十分位 · 百分位」，箭头表示每向右一格除以 10

拿 $12.345$ 来拆：

12.345 = 1\times 10 + 2\times 1 + 3\times \frac{1}{10} + 4\times \frac{1}{100} + 5\times \frac{1}{1000}.

这句话翻译成人话就是： $12.345$ 里有 $1$ 个十、 $2$ 个一、 $3$ 个十分之一、 $4$ 个百分之一、 $5$ 个千分之一。

人民币也很适合理解小数位。以“元”为单位， $3.45$ 元就是 $3$ 元 $4$ 角 $5$ 分。角在十分位，分在百分位。

$0.3$ 和 $0.30$ 数值相等。区别是： $0.30$ 有时在测量里表示“精确到百分位”，作业里按题目要求写即可。

小数点移动

小数点向右移 $n$ 位，相当于乘 $10^n$ 。

小数点向左移 $n$ 位，相当于除以 $10^n$ 。

数位不够时就补 $0$ 。例如：

3.6\times 10^3=3600,\qquad 0.08\div 10^4=0.000008.

科学记数法也是同一件事。它把数写成 $a\times 10^n$ ，其中 $1\le |a| \lt 10$ ， $n$ 是整数。

比如：

0.00035=3.5\times 10^{-4}.

别被负号吓到。意思只是： $3.5$ 的小数点向左挪 $4$ 位。

竖式草图：左侧写 12.30 与 0.45 小数点上下对齐，右侧写 10.00 减 3.80，旁注「加减对齐小数点；减法借位时先补成相同小数位数」

小数和分数互化

小数化分数，先看有几位小数。

一位小数，分母先写 $10$ ；两位小数，分母先写 $100$ ；三位小数，分母先写 $1000$ 。然后约分。

比如三位小数 $0.875$ ：

0.875=\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}.

分数化小数，就用分子除以分母。能除尽就是有限小数，除不尽可能是循环小数。

一个很常用的判断是：最简分数 $\dfrac{a}{b}$ 能化成有限小数，当且仅当 $b$ 的质因数只含 $2$ 和 $5$ 。

注意关键词是“最简分数”。不先约分，很容易误判。

例题：把 $0.875$ 化为最简分数

三位小数先写成 $\displaystyle \frac{875}{1000}$ 。

分子分母同除以 $125$ ，得到 $\displaystyle \frac{7}{8}$ 。

$8=2^3$ ，分母只含质因数 $2$ ，所以它本来就能写成有限小数。

再记几个常见搭子： $0.125=\dfrac{1}{8}$ ， $0.25=\dfrac{1}{4}$ ， $0.2=\dfrac{1}{5}$ 。估算时很省时间。

判定有限小数前一定要约到最简。 $\dfrac{6}{15}$ 约成 $\dfrac{2}{5}$ 后，分母只含 $5$ ，所以它是有限小数。

比较大小：别数小数位个数

比较小数，最稳的办法是：小数点对齐，末尾补零，再从左往右比。

很多人会被“位数多”骗到。比如 $0.3$ 和 $0.25$ ，不是因为 $0.25$ 多一位就更大。

把 $0.3$ 写成 $0.30$ ，再比：

0.30\gt 0.25.

十分位上 $3\gt 2$ ，已经赢了。

在数轴上看更简单：越靠右越大。和分数混在一起比较时，可以统一化成小数，也可以统一化成分数通分。

例题：排序

题：将 $0.303,\;0.33,\;0.0303$ 从小到大排序。

先补成四位小数： $0.3030,\;0.3300,\;0.0303$ 。

十分位先比， $0.0303$ 的十分位是 $0$ ，它最小。

剩下 $0.3030$ 和 $0.3300$ ，百分位分别是 $0$ 和 $3$ ，所以 $0.303\lt 0.33$ 。

最终：

0.0303 \lt 0.303 \lt 0.33.

加减法：对齐的不是末尾，是小数点

小数加减最像钱的计算。

$12.30+0.45$ ，要让元、角、分各回各位。竖式里体现出来，就是小数点上下对齐。

如果位数不一样，末尾补 $0$ 。例如算 $6.07-2.135$ ，可以看成：

6.070-2.135=3.935.

补零不改变数值，只是让同一数位站到同一列。

减法借位时，先把小数位补齐会更稳。比如 $10-3.8$ ，写成 $10.0-3.8$ ，不容易把十分位弄丢。

乘法：先当整数算，再安小数点

小数乘法的步骤很朴素：

先忽略小数点，按整数乘法算。再数两个因数一共有几位小数，积就保留几位小数。

原理其实就是分数：

\frac{a}{10^m}\times\frac{b}{10^n}=\frac{ab}{10^{m+n}}

也就是说，两个分母里的 $10^m$ 和 $10^n$ 合起来，变成 $10^{m+n}$ 。所以小数位数要相加。

例题：计算 $0.03\times 0.002$

先算整数： $3\times 2=6$ 。

$0.03$ 有两位小数， $0.002$ 有三位小数，一共五位。

从 $6$ 往左数五位，不够就补零，得到 $0.00006$ 。

再看 $1.25\times 0.4$ 。先算 $125\times 4=500$ ，小数位一共 $2+1=3$ 位，所以是 $0.500$ ，也就是 $0.5$ 。

$0.2\times 0.3=0.06$ ，不是 $0.6$ 。因为两个因数一共有两位小数。

除法：把除数先变成整数

小数除法最容易乱。一个靠谱口诀是：除数化整数，被除数同步移动。

比如 $1.44\div 0.12$ 。除数 $0.12$ 要变成 $12$ ，小数点向右移两位；被除数 $1.44$ 也向右移两位，变成 $144$ 。

所以：

\frac{1.44}{0.12}=\frac{1.44\times 100}{0.12\times 100}=\frac{144}{12}=12

这个操作不会改变商。因为分子分母同乘 $100$ ，分数的值不变。

例题：计算 $1.44\div 0.12$

把除数 $0.12$ 变成整数 $12$ ，需要乘 $100$ 。

被除数也乘 $100$ ， $1.44$ 变成 $144$ 。

算 $144\div 12=12$ 。

再比如 $5.6\div 0.07$ 。同乘 $100$ ，得到 $560\div 7=80$ 。

除法竖式示意：1.44 与 0.12 同时小数点右移两位变成 144÷12，商的位置与小数点对齐，旁注「商不变：同乘同除」

除不尽怎么办？继续补 $0$ 除，或者按题目要求保留几位小数。

比如：

1\div 3=0.\dot{3}.

长除法里余数一直重复，商的小数部分也就一直重复。

四舍五入：看下一位，不是看感觉

题目说“保留 $n$ 位小数”，就看第 $n+1$ 位。

小于 $5$ ，舍去。大于等于 $5$ ，向前一位进 $1$ 。

例如 $\pi\approx 3.1415926\ldots$ ：

保留整数，看十分位 $1$ ，得到 $3$ 。

保留一位小数，看百分位 $4$ ，得到 $3.1$ 。

保留两位小数，看千分位 $1$ ，得到 $3.14$ 。

例题：保留两位小数

题： $\pi\approx 3.1415926\ldots$ ，保留两位小数； $7.865$ 保留两位小数。

对 $\pi$ ，第三位小数是 $1$ ，小于 $5$ ，所以是 $3.14$ 。

对 $7.865$ ，第三位小数是 $5$ ，向百分位进 $1$ ，所以是 $7.87$ 。

还有一种容易错的情况： $9.996$ 保留两位小数。

千分位是 $6$ ，百分位要进 $1$ ，于是 $9.99$ 会连续进位，结果是 $10.00$ 。这里写成 $10.00$ ，是因为题目要求保留两位小数。

应用题：先统一单位，再动笔

小数应用题，最大的坑往往不是计算，而是单位。

$3.6\ \mathrm{km}+450\ \mathrm{m}$ ，不能直接写 $3.6+450$ 。先把 $450\ \mathrm{m}$ 化成 $0.45\ \mathrm{km}$ ，再算：

3.6+0.45=4.05\ \mathrm{km}.

时间更要小心。分和秒是六十进制，不是十进制。

$1$ 分 $30$ 秒是 $1.5$ 分，因为 $30$ 秒是半分钟。

$1$ 分 $45$ 秒是：

1+\frac{45}{60}=1.75\ \text{分}.

它不是 $1.45$ 分。

例题：购物找零

题：三件商品单价分别为 $2.50$ 元、 $8.75$ 元、 $1.20$ 元，付 $20$ 元，求找零。

先求总价： $2.50+8.75+1.20=12.45$ 元。

再算找零： $20-12.45=7.55$ 元。

速度单位也一样。 $144\ \mathrm{km/h}$ 要换成 $\mathrm{m/s}$ ，先把千米变米，再把小时变秒：

\frac{144000}{3600}\ \mathrm{m/s}=40\ \mathrm{m/s}.

小结

这部分我们真正要记住的是下面这几句话：

小数是分母为 $10,100,1000,\ldots$ 的分数的另一种写法。

加减要小数点对齐。

乘法要数两个因数的小数位总数。

除法要先把除数化成整数，并让被除数同步移动。

近似数要看下一位。

下一部分我们学习「百分比与应用」时，你会发现百分数其实就是把 $0.01$ 换了一个更日常的名字。

习题

先自己做，再点开答案。别只看结果，重点看每一步是不是有理由。

习题：化小数

题：把 $\dfrac{9}{40}$ 化为小数，并说明是否为有限小数。

习题：计算

题：计算 $6.07-2.135$ ， $0.04\times 0.25$ ， $5.6\div 0.07$ 。

习题：近似

题： $7.864$ 与 $7.865$ 各保留两位小数，结果是否相同？说明理由。

习题：单位

题： $3.6\ \mathrm{km}+450\ \mathrm{m}$ 合多少千米？ $1$ 分 $45$ 秒合多少分钟（用小数）？

习题：判断与循环小数

题：不计算，判断 $9.8\times 1.02$ 与 $9.8$ 的大小关系。把 $0.\dot{3}+0.\dot{6}$ 写成小数或分数，说明结果。

小数与运算

小数不是一套新规则，它还是十进制。

整数往左一位变成十倍，小数往右一位变成十分之一。小数点只是把“个位”和“十分位”隔开。你把这一点看懂了，后面的加减乘除就不容易乱。

比如 $0.3$ ，它其实就是 $\frac{3}{10}$ 。写成小数，是因为日常更方便：价格、身高、体温、跑步配速，都不可能每次写分数。

数位：小数点右边到底在数什么

小数点左边是个位、十位、百位。小数点右边不是“随便写几位”，它也有名字：

十分位表示几个 $\frac{1}{10}$ ，百分位表示几个 $\frac{1}{100}$ ，千分位表示几个 $\frac{1}{1000}$ 。

所以：

0.1=\frac{1}{10},\qquad 0.01=\frac{1}{100},\qquad 0.001=\frac{1}{1000}.

看数轴会更直观。 $0$ 到 $1$ 之间分成十份，每份就是 $0.1$ ；再把 $0$ 到 $0.1$ 分成十份，每份就是 $0.01$ 。

拿 $12.345$ 来拆：

12.345 = 1\times 10 + 2\times 1 + 3\times \frac{1}{10} + 4\times \frac{1}{100} + 5\times \frac{1}{1000}.

这句话翻译成人话就是： $12.345$ 里有 $1$ 个十、 $2$ 个一、 $3$ 个十分之一、 $4$ 个百分之一、 $5$ 个千分之一。

人民币也很适合理解小数位。以“元”为单位， $3.45$ 元就是 $3$ 元 $4$ 角 $5$ 分。角在十分位，分在百分位。

$0.3$ 和 $0.30$ 数值相等。区别是： $0.30$ 有时在测量里表示“精确到百分位”，作业里按题目要求写即可。

小数点移动

小数点向右移 $n$ 位，相当于乘 $10^n$ 。

小数点向左移 $n$ 位，相当于除以 $10^n$ 。

数位不够时就补 $0$ 。例如：

3.6\times 10^3=3600,\qquad 0.08\div 10^4=0.000008.

科学记数法也是同一件事。它把数写成 $a\times 10^n$ ，其中 $1\le |a| \lt 10$ ， $n$ 是整数。

比如：

0.00035=3.5\times 10^{-4}.

别被负号吓到。意思只是： $3.5$ 的小数点向左挪 $4$ 位。

竖式草图：左侧写 12.30 与 0.45 小数点上下对齐，右侧写 10.00 减 3.80，旁注「加减对齐小数点；减法借位时先补成相同小数位数」

小数和分数互化

小数化分数，先看有几位小数。

一位小数，分母先写 $10$ ；两位小数，分母先写 $100$ ；三位小数，分母先写 $1000$ 。然后约分。

比如三位小数 $0.875$ ：

0.875=\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}.

分数化小数，就用分子除以分母。能除尽就是有限小数，除不尽可能是循环小数。

一个很常用的判断是：最简分数 $\dfrac{a}{b}$ 能化成有限小数，当且仅当 $b$ 的质因数只含 $2$ 和 $5$ 。

注意关键词是“最简分数”。不先约分，很容易误判。

例题：把 $0.875$ 化为最简分数

三位小数先写成 $\displaystyle \frac{875}{1000}$ 。

分子分母同除以 $125$ ，得到 $\displaystyle \frac{7}{8}$ 。

$8=2^3$ ，分母只含质因数 $2$ ，所以它本来就能写成有限小数。

再记几个常见搭子： $0.125=\dfrac{1}{8}$ ， $0.25=\dfrac{1}{4}$ ， $0.2=\dfrac{1}{5}$ 。估算时很省时间。

判定有限小数前一定要约到最简。 $\dfrac{6}{15}$ 约成 $\dfrac{2}{5}$ 后，分母只含 $5$ ，所以它是有限小数。

比较大小：别数小数位个数

比较小数，最稳的办法是：小数点对齐，末尾补零，再从左往右比。

很多人会被“位数多”骗到。比如 $0.3$ 和 $0.25$ ，不是因为 $0.25$ 多一位就更大。

把 $0.3$ 写成 $0.30$ ，再比：

0.30\gt 0.25.

十分位上 $3\gt 2$ ，已经赢了。

在数轴上看更简单：越靠右越大。和分数混在一起比较时，可以统一化成小数，也可以统一化成分数通分。

例题：排序

题：将 $0.303,\;0.33,\;0.0303$ 从小到大排序。

先补成四位小数： $0.3030,\;0.3300,\;0.0303$ 。

十分位先比， $0.0303$ 的十分位是 $0$ ，它最小。

剩下 $0.3030$ 和 $0.3300$ ，百分位分别是 $0$ 和 $3$ ，所以 $0.303\lt 0.33$ 。

最终：

0.0303 \lt 0.303 \lt 0.33.

加减法：对齐的不是末尾，是小数点

小数加减最像钱的计算。

$12.30+0.45$ ，要让元、角、分各回各位。竖式里体现出来，就是小数点上下对齐。

如果位数不一样，末尾补 $0$ 。例如算 $6.07-2.135$ ，可以看成：

6.070-2.135=3.935.

补零不改变数值，只是让同一数位站到同一列。

减法借位时，先把小数位补齐会更稳。比如 $10-3.8$ ，写成 $10.0-3.8$ ，不容易把十分位弄丢。

乘法：先当整数算，再安小数点

小数乘法的步骤很朴素：

先忽略小数点，按整数乘法算。再数两个因数一共有几位小数，积就保留几位小数。

原理其实就是分数：

\frac{a}{10^m}\times\frac{b}{10^n}=\frac{ab}{10^{m+n}}

也就是说，两个分母里的 $10^m$ 和 $10^n$ 合起来，变成 $10^{m+n}$ 。所以小数位数要相加。

例题：计算 $0.03\times 0.002$

先算整数： $3\times 2=6$ 。

$0.03$ 有两位小数， $0.002$ 有三位小数，一共五位。

从 $6$ 往左数五位，不够就补零，得到 $0.00006$ 。

再看 $1.25\times 0.4$ 。先算 $125\times 4=500$ ，小数位一共 $2+1=3$ 位，所以是 $0.500$ ，也就是 $0.5$ 。

$0.2\times 0.3=0.06$ ，不是 $0.6$ 。因为两个因数一共有两位小数。

除法：把除数先变成整数

小数除法最容易乱。一个靠谱口诀是：除数化整数，被除数同步移动。

比如 $1.44\div 0.12$ 。除数 $0.12$ 要变成 $12$ ，小数点向右移两位；被除数 $1.44$ 也向右移两位，变成 $144$ 。

所以：

\frac{1.44}{0.12}=\frac{1.44\times 100}{0.12\times 100}=\frac{144}{12}=12

这个操作不会改变商。因为分子分母同乘 $100$ ，分数的值不变。

例题：计算 $1.44\div 0.12$

把除数 $0.12$ 变成整数 $12$ ，需要乘 $100$ 。

被除数也乘 $100$ ， $1.44$ 变成 $144$ 。

算 $144\div 12=12$ 。

再比如 $5.6\div 0.07$ 。同乘 $100$ ，得到 $560\div 7=80$ 。

除法竖式示意：1.44 与 0.12 同时小数点右移两位变成 144÷12，商的位置与小数点对齐，旁注「商不变：同乘同除」

除不尽怎么办？继续补 $0$ 除，或者按题目要求保留几位小数。

比如：

1\div 3=0.\dot{3}.

长除法里余数一直重复，商的小数部分也就一直重复。

四舍五入：看下一位，不是看感觉

题目说“保留 $n$ 位小数”，就看第 $n+1$ 位。

小于 $5$ ，舍去。大于等于 $5$ ，向前一位进 $1$ 。

例如 $\pi\approx 3.1415926\ldots$ ：

保留整数，看十分位 $1$ ，得到 $3$ 。

保留一位小数，看百分位 $4$ ，得到 $3.1$ 。

保留两位小数，看千分位 $1$ ，得到 $3.14$ 。

例题：保留两位小数

题： $\pi\approx 3.1415926\ldots$ ，保留两位小数； $7.865$ 保留两位小数。

对 $\pi$ ，第三位小数是 $1$ ，小于 $5$ ，所以是 $3.14$ 。

对 $7.865$ ，第三位小数是 $5$ ，向百分位进 $1$ ，所以是 $7.87$ 。

还有一种容易错的情况： $9.996$ 保留两位小数。

千分位是 $6$ ，百分位要进 $1$ ，于是 $9.99$ 会连续进位，结果是 $10.00$ 。这里写成 $10.00$ ，是因为题目要求保留两位小数。

应用题：先统一单位，再动笔

小数应用题，最大的坑往往不是计算，而是单位。

$3.6\ \mathrm{km}+450\ \mathrm{m}$ ，不能直接写 $3.6+450$ 。先把 $450\ \mathrm{m}$ 化成 $0.45\ \mathrm{km}$ ，再算：

3.6+0.45=4.05\ \mathrm{km}.

时间更要小心。分和秒是六十进制，不是十进制。

$1$ 分 $30$ 秒是 $1.5$ 分，因为 $30$ 秒是半分钟。

$1$ 分 $45$ 秒是：

1+\frac{45}{60}=1.75\ \text{分}.

它不是 $1.45$ 分。

例题：购物找零

题：三件商品单价分别为 $2.50$ 元、 $8.75$ 元、 $1.20$ 元，付 $20$ 元，求找零。

先求总价： $2.50+8.75+1.20=12.45$ 元。

再算找零： $20-12.45=7.55$ 元。

速度单位也一样。 $144\ \mathrm{km/h}$ 要换成 $\mathrm{m/s}$ ，先把千米变米，再把小时变秒：

\frac{144000}{3600}\ \mathrm{m/s}=40\ \mathrm{m/s}.

小结

这部分我们真正要记住的是下面这几句话：

小数是分母为 $10,100,1000,\ldots$ 的分数的另一种写法。

加减要小数点对齐。

乘法要数两个因数的小数位总数。

除法要先把除数化成整数，并让被除数同步移动。

近似数要看下一位。

下一部分我们学习「百分比与应用」时，你会发现百分数其实就是把 $0.01$ 换了一个更日常的名字。

习题

先自己做，再点开答案。别只看结果，重点看每一步是不是有理由。

习题：化小数

题：把 $\dfrac{9}{40}$ 化为小数，并说明是否为有限小数。

习题：计算

题：计算 $6.07-2.135$ ， $0.04\times 0.25$ ， $5.6\div 0.07$ 。

习题：近似

题： $7.864$ 与 $7.865$ 各保留两位小数，结果是否相同？说明理由。

习题：单位

题： $3.6\ \mathrm{km}+450\ \mathrm{m}$ 合多少千米？ $1$ 分 $45$ 秒合多少分钟（用小数）？

习题：判断与循环小数

题：不计算，判断 $9.8\times 1.02$ 与 $9.8$ 的大小关系。把 $0.\dot{3}+0.\dot{6}$ 写成小数或分数，说明结果。

小数与运算

数位：小数点右边到底在数什么

小数点移动

小数和分数互化

例题：把 0.8750.8750.875 化为最简分数

比较大小：别数小数位个数

例题：排序

加减法：对齐的不是末尾，是小数点

乘法：先当整数算，再安小数点

例题：计算 0.03×0.0020.03\times 0.0020.03×0.002

除法：把除数先变成整数

例题：计算 1.44÷0.121.44\div 0.121.44÷0.12

四舍五入：看下一位，不是看感觉

例题：保留两位小数

应用题：先统一单位，再动笔

例题：购物找零

小结

习题

习题：化小数

习题：计算

习题：近似

习题：单位

习题：判断与循环小数

小数与运算

数位：小数点右边到底在数什么

小数点移动

小数和分数互化

例题：把 0.8750.8750.875 化为最简分数

比较大小：别数小数位个数

例题：排序

加减法：对齐的不是末尾，是小数点

乘法：先当整数算，再安小数点

例题：计算 0.03×0.0020.03\times 0.0020.03×0.002

除法：把除数先变成整数

例题：计算 1.44÷0.121.44\div 0.121.44÷0.12

四舍五入：看下一位，不是看感觉

例题：保留两位小数

应用题：先统一单位，再动笔

例题：购物找零

小结

习题

习题：化小数

习题：计算

习题：近似

习题：单位

习题：判断与循环小数

例题：把 $0.875$ 化为最简分数

例题：计算 $0.03\times 0.002$

例题：计算 $1.44\div 0.12$

例题：把 $0.875$ 化为最简分数

例题：计算 $0.03\times 0.002$

例题：计算 $1.44\div 0.12$