整数运算：把方向、变化和顺序算清楚

上一章，我们把数放到了数轴上。按向右为正的约定，零右边是正数，左边是负数；相反数帮助我们翻转方向，绝对值只保留离零的距离。

现在，让这些数动起来。早晨气温是零下六度，中午升高九度，读数会落到哪里？一笔扣款被撤销，为什么账面的数反而增加？这些问题会让加减乘除不再只是纸上的几个符号。

我不会先请你背符号表。我们先看运算在做什么，再给每一步找到理由。读完这一章，你应该能解释整数运算的正负，按结构处理括号与乘方，并把答案送回原问题检查。

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先把负号和减号分清

看这个式子：

$$5-(-3).$$

外面的减号表示操作：从五中减去后面的数。括号里的负号属于对象，告诉我们后面的数是负三。我会先完整地读成“五，减去，负三”，而不是只盯着两个短横线。

$-7$ 是一个数，$10-7$ 是一次减法，$-a$ 表示取 $a$ 的相反数。符号相似，工作不完全相同。

正方向由约定决定

数轴通常向右为正，海拔采用共同的零米基准，记账可以把收入记正、支出记负。也可以在某道题里约定向西为正，只要从头到尾保持一致。

在允许用负余额记录欠款的简化账户里，原有八十元，又支出一百二十元：

$$80+(-120)=-40.$$

负四十表示按当前约定还欠四十元，不是钱包里出现负张数的纸币。这里用的是数学模型；题目给了什么条件，我们就在那些条件下解释答案。

相反数与绝对值，各管一件事

六与负六关于原点对称，所以

$$6+(-6)=0, \qquad a+(-a)=0.$$

若 $a=-4$，则 $-a=-(-4)=4$。取相反数两次，回到原数；零的相反数仍是零。

绝对值则只量距离：

$$|-9|=|9|=9.$$

这不意味着负九等于九，只意味着两个点离原点一样远。后面异号相加时，我们会比较这两个距离，再决定抵消后还剩哪一边。

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加法：把一次变化接到原来的位置上

第一个加数给起点，第二个加数给变化。第二个数为正，向右移动；为负，向左移动；绝对值告诉我们移动多少个单位。

$$(-4)+7=3.$$

从负四向右走七个单位，先走四个到零，再走三个到三。又如

$$5+(-8)=-3,$$

从五向左走八个单位，过零后还要向左走三个，终点是负三。

使用下面的演示前，可以先自己预测这两组数的终点。然后改变加数，看第二段移动的方向与大小是否符合自己的判断。暂时不使用演示，也可以自己画一条等距数轴。

同号相加，方向一致

两个正数相加，可以看成从零连续向右；两个负数相加，就是连续向左。把绝对值合并，再保留共同方向：

$$(-6)+(-9)=-(6+9)=-15.$$

连续支出六元和九元，净变化是负十五元；不是看见两个负号就改成正十五。

异号相加，先抵消

$$(-14)+9=-5.$$

十四个负单位与九个正单位一一配对，抵消九对，还剩五个负单位。所以结果为负五。

“留下绝对值较大的加数的符号”，只是对这个过程的简写。绝对值相等，就完全抵消：

$$8+(-8)=0.$$

加上零没有任何移动：

$$a+0=0+a=a.$$

多个加数，可以先凑成容易算的组

纯加法允许交换顺序与重新分组。例如

$$(-18)+27+(-12)+3 =[27+3]+[(-18)+(-12)] =30+(-30)=0.$$

移动的是整个带符号的加数，不是把负号丢在原地。若原题写成 $-18+27-12+3$，就要先把减十二理解成加负十二，才能这样归拢。接下来我们解释这一步。

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减法：找差，也可以理解为撤销变化

$12-5=7$ 可以表示拿走五本书后剩七本。可“从四个苹果里拿走负三个苹果”并不是清楚的现实动作，所以负数出现后，我会换一种更稳定的理解。

$a-b$ 是要找一个数，加上 $b$ 后能回到 $a$。 例如 $4-(-3)$ 问：“什么数加上负三等于四？”七符合，因为 $7+(-3)=4$。

在数轴上，减去一个数，就沿它表示的方向反向移动：减正三，向左三格；减负三，向右三格。

减去一个数，等于加上它的相反数

$$a-b=a+(-b).$$

这里 $a$ 是被减数，$b$ 是减数。被减数不变，把减号改成加号，再把减数换成它的相反数。原因可以直接核对：

$$[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a.$$

它确实能通过“加回减数”恢复被减数。

$$(-6)-(+4)=(-6)+(-4)=-10,$$ $$(-6)-(-4)=(-6)+4=-2.$$

第二式仍是负数。因此“减去负数”表示原数增大，不表示最终答案一定为正。

撤销一笔扣款

记账单目前净额五元，其中一笔负八元扣款被撤销，相当于把那条负的记录减掉：

$$5-(-8)=13.$$

原来使余额减少的操作不再计算，余额就恢复八元。这比硬想象“拿走负数个物品”更自然。

变化量与差的大小

从状态 $a$ 变到状态 $b$，有向变化为

$$\text{变化量}=b-a.$$

从海拔负十八米上升到负五米，变化为

$$(-5)-(-18)=13\text{ 米}.$$

反向从负五米到负十八米，变化为负十三米。但两次海拔相差的大小都为十三米，即 $|b-a|$。

题目只给海拔时，我们知道的是竖直高度差；没有水平位置和路径信息，不能直接把它等同于两地空间距离或实际运动路程。

例题：连续加减

计算 $(-11)+16-9-(-6)$。

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乘法：重复的量怎样合起来

正整数次的乘法可以看作重复相加：

$$4\times3=3+3+3+3=12.$$

重复的量也可以为负，例如三天每天支出八元：

$$3\times(-8)=(-8)+(-8)+(-8)=-24.$$

这里三是重复次数，负八是每次变化。负数乘负数不能继续硬说成“重复负三次”，我们要借助运算律，把原来的乘法一致地扩展下去。

先用交换律理解一正一负

乘法保留交换律，所以

$$(-8)\times3=3\times(-8)=-24.$$

一正一负两个非零整数相乘，结果为负。

负负得正，为什么不是随便定的

我们希望扩展后的乘法仍满足分配律：一个数乘两数之和，等于分别乘后再相加。用它来看

$$(-3)\times[8+(-8)]=(-3)\times0=0.$$

展开左边，得到

$$(-3)\times8+(-3)\times(-8)=0.$$

第一项已知是负二十四。要使和为零，第二项只能是正二十四。因此

$$(-3)\times(-8)=24.$$

负负得正与我们已有的乘法及分配律相互一致，并不是两条短横线看起来可以拼成加号。

有了这个理由，再用翻转方向帮助记忆就容易了。乘负一得到相反数，连续乘两次负一，就关于原点翻转两次：

$$(-1)\times8=-8,\qquad(-1)\times(-8)=8.$$

多个因数，数负因数的个数

$$(-2)\times5\times(-3)\times(-4)=-120.$$

三个负因数带来奇数次翻转，乘积为负；绝对值为 $2\times5\times3\times4=120$。若负因数有偶数个且没有零，乘积为正。

注意数的是当前乘积的因数，不是跨过加号、减号和括号，把整道题所有负号都数一遍。

零乘任何整数，都为零

“零份某个量”给出直觉。运算律也能检查：

$$a\times0=a\times(0+0)=a\times0+a\times0.$$

两边减去同一个 $a\times0$，得到 $a\times0=0$。所以纯乘法中有一个零因数，整个乘积就是零。

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除法：沿乘法倒着找

$24\div6=4$ 是在找“六乘多少等于二十四”。用同样的办法，

$$(-24)\div6=-4,$$

因为 $6\times(-4)=-24$；而

$$(-24)\div(-6)=4,$$

因为 $(-6)\times4=-24$。

被除数与除数都非零时，同号商为正、异号商为负。每做完一道除法，我会把商乘回除数，看是否回到被除数。

整数除法不一定得到整数

七除以二，找不到一个整数乘二恰好等于七。若做带余除法，可以写

$$7=2\times3+1.$$

这不表示 $7\div2=3$。要记录精确的商，需要分数 $\frac{7}{2}$，下一章会把这件事展开。

整数对加、减、乘是封闭的，意思是两个整数做完这些运算仍为整数。但即使除数非零，整数相除也可能离开整数范围，所以对除法不封闭。

除数为零，为什么不能继续

除数非零时，零作被除数没问题：$0\div5=0$，因为 $5\times0=0$。

假设 $12\div0=q$，就必须有 $0\times q=12$。但零乘任何数都为零，不存在这样的商。

$0\div0$ 也不能定义为一个通常的唯一数值，因为 $0\times q=0$ 对任意数都成立，不能唯一确定商。前者找不到满足要求的数，后者无法确定唯一的数，二者都不属于通常定义的除法。

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运算律：改写要保留原来的值

前面用过交换、分组和分配。现在把它们整理在一起，看清哪些改写合法。

交换律换位置

$$a+b=b+a,\qquad ab=ba.$$

所以 $-17+35+17$ 可以先让负十七与十七抵消。减法、除法却不能这样交换：$8-3\ne3-8$，$12\div4\ne4\div12$。

加减混合式要先写成带符号的加数，再交换。例如 $8-3+5=8+(-3)+5$，移动的是负三整个加数。

结合律换分组

$$(a+b)+c=a+(b+c),$$ $$(ab)c=a(bc).$$

例如

$$25+(-18)+75=(25+75)+(-18)=82,$$

同时使用了交换与结合；而

$$(-4)\times25\times7=[(-4)\times25]\times7=-700$$

是选择先算容易的一组乘法。

减法与除法一般不满足结合律。$20-(8-3)=15$，$(20-8)-3=9$；$48\div(8\div2)=12$，。括号一变，原问题就可能改变。

分配律要乘到每一项

$$a(b+c)=ab+ac,\qquad a(b-c)=ab-ac.$$

正整数时，可以想象每个袋子都有蓝球与黄球：先数每袋总数再乘袋数，或分别数两种球后合并，结果相同。扩展到整数后，这条运算律仍然成立。

$$(-6)\times(20-3)=-120-(-18)=-102.$$

直接先算括号，也得到 $(-6)\times17=-102$。两条路线可以互查。

分配律反过来，就是提取共同因数：

$$(-8)\times37+(-8)\times63 =(-8)\times(37+63)=-800.$$

这里省力的原因是共同因数与凑成一百的结构，不是另一种新规则。

括号前的减号作用于整个括号

$$a+(b-c)=a+b-c,$$ $$a-(b-c)=a-b+c.$$

减去整个 $b-c$，相当于乘以负一后再相加，所以里面每一项都要取相反数。只改第一项会错。

用具体数检查：$10-(6-2)=6$，却不等于 $10-6-2=2$。反例已经说明后面的错误写法不能普遍成立。

这些操作是在保持表达式数值，不是跨等号移项。方程会在第八章出现，届时再讨论等式两边怎样一起变化。

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括号与乘方：先读结构，再计算

$2+3\times4=14$。需要先加再乘，就写 $(2+3)\times4=20$。括号清楚表达了哪个量先组成整体。

通常按这样的层级推进：先处理括号或分组内部，再乘方，再同级乘除从左到右，最后同级加减从左到右。括号内部同样遵守这些层级。

乘除同级，不是永远先乘后除；加减同级，不是永远先加后减。例如

$$48\div6\times2=8\times2=16,$$

不能先把六与二相乘，那等于偷偷增加了原题没有的括号。

相同数字，不同括号

$$-3+4\times(-2)=-11,$$ $$(-3+4)\times(-2)=-2.$$

第一式先乘，第二式先求括号内的和。数相同，不代表算式含义相同。

正整数指数表示重复相乘

$a^n$ 中，$a$ 是底数，$n$ 是指数。本章只讨论正整数指数，表示 $n$ 个相同底数相乘：

$$2^4=2\times2\times2\times2=16.$$

因此

$$(-2)^4=16, \qquad-2^4=-(2^4)=-16.$$

第一式底数是整个负二，第二式先算二的四次方，再取相反数。负数整体作底数时，把括号写出来最稳妥。

绝对值也有分组边界

$$|{-7}+3|=|-4|=4.$$

先算竖线里面，再量到原点的距离。不能擅自拆成 $|-7|+|3|=10$；绝对值并不一般满足把加法拆开的等式。

例题：完整走过一道混合运算

计算 $18-[5-3\times(-2)]+24\div(-6)$。

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估算与验算：换一条路线看答案

原路重算可能重犯同一个错误。我更希望你先预判符号，再看数量级，最后用逆运算或另一种合法改写检查。

先看正负，再看大小

$(-38)+15$ 中，负数的绝对值更大，结果应为负；正确答案是负二十三，不是正二十三。

$(-7)\times(-19)\times3$ 有两个负因数，结果为正。$(-49)\times21$ 则接近 $(-50)\times20=-1000$，精确值负一千零二十九合理，负一万零二百九十的数量级就不合理。

估算能拦住大错，却不能证明每一位都对。还要看精确关系。

差加减数，回到被减数

若算得 $17-(-8)=25$，检查

$$25+(-8)=17.$$

不但算式恢复原数，而且减负数后原数增大，方向也一致。

商乘除数，回到被除数

若 $(-84)\div7=-12$，则应有 $(-12)\times7=-84$。

本章的非负整数带余除法还需要检查

$$a=bq+r,\qquad0\le r<b,$$

这里 $b$ 为正整数。例如 $7=2\times3+1$，余数一确实小于除数二。不能只检查等式，忘记余数范围。负数的带余除法以后再学；精确商不能整除时，我们即将用分数记录。

分配律提供另一条验算路线

$$(-4)\times(25+7)=(-4)\times32=-128,$$

也可以算为

$$(-4)\times25+(-4)\times7=-100-28=-128.$$

两种结构能帮助发现漏乘或漏负号，比只盯着原来的一行更有效。

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应用题：最后多少，与变化多少不是一回事

温度的起点与变化

早晨零下六摄氏度，中午升高九摄氏度，傍晚再降低十二摄氏度。

收支同样要区分余额与净变化

原有二百六十元，支出九十五元，退款四十元，再扣八元，不计其他交易：

$$260-95+40-8=197\text{ 元}.$$

这段时间净变化为 $-95+40-8=-63$ 元。用初始余额加净变化，$260+(-63)=197$，相互核对。

负位置不等于负路程

探测器从海拔一百二十米下降到负三十五米，海拔变化为 $-35-120=-155$ 米，高度差的大小为一百五十五米。

只有另说明沿竖直方向单程下降，才能把这个差直接当作下降路程。若同时水平移动，或者中途往返，路程还需要其他信息。

重复变化用乘法，再接回初始状态

假设某冷库在五小时内，每小时均匀降温三摄氏度，总变化为 $5\times(-3)=-15$ 度。若初始八摄氏度，则末温为

$$8+5\times(-3)=-7\,^{\circ}\mathrm{C}.$$

乘法算总变化，加法把它接到初始状态。这依赖题目给出的恒定降温条件，不是对所有实际设备的预测。

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综合练习

先写出第一步，再展开答案。出错时找的是哪一步改变了原式的意思，不只是把最终数字改成正确答案。

1. 异号加法

计算 $(-18)+27$，用数轴解释。

显示答案

从负十八向右走二十七个单位，先到零，再向右九个单位，所以为九。也可以说十八对正负单位抵消，剩九个正单位。

2. 连续加减

计算 $-12-(-7)+5-9$。

显示答案

先写成 $(-12)+7+5+(-9)$，正数和为十二，负数和为负二十一，总和负九。第一处减法中，被减数负十二不变，减数负七取相反数成为正七。

3. 有向变化与差的大小

温度从负四摄氏度变成七摄氏度，变化量是多少？反过来呢？

显示答案

从负四到七，变化为正十一度；从七到负四，变化为负十一度。两次温度读数之差的绝对值都为十一度。

4. 乘法符号

先判断 $(-2)\times(-3)\times5\times(-4)$ 的符号，再求值。

显示答案

三个负因数，乘积为负，绝对值为一百二十，所以结果负一百二十。若再乘零，则结果为零，不能再称它为负数。

5. 解释负负得正

用 $(-5)\times[6+(-6)]=0$ 判断 $(-5)\times(-6)$。

显示答案

按分配律，$-30+(-5)\times(-6)=0$，所以第二项必须为三十。理由是让分配律与原来的乘法保持一致。

6. 除法与零

判断 $0\div(-7)$、$(-7)\div0$、$0\div0$。

显示答案

第一式等于零；第二式找不到一个数与零相乘得到负七，未定义；第三式无法由 $0\times q=0$ 确定唯一的商，同样未定义。

7. 同级乘除

计算 $72\div(-8)\times(-3)$。

显示答案

从左到右，先得负九，再乘负三，结果二十七。不能先把负八与负三合成除数，那会增加原题没有的括号。

8. 负号与乘方

分别计算 $(-3)^4$ 与 $-3^4$。

显示答案

前者为八十一，底数是负三，有四个负因数；后者先算三的四次方再取相反数，为负八十一。

9. 绝对值能拆吗

比较 $|{-8}+3|$ 与 $|-8|+|3|$。

显示答案

前者等于五，后者等于十一。相加后取绝对值与先分别取绝对值，通常不同；先取绝对值会丢掉原来的方向与抵消关系。

10. 提取共同因数

计算 $(-25)\times48+(-25)\times52$。

显示答案

反向使用分配律，得 $(-25)\times(48+52)=(-25)\times100=-2500$。

11. 初始欠款

简化账户余额负一百二十元，存入二百元，再支付六十五元，无其他变化，最终多少？

显示答案

$-120+200-65=15$ 元。两笔操作的净变化为正一百三十五元，不是最终余额；初始余额加净变化才得到十五元。

12. 综合混合运算

计算 $30-2\times[4-(-3)]+18\div(-6)$。

显示答案

括号为七，乘法为十四，除法为负三。最后算 $30-14+(-3)=13$。也可检查三十减去十四与三之和，结果十三。

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下一章：整数除不尽时怎么办

整数运算的几种方法已经连起来了：加法接变化，减法找差或撤销，乘法与运算律处理重复和符号，除法沿乘法倒着找。

但七除以二仍留下一个问题：没有整数能精确记录这个商。下一章，我们从“一个整体怎样平均分”开始认识分数。你不需要重新学一套正负与括号规则；我们只是让表示数量的刻度更细，让整数没能写出的结果也有位置可去。